Решить онлайн определитель 4 порядка: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы

Содержание

Найти определитель матрицы четвертого порядка

Содержание статьи

1. Основные определения и формула для нахождения определителя матрицы четвертого порядка

2. Пример решения

3. Теорема Лапласа

Основные определения и формула для нахождения определителя матрицы четвертого порядка

Часто в математических и прикладных задачах возникает необходимость использовать матрицы. Дадим определение матрицы.

Определение 1

Матрица — это прямоугольная таблица скаляров (элементов некоторого поля), состоящая из заданного количества столбцов и заданного количества строк.

Выделяют разные матрицы. Нам пригодятся понятие следующих:

если матрица имеет единственный элемент, то она является совпадающей со своим единственным скаляром;
квадратной матрицей называют такую матрицу, у которой количество столбцов совпадает с количеством строк.

Алгебраические операции над матрицами имеют свой алгоритм и порядок, отличающийся от тех же операций над обычными числами. Помимо алгебраических операций, существуют и другие операции над матрицами. Например, операция транспонирования матрицы.

Часто учащиеся сталкиваются с задачами по нахождению определителя матриц разных порядков. Под матрицами первого, второго, третьего, четвёртого и т.д. порядка понимаются квадратные матрицы. Дадим определение определителю.

Определение 2

Определитель или детерминант матрицы — это определённое число, которое можно поставить в соответствие какой-либо квадратной матрице. Если элементы матрицы действительные числа, то и определитель будет действительным числом. Определитель обозначают $\det A$ или $|A|$.

Определитель первого порядка равен скаляру данной матрицы. Определители второго и третьего порядка высчитываются в определённом порядке, то есть по известным формулам.

Для вычисления определителя больше третьего порядка, необходимо понимание минора матрицы.

Определение 3

Минор матрицы третьего порядка — это определитель второго порядка, полученной из заданной матрицы третьего порядка вычеркиванием $i$-ой строки и $j$-го столбца. Минор обозначают $M$.

Формула для определителя четвёртого порядка:

$|A|=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}$.

Пример решения

Решим пример.

Пример 1

$A = \begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{pmatrix}.$

$|A| = \begin{vmatrix}1&0&2&-1\\0&0&1&4\\-3&0&0&2\\6&-3&-1&0\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\0&0&2\\-3&-1&0\end{vmatrix}-0\cdot\begin{vmatrix}0&1&4\\-3&0&2\\6&-1&0\end{vmatrix}+2\cdot\begin{vmatrix}0&0&4\\-3&0&2\\6&-3&0\end{vmatrix}-(-1)\cdot\begin{vmatrix}0&0&1\\-3&0&0\\6&-3&-1\end{vmatrix}=1\cdot(-3)-0\cdot24+2\cdot36-(-1)\cdot9=78.$

В рамках учебной программы принято использовать однотипные примеры с действительными числами. Зная формулу, очевидно, что все примеры будут аналогичны друг другу.

Теорема Лапласа

Существует также метод нахождения определителя четвертого порядка по теореме Лапласа. {i+j}$.

Теорема 1

Определитель четвертого порядка равен сумме всех четырёх произведений следующего вида: каждый из четырёх элементов какой-либо фиксированной строки (столбца) этой матрицы умножается на его алгебраическое дополнение.

Эта теорема распространяется на матрицы любого порядка.

При ручном решении подобных задач главное помнить о внимательности и сосредоточенности, а также уметь проявлять терпение, когда дело касается большой матрицы или матрицы с большими значениями элементов. На практике в современных условиях для решения подобных задач применяют вычислительные машины.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08.05.2022

Определители второго порядка и их свойства | Математика

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7 Определителем второго порядка, соответствующим заданной матрице А, называется число равное

Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква . Например,

(1.5)

есть общий вид определителя второго порядка.

Помощь с решением задач

Числа называются элементами определителя. Как и у матрицы второго порядка, элементы образуют первую строку определителя; вторую строку; — первый столбец; второй столбец; образуют главную диагональ определителя; побочную диагональ. Используя данную терминологию, можно сказать, что определитель второго порядка есть число, равное разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной его диагоналях.

ПРИМЕР 1.1.6

Рассмотрим простейшие свойства определителя второго порядка.

Свойство 1.2.1 Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

(1.6)

Действительно, согласно (1. 5) получим

Из свойства 1.2.1 следует, что свойства, установленные для строк определителя, справедливы и для его столбцов.

Свойство 1.2.2 При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Действительно, если то

Свойство 1.2.3 Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Например,

Свойство 1.2.4 Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

Пусть где число.

Тогда

Свойство 1.2.4 означает, что общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

Свойство 1.2.5 Определитель, у которого элементы двух его строк (столбцов) пропорциональны, равен нулю.

Действительно, при любом k.

Свойство 1.2.6 Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у другого — вторые. Оставшиеся элементы этих определителей те же, что и у данного.

Пусть .

Тогда
Свойство 1.2.7 Определитель не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Действительно, пусть
Тогда, согласно свойствам 1.2.5 и 1.2.6, получим
Определители третьего порядка с примерами
Курс математики

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Подробнее

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.
Сохранить или поделиться с друзьями
Решение задач и контрольных
Написание учебных работ
Онлайн помощь на экзамене
Подробнее

Помощь с решением
Поиск математических формул
Калькулятор определителя матрицы — MathCracker.com
Инструкции: Используйте этот калькулятор определителя матрицы, чтобы вычислить заданный определитель матрицы, показывая все шаги. Сначала нажмите на один из кнопки ниже, чтобы изменить размер матрицы, если это необходимо.
Затем нажмите на первую ячейку и введите значение, и перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.

В линейной алгебре и при использовании матриц понятие определителя матрицы $A$ имеет глубочайшее значение.
Это потому что его использование связано почти со всеми важными операциями, которые вы захотите выполнить с матрицами, такими как проверка обратимости матриц, нахождение обратной матрицы или решение систем.
Итак, куда бы вы ни посмотрели при работе с матрицами, вы так или иначе найдете определители. Поэтому очень важно стать знаком с ними.
Как этот матричный калькулятор может помочь вам
Все, что вам нужно сделать, это ввести вашу матрицу
Это должна быть квадратная матрица, то есть матрица с одинаковым количеством строк и столбцов
Просто нажмите на кнопку и калькулятор покажет вам все шаги и конечное значение определителя
Работа над вычислением определителя может быть чрезвычайно трудоемкой и подверженной ошибкам. Этот калькулятор избавит вас от этих проблем
Как вычислить определитель матрицы?
Это может быть длинный ответ, потому что есть много способов вычислить определитель матрицы. Скажем сначала, что определитель есть только вычисления для квадратных матриц (это матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов).
Итак, наименьшая матрица, для которой мы можем вычислить определитель, — это матрица 2×2. Давайте рассмотрим общую матрицу 2×2, как показано ниже:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]
Какова формула определителя? В этом случае определитель матрицы $A$ просто вычисляется как $\det(A) = a d — bc$
Например, если бы у нас было:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 3 \end{bmatrix}\]
определитель матрицы $A$ будет равен $\det(A) = 1 \cdot 3 — 2 \cdot 1 = 3 — 2 = 1$.
Легко, верно?
Как найти определитель матрицы 3×3?
Теперь для матриц большего размера построим вычисление определителя на основе подынтерминанта меньших матриц. Чтобы дать вам представление, давайте рассмотрим один из способов вычисления определителя матрицы 3×3. Рассмотреть возможность
\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]
В этом случае определитель матрицы 3×3 матрицы $A$ вычисляется на основе действия нескольких определителей 2×2
\[\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} — b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix } + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}\] 93 = -1\) (отрицательно) и так далее.
Волшебство заключается в том, чтобы выбрать любую строку или столбец в качестве опорных. Каждая опорная точка будет иметь связанный знак (положительный или отрицательный) и субдетерминант, которые связаны с кофакторами матрицы.
Это поддетерминант — это фактический определитель исходной матрицы после удаления строки \ (i \) и столбца \ (j \) для опорной точки, которая находится в строке \ (i \) и столбец $j$.
Наиболее логичное соглашение указывает на выбор строки или столбца с наибольшим количеством нулей для опорных точек, чтобы избежать вычисления некоторых из субдетерминанты, если это возможно.
Как найти определитель матрицы 3×4?
Вы не можете этого сделать. Матрица 3×4 не является квадратной матрицей, и, следовательно, нельзя вычислить определитель. Чтобы вычислить определитель, матрица должна иметь одинаковое количество строк и столбцов.
Калькулятор определителя 4×4
Для больших матриц используется та же методология: выберите одну строку или столбец для опорных точек, в идеале ту, в которой больше всего нулей. Найдите знак, соответствующий к каждому опорному элементу и найти соответствующие поддетерминанты.
Итак, вы сводите вычисление определителя матрицы 4×4 к операции из четырех определителей 3×3. И, в свою очередь, каждый из определителей 3х3 находится как действие нескольких определителей 2х2, для которого мы знаем формулу.
Так что запутаться можно очень быстро.
Пример вычисления определителя матрицы
Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу:
\[ \begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}\]
Вычислите определитель данной матрицы с указанием шагов.
Решение: Нам нужно вычислить определитель предоставленной матрицы $3 \times 3$.
Используя формулу субдетерминанта, получаем:
\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) — 3 \cdot \left(4 \right) \right) — 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) — 2 \cdot\влево(4\вправо)\вправо) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) — 2 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -4 \right) — 2 \cdot \влево( 16 \вправо) + 3 \cdot \влево( 7 \вправо) = -15\]
Заключение : На основании приведенных выше вычислений установлено, что определитель матрицы равен $\det A = \displaystyle -15$.
Другие полезные матричные калькуляторы, которые вы можете использовать
Матричные расчеты, выполняемые вручную, трудоемки, поэтому вы можете воспользоваться преимуществами наших решателей линейной алгебры.
Во-первых, вы можете использовать этот калькулятор обратной матрицы, чтобы вычислить обратную матрицу, показывающую шаги, и вы можете сделать это либо сопряженным методом, либо с помощью редукции RREF.
Онлайн-калькулятор для расчета определителя 4×4
Онлайн-калькулятор для расчета определителя 4×4
Онлайн-калькулятор вычисляет значение определителя матрицы 4×4 с помощью разложения Лапласа по строке или столбцу и алгоритма Гаусса.
Определитель 4×4
det A=|a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44|
Введите коэффициенты
а ₁₁ =
а ₁₂ =
а ₁₃ =
а ₁₄ =
а ₂₁ =
а ₂₂ =
а ₂₃ =
а ₂₄ =
а ₃₁ =
а ₃₂ =
а ₃₃ =
₃₄ =
а ₄₁ =
а ₄₂ =
а ₄₃ =
₄₄ =
Вычисление значения определителя с помощью расширения Лапласа
Вы можете выбрать строку или столбец, которые будут использоваться для расширения.
Расчет с помощью алгоритма Гаусса
Примечание. Если ведущие коэффициенты равны нулю, то столбцы или строки меняются местами соответственно, чтобы было возможно деление на старший коэффициент. Значение определителя правильное, если после преобразований нижняя треугольная матрица равна нулю, а все элементы главной диагонали равны 1.
Объяснение методов
Теорема Лапласа о разложении
Теорема развития Лапласа предлагает метод вычисления определителя, в котором определитель развивается после строки или столбца. Размерность уменьшается и может быть уменьшена далее шаг за шагом до скаляра.
det A=∑i=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Расширение по j-му столбцу )
det A=∑j=1n-1i+j⋅aijdetAij ( Разложение по i-й строке )
где A _ij , подматрица матрицы A, возникающая при удалении i-й строки и j-го столбца.
Пример разложения Лапласа по первой строке матрицы 3×3.
det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|
Первый элемент задается коэффициентом a ₁₁ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a11|a22a23a32a33|
Второй элемент определяется коэффициентом a ₁₂ и субдетерминант, состоящий из элементов с зеленым фоном.
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a12|a21a23a31a33|
Третий элемент задается коэффициентом a ₁₃ и субдетерминантом, состоящим из элементов с зеленым фоном.
|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=>a13|a21a22a31a32|
С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.
det A=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11|a22a23a32a33|-a12|a21a23a31a33|+a13|a21a22a31a32|
Важно учитывать, что знаки элементов чередуются следующим образом.
|+-+-+-+-+|
Метод Гаусса
В методе Гаусса определитель преобразуется таким образом, что элементы нижней матрицы треугольника становятся равными нулю. Для этого вы используете правила коэффициента строки и добавление строк. Добавление строк не меняет значения определителя. Факторы ряда должны рассматриваться как множители перед определителем.
No related posts.