для однородной системы линейных уравнений справедливо соотношение
Вы искали для однородной системы линейных уравнений справедливо соотношение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать однородные системы уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «для однородной системы линейных уравнений справедливо соотношение».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же для однородной системы линейных уравнений справедливо соотношение Онлайн?
Решить задачу для однородной системы линейных уравнений справедливо соотношение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Однородные системы линейных уравнений — Студопедия
Поделись
Однородная система линейных уравнений имеет вид
| , | (1) |
где
Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.
Теорема. Если и являются решениями однородной системы (1), то и их линейная комбинация
является решением этой системы.
Доказательство. По условию теоремы AХ1=0 и AХ2=0 .
Тогда для любых чисел С1 и С2 : С1AХ1=0 Þ AС1Х1=0 и С2AХ2=0Þ AС2Х2=0. Складывая эти выражения, получаем A(С1Х1+С2Х2)=AС1Х1+AС2Х2=С1AХ1+ С
2AХ2=0.
Следовательно, линейная комбинация С1Х1+С2Х2 решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.Примеры:
1. Решить систему уравнений
методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:
Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c. Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений:
Из последнего уравнения следует, что . Выразим остальные базисные переменные:
Таким образом, общее решение системы найдено:
Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру  Полагая c = 4, получаем
Проверка: Подставим неизвестные
в уравнения системы:
Уравнения обратились в тождества.
|
***
2. Пусть .
Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду:
Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая и , получаем уклрлченную систему уравнений
решение которой имеет вид
, .
Запишем общее решение
и представим его в виде линейной комбинации частных решений:
Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа
то говорят, что частные решения образуют фундаментальную систему решений.
В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .
|
***
| 3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид Очевидно, что и поэтому частные решения образуют фундаментальную систему решений. |
***
| 4. Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду: Соответствующая система имеет только тривиальное решение . |
Правило Крамера
Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.
Правило Крамера. Пусть матричное уравнение
| AX = B | (1) |
описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой
| (2) |
где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:
| (3) |
Доказательство теоремы разобьем на три части:
- Решение системы (1) существует и является единственным.
- Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
- Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).
Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:
| (4) |
Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.
Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).
Используя формулу (4), получим выражение для
на столбец B.
Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:
| (5) |
Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,
| (6) |
Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения
| (7) |
влекут за собой матричное уравнение (1).
Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:
| (8) |
Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:
| (9) |
Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,
| (10) |
где – дельта-символ Кронекера.
Учитывая, что дельта-символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:
| (11) |
Пример.
Решить методом Крамера систему линейных уравнений:
Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.
Таким образом,
Ранее эта задача была решена методом Гаусса ( Пример 1).
Как завершить решение этой однородной системы линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Итак, я собираюсь решить это, используя исключение Гаусса-Джордана, а не просто исключение Гаусса. По сути, это то же самое, за исключением того, что вы получаете $0$ выше всех ведущих $1$.
Прежде всего, поскольку это однородная система уравнений, вам не нужно использовать расширенную матрицу.
$0$ в правой части строки останутся неизменными, независимо от того, какую операцию строки вы используете.
$ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 1 и 1 и 2 и -1 \\ 2 и 2 и 1 и 1 \\ -1 и -1 и 1 и -2\\ \конец{матрица}\справа) $ $ \begin{матрица} \\ Р_2-Р_1\\ Р_3-2Р_1\\ R_4+R_1\\ \end{матрица} $ $ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 и -1\\ 0 и 0 и -1 и 1\\ 0 и 0 и 2 и -2\\ \конец{матрица}\справа) $ $ \begin{матрица} Р_1-Р_2\\ \\ R_3+R_2\\ Р_4-2Р_2\\ \end{матрица} $ $ \ влево (\ начать {матрица} 1 и 1 и 0 и 1\\ 0 и 0 и 1 и -1\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0\\ \конец{матрица}\справа) $
Для краткости я выполнил несколько операций со строками одновременно, но это тот же ответ, что и вы. Взяв ваш ответ и разделив $R_2$ на $3$, а затем вычтя $R_2$ из $R_1$, вы получите это решение Гаусса-Джордана.
Каждая строка представляет собой уравнение, равное $0$, поскольку это однородная система уравнений. Первый столбец матрицы — это представление $x_1$ переменных в каждом уравнении, второй столбец — $x_2$ переменных, третий — $x_3$, четвертый — $x_4$. Ведущие $1$ являются опорными элементами матрицы и обычно выбираются в качестве зависимых переменных, но не обязательно.
Следующим шагом в решении этой задачи является ее обратное выражение в обычном формате:
$$ \начать{выравнивать} х_1+х_2+х_4=0 \\ х_3-х_4=0 \\ 0x_2=0 \\ 0x_4=0 \\ \end{выравнивание} $$
Обратите внимание, что последние два уравнения показывают, что любой выбор для $x_2$ или $x_4$ даст вам однородное решение системы.
Далее вы хотите найти зависимые переменные и задать параметры независимым переменным:
$$ \начать{выравнивать} х_1 &=-х_2-х_4 \\ х_3 &=х_4 \\ х_2 &=с \\ х_4 &=т \\ \end{выравнивание} $$
Наконец, подстановка независимых переменных $x_2$ и $x_4$ в уравнения зависимых переменных даст вам все решения однородной системы уравнений:
$$ \начать{выравнивать} x_1 &=-s-t \\ х_3 &=т \\ х_2 &=с \\ х_4 &=т \\ \end{выравнивание} $$
С помощью этих уравнений при любых двух произвольных значениях $x_2$ и $x_4$ можно определить значения $x_1$ и $x_3$, чтобы решить однородную систему уравнений.
Кроме того, обратите внимание, что вы могли бы решить уравнения для $x_2$ и $x_4$, сделав их зависимыми переменными и задав параметры $x_1$ и $x_3$:
$$ \начать{выравнивать} х_2 &=-х_4-х_1 \\ х_4 &=х_3 \\ х_1 &=с \\ х_3 &=т \\ \end{выравнивание} $$
Эти уравнения делают $x_1$ и $x_3$ независимыми переменными; и при произвольном их выборе можно найти зависимые переменные $x_2$ и $x_4$, которые будут решать однородную систему уравнений. Другими словами, операции со строками ничего не делают с зависимыми/независимыми переменными, вы сами выбираете, какие будут.
определитель — Решите следующую систему линейных однородных уравнений.
спросил
Изменено 4 года, 3 месяца назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
$$2x-y+z=0, 3x+2y-z=0,x+4y+3z=0$$ $$ \begin{vmatrix} 2&-1&1\\ 3&2&-1\ 1 и 4 и 3 \\ \end{vmatrix} $$
Сокращением ряда $$R_1=R_1-2R_3\\R_2=R_3-3R_3$$
получаем
\begin{vmatrix} 0&-9&-5\ 0 и -10 и -10 \\ 1 и 4 и 3 \\ \end{vmatrix} Раскладывая по С3 и решая определитель, получаем 40
Но как решать дальше?
- определитель
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Если все уравнения равны нулю, то:
$$\begin{vmatrix} 0&-9&-5\ 0 и -10 и -10 \\ 1 и 4 и 3 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&-9&-5\ 0 и 1 и 1 \\ 1 и 4 и 3 \\ \end{vmatrix}$$
А теперь $R_1=R_1+9R_2$ и получаем
$$\begin{vmatrix} 0 и 0 и 4 \\ 0 и 1 и 1 \\ 1 и 4 и 3 \\ \end{vmatrix}$$
Приведенная выше система эквивалентна
$$4z=0\to z=0\\ у+г=0\к у=0\\ х+4у+3г=0\до х=0$$
$\endgroup$
6
$\begingroup$
складывая первое и второе уравнение получаем $$5x+y=0$$ умножая второе на $3$ и прибавляя к первому имеем $$10x+10y=0$$ или $$x+y=0$$ вычитая оба уравнения, получаем $$4x=0$$ таким образом $$x=0$$ и $$y=0$$ и $$z=0$$
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Ваша линейная система $Ax=0$ имеет только тривиальное решение $x=0$, так как $null(A)$ — пустая матрица, т.