Решить комплексные числа: Комплексные числа онлайн

8. Комплексные числа

На множестве действительных чисел не всякое уравнение выше первой степени имеет решение. Так, например, уравнение х² + 1 = 0 не имеет действительных корней. Это привело к расширению множества действительных чисел путём ввода чисел новой природы.

Число, удовлетворяющее равенству х² = –1, обозначают символом i, его называют мнимой единицей. Таким образом, i² = –1.

Число z = х + iy, где х и у — любые действительные числа; i – мнимая единица, называется комплексным числом. Числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются x = Re z и y = Im z.

При

х = 0 комплексное число х + iy обращается в чисто мнимое число iy ; при у = 0 получим число х + 0i, то есть действительное число х. Таким образом, множество комплексных чисел включает в себя и все действительные числа.

Комплексные числа вида х + iy и х – iy называются сопряжёнными. Комплексные числа х + iy и – х – iy называются противоположными.

Два комплексных числа х₁ + iy₁ и х₂ + iy₂ считаются равными тогда и только тогда, когда х_1 = х₂ и y₁ = y₂.

Известно, что действительные числа можно изображать на прямой. Комплексные числа z = х + iу взаимно однозначно сопоставляются с парами действительных чисел (х; у). Поэтому комплексное число z = х + iy условились геометрически изображать точкой M, у которой в прямоугольной системе координат абсцисса равна x, а ордината y (рис 8. 1).

Рис. 8.1

Комплексное число можно также изображать вектором с началом в нулевой точке и концом в точке M ( ). Длина вектора называется модулем этого комплексного числа и является неотрицательным числом. Обозначают его символом |z|. На чертеже (рис. 8.1) видно, что .

Величина угла вектора с положительным направлением оси абсцисс называется

аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z или φ. Он связан с x и y следующими формулами:

или

Форма записи комплексного числа z = х + iy называется алгебраической. Абсцисса х и ордината у комплексного числа z = x + iy выражаются через модуль |z| и аргумент φ (рис. 8.1) формулами:

, y = |z|·sinφ,

Тогда получаем z = |z|·(cosφ + i·sinφ). Последнее выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.

Для записи комплексных чисел также используют

показательную форму:

z =|z|·e^iφ,

где |z|–модуль, а φ– аргумент комплексного числа.

Пример 1. Представить в тригонометрической форме число z = – 3 + 2i.

Решение. Так как , a , то в нашем случае имеем

Тангенс отрицателен, следовательно, значение φ надо искать во второй или четвёртой четвертях. Обращаясь к формулам для sin φ и cos φ, замечаем, что при х = –3 и у = 2 синус положителен, а косинус отрицателен, что имеет место во второй четверти (удобнее четверть определять по знакам при x и у). В данном случае находим φ = 146°18´, значит .

Пример 2. Представить в тригонометрической форме число z = 1 – i.

Решение. Имеем . Здесь x = 1, y = –1. Следовательно, угол φ находится в четвёртой четверти. Отсюда рассчитываем φ = 7π/4 и можем записать

.

Пример 3. Выразить в алгебраической форме число .

Решение. Так как , то комплексное число в алгебраической форме принимает вид:

.

Над комплексными числами производятся те же действия, что и над действительными.

Суммой комплексных чисел х₁ + i y₁ и х₂ + i y

2 называется комплексное число (х₁ + х₂) + (y₂ + y₂) i.

Произведением комплексных чисел х₁ + y₁ i и х₂ + y₂ i называется комплексное число (х₁ х₂ — y₁ y₂) + (х₁ y₂ + y₁ х₂) i.

Пример 4. Найти сумму и произведение комплексных чисел z₁ = 2 – 3i и z₂ = –1 + 2i

Решение.

z₁+z₂= 2 – 3i + (–1 + 2i) = (2–1) + (–3+2)·i = 1– i.

z₁·z₂== (2 – 3i) · (–1 + 2i) = 2·(–1) + 2·2i + (–3i)·(–1) + (–3i)·2i = = –2 + 4i +3i –6i².

Деление комплексных чисел проводят следующим образом: сначала умножают числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, после чего знаменатель станет действительным числом, а затем проводят деление действительной и мнимой частей отдельно.

Пример 5. Найти частное от деления комплексных чисел –2+ 5i и –3–4i.

Решение. Умножаем числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, то есть на –3+4i:

.

Использование показательной формы комплексных чисел во многих случаях значительно упрощает вычисления.

Пример 6. Найти произведение частное от деления комплексных чисел z₁ = 3 · z₂

z₁z₂

Возведение комплексного числа в целую степень производится формуле Муавра:

zⁿ = | z |ⁿ·e^inφ, если число задано в показательной форме;

или, в тригонометрической форме,

zⁿ = | z |ⁿ·( cos nφ + i·sin nφ ),

где n — натуральное число.

Извлечение корня п-ой степени из комплексного числа z = |z|(cos φ + i sin φ) осуществляют с помощью формулы

(8.1)

Здесь ______ – арифметический, а k = 0, 1,2 … n-1.

Корень степени n в множестве комплексных чисел имеет п различных значений (но при z = 0 все значения корня равны между собой и равны нулю).

Пример 5.

Пример 7. Найти кубический корень из единицы.

Решение. Запишем тригонометрическую форму единицы: 1 = l·(cos 360°k + i·sin 360°k). Тогда  = l·(cos 120°k + i·sin 120°k). При k= 0, 1, 2 получим, соответственно:

z₁ = 1·( cos 0° + i·sin 0° ) = 1;

z₂ = 1·( cos 120° + i·sin 120° ) =

z₃ = 1·( cos 240° + i·sin 240° ) =

Пример 8. Дано комплексное число а = .

Требуется: 1) записать число а в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³ + а= 0.

Решение. 1) Чтобы представить комплекское число а

в алгебраической форме, умножим его числитель и знаменатель на число сопряжённое знаменателю:

Получим a = –1 + i – алгебраическая форма комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа а имеет вид

2) Решим уравнение z³ + а = 0 или z³ = –a:

По формуле (8.1) получим

Данный пример может быть использован при решении номеров 91-100 контрольной работы 1.

Учебные материалы по математике | Комплексные числа и комплексная плоскость

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ Поле комплексных чисел. . Напомним, что комплексными называют числа вида , где  и  – действительные числа,  – мнимая единица. Число  называется действительной частью комплексного числа, число  – мнимой частью. Вводятся обозначения .   Для комплексных чисел определяют арифметические действия: Если  и , то   В частности, если , то . Если  — действительное число, то . Иными словами с выражениями  поступают как с многочленами с переменной , при этом считаем, что . В частности, два числа  и считаются равными, если  и .         Если  (т. е. ), то существует обратное к  число. Действительно, попробуем найти  в виде . Тогда должно выполниться равенство   Вычисляя произведение, получим , откуда  и .   В алгебре показывается, что множество комплексных числе с введенными операциями образует поле. Это, в частности, означает, что общие правила действий с комплексными числами такие же как и с вещественными. Это поле обозначается буквой С.   Кроме арифметических операций в С вводится операция сопряжения: .   Легко проверяется, что и , .   Множество действительных чисел рассматривается как множество всех тех комплексных чисел, для которых мнимая часть равна нулю. Для таких комплексных числе действия совпадают с обычными арифметическими.   Заметим, что                       (1.1)   Комплексная плоскость. Комплексные числа естественно изображаются точками на плоскости. Если на плоскости выбрать прямоугольную систему координат и на оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимую часть, то этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Тем самым комплексному числу  ставится в соответствие точка с абсциссой  и ординатой . Точку плоскости можно еще описывать ее радиусом–вектором. Тогда становится ясным, что сложению комплексных чисел отвечает сложение радиусов-векторов, их изображающих.   Легко видеть также, что точки  и  симметричны относительно оси абсцисс. Ось абсцисс теперь естественно называть действительной осью, поскольку на оси абсцисс лежат вещественные числа.   Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Обозначается она также, как поле комплексных чисел через С.   Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное число  иногда удобно записывать в следующей форме , где  вещественное число строго большее нуля, а  некоторое вещественное число. Такая форма записи называется тригонометрической.   Величина  в силу периодичности функции  и  определяется с точностью до целого кратного . Она называется аргументом комплексного числа. Иногда, чтобы подчеркнуть многозначность, ее обозначают через , иногда пишут , помня, что она определяется с точностью до слагаемого вида , где  — целое. Из равенства  и                            (1.2) следует, что . Это число называется модулем комплексного числа и обозначается . Геометрически модуль комплексного числа представляет собой расстояние от начала координат до точки с координатами  и , то есть длину радиуса-вектора, изображающего на плоскости число   Равенство (1.1) теперь означает, что . Формулу для числа, обратного к можно записать в виде .   Модуль обладает свойствами: 1.   (неравенство треугольника) 2.  3.  .   Свойства 1 и 3 геометрически очевидны, как только мы изобразим комплексные числа точками плоскости. Обоснование свойства 2 дается ниже.   Рассмотрим вопрос о том, у всякого ли комплексного числа есть тригонометрическая форма и сколькими способами можно записать число в этой форме?   Если на плоскости ввести систему полярных координат , то, как известно из курса аналитической геометрии, декартовы координаты  и  выражаются через полярные координаты по формулам   , следовательно, любое комплексное число  имеет вид   Значит  и . Иными словами аргумент комплексного числа -это угол, образованный радиусом-вектором, идущим из начала координат в точку а модуль – это длина этого радиуса-вектора. То есть для отыскания тригонометрической формы достаточно найти полярные координаты соответствующей точки на комплексной плоскости. Так как для начала координат (нуля) вторая полярная координата (угол) не определяется, то тригонометрическая форма нулевого комплексного числа не рассматривается.   Если каким–то образом получены две тригонометрические формы одного числа, то есть то очевидно . Поэтому, сокращая равные между собой  и , получим , или   Из тригонометрии известно, что отсюда следует  для некоторого целого.   Таким образом разные тригонометрические формы могут отличаться только своими аргументами, причем разные аргументы отличаются на слагаемое кратное .   Для чего нужна тригонометрическая форма?   Пусть  и  Тогда   Таким образом при перемножении комплексных числе их модули перемножаются, а аргументы складываются:   (последнее равенство понимается с точностью до слагаемого , где  целое).    В частности, при возведении числа в целую положительную степень, аргумент умножается на показатель степени: Частным случаем этого равенства при  является замечательная формула Муавра                          (1.3)   Извлечение корней из комплексных чисел. Корнем -ой степени из комплексного числа  называется решение уравнения .           (1.4)   Основное преимущество от введения комплексных чисел состоит в том, что во множестве комплексных числе это уравнение всегда имеет решение, чего как известно, не было, когда мы находились во множестве вещественных чисел. Например, извлечь корень из отрицательного числа во множестве вещественных чисел невозможно. Покажем как можно решить уравнение (1.4). Если , то решение, очевидно, равно нулю. Если , рассмотрим число  в тригонометрической форме  Тогда и поэтому  и для некоторого целого   Следовательно, . Поэтому решение уравнения (1. 4) равно где  — любое целое число. На первый взгляд получается бесконечное множество корней, соответствующих бесконечному множеству целых чисел . На самом же деле, как известно, при разных  числа вида повторяются при разных , и получается ровно  различных комплексных корней вида при   В частности при  получается ровно два корня.   Множества на комплексной плоскости. Если  и  – точки на комплексной плоскости, то расстояние между ними равно длине вектора, соединяющего  и , то есть расстояние между ними равно .   Окрестностью точки  радиуса  называется множество всех  для которых . Геометрически такая окрестность является открытым кругом с центром в  и радиусом . В дальнейшем окрестность точки  радиуса  будем обозначать через .   Множество  называется открытым, если каждая его точка входит в него вместе с некоторой окрестностью. Дополнение к открытому множеству называется замкнутым.   Открытое множество называется связным, если две любые его точки можно соединить ломаной, целиком лежацей в этом множестве.   Открытое связное множество называется областью. Это понятие является основным для всего курса.   Области часто описываются с помощью неравенств. ПРИМЕРЫ 1.  Im z > 0 — верхняя полуплоскость без вещественной оси. 2.  0 < Re z < 1 — вертикальная бесконечная полоса, лежащая между прямыми x = 0 и x = 1, не включая эти прямые. 3.  |z — z0| < r — внутренность круга радиусом r с центром в z0. 4.   — внутренность кольца между окружностями  и . 5.   — внутренность прямого угла, биссектриса которого совпадает с положительной полуосью .   Множество  называется ограниченным, если существует такое число , что  при всех . Геометрически это означает, что множество  лежит внутри некоторого круга с центром в начале координат. Из всех перечисленных выше примеров только круг из примера 3 является ограниченным множеством.

РЕШЕНИЕ ТИПИЧНЫХ ПРИМЕРОВ Найти действительную мнимую части следующих комплексных чисел: ; ; . Решение: Так как , то . Преобразуем следующим образом: . Тогда . Аналогичным образом преобразуем : . Тогда , . Найти модули и аргументы комплексных чисел: ; ; ; . Решение: . Находим . Отсюда . Таким образом . Для аналогично находим . Поэтому . . Тогда . . Следовательно, . Итак, ; . Представить в тригонометрической форме число , считая . Решение: , так как при . Имеем , где , . Таким образом, . Вычислить, пользуясь формулой Муавра: ; . Решение: Представим число в тригонометрической форме: . По формуле Муавра . Найти все значения следующих корней: ; ; . Решение: 1.  Запишем число в тригонометрической форме: . Тогда , следовательно, . . Тогда , следовательно, . . Тогда , поэтому .

2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Функции комплексного переменного. Говорят, что на множестве  комплексных чисел определена функция, если каждому числу  поставлено в соответствие комплексное число . Если положить , то функцию  можно записать в виде . Таким образом, функция  задается парой функций, определенных на  и принимающих действительные значения. Если положить , то функцию  можно записать в виде , и, значит, функция  может быть задана парой действительных функций двух действительных переменных.

  Комплексная линейная функция. Простейшей является линейная функция

,

где  — комплексное число, неравное нулю. Чтобы найти соответствующую пару действительных функций, расписываем

  Откуда

,                      (2.1)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

2+z-7}=\sqrt{z-3}?$$ Я знаю, что у него нет решений для действительных чисел, но как насчет решений для комплексных чисел?

Насколько я понимаю, если решить эту задачу алгебраически, в качестве решений вы получите $z=\pm 2$. Но когда вы вводите $2$ в исходное уравнение, вы получаете $i=i$, указывая на то, что действительное число $2$ не является решением. Но поскольку $i=i$ — верное утверждение, это означает, что комплексное число $2$ является решением. Мой вопрос: чем отличаются $2$ (действительное число, которое не является решением) и $2$ (комплексное число в комплексной плоскости, которое является решением)? 9+$ и кодовый домен $\mathbb R$, один имеет домен $\mathbb R$ и кодовый домен $\mathbb C$, а другой имеет домен $\mathbb C$ и кодовый домен $\mathbb C$.

Если вы используете первую функцию, то она не определена при $z=\pm2$, поэтому решения нет.

Если вы используете вторую функцию, она определена везде и $z=\pm2\in\mathbb R$ являются решениями.

Если вы используете третью функцию, она определена везде и $z=\pm2\in\mathbb C$ являются решениями.

$\endgroup$ 92+z-7}=\sqrt{z-3}$$

и находя $z$, получаем $z=\pm 2$

Для z=2 имеем $$ \sqrt{-1 }=\sqrt{-1}$$ и для $z=-2$ мы получаем $$ \sqrt{-5}=\sqrt{-5}$$

Таким образом, в комплексной плоскости мы имеем оба $z=\ вечера 2 $ приемлемо.

Обратите внимание, что действительные числа также являются комплексными числами с мнимой частью, равной нулю, поэтому, работая в комплексной плоскости, у нас есть два решения.

$\endgroup$

4

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Видео с вопросами: Решение квадратных уравнений над набором комплексных чисел

Стенограмма видео

Определите множество решений 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 плюс 185 равно нулю на множестве комплексных чисел.

Итак, что мы собираемся сделать, так это решить это квадратное уравнение. И способ, которым я собираюсь подойти к этому, заключается в том, что я сначала вычту 185 из каждой части этого уравнения. И это оставляет меня с 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥 слева и минус 185 справа. У меня остается один 𝑥 в квадрате слева минус восемь 𝑥.

Теперь воспользуемся нашим опытом заполнения квадрата. Чтобы иметь начальное предположение, которое можно выразить как 𝑥 минус четыре в квадрате или 𝑥 минус четыре, умноженное на 𝑥 минус четыре. Поскольку у нас была одна 𝑥 в квадрате, мы получили здесь только одну 𝑥 и одну 𝑥. И поскольку у нас здесь была отрицательная восьмерка 𝑥, мы возьмем половину отрицательной восьмерки, то есть отрицательную четверку.

Теперь, когда я умножаю это, я получаю 𝑥 умножить на 𝑥, что равно 𝑥 в квадрате, 𝑥 умножить на минус четыре, что равно четырем минусам 𝑥, четыре раза на минус 𝑥, что даст еще один минус четыре 𝑥, и четыре раза на минус четыре, что будет положительным 16. Итак, 𝑥 в квадрате минус четыре 𝑥 минус еще четыре 𝑥 плюс 16. Итак, минус четыре 𝑥 отнять еще четыре 𝑥 получится минус восемь 𝑥.

Получается, что я немного ошибаюсь. Здесь 𝑥 минус четыре в квадрате не совсем то же самое, что 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥. Да, в нем есть 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥, но у него также есть лишнее плюс 16 — добавочное 16. Так что, если я отниму это 16 от 𝑥 минус четыре, умноженное на 𝑥 минус четыре, то я просто останусь с 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥. Итак, 𝑥 минус четыре в квадрате минус 16 — это то же самое, что 𝑥 в квадрате минус восемь 𝑥, и это равно минусу 185. Ну, я пытаюсь решить это для 𝑥. Я добавлю 16 к обеим сторонам, и это даст мне 𝑥 минус четыре, все в квадрате слева и минус 169.с правой стороны.

И чтобы решить это для 𝑥, нам нужно извлечь квадратные корни из обеих частей, так что, когда здесь будет 𝑥 минус четыре в квадрате, мы просто получим 𝑥 минус четыре. Но мы сталкиваемся с небольшой проблемой, потому что не существует реальных решений квадратного корня из отрицательного числа 169. Поэтому я собираюсь повторно выразить отрицательное число 169 как 169, умноженное на отрицательное число.

Итак, извлечение квадратного корня из левой части дает мне всего 𝑥 минус четыре и более в правой части, квадратный корень из 169равно 13. Так что на самом деле здесь есть два решения. Отрицательное число 13 также дало бы нам 169, если бы мы возвели его в квадрат.

И тогда мы можем использовать определение мнимых чисел; 𝑖 квадрат равен отрицательной единице. Итак, 𝑖 — это квадратный корень из отрицательной единицы, чтобы сказать, что квадратный корень из отрицательной единицы равен 𝑖. Итак, 𝑥 минус четыре равно положительному или отрицательному 13𝑖. Теперь, если я добавлю четыре к каждой части уравнения, я получу 𝑥 в левой части и плюс-минус 13𝑖 плюс четыре или четыре плюс или минус 13𝑖 в правой части.