Тест к уроку: “Современное общество”
Решение систем уравнений второй степени
План урока
- Способ (метод) подстановки;
- Способ (метод) сложения.
Цели урока
- Знать алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки;
- Знать суть метода сложения для решения систем уравнений второй степени;
- Уметь использовать метод подстановки для решения систем уравнений второй степени;
- Уметь использовать метод сложения для решения систем уравнений второй степени.
Разминка
- Какие способы решения систем линейных уравнений вы изучали?
- Сколько решений имеет система линейных уравнений?
Метод подстановки
Системы линейных уравнений можно решить, например, способом подстановки или способом сложения. Оба эти метода решения вам знакомы, и вы умеете их использовать. Каждый из них можно применить и для решения других систем.
Рассмотрим сначала способ подстановки. Вспомним алгоритм решения системы уравнений для этого метода.
Алгоритм решения систем уравнений второй степени способом подстановки:
1. Выразить из уравнения первой степени одну переменную через другую;
2. Подставить полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего получается уравнение с одной переменной;
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;
4. Подставить решения уравнения в выражение из пункта 1 и найти соответствующее значение второй переменной.
Воспользуемся этим способом для решения следующей системы.
Пример 1
Решить систему уравнений:
x2+y2=25x+y=-7
Решение
1. Выразим из второго уравнения переменную y:
x+y=-7, y=-7-x.
2. Подставим полученное выражение в первое уравнение и решим уравнение с одной переменной:
x2+(-x-7)2=25
x2+x2+14x+49-25=0
2×2+14x+24=0
x2+7x+12=0
x1=-3; x2=-4.
3. Подставим полученные значения для переменной x в выражение из пункта 1, y=-7-x
y1=-7-(-3)=-7+3=-4
y2=-7-(-4)=-7+4=-3
4. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений (-3; -4) и (-4; -3).
Ответ: (-3; -4), (-4; -3).
Упражнение 1
Решить систему уравнений:
3x-y=2×2-4x+8=y
Метод сложения
Второй способ решения – метод сложения. Суть метода состоит в том, что при сложении (или вычитании) уравнений системы можно получить уравнение с одной переменной.
Алгоритм решения систем уравнений второй степени методом сложения:
1. Умножить или разделить, при необходимости, уравнения (или оба) на число, так чтобы в обоих уравнениях была одна из переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами;
2. Сложить (если коэффициенты одинаковые) или вычесть (если коэффициенты противоположные) уравнения;
3. Решить получившееся уравнение с одной переменной;
4. Подставить решения уравнения в любое из исходных уравнений и найти соответствующее значение второй переменной.
Оба способа пользуются широким распространением и изучение обоих необходимо.
Рассмотрим применение метода сложения на примере.
Пример 2
Решить систему уравнений:
5×2+y2=3610×2+2y2=36x
Решение
1. Умножим первое уравнение на 2 и получим:
10×2+2y2=7210×2+2y2=36x
2. Из первого уравнения вычтем второе:
10×2+2y2-(10×2+2y2)=72-36x
72-36x=0
3. Решим полученное уравнение:
72-36x=0
x=2
4. Подставим полученное значение для переменной x в уравнение 5×2+y2=36:
5·22+y2=36
y2=36-20
y2=16
y1=4, y2=-4.
5. Таким образом, решение системы уравнений – две пары значений (2; 4) и (2; -4).
Ответ: (2; 4), (2; -4).
Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то решить ее бывает трудно. Для ее решения в отдельных случаях применяют метод подстановки и метод сложения.
Упражнение 2
Решить систему уравнений:
18×2+21y2=61x6x2+7y2=61
Пример 3
Решите систему уравнений:
x2y2-xy=yx-y2x2,x+y=4.
Решение
Перепишем систему уравнений в виде:
x2y2+y2x2=xy+yx,x+y=4.
Пусть t=xy+yx. Возведем обе части этого равенства во вторую степень:
t2=x2y2+2·xy·yx+y2x2,
x2y2+y2x2=t2-2.
Первое уравнение примет вид t2-t-2=0, решением которого являются числа 2 и -1.
Тогда из исходной системы уравнений получаем две системы:
xy+yx=2,x+y=4, и xy+yx=-1,x+y=4.
Решим каждую из них.
1) xy+yx=2,x+y=4, 4-yy+y4-y=2,x=4-y.
Решим отдельно первое уравнение:
4-yy+y4-y=2,
16-8y+y2+y2-2y4-yy4-y=0,
y2-4y+4=0 при y≠0; y≠4,
y=2.
Если y=2, то x=2.
2) xy+yx=-1,x+y=4, 4-yy+y4-y=-1,x=4-y.
Решим отдельно первое уравнение:
4-yy+y4-y=-1,
16-8y+y2+y2+4y-y2y4-y=0,
y2-4y+16=0 при y≠0; y≠4.
Последнее уравнение не имеет действительных корней, значит, и система уравнений не имеет решений.
Ответ: 2; 2.
Пример 4
Решите систему уравнений:
xy+2x-y=10,5xy-3x-y=11.
Решение
Пусть xy=t, x-y=m. Тогда система уравнений примет вид:
t+2m=10,5t-3m=11, t=10-2m,50-10m-3m=11, t=4,m=3.
Имеем:
xy=4,x-y=3, y3+y=4,x=3+y.
Решения первого уравнения: y1=1; y2=-4.
Если y=1, то x=4.
Если y=-4, то x=-1.
Ответ: (4; 1), (−1; −4).
Пример 5
Решите систему уравнений:
x+4y-1=x2+5x+4,x2-xy-3x+8=0.
Решение
Разложим квадратный трехчлен из правой части первого уравнения на множители:
x2+5x+4=x+4x+1.
Первое уравнение примет вид:
x+4y-1=x+4x+1.
Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки общий множитель:
x+4y-x-2=0,
откуда, x=-4 или y=x+2.
Если x=-4, то из второго уравнения получим y=-9.
Если y=x+2, то из второго уравнения x=1,6, тогда y=3,6.
Ответ: (−4; −9), 1,6; 3,6.
Контрольные вопросы:
1. Как решить систему уравнений методом подстановки?
2. Чем метод сложения отличается от метода подстановки?
Ответы
Упражнение 1
(2; 4), (5; 13)
Упражнение 2
(3; 1), (3; -1)
Системы уравнений
Репетиторы ❯ Математика ❯ Системы уравнений
Автор: Валентин В.
●
10.10.2011
●
Раздел: Математика
Если перед нами ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что нужно решить систему уравнений. Решением системы уравнений называется каждая пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Иными словами, решить систему – это значит найти все решения этой системы или доказать, что их нет.
Запись системы уравнений сопровождается фигурной скобкой {.
Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Системы уравнений считаются равносильными также и в случае, когда каждое уравнение системы не имеет решения.
Теорема 1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.
{х – 3у = 10, {х = 3у + 10
{3х – 2у = 2 {3х – 2у = 2
Следствие. Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной. Так, равносильными являются системы:
{х – 3у = 10, {х = 3у + 10
Теорема 2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная системы будет равносильна данной.
Так, равносильны системы:
{х – 3у = 10, {(х – 3у) + (3х – 2у) = 10 + 2
{3х – 2у = 2 {3х – 2у = 2.
Существует несколько методов решения систем уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки реализуется так:
1. В одном из уравнений мы выражаем одну переменную через другую (например, х через у).
2. Полученное выражение подставляем во второе уравнение вместо х. В результате получается уравнение с одной переменной.
3. Находим корни этого уравнения.
4. Воспользовавшись нашим выражением из пункта 1, находим вторую переменную.
Решим систему уравнений:
{х – 3у = 10,
{х2 – 24у = 100.
Решение.
1. В уравнении 1 выразим х через у и получим: х – 3у = 10 → х = 3у + 10
2. В уравнение 2 подставим полученное выражение: х2 – 24у = 100 – (3у + 10)2 – 24 у = 100.
3. Решим преобразованное уравнение 2 и получим корни 0 и -4.
4. Исходя из полученных значений у, найдем значения х.
Если у = 0, х = 10.
Если у = -4, х = -2.
Т.о., система уравнений имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).
Ответ. (-2; -4) и (10; 0).
Метод сложения основан на рассмотренных нами теориях. Изучим данный метод, работая с примером:
Решим систему:
{2х + 3у = 7,
{3х – у = 16.
Решение.
1. Умножим обе части второго уравнения на 3, получим систему:
{2х + 3у = 7,
{9х – 3у = 48.
Эта система, в соответствии с теоремами, равносильна первоначальной.
2. Сложим оба уравнения новой системы и получим:
{2х + 3у = 7,
{(2х + 3у) + (9х – 3у) = 7 + 48.
3. Преобразуем полученную систему:
{2х + 3у = 7,
{11х = 55.
4. Из уравнения 2 получаем х = 5. Подставим получившееся значение в уравнение 1 и получим у = -1 .
Ответ. х = 5, у = -1.
Метод введения новых переменных работает так: либо мы вводим новую переменную только для одного уравнения, либо вводим две новых переменных сразу для обоих уравнений.
Решим систему
{х/у = у/х = 13/6
{х = у = 5.
Решение.
1. Предположим, что х/у = a, тогда у/х = 1/а → уравнение 1 примет вид: а + 1/а = 13/6.
Решим полученное уравнение относительно переменной а: 6а2 + 6 = 13а
6а2 – 13а + 6 = 0. Корнями уравнения являются а1 = 2/3 и а2 = 3/2.
2. Отсюда получим, что либо х/у = 2/3, т.е. у = 3х/2, либо х/у = 3/2, т.е. у = 2х/3.
3. Т.к. с учетом полученных результатов, уравнение 1 распалось на два уравнения, нам предстоит решить совокупность двух систем:
{у = 2х/3, {у = 2х/3.
{х + у = 5 {х + у = 5.
Из системы 1 находим х = 2, у = 3, из системы 2 находим х = 3, у = 2.
Ответ: (2; 3) и (3; 2).
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос
Математика
Курсы по математике 10 класс
Математика
Курсы по математике 9 класс
Математика
Математика 11 класс
Математика
Курсы по геометрии 7 класс
Математика
Курсы по алгебре 7 класс
Математика
Алгебра 8 класс
Математика
Курсы по геометрии 8 класс
Французский язык
Курсы французского языка для начинающих
Онлайн калькулятор: Решатель линейных уравнений с двумя переменными
Учеба Математика Алгебра
Калькулятор решает систему уравнений первой степени с двумя неизвестными. Вы вводите шесть коэффициентов, он находит значения неизвестных и обнаруживает случаи отсутствия решения или бесконечных решений.
Система уравнений первой степени с двумя неизвестными:
где a, b, c, d, e и f действительные числа, а x и y неизвестны.
Необходимо ввести коэффициенты a, b, c, d, e и f в форму ниже, и калькулятор выдаст x и y .
Формулы, используемые для решения уравнений, находятся под калькулятором.
Решение системы уравнений первой степени с двумя неизвестными
Точность вычислений
Знаки после запятой: 2
Комментарии
Решение уравнений
Для решения уравнений необходимо найти значения x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.
Шаги, связанные с решением системы уравнений первой степени с двумя неизвестными, включают исключение одного из неизвестных путем сложения или вычитания двух уравнений, а затем решение оставшихся неизвестных. Это можно сделать с помощью методов замены или исключения. Подстановка включает решение одного уравнения для одной переменной и подстановку этого значения в другое уравнение, в то время как исключение включает добавление или вычитание двух уравнений для исключения одной из переменных.
Однако есть общие формулы:
Эти формулы легко запомнить, если ввести понятие определителя второго порядка как
Тогда решение уравнений можно записать в виде
т.е. неизвестных равна дроби, знаменателем которой является определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных, а числитель получается из этого определителя заменой коэффициентов при соответствующем неизвестном на абсолютный член.
Возможны три различных решения:
-
Коэффициенты при неизвестных в уравнениях непропорциональны
в этом случае система уравнений имеет единственное решение, представленное формулой -
Коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но непропорциональны свободным слагаемым
в этом случае система уравнений не имеет решений, так как мы имеем здесь противоречивые уравнения. - Все коэффициенты уравнений пропорциональны
Система уравнений имеет бесконечное множество решений, потому что на самом деле у нас одно уравнение вместо двух.
URL скопирован в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Решение неоднородной системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы
- • Общее решение системы линейных уравнений с помощью метода исключения Гаусса
- • Метод исключения Гаусса 9 0064 • Правило Крамера
- • Решатель уравнений 3×3
- • Раздел алгебры (110 калькуляторов)
Алгебра Математическая система уравнений
PLANETCALC, двухпеременная линейная Equation Solver
Тимур 07.03.2023 07 :34:38
Легко решить систему уравнений
Калькулятор системы уравнений
Мы представляем вам лучший Калькулятор системы уравнений с шагами, с помощью которых вы можете решают системы линейных уравнений , систему квадратных уравнений , линейные квадратные системы и систему нелинейных уравнений в целом.
Этот калькулятор идеально подходит для обучения решению систем уравнений методами подстановки и исключения, так как он представляет решения с пошаговым объяснением. Так что, если вы изучаете алгебру, этот калькулятор системы уравнений будет вам очень полезен.
Этот калькулятор идеально подходит для обучения решению систем уравнений методами подстановки и исключения, так как он представляет решения с пошаговым объяснением. Так что, если вы изучаете алгебру, этот калькулятор системы уравнений будет вам очень полезен.
А если вы учитель математики, этот инструмент поможет вам создать новый учебный материал для использования в классе.
В следующем разделе вы найдете инструкции по использованию решателя системы уравнений.
Содержание
- 1 Калькулятор системы уравнений
- 2 Инструкции по использованию Решателя системы уравнений
- 3 Что такое система уравнений?
- 4 Типы систем уравнений
- 5 Как решить систему уравнений
- 5.
1 Метод замены
- 5.2 Метод исключения
- 5.
Инструкции по использованию Решателя систем уравнений
Для решения систем уравнений с помощью этого калькулятора выполните следующие действия:
- Введите уравнения одно за другим, используя поле ввода и кнопку «+ Добавить». Введенные уравнения будут располагаться под полем ввода, их можно отредактировать, нажав кнопку со значком карандаша, или удалить, нажав красную кнопку «x».
- Нажмите кнопку «Решить», чтобы получить решение системы уравнений. Автоматически появится окно с подробным пошаговым решением. В этом поле вы можете выбрать метод, используемый для решения системы уравнений.
В этом видеоуроке более подробно показано, как пользоваться калькулятором системы уравнений.
Воспроизвести видео о System of Equations Solver-video
Что такое система уравнений?
Система уравнений представляет собой набор из двух или более алгебраических равенств с несколькими неизвестными , эти равенства связаны друг с другом, так как значения неизвестных удовлетворяют всем уравнениям. Пример:
5x-3y+4z=-1 |
-3x-6y=14z |
Типы систем уравнений
Системы уравнений можно классифицировать по различным критериям.
Если принять во внимание степени уравнений, системы уравнений можно разделить на:
- Линейная система: если все уравнения линейные.
- Нелинейная система: если не все уравнения линейны.
С другой стороны, системы уравнений также можно классифицировать по количеству уравнений или неизвестных:
- Системы двух уравнений или Системы двух неизвестных.
- Системы трех уравнений или Системы трех неизвестных.
- и т.п. . . .
В зависимости от типа решения система уравнений может быть классифицирована как:
- Заданная поддерживаемая система. Это система, которая имеет только одно решение.
- Неизвестная совместимая система.
Неопределенная совместная система имеет бесконечно много решений.
- Несовместимая система. Несовместимая система не имеет решений.
Как решить систему уравнений
Наиболее часто используемые алгебраические методы решения систем уравнений:
• Метод замены
• Метод исключения
Калькулятор системы уравнений использует методы замены и исключения.
Важно иметь в виду, что решение системы уравнений должно быть одним и тем же независимо от метода ее решения. Каждый из ранее представленных методов будет объяснен ниже, и чтобы облегчить понимание объяснения, мы покажем, как решить следующую систему уравнений, используя три метода:
5x-32y=-1 |
-3x-6y=14 |
Метод подстановки
Он заключается в выделении неизвестной переменной в одном из уравнений и подстановке это в другом. Теперь мы покажем, как решить подстановкой показанную выше систему:
Метод исключения
В этом методе два уравнения составляются так, что одна из неизвестных переменных имеет одинаковый коэффициент в обоих, но с разные знаки.