Решения уравнения примеры: Примеры уравнений 5. Решение линейных уравнений с примерами

Примеры решения уравнений с ответами

Алгоритм решения уравнений

Теорема

Алгебраическое уравнение – это уравнение вида .

Решить уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

Обозначим

Уравнение преобразуется к виду

   

   

Отсюда

Ответ

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

или

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

   

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

   

   

Найдём дискриминант:

   

   

   

Ответ

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

   

Ответ

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

ОДЗ:

   

   

   

   

Ответ

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

или

   

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

   

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

   

   

   

или – решений нет

Ответ

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Найдём область допустимых значений:

   

   

   

   

не подходит по ОДЗ

Ответ

   

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

Отсюда – решений нет, т.к. по условию

Второй случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

   

Отсюда

Третий случай:

При исходное уравнение принимает вид:

   

Отсюда

Ответ

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

   

Решение

ОДЗ:

Обозначим:

   

Тогда:

   

   

   

   

   

   

   

– корней нет

   

   

   

   

Ответ

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2516

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Примеры решения типовых задач по теории дифференциальных уравнений

Задача 41. Найдите общее решение уравнения 2хуDx+(Y2X2)Dy=0.

Решение. Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при Dx И Dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных Х и У. Применяем подстановку

У=хT, где T – некоторая функция аргумента Х.

Если У=хT, то дифференциал Dy=D(Xt)=Tdx+Xdt, и данное уравнение примет вид

Сократив на Х2, будем иметь:

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно Х и T. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или — общее решение данного уравнения.

Задача 42. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента

Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=UV+Uv и данное уравнение примет вид

Или

(1)

Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид

(3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U И Х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению.

Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Интегрируя, получаем . Тогда — общее решение данного уравнения.

Задача 43. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: У(0)=1; У’(0)=3.

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение:

Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3=С1(0+1). Следовательно, С1=3. Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С2

при указанных начальных условиях. Имеем 1=0+0+С2; С2=1.

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 44. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: У(-1)=4; У’(-1)=1.

Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента Х. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция переменной У. Если У’=Р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: Р=0; У’=0; У=С – решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

Используя начальные условия, находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда

— искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 45. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной T:

В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим однородное линейное уравнение второго порядка:

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

Характеристическое уравнение K2K-6=0 имеет корни: K1=-2, K2=3. Следовательно, общее решение (2) имеет вид

Находим частное решение Х=АT. Дважды дифференцируя, получим (х)’=А, (х)’’=0. Подставив в (1), находим А

=-3 и В=0. Следовательно, Х=-3T и

(3)

Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда

(4)

Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему

С1+С2=1 и 3С1-2С2=3.

Решение этой системы дает С1=1 и С2=0. Следовательно,

— частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Задача 46. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции У(х), являющиеся частным решением дифференциального уравнения У’=х+х2-у2+сOsХ, если У(0)=1.

Решение. Положим, что У(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если У(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. У

(0), дан по условию. Чтобы найти значения Y’(0), Y’’(0), Y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной Х и затем вычислить значения производных при Х=0.

Значение У’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при Х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

< Предыдущая   Следующая >

Rsolve() Уравнение с примерами

Rsolve() — это общая функция, которая решает линейное алгебраическое уравнение a %*% x = b для x , где b может быть либо вектором, либо матрицей . Например, 10 * x = 20, в этом уравнении 10 — коэффициент; 20 является константой, а функцияsolve() вычисляет x, равное 2.

1. Краткие примеры функцииsolve() в R

Ниже приведены краткие примеры функцииsolve(), которая решает различные уравнения.

# вычисляем x с помощьюsolve()
решить(10, 20)
решить(3, 6)
решить(4, 20)
# с двумя переменными
a <- матрица (c (3,1,4,1),nrow=2,ncol=2)
b <- матрица (c (10,4), nrow = 2, ncol = 1)
печать (а)
печать (б)
res <- решить (а, б)
печать (разрешение)
# с матрицей
а <- с(2, 1)
б <- с(5, 3)
xyz <- rbind(a, b)
печать (xyz)
решить (xyz)
# с матрицей 4x4
а <- с(2, 1, 3, 3)
б <- с(5, 3, 5, 4)
с <- с (6, 5, 9, 6)
д <- с (1, 3, 2, 2)
xyz <- rbind(a, b, c, d)
печать (xyz)
res <- решить (a=xyz)
печать (разрешение)
 

2. Синтаксисsolv()

Ниже приведен синтаксис функции уравненияsolve().

# Синтаксис решения()
решить (а, б, …)
 

Ниже приведены параметры.

  • a – Квадратная числовая или комплексная матрица. Это коэффициенты уравнения.
  • b – Числовой или комплексный вектор или матрица уравнения. Это необязательно.
  • ... — Дополнительные аргументы передаются в другие методы или из них.

3. Пример уравнения Rsolve()

Используя функциюsolve() в R, вы можете решать алгебраические уравнения, такие как %x% = b. Функцияsolve() принимает аргументы a и b в качестве аргументов и вычисляет x. Кроме того, используйте эту функцию для расчета сложных уравнений, таких как определение значения x и y. Давайте посмотрим на первый пример, который находит значение x.

# Пример одной переменной
# 10x = 20
# Что такое х?
решить(10, 20)
# Вывод
# [1] 2
 

Ниже приведены еще несколько примеров.

4. Rsolve() с матрицей

solv() также принимает матрицу в качестве аргумента для параметра a. Давайте создадим два вектора, используя функцию объединения c(). и с помощью функции rbind() давайте свяжем их в матрицу. В приведенном ниже примере демонстрируется поиск значений для двух переменных x и y.

# Пример с двумя переменными
# 3х + 4у = 10
# х + у = 4
# Что такое х и у?
# Пример
a <- матрица (c (3,1,4,1),nrow=2,ncol=2)
b <- матрица (c (10,4), nrow = 2, ncol = 1)
печать (а)
печать (б)
res <- решить (а, б)
печать (разрешение)
# значение x равно -6
# значение у равно 4
 

Выход ниже выходного. Имена строк и столбцов результата уравнения взяты из имен столбцов a и b соответственно. Если b отсутствует, имена столбцов результата являются именами строк a .

5. Использование Just Param a и b по умолчанию

Давайте передадим один параметр a в функцию Rsolve() и оставим b по умолчанию.

# решить() с матрицей
а <- с(2, 1)
б <- с(5, 3)
xyz <- rbind(a, b)
печать (xyz)
решить (xyz)
 

Выход ниже выходного.

Давайте проверим другой пример с матрицей 4 x 4.

# с матрицей 4x4
а <- с(2, 1, 3, 3)
б <- с(5, 3, 5, 4)
с <- с (6, 5, 9, 6)
д <- с (1, 3, 2, 2)
xyz <- rbind(a, b, c, d)
печать (xyz)
res <- решить (b = xyz)
печать (разрешение)
 

Выход ниже выходного.

6. Заключение

В этой статье вы узнали, что Rsolve() — это общая функция, которая решает линейное алгебраическое уравнение a %*% x = b  для x , Например, 10 * x = 20, в этом уравнении 10 — коэффициент; 20 — константа, иsolve() вычисляет x, равное 2.

Похожие статьи

  • Функция R lm()
  • Цикл for в R — с примерами
  • Труба R с примерами
  • Даты и время в R с примерами
  • Функция external() в R с примерами
  • R Группировка по среднему значению с примерами
  • R Группировать по сумме с примерами
  • Сортировка таблицы в R с примерами

Ссылки

  • https://byjus.com/maths/алгебраические-выражения/

Типы уравнений и примеры

Типы уравнений и примеры

Существуют различные типы уравнений, например,

      1. Линейное уравнение
        1. Уравнение с одной переменной
        2. Уравнение с двумя переменными
        3. Уравнение с тремя переменными
      2. Полиномиальное уравнение
        1. Мономиальные уравнения
        2. Биномиальное уравнение
        3. Трехчленное уравнение
      3. Квадратное уравнение
      4. Тригонометрическое уравнение
      5. Радикальное уравнение
      6. Экспоненциальное уравнение
      7. Рациональное уравнение

типы уравнений

 

Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В линейном уравнении каждый член является либо константой, либо произведением константы и одной переменной. При наличии двух переменных график линейного уравнения представляет собой прямую линию.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными приведен ниже:-

y = mx + c, m ≠ 0.

  • Уравнение с одной переменной: 
  1. 12x – 10 = 0
  2. 12х = 10
  • Уравнение с двумя переменными:  Уравнение с двумя переменными, например.
  1. 12x +10y – 10 = 0
  2. 12х +23у = 20
  • Уравнение с тремя переменными:  Уравнение с тремя переменными, например.
  1. 12x +10y -3z – 10 = 0
  2. 12x +23y – 12z = 20

2. Полиномиальное уравнение:

Полиномиальное уравнение может быть выражено в терминах мономиального, биномиального, трехчленного и многочленов более высокого порядка. Он может содержать как положительные, так и отрицательные значения. Многочлены также могут содержать десятичные значения.

Типы полиномиальных уравнений

Существуют следующие три типа полиномиальных уравнений:

  • Мономиальные уравнения
  • Биномиальные уравнения
  • Трехчленные уравнения

Мономиальные уравнения: Полиномиальные уравнения, которые имеют только один член, называются мономиальными уравнениями. например

12x = 0

-2xy = 0

Биномиальные уравнения: Полиномиальные уравнения, которые имеют два члена, называются биномиальными уравнениями. например

12x 2  + 4y = 0

27x – 19 = 0

Трехчленные уравнения: Трехчленные уравнения называются трехчленными уравнениями. например

10xy + 23y – 2x = 0

3x 3 – 3 + 2x = 0

3. Квадратное уравнение:

Это уравнение второй степени с показателем степени, в котором одна переменная содержит 2 , Его общая форма

ах 2  + bx + c = 0, a ≠ 0

Примеры квадратных уравнений:

  1. x 2 – 7x + 12 = 0
  2. 2x 2 – 5x – 12 = 0

4. Тригонометрическое уравнение: 

Эти уравнения содержат тригонометрическую функцию. Итак, сначала мы должны ввести тригонометрические функции, чтобы изучить их полностью. Лишь немногие простые тригонометрические уравнения могут быть решены без использования калькулятора, но не могут быть решены вовсе. В некоторых случаях полезны обратные тригонометрические функции.

5. Радикальное уравнение:

Это уравнение, в котором максимальный показатель степени переменной равен 1/2 и содержит более одного члена, или радикальным уравнением является уравнение, в котором переменная лежит внутри радикального символа, обычно в квадратный корень.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *