Решить систему неравенств онлайн с подробным решением: Калькулятор онлайн — Решение систем неравенств (линейных, квадратных и дробных) (с подробным решением)

Содержание

доказать неравенство онлайн с подробным решением

Вы искали доказать неравенство онлайн с подробным решением? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и иррациональные неравенства калькулятор онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «доказать неравенство онлайн с подробным решением».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как доказать неравенство онлайн с подробным решением,иррациональные неравенства калькулятор онлайн,иррациональные неравенства онлайн калькулятор,иррациональные неравенства онлайн решение,иррациональные неравенства решение онлайн,калькулятор иррациональных неравенств,калькулятор неравенств онлайн с модулем,калькулятор неравенств с модулем онлайн,калькулятор онлайн иррациональные неравенства,калькулятор онлайн решение неравенств с модулем,калькулятор онлайн решение систем неравенств,калькулятор онлайн система неравенств,калькулятор онлайн системы неравенств,калькулятор показательных неравенств,калькулятор решение систем неравенств,калькулятор решения систем неравенств,калькулятор решите систему неравенств,калькулятор систем неравенств,калькулятор систем неравенств онлайн,калькулятор систем неравенств онлайн с решением,калькулятор систем неравенств с решением,калькулятор систем неравенств с решением онлайн,калькулятор система неравенств,калькулятор системы неравенств,калькулятор системы неравенств с решением онлайн,калькулятор тригонометрических неравенств,калькулятор тригонометрических неравенств онлайн,логарифмические неравенства онлайн калькулятор,матрицы решить неравенство,неравенства с модулем онлайн калькулятор,неравенство с модулем онлайн калькулятор с решением,онлайн калькулятор неравенств с модулем,онлайн калькулятор решение неравенств с модулем,онлайн калькулятор решение систем неравенств,онлайн калькулятор систем неравенств,онлайн калькулятор систем неравенств с решением,онлайн калькулятор системы неравенств,онлайн калькулятор системы неравенств с решением,онлайн решение иррациональных неравенств,онлайн решение иррациональных неравенств с подробным решением,онлайн решение логарифмических неравенств онлайн с подробным решением,онлайн решение модульных неравенств,онлайн решение неравенств с корнем,онлайн решение неравенств с корнями,онлайн решение неравенств с модулем онлайн,онлайн решение неравенств с модулем онлайн с подробным решением,онлайн решение неравенств система,онлайн решение систем линейных неравенств,онлайн решение систем неравенств,онлайн решение системы неравенств,онлайн решение тригонометрических неравенств с подробным решением,показательные неравенства онлайн калькулятор,построение неравенств онлайн,решатель неравенств онлайн с решением,решение двойных неравенств онлайн,решение двойных неравенств онлайн с подробным решением,решение иррациональные неравенства онлайн,решение иррациональных неравенств онлайн,решение иррациональных неравенств онлайн с подробным решением,решение линейных систем неравенств онлайн,решение логарифмических неравенств онлайн с подробным решением,решение модульных неравенств онлайн,решение неравенств графическим способом онлайн,решение неравенств онлайн с корнем,решение неравенств онлайн с корнями,решение неравенств онлайн с модулем онлайн,решение неравенств онлайн с подробным решением с корнями,решение неравенств с корнем онлайн,решение неравенств с корнями онлайн,решение неравенств с корнями онлайн с подробным решением,решение неравенств с модулем онлайн калькулятор,решение неравенств с параметром онлайн,решение неравенств с параметром онлайн с подробным решением,решение онлайн неравенств с параметром,решение онлайн неравенство с модулем,решение онлайн систем линейных неравенств,решение показательных неравенств онлайн,решение систем линейных неравенств онлайн,решение систем неравенств калькулятор,решение систем неравенств калькулятор онлайн,решение систем неравенств онлайн,решение систем неравенств онлайн калькулятор,решение систем неравенств онлайн с подробным решением,решение системы неравенств калькулятор онлайн,решение системы неравенств онлайн,решение системы неравенств онлайн калькулятор,решение системы неравенств онлайн с подробным решением,решение совокупности неравенств онлайн,решение тригонометрических неравенств онлайн,решение тригонометрических неравенств онлайн с подробным решением,решите двойное неравенство онлайн калькулятор,решите систему неравенств онлайн,решите систему неравенств онлайн с решением,решить двойное неравенство онлайн,решить иррациональное неравенство онлайн с подробным решением,решить логарифмическое неравенство онлайн с подробным решением,решить неравенство матрицы,решить неравенство онлайн с корнем,решить неравенство онлайн с параметром,решить неравенство с корнем онлайн,решить неравенство с модулем онлайн,решить онлайн показательное неравенство,решить онлайн тригонометрическое неравенство,решить показательное неравенство онлайн,решить систему неравенств калькулятор онлайн,решить систему неравенств онлайн,решить систему неравенств онлайн калькулятор,решить систему неравенств онлайн калькулятор с решением,решить систему неравенств онлайн с подробным решением,решить тригонометрическое неравенство онлайн,розв язати нерівність,система неравенств калькулятор,система неравенств калькулятор онлайн,система неравенств онлайн,система неравенств онлайн калькулятор,система решение неравенств онлайн,системы неравенств калькулятор,системы неравенств онлайн,системы неравенств онлайн калькулятор,совокупности неравенств решение онлайн,тригонометрические неравенства онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и доказать неравенство онлайн с подробным решением. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, иррациональные неравенства онлайн калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же доказать неравенство онлайн с подробным решением Онлайн?

Решить задачу доказать неравенство онлайн с подробным решением вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Системы неравенств.2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:


Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:


А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.


Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)


Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.

1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\)

Раскроем скобки.

\(21x+14-21x-6>2x\)

Приведем подобные слагаемые.

\(8>2x\)

Перевернем получившееся неравенство.

\(2x<8\)

Поделим все неравенство на \(2\).

\(x<4\)

Отметим решение на числовой прямой.

   

Запишем ответ для первого неравенства.

\(x∈(-∞;4)\)

Теперь решим второе неравенство.

2) \((x-5)(x+8)<0\)

Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.

 

Запишем ответ для второго неравенства.2\)

\(10-2x≥0\)

Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.

\(-2x≥-10\)

Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.

\(x≤5\)

Отметим решение на числовой прямой.

Запишем ответ к первому неравенству.

\(x∈(-∞;5]\)

На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.

2) \(2-7x≤14-3x\)

Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.

\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

Отметим решения неравенств на числовых прямых.

Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ.

Ответ: \([50;+∞)\)


Смотрите также:

Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Скачать статью

▶▷▶ решение неравенств с одной переменной контрольная работа

▶▷▶ решение неравенств с одной переменной контрольная работа
ИнтерфейсРусский/Английский
Тип лицензияFree
Кол-во просмотров257
Кол-во загрузок132 раз
Обновление:12-11-2018

решение неравенств с одной переменной контрольная работа - Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail" data-nosubject="[No Subject]" data-timestamp='short' Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольная работа по линейные неравенства с одной переменной lunakids-clubru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа № 8 по теме « Решение систем неравенств » 1 вариант 1Решить урок по теме "неравенства с одной переменной и их системы" При помощи линейных неравенств можно смоделироват Контрольная работа по алгебре неравенства и система doctor-qiru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем 8-й класс Уравнение с двумя переменными и его график 2 Контрольная работа по алгебре по системам неравенств sv-stefanru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Решите неравенства: 2х НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Контрольная работа составлена в 6 вариантах различной сложности (варианты 1 Решение Неравенств С Одной Переменной Контрольная Работа - Image Results More Решение Неравенств С Одной Переменной Контрольная Работа images Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему kopilkaurokovru/matematika/prochee/kontrol-naia Cached Просмотр содержимого документа « Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему "Неравенства с одной переменной и их системы" » Контрольная работа по алгебре неравенства с одной переменной tehnopark-tmru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) по теме: Контрольная Контрольная работа № 8 по теме « Решение систем неравенств » урок по теме "неравенства с одной переменной и их системы" Контрольная работа № 7 по теме «Неравенства» - НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/61html Cached Контрольная работа № 7 по теме «Неравенства» - НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ - НЕРАВЕНСТВА - ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС - поурочные разработки по алгебре для 8 Решение неравенств · Калькулятор Онлайн · с подробным решением wwwkontrolnaya-rabotaru/s/neravenstva Cached Онлайн калькулятор для решения любых уравнений, неравенств , интегралов Помощь школьникам, студентам в решении: None, можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной - НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему "Неравенства с одной переменной и их системы" контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра, 8 класс, Контрольные работы, Александрова Л Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox - the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 12,100 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

  • которые ведут преподавание курса геометрии по учебнику ЛС Атанасяна " Геометрия 10-11" издательства "Просвещение" Читать ещё Контрольные работы по геометриидля 9 класса ориентированы на учебник " Геометрия
  • ВФ Бутузов
  • 7-е изд

составлены в 4 вариантах к учебнику ЛС Атанасян контрольная работа по геометрии 9 класс контрольная работа дается учащимся как домашнее задание Контрольные работы по геометрии (7 кл) Скрыть 4 Решение контрольных | КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ reshebnik5-11ru › Смотреть решебник › …/GDZ/geometrija9-1pdf Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольные работы Задачи повышенной сложности АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 9 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 9 класса / БГ Зив Читать ещё Контрольные работы Задачи повышенной сложности АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 9 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 9 класса / БГ Зив — 7-е изд — М: Просвещение

7- 9 " (ЛС Атанасян

  • можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной - НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему "Неравенства с одной переменной и их системы" контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра
  • студентам в решении: None
  • можно заказать дипломную работу Решение систем неравенств с одной переменной - НЕРАВЕНСТВА С wwwcompendiumsu/mathematics/algebra8/59html Cached Глава iv НЕРАВЕНСТВА § 11 НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ Уроки 86-87 Алгебра 9 класс Контрольная работа №1 по теме: «Неравенства kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_9 Cached Контрольная работа для 8 класса по алгебре на тему "Неравенства с одной переменной и их системы" контрольная работа по алгебре в 8 классе неравенства системы кампусятарф/blog/45180html Cached Решение неравенств с одной переменной и их систем 122 Алгебра

3.2.3. Иррациональные неравенства



Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.2.

3.2.3.

Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень: если в неравенство входит квадратный корень, то в квадрат; входит корень третьей степени − в куб и т. д. Однако, как было показано выше в правиле 4 преобразования неравенств, возводить в квадрат, не нарушая равносильности, можно только неравенство, у которого обе части неотрицательны. При возведении же в квадрат неравенств, части которых имеют разные знаки, могут получиться неравенства, как равносильные исходному, так и неравносильные ему. Простой пример: –1 < 3 − верное неравенство, − тоже верное неравенство. Несмотря на то, что –4 < –1 − неравенство верное, неравенство уже верным не является.

Покажем, как получить равносильные системы для некоторых часто встречающихся типов неравенств.


Неравенства вида

Если x лежит в ОДЗ: f (x) ≥ 0, то левая часть неравенства существует и неотрицательна. Поскольку для всех x, являющихся решением данного неравенства, правая часть больше левой, то g (x) > 0. Следовательно, обе части неравенства неотрицательны (для тех x, которые являются решениями неравенства, другие x нас не интересуют). Значит, возведение в квадрат не нарушает равносильности и можно записать равносильную нашему неравенству систему неравенств:

Пример 1

Решите неравенство

Сразу перейдём к равносильной системе:


Ответ. 


Пример 2

Решите неравенство

Перейдём к равносильной системе:


Ответ. 



Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства f (x) ≥ 0. Пусть для каких-то x из ОДЗ g (x) < 0. Тогда, очевидно, все эти x − решения, так как при этих x левая часть определена (x  ОДЗ) и неотрицательна, в то время как правая часть g (x) < 0.

Для других x из ОДЗ g (x) ≥ 0. Для них обе части неравенства неотрицательны, и его можно возвести в квадрат: Значит, данное неравенство равносильно совокупности неравенств:


Заметим, что в последнюю систему не входит требование f (x) ≥ 0. Оно и не нужно, так как выполняется автоматически ибо полный квадрат всегда неотрицателен.

Пример 3

Решите неравенство


Пример 4

Решите неравенство



Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, и потому можно возводить в квадрат. Получим равносильную систему


Заметим, что из неравенства следует, что то есть дополнительно это требовать и включать это неравенство в систему не нужно.

Отметим полезное следствие. Предположим, что ОДЗ неравенства уже найдено, и мы будем отбирать решения только из ОДЗ (это разумно, поскольку вне ОДЗ решений нет). Тогда исходное неравенство равносильно следующему: а та система, которой это неравенство равносильно, может быть представлена (для x из ОДЗ) в виде Следовательно, в ОДЗ


Ясно, что те же рассуждения применимы и для знака неравенства ≥. Отсюда можно сделать полезное заключение:

Знак разности совпадает со знаком выражения

Отсюда же получается ещё одно полезное следствие:

в ОДЗ:

Пример 5

Решите неравенство

Перейдём к равносильной системе:

Решая эту систему методом интервалов, сразу получаем:

Ответ. 


Пример 6

Решите неравенство

ОДЗ данного неравенства:


Заметим, что в ОДЗ x ≥ 0, поэтому существует и значит,

Мы воспользовались здесь тем, что в ОДЗ x ≥ 0, (x – 5)(x – 6) ≥ 0 и потому существуют выписанные в последней строчке корни. Кроме того, мы вынесли за скобку который по вышесказанному существует. Этот корень неотрицателен и потому не влияет на знак неравенства, следовательно, на него можно сократить, не забывая, что он может ещё обратиться в нуль и те x, для которых корень обращается в нуль, являются решениями неравенства. Таким образом, в ответ необходимо включить число x = 5. При x = 6 корень обращается в нуль, но x = 6 не входит в ОДЗ неравенства. Воспользуемся теперь тем, что знак разности корней совпадает со знаком разности подкоренных выражений. Имеем:


Учтём теперь ОДЗ и получим:

Ответ. 



Неравенства вида

ОДЗ данного неравенства: Предположим, что функции f (x) и g (x) не имеют общих корней. Рассмотрим вспомогательное неравенство

(*)

1. Если g (x) < 0, то для любого x из ОДЗ выполнено

2. Если g (x) ≥ 0, то выражение может иметь любой знак, но выражение всегда строго положительно. Умножая обе части неравенства (*) на строго положительное число не меняя знака неравенства, перейдём к равносильному неравенству

Таким образом, в ОДЗ

Значит, при g (x) ≥ 0, знак разности совпадает со знаком разности в ОДЗ.

Получаем следующие условия равносильности.

Запоминать приведённые системы неравенств не нужно, важно понимать, как они получаются.

Пример 7

Решите неравенство






Иррациональные неравенства (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Иррациональные неравенства – коротко о главном

Определение

Иррациональное неравенство – это неравенство, содержащее переменную под корнем

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\)

\( \sqrt{A}\ge \sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A\ge B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

или

\( \sqrt{A}>\sqrt{B}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}A>B\\B\ge 0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}>0\) или \( A\sqrt{B}<0\)

\( A\sqrt{B}>0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A>0\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}<0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}B>0\\A<0\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( A\sqrt{B}\ge 0\)

\( A\sqrt{B}\ge 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\ge 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

или

\( A\sqrt{B}\le 0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}B=0\\\left\{ \begin{array}{l}A\le 0\\B\ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Неравенства вида \( \sqrt{A}\ge B\)

\( \sqrt{A}\ge B\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\le 0\\A\ge 0\end{array} \right.{-1}$   или   $x-1<2 \Rightarrow x<3$

В пересечении с ОДЗ получаем, что $x \in(1 ; 3)$

Ответ. $x \in(1 ; 3)$

Больше примеров решений

2. Решение логарифмического неравенства вида $$\log _{a} f(x) \lt \log _{a} g(x)$$ равносильно решению следующих систем:

а)      б)

Неравенство $\log _{a} f(x)>\log _{a} g(x)$ в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

$$00 \end{array}\right.$$ $$a>1:\left\{\begin{array}{l} f(x)>g(x) \\ g(x)>0 \end{array}\right.$$

Слишком сложно?

Логарифмические неравенства не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Решить неравенство $\log _{5} 5>\log _{5} x$

Решение. Данное неравенство равносильно системе:

$$\left\{\begin{array}{l} 5>x, \\ x>0 \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x0 \end{array} \Rightarrow x \in(0 ; 5)\right.\right.$$

Ответ. $x \in(0 ; 5)$

Больше примеров решений

Читать дальше: примеры решения задач с логарифмами.

Решение логарифмических уравнений и систем уравнений. Подготовка к ЕГЭ

Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую человечество употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим:
он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать
не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы;
ему ничто не должно доставаться даром.
Даётся только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)

Форма урока: комбинированный урок

Тип урока:

Урок повторного контроля знаний.

Обобщение и закрепление пройденного материала.

Цели урока:

  • Образовательная - обобщение знаний учащихся по теме "Логарифмические уравнения и системы уравнений; закрепить основные приемы и методы решения логарифмических уравнений и систем уравнений; ознакомить учащихся с видами заданий повышенной сложности по данной теме в ЕГЭ.
  • Развивающая - развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала, внимание, зрительную память, активность учащихся на уроке. Предоставить каждому из учащихся проверить свой уровень подготовки по данной теме.
  • Воспитывающая - воспитание познавательной активности, формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность, положительной мотивации к изучению предмета, аккуратности, добросовестности и чувство ответственности. Осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ученика через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу.

Задачи урока:

  • выработать у учащихся умение пользоваться алгоритмом решения логарифмических уравнений.
  • осуществить формирование первоначальных знаний в виде отдельных навыков после определенной тренировки решения уравнений и систем уравнений.
  • познакомить учащихся с частными случаями и отработать навыки по решению таких уравнений и систем уравнений.

Методы и педагогические приемы:

  • Методы самообучения
  • Приемы устного опроса.
  • Приемы письменного контроля.
  • Коллективная учебная деятельность.
  • Организация работы в группах.
  • Повышение интереса к учебному материалу.

Оборудование:

  • компьютер, мультимедийный проектор и экран;
  • тетради;

Раздаточный материал: задания для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент (1 мин)
  2. Проверка домашнего задания (3 мин)
  3. Входной контроль (повторение теоретического материала) (15 мин)
  4. Этап обобщения знаний учащихся. Решение уравнений и систем уравнений (45 мин)
  5. Разноуровневая самостоятельная работа (проверка знаний учащихся) (20 мин)
  6. Итоги урока (4 мин)
  7. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент

Взаимное приветствие; проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.

2. Проверка домашнего задания

Установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; установить пробелы в знаниях.

3. Входной контроль (повторение теоретического материала)

Организация устной фронтальной работы с классом по повторению логарифмических формул и способов решения логарифмических уравнений.

Решение простейших уравнений:

Сравните числа:

а) и

б) и

2) Найдите Х, если х>0:

[1/5]

[4]

Перечислите: основные способы решения логарифмических уравнений.

Способы решения логарифмических уравнений

  • По определению логарифма.
  • Метод потенцирования.
  • Метод введения новой переменной.
  • Решение уравнений логарифмированием его обеих частей.
  • Функционально-графический способ.

На экране уравнения:

  1. log2(3 - 6x) = 3
  2. lg(х2 - 2х) = lg (2х + 12)
  3. 5х + 1 - 5 х - 1 = 24
  4. хlg х = 10000
  5. 32х + 5 = 3х + 2 + 2
  6. log32x - log3 x = 3
  7. log2x - log4x = 3
  8. 2x = x2 - 2x

Среди данных уравнений выбрать логарифмические. Определить способ решения каждого уравнения. Решите уравнения.

По окончанию работы правильность решения уравнений осуществляется с помощью экрана.

Устно ответить на следующие вопросы (если имеется не один корень):

  • Найти наименьший корень уравнения.
  • Найти сумму корней уравнения.
  • Найти разность корней уравнения.
  • Найти произведение корней уравнения.
  • Найти частное корней уравнения

Самооценка и взаимооценка деятельности учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

4. Этап обобщения знаний учащихся

Решение логарифмических уравнений из заданий ЕГЭ части В и С.

№ 1 (В) Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения  log6(3x + 88) - log6 11 = log6 x. [1]

№ 2 (B) Найдите произведение всех корней уравнения

. [1]

№ 3 (B) Найдите сумму корней уравнения = log4 (x - 3) + 2. [2]

№ 4 (C) найти наибольший корень уравнения:  log2(2+5)+ log0,5(-х-0,5) = 1 [-4]

№ 5 (C) Решите уравнение - log6x + 34 = ()2 + x. [2]

Уравнения №1-3 решает по два ученика на обратных крыльях доски с последующей проверкой решения всем классом.

Уравнение №4,5 решает ученик с подробным комментарием.

По окончании самооценка и взаимооценка учащихся (результаты заносятся в листы самоконтроля).

Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

log a x = b, a > 0, a 1.

log a f(x) = b, a > 0, a 1.

log f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма: если logb a = c, то a = b c.

Решить уравнение log2 x = 3.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 23, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида loga f(x) = b, a > 0, a 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x).

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = ab проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример. Решить уравнение log3(5х - 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х - 1 > 0; х > 1/5.

log3(5х- 1) = 2,

log3(5х - 1) = log332,

5х - 1 =9,

х = 2.

Ответ: 2.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х2 - 2х - 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х2 - 2х - 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = -1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х2 - 2х - 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х1 = -1, х2 = 2.

Уравнения вида logf(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и после решения уравнения (f(x))c = b или равносильного уравнения проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример. Решить уравнение

logx-19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

2.. Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log a f(x) = log a g(x) к уравнению f(x) = g(x), которое обычно не равносильно исходному.

Уравнения вида

loga f(x) = loga g(x) , а > 0, а ?1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример. Решить уравнение log3 (x2 - 3x - 5) = log3 (7 - 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств:

x2 - 3x - 5>0,  7 - 2x>0

х> -1,5+ , х<3,5

х2 <-1,5-

Потенцируя данное уравнение, получаем х2 - 3х - 5 = 7 - 2х,

х2 - х - 12 = 0, откуда х1 = -3, х2 = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств.

Ответ. х = -3.

Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log a f(x) = log a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

logb a + logb c = logb (a*c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

logb a - logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b 1,

m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0, b 1; m R.

Пример 1. Решить уравнение log6 (x - 1) = 2 - log6 (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

Применяя преобразования, приходим к уравнению

log6 (x - 1) + log6 (5x + 3) = 2,

log6 ((x - 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х - 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = -2,6; х = 3. Учитывая область определения уравнения, х = 3.

Ответ. х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство (3x - 1)(x + 3) > 0 методом интервалов.

Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log5 (x + 3) 2 = 0. По определению логарифма (х + 3) 2 = 1, х = -4, х = -2. Число х = -2 посторонний корень.

Ответ. х = -4.

Пример 3. Решить уравнение log2 (6 - x) = 2 log6 x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 - x = x2, откуда х = -3, х = 2. Число х = -3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog a f(x) + Blog b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

Так как 3 = log28, то на области определения получим равносильное уравнение (2-x)/(x-1) = 8, откуда x = 10/9.

Ответ. x = 10/9.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).

Ответ. х = 6.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x > -1, x 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log 3(x + 1) ? 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log 3(x + 1)-1)2 = 0, откуда log 3(x + 1) = 1 и x = 2.

Ответ. x = 2.

3. Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа.

Пусть t = loga f(x), t R. Уравнение примет вид t2 + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = loga f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 1. Решить уравнение lg 2 x - lgx - 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения - интервал (0; ).Введём новую переменную t = lg x, t R.

Уравнение примет вид t 2 - t - 6 = 0. Его корни t1 = -2, t2 = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = -2 или lg x = 3, х = 10 -2 или х = 10 3.

Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение

Так как х < 0, то | x | = -x и следовательно

Введём новую переменную t = log3 (-x), t принадлежит R. Квадратное уравнение t 2 - 4t + 4 = 0

имеет два равных корня t1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log3 (-x) = 2, отсюда -х = 9, х = -9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения.

Ответ. х = -9.

 Уравнения вида

где a > 0, a 1, A, В, С - действительные числа, A 0, В 0.

Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на loga f(x) 0. Учитывая, что loga f(x) logf(x) a=1

(свойство logb a = 1/ loga b), получим уравнение

Замена loga f(x)=t, t R приводит его к квадратному At2 + Ct + B = 0.

Из уравнений loga f(x)= t1, logb f(x)= t2 найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:

f(x) > 0, f(x) 1.

Пример. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 1, т.е. x >-2, x -1.

Умножим обе части уравнения на log5 (x+2) 0, получим

или, заменив log5(x+2) = t, придем к квадратному уравнению

t 2 - t - 2 = 0, t1 = -1, t2 =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

log5 (x+2) = -1, x+2 = 1/5, x = -9/5,

log5 (x+2) = 2, x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = -9/5, x = 23.

в) log2х - 2 logх2 = -1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ:

4. Приведение некоторых уравнений к логарифмическим логарифмированием обеих частей.

Переход от уравнения вида f(x) = g(x) к уравнению loga f(x) = loga g(x), который возможен если f(x) >0, g(x) >0, a >0, a 1, называется логарифмированием.

Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно loga x.

Пример. Решить уравнение 32log4x+2=16x2.

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Ответ: x = 1/4

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=loga x , t R. Решив квадратное уравнение At2 + (B-а)t-loga C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t1 = loga x и t2=loga x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х > 0. Так как при х > 0 обе части уравнения положительны, а функция y = log3 t монотонна, то

(1 + log3 x) log3 x = 2.

Введём новую переменную t, где t = log3 x, t R.

(1 + t) t = 2, t 2 + t - 2 = 0, t1 = -2, t2 = 1.

log3 x = -2 или log3 x = 1,

x = 1/9 или х = 3.

Ответ. х = 1/9; х = 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения х >1. Обе части уравнения положительны, прологарифмируем их по основанию 2, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма частного:

Введем новую переменную t=log2x, получим квадратное уравнение t2 - 3t + 2 = 0,

t1 = 2, t2 = 1, тогда log2x = 2 или log2x =1.

Ответ. x = 4, x = 2.

1) Найти наибольший корень уравнения: lq(x+6) - 2 = 1/2lq(2x -3) - lq25

2) log0,5(log4(1/х)) + log4(log2(16х2)) =0

3) Пусть (х0;y0) - решение системы уравнений

Найти x0 +y0

Решение:

x0 +y0 =1,8+1,1=2,9

Ответ: 2,9.

4) Пример .Решите систему уравнений

у-1оg3х = 1,

хy=312.

Решение. Решим эту систему методом перехода к новым переменным:

u = у, v = -1оg3х.

Заметим, что x>0 и у R является областью определения данной системы.

Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 3, получим:

у 1оg3 х = 12 или у(- 1оg3х) = -12.

u + v = 1,

Итак,

u v = -12.

Тогда по обратной теореме Виета переменные и и v являются корнями квадратного уравнения

z2 -z-12 = 0

Следовательно, решения данной системы найдем как множество решений совокупности двух систем а) и б):

а) б)

Решениями указанных систем являются соответственно пары (27;4), (; -3).

Ответ: (27; 4), (; -3).

5) Пример. Решите систему уравнений

ху = 24

1оg22 х + 1оg22 y = 10.

Решение.

Перейдем к новым переменным:

1оg 2 х = и,

x = 2u>0, 1оg2 у = v, у = 2v >0.

В новых переменных данная система имеет вид:

Следовательно, и и v являются корнями квадратного уравнения :

z 2-42 + 3 = 0

Отсюда следует, что достаточно решить систему

 

Другое решение найдем из-за симметричности х и у, т. е. если (х; y) - решение, то (у; х) также является решением.

Ответ: (2; 8), (8; 2).

5. Самостоятельная работа.

1 вариант

1. Вычислите значение выражения: 11-3log3

2. Решите уравнения:

а) lg(x+3)=2lg2-lgx

б) log 736-log7(3x-12)=log7 4

3.Решите систему уравнений :

 2 вариант

1. Вычислите значение выражения: 13-3log2

2. Решите уравнения:

а) 9 log 3x-x2log 3x=0

б) log5 (8-24x)-log 58=log 57.

3. Решите систему уравнений:

6.Подведение итогов урока:

Учитывая контингент учащихся данного класса, можно сделать вывод о том, что в целом учащиеся усвоили материал по данной теме.

Выставление оценок.

7. Домашнее задание:

Решите уравнения:

Приложение

Система линейных неравенств - объяснение и примеры

Перед , решающим системы линейных неравенств , давайте посмотрим, что означает неравенство. Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.

Как правило, для представления уравнений неравенства используются пять символов неравенства.

Это меньше (<), больше (>), меньше или равно (≤), больше или равно (≥) и символ «не равно» (≠).Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Что такое система линейных неравенств?

Система линейных неравенств - это система уравнений линейных неравенств, содержащих одинаковые переменные.

Несколько методов решения систем линейных уравнений переводятся в систему линейных неравенств. Однако решение системы линейных неравенств несколько отличается от линейных уравнений, потому что знаки неравенства мешают нам решить с помощью метода замены или исключения.Возможно, лучший метод решения систем линейных неравенств - это графическое отображение неравенств.

Как решать системы линейных неравенств?

Ранее вы узнали, как решить одно линейное неравенство с помощью построения графиков. В этой статье мы узнаем, как найти решения для системы линейных неравенств путем одновременного построения графиков двух или более линейных неравенств.

Решением системы линейных неравенств является область, где пересекаются графики всех линейных неравенств в системе.

Чтобы решить систему неравенств, изобразите каждое линейное неравенство в системе на одной оси x-y, выполнив следующие шаги: :

  • Изолируйте переменную y в каждом линейном неравенстве.
  • Нарисуйте и заштрихуйте область над линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов> и ≥ соответственно.
  • Аналогичным образом нарисуйте и закрасьте область под линией границы, используя пунктирные и сплошные линии для символов <и ≤ соответственно.
  • Закрасьте область, где все уравнения перекрываются или пересекаются.Если нет области пересечения, то делаем вывод, что система неравенств не имеет решения.

Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы понять эти шаги.

Пример 1

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

y ≤ x - 1 и y <–2x + 1

Решение

Изобразите первое неравенство y ≤ x - 1.

  • Из-за символа «меньше или равно» мы нарисуем сплошную границу и сделаем штриховку под линией.
  • Также изобразите второе неравенство y <–2x + 1 на той же оси x-y.
  • В этом случае наша граница будет пунктирной или пунктирной из-за символа «меньше». Заштрихуйте область ниже границы.

Следовательно, решением этой системы неравенств является более темная заштрихованная область, продолжающаяся вечно в направлении вниз, как показано ниже.

Пример 2

Решите следующую систему неравенств:

x - 5y ≥ 6

3x + 2y> 1

Решение

  • Сначала выделите переменную y слева в каждом неравенстве.

Для x - 5y ≥ 6;

=> x ≥ 6 + 5y

=> 5y ≤ x - 6

=> y ≤ 0,2 x - 1,2

И для 3x + 2y> 1;

=> 2y> 1 - 3x

=> y> 0,5 - 1,5x

  • Мы построим график y ≤ 2 x - 1,2 и y> 0,5 - 1,5x, используя сплошную и ломаную линии соответственно .

Решение системы неравенства - более темная заштрихованная область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения.

Пример 3

Изобразите следующую систему линейных неравенств.

y ≤ (1/2) x + 1,

y ≥ 2x - 2,

y ≥ - (1/2) x - 3.

Решение

Эта система неравенств имеет три уравнения, которые все связаны символом «равно». Это говорит нам о том, что все границы будут прочными. График трех неравенств показан ниже.

Заштрихованная область трех уравнений перекрывается прямо в средней части.Следовательно, решения системы лежат в ограниченной области, как показано на графике.

Пример 4

Изобразите следующую систему линейных неравенств:

x + 2y <2, y> –1,

x ≥ –3.

Решение

Выделите переменную y в первом неравенстве, чтобы получить;

y <- x / 2 +1 Обратите внимание, что неравенства y> –1 и x ≥ –3 будут иметь горизонтальные и вертикальные граничные линии соответственно.Давайте изобразим три неравенства, как показано ниже.

Более темная заштрихованная область, ограниченная двумя сегментами пунктирной линии и одним сегментом сплошной линии, дает три неравенства.

Пример 5

Решите следующую систему линейных неравенств:

–2x -y <-1

4x + 2y ≤-6

Решение

Изолировать переменную y в каждом неравенство.

–2x -y <-1 => y> –2x + 1

4x + 2y ≤ -6 => y ≤ -2x -3

Давайте продолжим и построим график y> –2x + 1 и y ≤ - 2x -3:

Поскольку заштрихованные области двух неравенств не перекрываются, мы можем сделать вывод, что система неравенств не имеет решения.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение систем линейных неравенств

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений, потому что знаки неравенства не позволяют нам выполнять замену, как мы это делаем с уравнениями. Тем не менее, мы все еще можем решить эти проблемы.

Ключевые термины

o Система линейных неравенств

o Линейная оптимизация

o Линейное программирование

Цели

o Научиться решать задачи, связанные с системами линейных неравенств

o Понять базовый подход к решению задач линейной оптимизации.

Системы линейных неравенств

Система линейных неравенств включает несколько выражений, решение которых может дать ряд решений. Многие концепции, которые мы усвоили при изучении систем линейных уравнений, можно преобразовать в решение системы линейных неравенств, но этот процесс может быть несколько сложным. Возможно, наиболее наглядный способ одновременного решения набора линейных неравенств - использование графиков.Давайте сразу рассмотрим пример в двух измерениях.

2 x - 5 y ≤ 3

y - 3 x ≤ 1

Из-за неравенства мы не можем использовать подстановку так же, как мы это делали с системами линейных уравнений. Посмотрим на графики этих неравенств. Во-первых, мы упрощаемся до формы, которую легко построить графически.

2 x - 5 y ≤ 3 y - 3 x ≤ 1

2 x ≤ 3 + 5 y y ≤ 3 x + 1

5 y ≥ 2 x - 3

y ≥ 0.4 х - 0,6

Теперь построим график этих неравенств.

На графике видно, что есть две заштрихованные области, соответствующие решениям каждого неравенства. Линии заштрихованы, потому что неравенства не строгие (используются ≥ и ≤). Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая представляет собой перекрытие двух отдельных областей, и части линий (лучей), которые граничат с этой областью.Символически мы, пожалуй, лучше всего можем выразить решение в этом случае как

0,4 x - 0,6 ≤ y ≤ 3 x + 1

Решение систем неравенств в трех или более измерениях возможно, но это намного сложнее - построить графики твердых областей, которые составляют решения, также сложнее.

Практическая задача: Найдите и изобразите набор решений следующей системы неравенств:

x - 5 y ≥ 6

3 x + 2 y > 1

Решение : Сначала решим выражения для y .

x - 5 y ≥ 6 3 x + 2 y > 1

x ≥ 6 + 5 y 2 y > 1-3 x

5 y x - 6 y > 0,5 - 1,5 x

y ≤ 0,2 x - 1,2

Тогда мы можем выразить решение этой системы неравенств следующим образом:

0.5 - 1,5 x < y ≤ 0,2 x - 1,2

Построим график набора решений. Сначала мы построим график линий, соответствующих двум отдельным неравенствам (и выберем сплошную линию для первого и ломаную линию для второго), затем мы соответствующим образом закрасим две области.

Решение - это более темная заштрихованная область (которая является перекрытием двух отдельных областей решения), но давайте изобразим ее отдельно, чтобы было немного яснее.

Линейная оптимизация

Мы можем применить то, что мы узнали выше, к линейной оптимизации (также называемой линейным программированием ), которая представляет собой процесс поиска максимального или минимального значения для некоторой функции при определенных условиях (например, линейных неравенствах). Решение задач, связанных с линейной оптимизацией, не требует от вас приобретения каких-либо новых навыков; они просто требуют, чтобы вы применяли то, что уже знаете.Итак, перейдем к практической задаче.

Практическая задача: Найдите максимальное значение y при –3 x + 2 y ≤ 4 и x + y ≤ 1 при условии, что x ≥ 0.

Решение: Нам дана система неравенств, для которой мы должны сначала найти соответствующее множество решений. В этом наборе решений мы можем найти максимальное значение y .Итак, мы можем сначала применить то, что мы уже знаем: давайте перестроим неравенства в форму, которую мы можем легко изобразить.

–3 x + 2 y ≤ 4 x + y ≤ 1 x ≥ 0

2 y ≤ 3 x + 4 y ≤ 1 - x

y ≤ 1,5 x + 2

Теперь давайте изобразим каждое из этих неравенств, отмечая, что мы должны использовать сплошные линии в каждом случае.

Самая темная заштрихованная область (клин в правом нижнем углу графика) удовлетворяет всем ограничениям задачи. Затем мы хотим найти максимальное значение y , которое явно равно 1. (Мы также можем найти это значение, подставив x = 0 в x + y ≤ 1 и найдя максимальное значение y. , что также явно 1.)

Бесплатное пошаговое решение для систем уравнений и неравенств

Количество решаемых неравенств: 23456789 Пример задачи
32 905

Решить

Системы неравенств и линейное программирование

Неграфический метод намного сложнее и, возможно, намного труднее визуализировать все возможные решения для системы неравенств.Однако, когда у вас есть несколько уравнений или несколько переменных, построение графиков может быть единственным подходящим методом.

Применение систем неравенств: линейное программирование

Линейное программирование включает поиск оптимального решения линейного уравнения с учетом ряда ограничений.

Цели обучения

Объясните этапы симплекс-метода для решения приложений систем линейных неравенств

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Стандартная форма линейной программы: минимизировать [latex] c \ cdot x [/ latex], при условии [latex] Ax = b, x_ {i} \ geq0 [/ latex]. c, - коэффициенты целевой функции, x - переменные, A, - левая часть ограничений, а b - правая сторона.
  • Симплекс-метод включает в себя выбор входящей переменной из неосновных переменных в целевой функции, нахождение соответствующей выходящей переменной, которая поддерживает выполнимость, и поворот для получения нового допустимого решения, повторение до тех пор, пока вы не найдете решение.
  • В симплекс-методе, если нет положительных коэффициентов, соответствующих небазовым переменным в целевой функции, то вы находитесь в оптимальном решении.
  • В симплексном методе, если нет вариантов для исходящей переменной, то решение неограниченно.
Ключевые термины
  • целевая функция : функция, которая должна быть максимизирована или минимизирована в теории оптимизации.
  • каноническая форма : Формат, в котором линейная программа в стандартной форме может быть представлена, если столбцы A переставлены так, чтобы он содержал количество строк в A.
  • pivot : Переход от одного базового допустимого решения к смежному базовому допустимому решению.
  • ограничение : условие, которому должно удовлетворять решение проблемы.
  • симплекс-метод : алгоритм, оптимизирующий систему линейных неравенств.

Обычное применение систем неравенств - линейное программирование. Линейное программирование - это математический метод определения способа достижения наилучшего результата для списка требований, представленных в виде линейных отношений.

Пример, в котором линейное программирование может быть полезным для оптимизации системы неравенств, выглядит следующим образом:

Фабрика производит стулья трех типов: A, B и C.Фабрика получает прибыль в 2 доллара на стул A, 3 доллара на стул B и 4 доллара на стул C. Для стула A требуется 30 человеко-часов, для стула B - 20, а для стула C - 10. Для стула A нужно 2 м 2 дерева , для кресла B требуется 5 м 2 , а для кресла C - 3 м 2 . Учитывая 100 человеко-часов и 15 млн. 2 древесины в неделю, сколько стульев каждого типа следует изготавливать каждую неделю, чтобы максимизировать прибыль?

Симплексный метод

Наиболее распространенный метод в линейном программировании - это метод реализации S , или симплексный алгоритм.Чтобы использовать симплекс-метод, нам нужно представить проблему с помощью линейных уравнений. Пусть a будет количеством стульев A, b - стульями B и c - стульями C. Затем мы можем написать два линейных неравенства, в которых три переменные должны быть неотрицательными и должны выполняться все ограничения. Одно линейное неравенство покажет взаимосвязь между человеко-часами, необходимыми для проекта, а другое - количество древесины, необходимое для проекта:

Во-первых, неравенство для человеко-часов, упрощенное:

[латекс] 30a + 20b + 10c \ leq100 \\ 3a + 2b + c \ leq10 [/ латекс]

Тогда неравенство материалов:

[латекс] 2a + 5b + 3c \ leq15 [/ латекс]

Максимизируемая функция (целевая функция , и, в данном случае, прибыль от стульев):

[латекс] P = 2a + 3b + 4c [/ латекс]

Стандартная форма

Стандартная форма для симплекс-метода:

Свернуть [латекс] c \ cdot x [/ latex]

При условии: [латекс] Ax = b, x_ {i} \ geq0 [/ latex]

Где [латекс] x = [x_ {1}, x_ {2},…, x_ {n}] ^ {T} [/ latex] - переменные, [latex] c = [c_ {1}, c_ { 2},…, c_ {n}] [/ latex] - коэффициенты целевой функции, A - левая часть ограничений, и [latex] b = [b_ {1}, b_ {2} ,…, B_ {p}] ^ {T} [/ latex] право.

Решение линейной программы выполняется в два этапа. На первом этапе, фазе I, находится начальная крайняя точка. Фаза I либо дает базовое возможное решение, либо не дает решения. Если решения нет, линейная программа считается невыполнимой.

На втором этапе, фазе II, симплексный алгоритм применяется с использованием решения, найденного на этапе I, в качестве отправной точки. Возможные результаты Фазы II - это либо оптимальное решение, либо неограниченное решение.

Получение стандартной формы

Возможно, вы заметили, что нам давали неравенства, такие как [латекс] 3a + 2b + c \ leq 10 [/ latex], но стандартная форма требует равенства или уравнений.Поэтому мы вводим переменную резерва, которая представляет собой разницу между двумя сторонами неравенства и является неотрицательной.

Это дает нам новое равенство:

[латекс] 3a + 2b + c + s = 10 [/ латекс]

Другое неравенство, [латекс] 2a + 5b + 3c \ leq 15 [/ latex], принимает следующий вид:

[латекс] 2a + 5b + 3c + t = 15 [/ латекс]

Стандартная форма также требует, чтобы целевая функция была минимизацией. Если проблема требует максимизации, умножьте целевую функцию на [латекс] -1 [/ латекс].{T} [/ латекс]

[латекс] c = [- 2, -3, -4, 0, 0] [/ латекс]

[латекс] A = \ begin {bmatrix} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ latex]

[латекс] b = \ begin {bmatrix} 10 \\ 15 \ end {bmatrix} [/ latex]

Канонические картины

Линейная программа в стандартной форме может быть представлена ​​в виде таблицы вида

[латекс] \ begin {bmatrix} 1 & -c & 0 \\ 0 & A & b \ end {bmatrix} [/ latex]

, где первая строка определяет целевую функцию, а остальные строки определяют ограничения.Если столбцы A можно переставить так, чтобы он содержал единичную матрицу p-by-p (количество строк в A ), то говорят, что таблица имеет каноническую форму . Переменные, соответствующие столбцам единичной матрицы, называются базовыми переменными , а остальные переменные называются небазовыми или свободными переменными. Если предполагается, что неосновные переменные равны [latex] 0 [/ latex], тогда значения основных переменных легко получить как записи в b, , и это решение является основным возможным решением.

Повороты

Переход от одного базового допустимого решения к смежному базовому допустимому решению называется поворотом . Сначала в неосновном столбце выбирается ненулевой элемент поворота. Строка, содержащая этот элемент, умножается на его обратную величину, чтобы изменить этот элемент на 1, а затем кратные строки добавляются к другим, чтобы изменить другие записи в столбце на [latex] 0 [/ latex]. В результате, если точка поворота находится в строке [latex] r [/ latex], тогда столбец становится [latex] r [/ latex] -м столбцом единичной матрицы.Переменная для этого столбца теперь является базовой, заменяя переменную, которая соответствовала [latex] r [/ latex] -ому столбцу единичной матрицы. Переменная, соответствующая сводному столбцу, входит в набор основных переменных, а заменяемая переменная выходит из набора основных переменных.

Теперь симплекс-метод заключается в выполнении последовательных операций поворота, каждая из которых улучшает базовое возможное решение; Выбор поворотного элемента на каждом этапе во многом определяется требованием, чтобы этот поворотный элемент улучшал решение.

В качестве входящей переменной выберите любой столбец, в котором запись в целевой строке положительна. Если все записи в целевой строке меньше или равны [latex] 0 [/ latex], то выбор входящей переменной невозможен и решение является оптимальным.

При выборе сводной строки учитываются только положительные записи в сводном столбце. Это гарантирует, что значение входящей переменной будет неотрицательным. Если в сводном столбце их нет, то входящая переменная может принимать любое неотрицательное значение, при этом решение остается допустимым.Следовательно, целевая функция неограниченна.

Затем необходимо выбрать сводную строку, чтобы все остальные базовые переменные оставались положительными. Это происходит, когда результирующее значение входящей переменной минимально. Если сводный столбец - c, то сводная строка r выбирается так, чтобы [latex] b_ {r} / a_ {cr} [/ latex] было как минимум.

В нашем примере каноническая таблица:

[латекс] \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 10 \\ 0 & 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 15 \ end {bmatrix} [/ latex]

Столбцы 5 и 6 являются основными переменными s и t , а основное возможное решение - [латекс] a = b = c = 0, s = 10, t = 15 [/ латекс].

Столбцы 2, 3 и 4 можно выбрать как сводные столбцы; для этого примера выбран столбец 4. Значения x , полученные в результате выбора строк 2 и 3 в качестве сводных, равны [latex] \ frac {10} {1} = 10 [/ latex] и [latex] \ frac {15} {3} = 5. [/ latex] соответственно. Из них минимум 5, поэтому строка 3 должна быть опорной. Выполнение поворота дает:

[латекс] \ begin {bmatrix} 1 & \ frac {-2} {3} & \ frac {-11} {3} & 0 & 0 & \ frac {-4} {3} & - 20 \\ 0 & \ frac {7} {3} & \ frac {1} {3} & 0 & 1 & \ frac {-1} {3} & 5 \\ 0 & \ frac {2} {3} & \ frac {5} {3} & 1 & 0 & \ frac {1} { 3} & 5 \ end {bmatrix} [/ latex]

Теперь столбцы 4 и 5 представляют основные переменные c и s , и соответствующее базовое возможное решение:

[латекс] a = b = t = 0, s = 5, c = 5 [/ латекс]

Для следующего шага в целевой строке нет положительных записей, и на самом деле: [latex] -P = -20 + \ frac {2} {3} a + \ frac {11} {3} b + \ frac { 4} {3} т [/ латекс]

Итак, мы должны сделать 5 стульев типа C, чтобы максимизировать нашу прибыль с 20 долларами.

системных задач линейного неравенства

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Изучая алгебру 1 в старшем классе, вы обнаружите, что настоящие задачи со словами сложнее. Есть еще несколько шагов, чтобы найти решение. Вы уже изучали системы неравенства. Здесь мы обсудим текстовые задачи Системных линейных неравенств.
Из заданных проблем со словом
Шаг 1: Прочтите вопрос как следует.
Шаг 2: Проверьте неравенства, указанные в вопросе.
Шаг 3: В соответствии с неравенством составьте неравенства.
шаг 4: Измените данное уравнение в форме пересечения наклона.
Шаг 5: Постройте график каждой линии Во время построения графика проверьте исходный тест, а затем отметьте каждую область.
Шаг 6: Решением является пересекающаяся область.

Примеры решения словесных задач «Линейные неравенства»

Напишите неравенство для каждого из следующих утверждений.
1) Топливо от бензонасоса A стоит 3 за галлон, а от бензонасоса B - 5 за галлон. Мистеру С нужно потратить не больше 20 на топливо. Напишите и изобразите систему линейных неравенств.
Решение: Пусть топливо от бензонасоса A = x и от бензонасоса B = y
У г-на S не более 20.
∴ 3x + 5y $ \ leq $ 20
Так как топливо никогда не будет отрицательным, поэтому
x $ \ geq $ 0
y $ \ geq $ 0
Поскольку и x, и y больше нуля, ноль включается.
Четвертый центральный график представляет область решения.Любые координаты из этого региона удовлетворяют неравенству. Например, (3,2), (2,2) и т. Д.

2) Анита работает онлайн-репетитором за 4 доллара в час. Она также работает редактором за 7 $ в час. Ей разрешается работать только 15 часов в неделю. Она хочет заработать не более 75 $ \ $. Изобразите систему неравенств, чтобы представить эту ситуацию, и напишите как минимум два решения.
Решение: Пусть работает онлайн-репетитором = x, а редактором будет y.
4x + 7y $ \ leq $ 75
x + y $ \ leq $ 15

Центральный график представляет пересекающуюся область.
Координаты (2,4) и (6,6) удовлетворяют неравенствам.
Чек: (2,4) ⇒ 2 (4) + 7 (4) = 36 $ \ leq $ 74
2 + 4 = 6 $ \ leq $ 15
И (6,6) ⇒ 2 (6) + 7 (6) = 57 долл.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Алгебра - линейные неравенства

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-11: Линейные неравенства

До этого момента в этой главе мы сосредоточились на решении уравнений.Пришло время немного переключиться и начать думать о решении проблемы неравенства. Прежде чем мы перейдем к решению неравенств, мы должны сначала рассмотреть пару основных моментов.

На этом этапе вашей математической карьеры предполагается, что вы знаете, что

\ [a

означает, что \ (a \) - некоторое число, которое строго меньше \ (b \). Также предполагается, что вы знаете, что

\ [а \ ге б \]

означает, что \ (a \) - это некоторое число, которое либо строго больше, чем \ (b \), либо точно равно \ (b \).Точно так же предполагается, что вы знаете, что делать с двумя оставшимися неравенствами. > (больше) и \ (\ le \) (меньше или равно).

Мы хотим обсудить некоторые проблемы с обозначениями и некоторые тонкости, которые иногда возникают у студентов, когда они действительно начинают работать с неравенством.

Во-первых, помните, что когда мы говорим, что \ (a \) меньше \ (b \), мы имеем в виду, что \ (a \) находится слева от \ (b \) на числовой строке. Итак,

\ [- 1000

- истинное неравенство.

Затем не забывайте, как правильно интерпретировать \ (\ le \) и \ (\ ge \). Оба следующих утверждения являются истинными неравенствами.

\ [4 \ le 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} - 6 \ le 4 \]

В первом случае 4 равно 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Во втором случае -6 строго меньше 4 и, таким образом, «меньше или равно» 4. Наиболее часто встречается ошибка состоит в том, чтобы решить, что первое неравенство не является истинным неравенством. Также будьте осторожны, чтобы не принять эту интерпретацию и не перевести ее на <и / или>.Например,

\ [4

не является истинным неравенством, поскольку 4 равно 4, а не строго меньше 4.

Наконец, в этом и последующих разделах мы увидим множество двойных неравенств , поэтому мы не можем забыть о них. Следующее - двойное неравенство.

\ [- 9

В двойном неравенстве мы говорим, что оба неравенства должны выполняться одновременно. В этом случае 5 определенно больше -9 и в то же время меньше или равно 6.Следовательно, это двойное неравенство является истинным неравенством.

С другой стороны,

\ [10 \ le 5

не является истинным неравенством. Хотя верно, что 5 меньше 20 (поэтому верно второе неравенство), неверно, что 5 больше или равно 10 (поэтому первое неравенство неверно). Если хотя бы одно из неравенств в двойном неравенстве неверно, то все неравенство неверно. Этот момент более важен, чем вы можете себе представить.В следующем разделе мы встретимся с ситуациями, когда многие студенты пытаются объединить два неравенства в двойное неравенство, которое просто невозможно объединить, так что будьте осторожны.

Следующая тема, которую нам необходимо обсудить, - это идея обозначения интервала . Обозначение интервалов - это очень хорошее обозначение неравенств, которое будет широко использоваться в следующих нескольких разделах этой главы.

Наилучшим способом определения обозначения интервалов является следующая таблица.В таблице три столбца. Каждая строка содержит неравенство, график, представляющий неравенство, и, наконец, обозначение интервала для данного неравенства.

Помните, что квадратные скобки «[» или «]» означают, что мы включаем конечную точку, а круглые скобки «(» или «)» означают, что мы не включаем конечную точку.

Итак, с первыми четырьмя неравенствами в таблице обозначение интервалов на самом деле представляет собой не что иное, как график без числовой прямой.С последними четырьмя неравенствами обозначение интервала - это почти график, за исключением того, что нам нужно добавить соответствующую бесконечность, чтобы убедиться, что мы получаем правильную часть числовой прямой. Также обратите внимание, что бесконечности НИКОГДА не получают скобки. У них есть только круглые скобки.

Прежде чем переходить к решению неравенств, необходимо сделать последнее замечание об обозначении интервалов. Всегда помните, что когда мы записываем интервальное обозначение для неравенства, число слева должно быть меньшим из двух.

Пришло время подумать о решении линейных неравенств. При решении неравенств мы будем использовать следующий набор фактов. Обратите внимание, что факты приведены для <. Однако мы можем записать эквивалентный набор фактов для остальных трех неравенств.

  1. Если \ (a
  2. Если \ (a 0 \), то \ (ac
  3. Если \ (a bc \) и \ (\ frac {a} {c}> \ frac {b} {c} \). В этом случае, в отличие от предыдущего факта, если \ (c \) отрицательно, нам нужно изменить направление неравенства, когда мы умножаем или делим обе части неравенства на \ (c \).

Это почти те же факты, которые мы использовали для решения линейных уравнений. Единственное реальное исключение - третий факт. Это важный факт, поскольку он часто используется неправильно и / или часто забывается при решении проблемы неравенства.

Если вы не уверены, что полагаете, что знак \ (c \) имеет значение для второго и третьего фактов, рассмотрите следующий пример числа.

\ [- 3

Я надеюсь, что мы все согласимся, что это истинное неравенство.Теперь умножьте обе части на 2 и -2.

\ [\ begin {align *} - 3 и 5 \ left ({- 2} \ right) \\ - 6 & - 10 \ end {align *} \]

Конечно, при умножении на положительное число направление неравенства остается неизменным, однако при умножении на отрицательное число направление неравенства меняется.

Хорошо, давайте устраним некоторые неравенства. Мы начнем с неравенств, в которых есть только одно неравенство.Другими словами, мы отложим решение двойных неравенств для следующего набора примеров.

Здесь мы должны помнить, что мы просим определить все значения переменной, которые мы можем подставить в неравенство и получить истинное неравенство. Это означает, что наши решения в большинстве случаев сами по себе будут неравенствами.

Пример 1 Решение следующих неравенств. Приведите как неравенство, так и интервальную форму записи решения.
  1. \ (- 2 \ влево ({m - 3} \ right) <5 \ left ({m + 1} \ right) - 12 \)
  2. \ (2 \ left ({1 - x} \ right) + 5 \ le 3 \ left ({2x - 1} \ right) \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Решение отдельных линейных неравенств во многом повторяет процесс решения линейных уравнений. Мы упростим обе стороны, получим все члены с переменной с одной стороны и числа с другой стороны, а затем умножим / разделим обе стороны на коэффициент переменной, чтобы получить решение.Вы должны помнить одну вещь: если вы умножаете / делите на отрицательное число, то меняете направление неравенства.


a \ (- 2 \ left ({m - 3} \ right) Показать решение

Здесь действительно особо нечего делать, кроме как следовать описанному выше процессу.

\ [\ begin {align *} - 2 \ left ({m - 3} \ right) & \ frac {{13}} {7} \ end {align *} \]

Вы уловили тот факт, что направление неравенства здесь изменилось, не так ли? Мы разделились на «-7» и нам пришлось менять направление.Неравенство решения имеет вид \ (m> \ frac {{13}} {7} \). Обозначение интервала для этого решения: \ (\ left ({\ frac {{13}} {7}, \ infty} \ right) \).


b \ (2 \ left ({1 - x} \ right) + 5 \ le 3 \ left ({2x - 1} \ right) \) Показать решение

Опять же, здесь особо нечего делать.

\ [\ begin {align *} 2 \ left ({1 - x} \ right) + 5 & \ le 3 \ left ({2x - 1} \ right) \\ 2 - 2x + 5 & \ le 6x - 3 \\ 10 & \ le 8x \\ \ frac {{10}} {8} & \ le x \\ \ frac {5} {4} & \ le x \ end {align *} \]

Теперь, с этим неравенством, мы закончили с переменной с правой стороны, когда это более традиционно с левой стороны.Итак, давайте поменяем местами, чтобы переменная оказалась слева. Обратите внимание, однако, что нам нужно будет также изменить направление неравенства, чтобы убедиться, что мы не изменим ответ. Итак, вот обозначение неравенства для неравенства.

\ [x \ ge \ frac {5} {4} \]

Обозначение интервала для решения: \ (\ left [{\ frac {5} {4}, \ infty} \ right) \).

А теперь давайте решим несколько двойных неравенств.Этот процесс в некотором смысле похож на решение отдельных неравенств, но в остальном сильно отличается. Поскольку существует два неравенства, невозможно получить переменные с «одной стороны» неравенства и числа с другой. Легче увидеть, как это работает, если мы рассмотрим пару примеров, так что давайте сделаем это.

Пример 2 Решите каждое из следующих неравенств. Приведите для решения форму неравенства и интервальных обозначений.
  1. \ (- 6 \ le 2 \ left ({x - 5} \ right) <7 \)
  2. \ (- 3 <\ frac {3} {2} \ left ({2 - x} \ right) \ le 5 \)
  3. \ (- 14 <- 7 \ влево ({3x + 2} \ вправо) <1 \)
Показать все решения Скрыть все решения a \ (- 6 \ le 2 \ left ({x - 5} \ right) Показать решение

Процесс здесь довольно похож на процесс для одиночных неравенств, но сначала нам нужно быть осторожными в нескольких местах.Нашим первым шагом в этом случае будет удаление скобок в среднем члене.

\ [- 6 \ le 2x - 10

Теперь мы хотим, чтобы \ (x \) был сам по себе в среднем члене и только числа в двух внешних членах. Для этого мы будем добавлять / вычитать / умножать / делить по мере необходимости. Единственное, что нам нужно здесь помнить, это то, что если мы делаем что-то для среднего срока, мы должны делать то же самое с ОБЕИМ из исходящих терминов. Одна из наиболее распространенных ошибок на этом этапе - добавить что-то, например, в середину, и добавить это только к одной из двух сторон.

Хорошо, мы прибавим 10 ко всем трем частям, а затем разделим все три части на две.

\ [\ begin {array} {c} 4 \ le 2x

Это неравенство формы ответа. Ответ в виде интервальной записи \ (\ left [{2, \ frac {{17}} {2}} \ right) \).


b \ (- 3 Показать решение

В этом случае первое, что нам нужно сделать, это очистить дроби, умножив все три части на 2. Затем мы продолжим, как и в первой части.

\ [\ begin {array} {c} - 6

На этом мы еще не закончили, но нам нужно быть очень осторожными на следующем шаге. На этом этапе нам нужно разделить все три части на -3. Однако напомним, что всякий раз, когда мы делим обе стороны неравенства на отрицательное число, нам нужно изменить направление неравенства. Для нас это означает, что оба неравенства должны изменить направление здесь.

\ [4> х \ ge - \ frac {4} {3} \]

Итак, существует форма неравенства решения.Нам нужно будет быть осторожным с обозначением интервалов для решения. Во-первых, обозначение интервала НЕ \ (\ left ({4, - \ frac {4} {3}} \ right] \). Помните, что в обозначении интервала меньшее число всегда должно располагаться слева! правильное обозначение интервала для решения: \ (\ left [{- \ frac {4} {3}, 4} \ right) \).

Также обратите внимание, что это также соответствует форме неравенства решения. Неравенство говорит нам, что \ (x \) - это любое число от 4 до \ (- \ frac {4} {3} \) или, возможно, само \ (- \ frac {4} {3} \), и это в точности что нам говорят обозначения интервалов.

Кроме того, неравенство можно перевернуть, чтобы получить меньшее число слева, если мы захотим. Вот та форма,

\ [- \ frac {4} {3} \ le x

При этом не забудьте также правильно обработать неравенства.


c \ (- 14 Показать решение

Ничего особенного для этого. Мы продолжим так же, как и в предыдущих двух.

\ [\ begin {array} {c} - 14

Не волнуйтесь, что одна из сторон теперь равна нулю.Это не проблема. Опять же, как и в предыдущей части, мы будем делить на отрицательное число, поэтому не забудьте изменить направление неравенств.

\ [\ begin {array} {c} \ displaystyle 0> x> - \ frac {{15}} {{21}} \\ \ displaystyle 0> x> - \ frac {5} {7} \ hspace {0,25 in} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25in} - \ frac {5} {7}

Для решения подойдет любое из неравенств во второй строке. Интервальное обозначение решения - \ (\ left ({- \ frac {5} {7}, 0} \ right) \).

При решении двойных неравенств обязательно обратите внимание на неравенства, которые есть в исходной задаче. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь - начать с задачи, в которой одно из неравенств имеет вид <или>, а другое - \ (\ le \) или \ (\ ge \), как мы делали в первых двух частях в предыдущем примере, а затем в окончательном ответе они оба являются <или>, либо они оба являются \ (\ le \) или \ (\ ge \). Другими словами, легко сделать оба неравенства одинаковыми.Будьте осторожны с этим.

Есть еще один последний пример, над которым мы хотим работать.

Пример 3 Если \ (- 1 Показать решение

Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Все, что мы действительно собираемся сделать, это начать с данного неравенства, а затем изменить средний член, чтобы он выглядел как второе неравенство. Опять же, нам нужно помнить, что все, что мы делаем со средним термином, нам также необходимо сделать с двумя внешними членами.

Итак, сначала умножим все на 2.

\ [- 2

Теперь прибавьте 3 ко всему.

\ [1

Теперь у нас есть средний член, идентичный второму неравенству в формулировке задачи, поэтому все, что нам нужно сделать, это выбрать \ (a \) и \ (b \). Из этого неравенства видно, что \ (a = 1 \) и \ (b = 11 \).

Как решить сложные неравенства «И» и «ИЛИ» - видео и стенограмма урока

Как решить сложное неравенство

Пример 1

Давайте посмотрим на неравенство 2 + x <5 и -1 <2 + x , которое также можно записать как -1 <2 + x <5.Это сложное неравенство, потому что здесь используется слово «и». Теперь давайте продолжим и решим это.

1) Решите каждую часть неравенства отдельно.

2 + x <5 и -1 <2 + x

В первом уравнении 2 + x <5, нам нужно вычесть 2 с каждой стороны, чтобы получить переменную отдельно. Тогда мы получаем x <3.

Во втором уравнении, -1 <2 + x , мы снова вычитаем 2 из обеих частей.Это дает нам -3 < x .

Таким образом, наше решение: x <3 и -3 x <3.

2) График на числовой прямой.

Так как это союз, ответ лежит между -3 и 3. Другими словами, любое значение от -3 до 3 удовлетворяет этому составному неравенству.

Помните Сидней? Если бы мы отобразили ее неравенство на числовой прямой, это показало бы, что все числа от 30 до 60 были бы возможными решениями.То есть она могла заниматься 35 минут, 42 минуты и так далее.

Пример 2

Но что, если мы решаем дизъюнкцию? Давайте посмотрим на следующее неравенство: 7> 2 x + 5 или 7 <5 x - 3. На этот раз вместо слова «и» используется слово «или». Как решить эту проблему?

1) Решите каждое неравенство:

Для 7> 2 x + 5 мы вычитаем 5 с каждой стороны, чтобы получить 2> 2 x . Разделите каждую сторону на 2, и мы получим 1> x .

Для 7 <5 x - 3 мы прибавляем по 3 к каждой стороне и получаем 10 <5 x . Разделите каждую сторону на 5, и мы получим 2 < x .

2) График на числовой прямой.

Поскольку это дизъюнкция, ответ лежит на любом значении больше 2 и меньше 1. Все действительные числа удовлетворяют этому составному неравенству.

Важные примечания

При решении сложных неравенств следует помнить о нескольких важных моментах.

1.) Если вы хотите проверить свой ответ или не уверены в своем ответе, выберите значение в заштрихованной области числовой линии и вставьте его в оба неравенства. Если вы получите верное утверждение в обоих неравенствах, вы знаете, что ответ правильный. Например, когда мы решили 2 + x <5 и -1 <2 + x , мы обнаружили, что решение было -3 < x <3. 1 - это значение между -3 и 3. Давайте подключим его к неравенство, чтобы проверить нашу работу.

  • Если мы заменим 1 на x в 2 + x <5, мы получим 2 + 1 <5 или 3 <5.
  • Если мы заменим 1 на x в -1 <2 + x, мы получим -1 <2 + 1 или -1 <3.

Оба эти утверждения верны, поэтому наш ответ правильный.

2.) При отображении неравенств используйте открытый кружок для значений «меньше или больше» и закрашенный кружок для значений «меньше или равно» и «больше или равно». Это говорит нам, включено ли число, указанное в числовой строке (если оно затенено) или исключено (если оно открыто), как решение неравенства.

3.) Если обе стрелки указывают одинаково, не забудьте указать, где справедливо сложное неравенство. Например, если вы разрешили неравенство и получили x > -3 или x > 5, это будет выглядеть так:

Поскольку это дизъюнкция, заштрихованная область больше -3 удовлетворяет этому неравенству. Если бы это было соединение с использованием «и», только заштрихованная область больше 5 удовлетворяла бы неравенству.

Резюме урока

На этом уроке мы узнали, что неравенство похоже на уравнение, за исключением того, что в нем используется знак неравенства вместо знака равенства. Мы узнали, что соединение - это два неравенства, в которых используются слова « и », и что решение удовлетворяет обоим неравенствам. Мы также узнали, что дизъюнкция представляет собой комбинацию двух неравенств, в которой используется слово « или », и что решение удовлетворяет одному из уравнений.

Чтобы решить неравенство, сначала решите каждое неравенство отдельно, как если бы вы решали уравнение. После того, как вы решите каждую часть, изобразите неравенства на той же числовой прямой. Если это соединение , в котором используется слово и, решение должно работать в обоих неравенствах, а решение находится в области перекрытия графа. Если это дизъюнкция , в которой используется слово или, решение должно работать в любом из уравнений. Всегда выбирайте значение и вставляйте его обратно в исходное неравенство, чтобы определить, верен ли ответ.

Сложные неравенства «И» и «ИЛИ»: Словарь

Словарь Определения
Неравенство как уравнение, в котором знак равенства заменен знаком неравенства
Составное неравенство более одного неравенства, которое необходимо решить одновременно
Соединение сложное неравенство, в котором решения должны работать в обоих неравенствах; соединены словом "и"
Дизъюнкция составное неравенство, в котором решение должно работать в любом из неравенств; использует слово "или"

Результаты обучения

По окончании урока учащиеся должны уметь:

  • Определить неравенство и усугубить неравенство
  • Контрастные неравенства конъюнкции и дизъюнкции
  • Решите сложные неравенства и изобразите их решения
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта