Решить систему алгебраических линейных уравнений: Решение системы линейных уравнений (СЛАУ) онлайн

Решение линейных уравнений — 4 метода, пошаговые решения, примеры

Решение линейных уравнений означает нахождение значений переменных, заданных в линейных уравнениях. Линейное уравнение представляет собой комбинацию алгебраического выражения и символа равенства (=). Оно имеет степень 1 или его можно назвать уравнением первой степени. Например, x + y = 4 — это линейное уравнение. Иногда нам может понадобиться найти значения переменных, участвующих в линейном уравнении. Когда нам дано два или более таких линейных уравнения, мы можем найти значения каждой переменной, решая линейные уравнения. Существует несколько методов решения линейных уравнений. Остановимся подробно на каждом из этих методов.

1.	Решение линейных уравнений с одной переменной
2.	Решение линейных уравнений методом подстановки
3.	Решение линейных уравнений методом исключения
4.	Графический метод решения линейных уравнений
5.	Метод перекрестного умножения
6.	Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной является уравнением первой степени и имеет только один переменный член. Он имеет вид «ax+b = 0», где «a» — ненулевое число, а «x» — переменная. Решая линейные уравнения с одной переменной, мы получаем только одно решение для данной переменной. Примером этого является 3x — 6 = 0. Переменная «x» имеет только одно решение, которое рассчитывается как 9.0049 3x — 6 = 0
3x = 6
х = 6/3
x = 2

Для решения линейных уравнений с одной переменной упростите уравнение так, чтобы все переменные члены переносились в одну сторону, а постоянное значение — в другую. Если есть какие-либо дробные члены, найдите LCM (наименьшее общее кратное) и упростите их так, чтобы переменные члены были с одной стороны, а постоянные члены — с другой.

Давайте разработаем небольшой пример, чтобы понять это.

4x + 8 = 8x — 10. Чтобы найти значение «x», давайте упростим и перенесем члены «x» в одну сторону, а постоянные члены — в другую.

4x — 8x = -10 — 8
-4x = -18
4x = 18
х = 18/4
При упрощении получаем x = 9/2.

Решение линейных уравнений методом подстановки

Метод подстановки — один из методов решения линейных уравнений. В методе подстановки мы перестраиваем уравнение таким образом, что одно из значений подставляется во второе уравнение. Теперь, когда у нас осталось уравнение с одной переменной, мы можем решить его и найти значение этой переменной. В двух заданных уравнениях можно взять любое уравнение и найти значение переменной и подставить в другое уравнение. Для решения линейных уравнений методом подстановки выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере решения следующей системы линейных уравнений.

х + у = 6 —————(1)
2x + 4y = 20 ————(2)

Шаг 1: Найдите значение одной из переменных, используя любое из уравнений. В этом случае найдем значение «х» из уравнения (1).
х + у = 6 ———(1)
x = 6 — y

Шаг 2: Подставьте значение переменной, найденное на шаге 1, во второе линейное уравнение. Теперь давайте подставим значение «x» во второе уравнение 2x + 4y = 20,9.0003

х = 6 — у
Подставляя значение ‘x’ в 2x + 4y = 20, получаем

2(6 — y) + 4y = 20
12 — 2г + 4г = 20
12 + 2г = 20
2г = 20 — 12
2г = 8
у = 8/2
y = 4

Шаг 3: Теперь подставьте значение ‘y’ в уравнение (1) или (2). Подставим значение ‘y’ в уравнение (1).

х + у = 6
х + 4 = 6
х = 6 — 4
х = 2

Следовательно, методом подстановки решаются линейные уравнения, и значение x равно 2, а y равно 4.

Решение линейных уравнений методом исключения

Метод исключения — еще один способ решения системы линейных уравнений. Здесь мы пытаемся умножить либо переменный член «x», либо переменный член «y» на постоянное значение, так что либо переменные члены «x», либо переменные члены «y» сокращаются и дают нам значение другая переменная. Давайте разберемся с этапами решения линейных уравнений методом исключения. Рассмотрим данные линейные уравнения:

2х + у = 11 ———— (1)
x + 3y = 18 ———- (2)

Шаг 1: Проверить, расположены ли термины таким образом, чтобы за термином «x» следовал термин «y» и знак равенства, а после знака равенства должен стоять постоянный член. Данный набор линейных уравнений уже устроен правильным образом: ax+by=c или ax+by-c=0.

Шаг 2: Следующим шагом является умножение одного или обоих уравнений на постоянное значение таким образом, чтобы сокращались либо члены «x», либо члены «y», что помогло бы нам найти значение другая переменная. Теперь в уравнении (2) давайте умножим каждый член на число 2, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми в обоих уравнениях.

x + 3y = 18 ———- (2)

Умножая все члены уравнения (2) на 2, получаем

2(x) + 2(3y) = 2 (18). Теперь уравнение (2) принимает вид

2x + 6y = 36 ————(2)

Шаг 3: Следующим шагом является упрощение этих двух уравнений путем сложения или вычитания их ( в зависимости от того, какая операция требуется для отмены x терминов). Теперь, вычитая два уравнения, мы можем сократить члены «x» в обоих уравнениях.

Следовательно, у = 5,

Шаг 4: Используя значение, полученное на шаге 3, найдите значение другой переменной, подставив значение в любое из уравнений. Подставим значение ‘y’ в уравнение (1). Получаем,

2х+у=11
2х + 5 = 11
2х = 11 — 5
2х = 6
х = 6/2
x = 3

Следовательно, решая линейные уравнения, мы получаем значение x = 3 и y = 5.

Графический метод решения линейных уравнений

Другой метод решения линейных уравнений — использование графика. Когда нам дана система линейных уравнений, мы графически рисуем оба уравнения, находя значения «y» для разных значений «x» в системе координат. Как только это будет сделано, мы найдем точку пересечения этих двух линий. Значения (x, y) в точке пересечения дают решение этих линейных уравнений. Возьмем два линейных уравнения и решим их графическим методом.

х + у = 8 ——-(1)

y = x + 2 ———(2)

Возьмем некоторые значения для ‘x’ и найдем значения ‘y’ для уравнения x + y = 8. Это также может быть переписывается как y = 8 — x.

х	0	1	2	3	4
у	8	7	6	5	4

Возьмем некоторые значения для «x» и найдем значения для «y» в уравнении y = x + 2.

x	0	1	2	3	4
у	2	3	4	5	6

Нанеся эти точки на координатную плоскость, получим вот такой график.

Теперь мы найдем точку пересечения этих линий, чтобы найти значения «x» и «y». Две прямые пересекаются в точке (3,5). Следовательно, x = 3 и y = 5 при использовании графического метода решения линейных уравнений.

Этот метод также используется для поиска оптимального решения задач линейного программирования. Рассмотрим еще один метод решения линейных уравнений — метод перекрестного умножения.

Метод перекрестного умножения для решения линейных уравнений

Метод перекрестного умножения позволяет нам решать линейные уравнения, выбирая коэффициенты всех членов («x», «y» и постоянных членов) в формате, показанном ниже, и применяя формулу для нахождения значений «x». и «у».

Темы, связанные с решением линейных уравнений

Просмотрите приведенные статьи, связанные с решением линейных уравнений.

• Линейные уравнения
• Применение линейных уравнений
• Линейные уравнения с двумя переменными
• Линейные уравнения и полуплоскости
• Линейные уравнения и неравенства с одной переменной

Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений

Что означает решение линейных уравнений?

Уравнение, имеющее степень 1, называется линейным уравнением. У нас могут быть линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, линейные уравнения с тремя переменными и многое другое в зависимости от количества переменных в нем. Решение линейных уравнений означает нахождение значений всех переменных, присутствующих в уравнении. Это можно сделать методом подстановки, методом исключения, графическим методом и методом перекрестного умножения. Все эти методы представляют собой разные способы нахождения значений переменных.

Как использовать метод подстановки для решения линейных уравнений?

Метод подстановки для решения уравнений гласит, что для данной системы линейных уравнений необходимо найти значение «x» или «y» из любого из заданных уравнений, а затем подставить найденное значение «x» или «y» в другом уравнении, чтобы можно было найти другое неизвестное значение.

Как использовать метод исключения для решения линейных уравнений?

В методе исключения для решения линейных уравнений мы умножаем константу или число на одно уравнение или на оба уравнения так, чтобы члены «x» или члены «y» были одинаковыми. Затем мы сокращаем один и тот же член в обоих уравнениях, добавляя или вычитая их, и находим значение одной переменной (либо «x», либо «y»). Найдя одно из значений, подставляем значение в одно из уравнений и находим другое неизвестное значение.

Что такое Графический метод решения линейных уравнений?

В графическом методе решения линейных уравнений мы находим значение ‘y’ из заданных уравнений, подставляя значения x как 0, 1, 2, 3 и т. д., и строим график в системе координат для линии для различных значений ‘x’ для обеих систем линейных уравнений. Мы увидим, что эти две прямые пересекаются в одной точке. Эта точка является решением данной системы линейных уравнений. Если между двумя прямыми нет точки пересечения, то мы рассматриваем их как параллельные прямые, а если мы обнаружили, что обе прямые лежат друг на друге, то они называются совпадающими прямыми и имеют бесконечно много решений.

Каковы этапы решения линейных уравнений с одной переменной?

Линейное уравнение — это уравнение степени 1. Чтобы решить линейное уравнение с одной переменной, мы подносим переменную к одной стороне, а постоянное значение — к другой. Затем к обеим частям уравнения можно добавить, вычесть, умножить или разделить ненулевое число. Например, линейное уравнение с одной переменной будет иметь вид «х — 4 = 2». Чтобы найти значение «x», мы добавляем постоянное значение «4» к обеим частям уравнения. Следовательно, значение ‘x = 6’.

Какие этапы решения линейных уравнений с тремя переменными?

Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, возьмем любые два уравнения и две переменные. Затем мы берем другую пару линейных уравнений и также решаем для той же переменной. Теперь, когда у нас есть два линейных уравнения с двумя переменными, мы можем использовать метод подстановки, метод исключения или любой другой метод для решения значений двух неизвестных переменных. Найдя эти две переменные, мы подставляем их в любое из трех уравнений, чтобы найти третью неизвестную переменную.

Какие существуют 4 метода решения линейных уравнений?

Методы решения линейных уравнений приведены ниже:

• Метод подстановки
• Метод исключения
• Метод перекрестного умножения
• Графический метод

Решение линейных систем: объяснения, графики и алгебра

Мой учитель математики показал мне набор уравнений с несколькими переменными. Она сказала мне, что уравнения представляют собой линейную систему, и она хотела, чтобы я нашел решение. Я продолжал смотреть на него, потому что не знал, что делать. Казалось невозможным найти решение для нескольких переменных одновременно. Ну, это не так, и в этой статье вы узнаете, как это сделать.

Определение линейных систем

Давайте начнем с понимания того, что такое линейная система.

Линейная система — это математическая модель системы линейных уравнений.

Напомним, что линейное уравнение с 3 переменными имеет вид \(Ax+By+Cz=0. \)

Ниже приведены примеры системы линейных уравнений.

а. \(\left\{\begin{align} 3x+y&=6\\x+y&=2\end{align}\right.\)

b. \(\left\{\begin{align} -2x+y&=7\\x+y&=5\end{align}\right.\)

в. \(\left\{\begin{align} 3x+5y&=9\\2x+3y&=7\end{align}\right.\)

Объяснение решения линейных систем

Решение линейных систем — это нахождение множества значения , которые будут решать каждое из уравнений системы одновременно.

Рассмотрим систему \[\left\{\begin{align} x+y&=0\\x-y&=2\end{align}\right.\]

Решение приведенной выше системы \( (1,-1)\).

Фактически, при подстановке \(x=1\) и \(y=-1\) оба уравнения удовлетворяются.

Имеем \(1+(-1)=0\) и \(1-(-1)=1+1=2\).

Рассмотрим приведенную ниже линейную систему \[\left\{\begin{align} 2x+y&=0\\x-2y&=5\end{align}\right.\]

Решение приведенной выше линейной системы равно \((1,-2)\). На самом деле, подставляя \(x=1\) и \(y=-2\) в приведенные выше уравнения, мы замечаем, что они проверяются одновременно.

Имеем \(2(1)+(-2)=0\) и \(1-2(-2)=1+4=5.\)

Как решать линейные системы?

Существуют различные методы решения линейных систем, перечислим следующие,

• Метод замены.
• Метод исключения.
• Графический метод.

Если вы будете внимательно следовать инструкциям для каждого метода, вы сможете решить любую линейную систему. Давайте кратко познакомимся с каждым из них.

Решение линейных систем подстановкой

Как следует из названия, метод подстановки включает в себя подстановку чего-либо вместо другого. Это как замена. Итак, что вам нужно сделать, это найти одну из переменных в одном из уравнений и подставить их в другое уравнение.

Вы должны выполнить следующие шаги при решении линейных систем подстановкой.

Шаг 1 . Измените одно из уравнений, чтобы сделать одну из переменных объектом уравнения.

Шаг 2 . Это этап замещения. Подставьте изолированную переменную, полученную на шаге 1, в другое уравнение, чтобы найти другую переменную.

Шаг 3 . Теперь подставьте обратно значение переменной, найденной на шаге 2, в любое из уравнений системы, чтобы найти первую изолированную переменную на шаге 1.

Давайте посмотрим, как это делается на примере.

Решите следующую линейную систему путем подстановки

Шаг 1 .

Вы должны манипулировать одним из уравнений так, чтобы одна из переменных была на одной стороне уравнения, а другая на другой стороне уравнения, сделав одну переменную субъектом уравнения. Вы можете использовать любое из уравнений.

Во-первых, мы обозначим наши уравнения в приведенной выше системе следующим образом:

\[x+y=6 \quad \text{как уравнение 1} \quad \text{and}\quad -3x+y=2\quad \text{as Equation 2}.\]

Затем мы выбираем одно из уравнений для обработки, отмечая при этом, что другой выбор уравнений приведет к тому же решению.

Мы выбираем уравнение 1, \[x+y=6.\] Мы изолируем одну из переменных с точки зрения другой. Здесь мы выделяем \(x\), чтобы получить \[x=6-y\]

Шаг 2.

Это шаг замены. Теперь вы подставите значение \(x\) в уравнение 2.

Теперь у вас есть

\[\begin{align} -3(6-y)+y&=2\\ -18+3y+y& =2\\-18+4y&=2\\4y&=20\\y&=\frac{20}{4}\\y&=5\end{align}\]

Теперь у вас есть значение \(y \) как 5.

Шаг 3.

Поскольку теперь вы знаете значение \(y\), вы можете подставить его в любое из уравнений, чтобы получить значение \(x.\). Но мы знаем, что \(x=6-y\), таким образом, мы получаем \[x=6-y=6-5=1.\] Таким образом, решение системы равно \[x=1\quad \text{and} \quad y=5.\] Мы можем проверить, что \(x=1\) и \(y=5\) одновременно проверяют уравнения системы.

На шаге 1 \(x\) было предметом формулы. Давайте посмотрим, что произойдет, если \(y\) сделать субъектом формулы.

Вспомним уравнение 1, \[x+y=6\]

Сделав \(y\) предметом формулы, получим следующее, \[y=6-x\]

Теперь вы будет следовать шагу 2 и заменит \(y\) в уравнении 2, чтобы получить

\[\begin{align} -3x+(6-x)&=2\\-3x+6-x&=2\\-4x& =2-6\\-4x&=-4\\x&=1\end{align}\]

Теперь вычисляем \(y\),\[y=6-x=6-1=5\]

Мы видим, что решение системы равно \(x=1\) и \(y=5\).

Решение линейных систем методом исключения

Метод исключения — это еще один метод решения линейных систем. Он называется методом исключения, потому что требует исключить или исключить одну из переменных из обоих уравнений.

Его также называют методом сложения, поскольку он включает сложение обоих уравнений.

Вы должны выполнить следующие шаги при решении линейных систем методом исключения,

Шаг 1 . Обязательно запишите уравнения в стандартной форме \(ax+by=c\).

Шаг 2. Убедитесь, что исключаемая переменная имеет противоположные коэффициенты в обоих уравнениях, это можно сделать путем умножения соответствующих уравнений на константы.

Шаг 3. Сложите оба уравнения.

Шаг 4. Найдите оставшуюся переменную.

Шаг 5. Подставьте значение переменной, полученной на шаге 4, в любое из уравнений, чтобы получить значение другого.

Давайте посмотрим, как это делается в приведенном ниже примере.

Решить следующую линейную систему методом исключения:

\[\left\{\begin{align} x+y&=6\\-3x+y&=2\end{align}\right.\]

Решение

Шаг 1 .

Обеспечим, чтобы оба уравнения были записаны в стандартной форме.

Шаг 2.

Вы должны придумать способ исключить одну из переменных, чтобы получить значение другой. Заметим, что коэффициенты при переменной \(y\) в обоих уравнениях равны. И, таким образом, чтобы иметь противоположные коэффициенты при переменной \(y\) в обоих уравнениях, мы должны умножить одно из уравнений на \((-1)\).

Сначала мы обозначим наши уравнения следующим образом:

\[x+y=6\quad \text{как уравнение 1}\quad \text{and}\quad -3x+y=-2\quad \text{как уравнение 2} .\]

Умножаем уравнение 2 на (-1), чтобы получить \(3x-y=-2\).

Теперь у нас есть следующая система: \[\left\{\begin{align} x+y&=6\\3x-y&=-2\end{align}\right. \]

Шаг 3.

Теперь мы готовы сложить оба уравнения, чтобы получить \(4x+0y=4\).

Шаг 4.

В результате получается уравнение \(4x=4\). Мы решаем для \(x\), чтобы получить \(x=1.\)

Шаг 5.

Теперь мы подставляем значение \(x\) в любое из уравнений, чтобы найти значение \ (у\).

Из уравнения 1 имеем \[\begin{align}x+y&=6\\1+y&=6\\y&=6-1\\y&=5\end{align}\]

Следовательно, решение системы \[x=1 \quad \text{and}\quad y=5. \]

Решение линейных систем с помощью графика

Чтобы решить линейную систему с помощью графика, мы выполняем следующие шаги.

Шаг 1. Запишите каждое уравнение в форме пересечения наклона, то есть \(y=mx+c\).

Шаг 2. Постройте две линии.

Шаг 3. Решение линейной системы уравнений можно определить в зависимости от положения прямых в системе координат.

Мы сталкиваемся с тремя случаями:

• Случай 1. Две прямые пересекаются в одной точке.
• Случай 2. Две прямые параллельны.
• Случай 3. Две прямые конгруэнтны.

Сначала начнем со случая 1, где две прямые пересекаются один раз.

Решение линейной системы можно найти графически, прочитав координаты точки пересечения .

Переходим к случаю 2, где две прямые параллельны.

Так как две линии не имеют точки пересечения, так как они параллельны, решение системы не существует . Говорят, что система не имеет решений или несовместна.

Наконец, мы переходим к случаю 3, где две прямые конгруэнтны.

Поскольку две линии конгруэнтны, они находятся в одном и том же положении. Это означает, что существует бесконечных решений этой линейной системы .

На приведенном ниже рисунке первый график показывает точку пересечения, что означает наличие решения. Второй показывает, что линии параллельны, что означает, что решений вообще нет, а третий график показывает, что обе линии наложены друг на друга, что означает, что для этой системы существует несколько решений.

Различные графические решения.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Решите следующую линейную систему с помощью графика:

\[\left\{\begin{align} x+y&=4\\2x+y&=5\end{align}\right.\]

Решение

Шаг 1.

Приведем уравнения к форме наклона и пересечения, чтобы получить align}\right.\]

Шаг 2.

Наносим линии на график. Заметим, что эти линии имеют единственную точку пересечения. Это решение, которое мы ищем.

Из рисунка выше видно, что точка пересечения равна \((1, 3)\), что означает, что наше решение равно \(x=1\) и \(y=3\).

Возьмем другой пример.

Решите графически следующую линейную систему:

\[\left\{\begin{align} -2x+3y&=-9\\4x-6y&=18\end{align}\right.\]

Решение

Шаг 1. Приведем уравнения к форме пересечения наклона, чтобы получить

\[\begin{align} y&=\frac{2}{3}x-3\\ y&=\frac{2}{3 }x-3\конец{выравнивание}\]

Шаг 2. Наносим две линии.

На графике кажется, что линия всего одна. Но это не так. Происходит то, что оба уравнения лежат друг над другом, а это означает, что существует бесконечное количество решений этой системы.

Давайте посмотрим на другой пример.

Графически решить следующую линейную систему:

\[\left\{\begin{align} -2x+5y&=-15\\-4x+10y&=10\end{align}\right.\]

Решение

Шаг 1. Запишите каждое уравнение в форме пересечения наклона, мы получим

\[\begin{align}y&=\frac{2}{5}x-3\\y&=\frac{2} {5}x+1\end{align}\]

Шаг 2. Наносим две линии на график

На графике видно, что линии параллельны, что означает отсутствие решений этой линейной системы.

Решение линейных систем с использованием графиков и таблиц

Решение системы линейных уравнений также можно получить с помощью таблицы значений.

Первый шаг — записать каждое уравнение в форме пересечения наклона, затем заполнить таблицу значений и отметить, где у нас одинаковые значения для \(x\) и \(y\) . Давайте посмотрим, как это делается.

Найдите решение приведенной ниже линейной системы, используя таблицы,

\[\left\{\begin{align} x+y&=4\\2x+y&=5\end{align}\right.\]

Решение

Шаг 1. Запишем каждое уравнение в его форме пересечения наклона,

\[\begin{align}y&=-x+4\\y&=-2x+5\end{align}\]

Шаг 2 , Мы меняем переменную \(y\) в обоих уравнениях на \(y_1\) и \(y_2\) соответственно, чтобы получить

\[\begin{align} y_1&=-x+4\\y_2&=-2x +5\end{align}\]

Теперь рисуем таблицу. Мы делаем это, подставляя разные значения \(x\), чтобы получить значения для \(y_1\) и \(y_2\) _.

x	y 1	y 2
1	3	3
2	2	1
3	1	-1

Из приведенной выше таблицы мы видим значения \(y_1\) и \(y_2\) _{, которые были получены, когда \(x\) было установлено в 1, 2 и 3 Мы можем продолжать использовать другие числа и даже отрицательные числа, но в этом случае мы можем остановиться на тех точках, которые у нас есть, потому что мы уже видим решение.}

Итак, как нам получить ваше решение из таблицы?

Заметим, что когда \(x\) равно 1, \(y_1\) и \(y_2\) равны 3. Это означает, что решение линейной системы равно \((1, 3)\).

Мы можем использовать таблицу значений для построения графика, и мы получим тот же график и ответ, что и в предыдущем примере.

Следует отметить, что при составлении таблицы значений мы можем получить равные значения для \(y_1\) и \(y_2\) не так быстро, как в нашем примере. Иногда нам нужно ввести еще несколько значений \(x\), прежде чем мы сможем получить это, но нам просто нужно несколько чисел \(x\), чтобы получить решение в виде графика.

Решение линейных систем — основные выводы

• Линейная система — это система линейных уравнений.
• Некоторые методы решения линейных систем включают метод подстановки, метод исключения и метод построения графиков.
• В методе подстановки одна переменная выделяется и подставляется в другое уравнение.
• В методе исключения одна из переменных исключается.

  No related posts.