Метод интервалов определение, способы и алгоритмы решения квадратных, рациональных, иррациональных, показательных и дробных неравенств, плюсы и минусы, онлайн-калькулятор
Существует несколько способов решения неравенств. Один из них — метод интервалов. Это специальный алгоритм, с помощью которого решить любое рациональное выражение не составит труда. В его сути лежат свойства многочлена раскладываться на множители, вычисление области допустимых значений и нахождение знака одночлена. При этом весь алгоритм можно описать пятью простыми шагами.
Содержание
- Общие сведения
- Суть метода
- Простой пример
- Решение сложного задания
- Применение онлайн-калькулятора
Общие сведения
Под неравенством в математике понимаются функции, связанные между собой знаками больше, меньше, больше — равно, меньше — равно. Оптимальным методом их решения является нахождение способом интервалов. Его возможно применять к рациональным уравнениям, то есть к тем, в состав которых входят числа и переменная x с указанием различных алгебраических действий над ними, например, умножение, деление, возведение в степень с натуральным показателем.
Решить неравенство, значит, найти множество, при котором будет выполняться заданное условие. Между вычислением неравенств и уравнений много общего, главное отличие лишь в том, что для первых ответ представляет собой область решений, а для вторых — конкретные числовые значения. Многие методы нахождения ответа являются громоздкими, например, приведение уравнения к совокупности системы, построение графиков функций. Для небольших выражений их ещё можно применять, но когда в задании стоит шесть, семь множителей или больше, то решить его такими методами самостоятельно очень сложно, а сама операция займёт много времени.
Поэтому был разработан простой алгоритм, позволяющий вычислять сложные неравенства вида (x) > 0 и f (x) < 0. Знакомят с ним в восьмом классе средней школы. Он довольно легко запоминается учащимися. Алгоритм решения состоит из пяти шагов:
Следует отметить, что кратным называют корень, при котором существует чётное число одинаковых решений. При нестрогом неравенстве в интервал включаются и корни уравнения (обозначают их на графике кружком).
Нужно запомнить, что при переходе через решение равенства знак будет меняться на противоположный. Также нужно знать, что показательная функция f (x) = ax + b является линейной и при a, не равном нулю, называется многочленом первой степени.
Суть метода
Справедливо считается, что решение неравенств методом интервалов — это довольно быстрый и эффективный инструмент. Это своего рода волшебная кнопка, которую можно нажать и найти необходимый ответ. При этом не имеет значения, насколько сложный многочлен записан в уравнении.
Пусть имеется неравенство простого вида: aх² + bx + c > 0. Конечно же, это несложное уравнение, которое проще всего решать методом выражения неизвестной. Но для понимания принципа вычисления с помощью интервалов нужно начинать именно с простых примеров.
Для применения способа необходимо выражение приравнять к нулю, то есть переписать его как aх² + bx + c = 0. Так как это квадратное уравнение, то у него может быть два действительных корня: x1 один и x2. Равенство примет вид: a * (x — x1) * (x — x2).
Затем можно нарисовать числовую прямую с изображением на ней предполагаемых корней.
В итоге получится линия, разбитая на три интервала. Теперь задача состоит в том, чтобы оценить знак каждой полученной области. Для этого нужно взять любое число в первом интервале от минус бесконечности до x1 (границы не включаются) и подставить в исходное неравенство. Следует решить его и определить знак.
Пусть это будет число k. Заменив им неизвестную в заданном выражении, получится следующее: ak² + bk + c. Получив числовой ответ, его нужно просто сравнить с нулём, понятие модуль тут не используется. При этом существует всего два возможных варианта:
- k > 0 — это говорит о том, что на первом интервале все числа будут давать положительный ответ;
- k < 0 — значит, в ограниченной области все возможные результаты решения имеют знак минус.
Пусть для рассматриваемого примера первый знак будет плюс, тогда очевидно, что на втором интервале будет знак минус, а в третьей области ответ снова будет иметь положительное значение.
Так как по условию неравенство должно быть больше нуля, то в ответ пойдут только области, которые определены со знаком плюс. Это можно записать как x Є (- ∞, x1) U (x2, +∞). Скобки строгие из-за того, что решается неравенство с конкретным указанием, поэтому x1 и x2 в возможное решение не включены.
Простой пример
Ученикам на уроках для закрепления теории предлагается решить несколько типовых заданий, касающихся вычисления неравенств методом интервалов. В своём большинстве они несложные и позволяют на практике воспользоваться полученными знаниями. Ниже представлен один из таких примеров.
Пусть имеется неравенство (2x + 3) / (x — 4) > 0. На первый взгляд кажется, что нужно избавиться от знаменателя, умножив левую и правую часть на x — 4. Но это делать нельзя, потому что при разных значениях неизвестной уравнение может иметь как знак плюс, так и минус, а иногда и быть равным нулю. Поэтому правильным решением будет перенести свободный член с правой стороны в левую, а затем упростить выражение через приведение к общему знаменателю.
После этого получится неравенство больше нуля.
Сделать это можно следующим способом: ((2x + 3) / (x — 4)) — 3 > 0. Отсюда: (2 x + 3 — 3 x + 12) / (x — 4) > 0. Найдя подобные и выполнив преобразование, исходное неравенство примет вид: (-x + 15) / (x-4) > 0.
Согласно алгоритму, используемому для решения методом интервалов, полученное выражение нужно приравнять к нулю и решить: (-x + 15) / (x- 4) = 0. Дробное отношение равняется нулю лишь в том случае, если делимое будет равно ему, а делитель в него не обращается. Поэтому уравнение можно представить в виде следующей системы:
{-x — 15 = 0.
{x — 4 ≠ 0.
Выразив икс из каждого условия, можно получить: x = 15; x ≠ 4. Это и есть решение уравнения. Далее полученные значения следует перенести на числовую прямую, обозначив промежутки. Отмеченные точки закрашивать не нужно, так как равенство строгое. Получится три интервала на каждом, из которых необходимо определить знак. Осуществлять подстановку можно как в исходное неравенство, так и в приравненное к нулю.
Из первого интервала можно взять ноль. Подставив его вместо икса, получится деление положительного числа на отрицательное (знак минус). Из второго интервала от четырёх до пятнадцати можно взять число десять. После подстановки получится знак плюс. Аналогично и с третьим интервалом, например, можно взять число 100. В итоге получится знак минус. Тут нужно отметить, что выполнять определение знака нужно на каждом интервале, так как использовать правило знакопостоянства не всегда возможно.
По условию решением уравнения будут числовые значения больше нуля. Этому удовлетворяет интервал от четырёх до пятнадцати. Таким образом, решением неравенства будет: x Є (4; 15). Неравенство решено.
Решение сложного задания
Решение сложных неравенств способом интервалов занимает гораздо меньше времени, чем альтернативными методами.
Например, нужно вычислить выражение (x3 — 6x2 + 11 — 6) / (x4 + 9x2 — 10) ≥ 0. К этому неравенству нужно применить рассматриваемый метод, поэтому вместо исходного выражения нужно решать уравнение (x3 — 6x2 + 11 — 6) / (x4 + 9x2 — 10) = 0.
Дробь может быть равной нулю лишь в том случае, когда числитель будет равняться нулю, а знаменатель нет. Отсюда следует, что нужно найти корни делителя и делимого. После выполнения ряда преобразований результат должен получиться следующий: (x — 1) * (x — 2) * (x — 3) / (x — 1) * (x + 1) * (x2 + 10) = 0.
Анализируя найденное выражение, можно заметить, что в числителе и знаменателе есть одинаковая скобка, поэтому кажется, что на x — 1 можно сократить. Но делать это ни в коем случае нельзя, так как изначально решается неравенство.
Итак, если в равенстве делимое равняется нулю, то это значит, что одна из скобок числителя должна быть нулевой (произведение на ноль даёт ноль).
Таким образом, икс может равняться одному, двум или трём. Это и есть совокупность условий для числителя.
Знаменатель дроби не должен равняться нулю, иначе возникнет неопределённость. Возможным корнем в этом случае будет x, отличный от -1 и 1. Следует отметить, что третья скобка в делителе в ноль обратиться не может, поэтому она не учитывается. Для удобства полученные корни можно переписать в таблицу:
| Переменная | Знак, возможное значение | |
| x1 | = 1 | |
| x2 | = 2 | |
| x3 | = 3 | |
| x4 | ≠ -1 | |
| x5 | ≠ 1 |
Из таблицы полученные значения необходимо перенести на числовую прямую. Так как равенство нестрогое, на оси точки будут как закрашенные (их ещё называют выколотыми), так и белые. Первые — это те, что получились за счёт знаменателя, а вторые — числителя.
Затем нужно в каждом из них определить знак. В результате получится:
- (- ∞, -1) — белая точка -;
- (-1, 1) — белая точка +;
- (1, 2) — белая точка +;
- (2, 3) — закрашенная точка -;
- (3, + ∞) — закрашенная точка +.
Таким образом, по условию задания ответ будет иметь следующий вид: X Є (-1; 1) U (1; 2] U [3; + ∞). Квадратные скобки в записи обозначают, что корни уравнения также включаются во множество решения.
Применение онлайн-калькулятора
Алгоритм решения методом интервалов является довольно простым. Чтобы его освоить, нужно самостоятельно решить несколько примеров. Но на практике может случиться так, что исходное выражение будет изначально довольно сложным. Это не значит, что его нельзя решить, применив способ нахождения интервалов, просто понадобится проявить повышенное внимание и затратить определённое время.
При этом ошибки, скорее всего, могут возникнуть не при применении последовательности, а в результате арифметических действий. В таких случаях хорошим подспорьем будет использование так называемых математических онлайн-калькуляторов. Это обыкновенные сайты, на страницах которых расположен скрипт, выполняющий автоматическое вычисление примеров по заданному алгоритму.
Воспользоваться услугами сервисов, предлагающих вычисление неравенств способом интервалов, сможет каждый желающий. При этом доступ к решателю предоставляется не только бесплатно, но и без регистрации. Необходимо просто ввести в специальную форму условие примера и нажать интерактивную кнопку, запускающую автоматическое вычисление. Из множества онлайн-калькуляторов, расположенных в российском сегменте интернета, можно выделить следующие:
Все эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс на русском языке.
Кроме получения услуги математического онлайн-решателя на их страницах можно найти всю необходимую теорию, помогающую понять, как происходит нахождение ответа, а также изучить различные типы примеров с подробным комментарием к решению.
Такого рода сервисы — отличные помощники учащимся, студентам и инженерам. Что интересно, кроме непосредственного нахождения ответа эти сайты предоставляют возможность посмотреть подробное решение. То есть ими может пользоваться даже неподготовленный пользователь, ничего не понимающий в методе. Просматривая пошаговое решение примеров, со временем он поймёт суть способа и научится самостоятельно выполнять вычисления.
Предыдущая
АлгебраРегрессионный анализ определение, виды, этапы и основы метода, примеры уравнений, коэффициент регрессии, интерпретация результатов, как сделать регрессионный анализ в excel
Следующая
АлгебраКвадратное уравнение общий вид, формула дискриминанта, примеры и алгоритмы нахождения корней полных и неполных уравнений с объяснениями
Калькулятор решения рациональных неравенств
ОБУЧЕНИЕ: |
Наших пользователей: Я студент Техасского государственного университета. Я считаю, что программа очень полезна! Благодарю вас! Я просто хотел сначала сказать, что ваша программа по алгебре потрясающая! Это действительно помогло мне в моем классе! Я очень беспокоился о своем классе по алгебре, и пошаговое решение действительно улучшило мое понимание алгебры и позволило мне перепроверить свою работу и указать, где я ошибся во время своих решений. Спасибо! Самые ненавистные мне уравнения в алгебре — это радикальные уравнения, я не мог решить ни одного радикального уравнения, пока не купил вашу программу. Теперь узнал, как их решать и как проверить, верны ли мои ответы. Пишу этот комментарий, потому что я благодарен за эту программу, особенно за графики, которые можно показать для решений неравенства, спасибо. Салли Адэр, Канзас Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные 03.12.2010:
|
Я купил ваш продукт Algebrator и могу честно сказать, что это причина, по которой я сдаю уроки математики! 
| Рабочий лист радикальных дробей | Glencoe/McGraw-Hill Algebra 2 Assessment | ПРАКТИКА КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ |
бесплатно загружаемый инструмент алгебры | пример бесплатных задач по математике для 7 класса | решение уравнений с переменными рабочими листами |
калькулятор матриц онлайн | Программа алгебры шаг за шагом решает | длинное алгебраическое уравнение |
ответов на рабочие листы Гленко Макгроу | «все формулы алгебры» | 8-й класс по естественным наукам, 4 квадрата, рабочий лист |
бесплатная саксонская математическая алгебра 1 ответы | уравнения балансировки онлайн | онлайн-график с поиском точки пересечения линии |
реальных примеров эллипсов | Калькулятор кубической факторизации | BBC переставляет формулы |
| сделать синтетическое деление на TI 83 плюс | Elementary Linear Algebra 9th Edition Solutions Manual +скачать | перестановка и комбинация |
решение абстрактной алгебры Фрели | как найти кубический корень по формуле TI 89 | Вопросы о способностях с ответами |
Распечатка линейки 12 дюймов | добавление алгебраических уравнений | стихов о тригонометрии |
Бумага по математике для 8 класса | сурд рабочий лист | найти корень уравнения с помощью Matlab + метод деления пополам |
«Креативный дизайн программного обеспечения» TI-89 | Калькулятор алгебры, решающий задачи | рабочий лист разделительных мономов |
ти89 фактор | Калькулятор дифференциальных уравнений второго порядка | математические листы для третьего класса для печати |
«Алгебра 2» pdf | Java-программа для нахождения кубического корня из числа | онлайн-помощь по математике |
перевести смешанную дробь в десятичную | вопросов по математике для VIII класса | оценить по алгебре |
Как использовать расчет cos на TI-83 | бесплатных саксонских тестов по математике для печати | «онлайн-тест CLEP» колледж |
обратная функция квадратного уравнения | Платон чит по основам математики в Интернете | Формула для масштабного коэффициента |
найти нули полиномиального уравнения | план урока по длинному делению для 2 класса | почему нам не нужен общий знаменатель для умножения и деления |
| Рабочий лист уравнений дроби | алгебраические плитки для теста по математике штата Нью-Йорк | Калькулятор неправильных интегралов |
ti графический онлайн калькулятор java | english ks2 документы для печати | как упорядочить дроби от наименьшей к наибольшей |
ks3+линейные уравнения и простые квадратные уравнения | онлайн факторинг | отрицательный и положительный математический калькулятор |
Тест по математике для 8-го класса штата Нью-Йорк | математический лист с формулами из 8 кругов | формула наибольшего общего делителя |
калькулятор ти-83, счетверенное уравнение с функциями | Physics+James S Walker+ решения торрент | забавных способов разделить смешанные дроби |
алгебраический решатель или помощник | бесплатная помощь по алгебре для 9 класса | Математические стихи — Площадь и объем |
Алгебра Решатель | алгебра, задачи | математические мелочи |
получить ответы по операциям над подкоренными выражениями | вычисление выражений, рабочие листы для печати | решение текстовых задач с квадратными уравнениями, рабочий лист |
рабочие листы разложения | показателей в алгебраических выражениях | наклон матлаб |
метод подстановки в алгебре | математические мелочи по тригонометрии | математика ks3 рабочий лист |
пример квадратного уравнения путем извлечения квадратного корня | ответы a+plus по алгебре 2 | умножение матриц практика алгебра 1 |
| Рабочий лист часов , напишите дробь | Алгебра 7 класс квадратные корни | Предварительная алгебра для учеников холла, рабочая тетрадь |
10-й стандартный бесплатный онлайн-тест по математике | ti 89 кубический корень | Калькуляторы деления многочленов |
бесплатные печатные задачи по алгебре для шестиклассников | контрольные работы по математике для 8 класса | калькулятор уравнения балансировки |
решение системы вкладышей | Калькулятор уравнений Casio | математика учит меня координатам год 9 сат |
сайтов с мошенничеством по математике | уравнения по алгебре для четвертого класса | алгебра 2 и перестановки |
умножение на 8 листов | колледж алгебры для чайников | калькулятор числа миксов онлайн |
алгебраические упрощения степени | Рабочие листы переменных 5 класс | обучающие математические коэффициенты для чайников |
математические мелочи 3 класс | как умножать выражения и похожие термины | алгебраический решатель скачать бесплатно |
элементарные математические мелочи | деление упрощение алгебры квадратных корней | словесных задач с отсутствующими листами переменных |
упрощение алгебраических выражений | классная математика 4 детей. | рабочая тетрадь glencoe для предварительной алгебры |
Бесплатно загружаемые рабочие листы порядка действий для семиклассников | налоговые листы | что вы знаете о квадратных уравнениях и функциях |
Калькулятор наименьшего общего кратного | вычислений | Презентация Power Point урока математики «Круги» для пятого класса |
Мастерство Математика Алгебра Рабочие листы | Предварительный тест по алгебре для 5-го класса Ирвин | Заполнение рабочего листа Square+ |
рабочие листы по математике для пятого класса | второй заказ ODE45 | алгебра 1 практическая рабочая тетрадь ответы |
помощник по математическому анализу | алгебра 1+ответы | алгебра решить |
Бесплатное решение математических задач | ks3 научные бесплатные документы | в ти-89 как найти корень уравнения |
| Рабочий лист для преобразования десятичных дробей в дроби | интерактивные полиномиальные игры факторинга | математический аппарат, год ревизии 9 |
Предварительное тестирование Glenco PreAlgebra | смешанное число как десятичное | линейные неравенства онлайн |
бесплатный калькулятор задач по алгебре II | простая алгебра, упрощающая | умножение одночленов и многочленов в презентациях |
конвертировать html в электронную книгу ti 89 | Как мы используем радикальные выражения в реальной жизни? | как вы делаете длинное деление с десятичной дробью |
сложение, вычитание, умножение и деление бесплатных игр | математика в колледже для чайников | ОБРАЗЦЫ ТЕСТА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 3-ГО КЛАССА ДЛЯ ТЕСТА NYS |
решение задач на перестановку и комбинацию | ks3 решение математических уравнений балансировки | Графический онлайн-калькулятор texas tools |
завершить квадрат как год 10 | Калькулятор по правилу Крамера TI-85 | бесплатных рабочих листов для 3-х классов по геометрии |
бесплатных рабочих листов по алгебре для пятого класса | разложение суммы в кубе | Печатные рабочие листы с домашними заданиями для 3 класса |
мелочи о математике | ти-89 факториал | математические мелочи со своими ответами |
Уравнение Коши-Эйлера ti89 | Калькулятор построения графика параболы | Рабочие листы по математике с ответами |
Решение квадратных корней | «уравнение с двумя переменными» | продвинутая алгебра 2 проверка математики |
Рабочий лист по геометрии для 6 класса | онлайн-конструктор графиков с предварительным расчетом | простые таблицы алгебры |
ответ на рабочие листы Glencoe/Mcgraw Hill | калькулятор метода исключения | бесплатных математических тестов ks3 |
виртуальный 6 класс алгебра | наименее распространенный мультикалькулятор | ПРЕЗЕНТАЦИИ POWERPOINT ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ В ТРЕТЬЕМ КЛАССЕ |
алгебра разложения квадратных корней | бесплатный онлайн-решатель задач с предварительным исчислением | обзор элементарной алгебры |
Выразите радикал в упрощенной форме квадратный корень из 180 | алгебра и тригонометрия: функции и приложения ответы | упрощающий подсчет радикалов |
МакДугал Литтел TAKS практика | решать неоднородные уравнения | 12. |
математические мелочи о графиках | Калькулятор от наименьшей до наибольшей онлайн | «Вступительный тест по алгебре» |
тригонометрия 5-е издание домашнее задание ответы | матрицы второй степени | пример приложения с использованием матриц/предварительного исчисления |
Практика Статистические задачи | образец экзамена по алгебре | бесплатный онлайн калькулятор алгебры |
Алгебратор | решать сложение и вычитание дробей | матлаб + палиндром |
бесплатные распечатки для занятий в третьем классе | Бесплатные математические задачи по алгебре | упростить дроби Matlab |
решение квадратных уравнений в стандартной форме | Пробные тесты для 6-го класса, штат Нью-Джерси | СОВЕТЫ ПО РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИИ ДЕСЯТОГО КЛАССА |
Алгебра Гленко 1 Книга | математика gmat практика | бесплатная копия книги McDougal Littell Book 3 для 8-го класса онлайн |
«Корни на ТИ-83» | перестановок для 3-х классов | алгебра KS3 отрицательные числа неизвестные рабочие листы |
как использовать синтетическое деление на TI-84 plus | метод наименьших квадратов ti-89 | образец IQ тест шестой класс |
что такое погонный метр | ТИ-84 бесплатный онлайн калькулятор | программы базовой алгебры бесплатно |
www. |
ком
3 обзор раздела газового законодательства