Решить уравнение онлайн третьей степени: Решение кубических уравнений онлайн

Целое уравнение и его корни

Целое уравнение и его корни

План урока

1. Целое уравнение;
2. Линейное и квадратное уравнения;
3. Методы решения уравнений третьей степени и более.

Цели урока

• Знать, что такое целое уравнение;
• Знать методы решения целых уравнений;
• Уметь решать целые уравнения.

Разминка

• Решите уравнение 3x-12=6
• Решите уравнение x2+4x-21=0
• Можно ли решить уравнение x2+9=0?

Целое уравнение

 

Уравнения — очень мощный инструмент для решения задач. В школе, как правило, работают с текстовыми задачами. Это задачи на движение, на работу, на проценты и многие-многие другие. Однако применение уравнений не ограничивается одними лишь школьными задачами. Без умения составлять и решать уравнения не решить ни одной серьёзной научной задачи — физической, инженерной или экономической. Например, рассчитать, куда попадёт ракета.

Или ответить на вопрос, выдержит или не выдержит нагрузку ответственная конструкция (лифт или мост). Или спрогнозировать погоду, рост (или падение) цен или доходов. В общем, уравнение — ключевая фигура в решении самых разнообразных вычислительных задач.

 

Поэтому необходимо научиться решать уравнения. Некоторые типы уравнений вы уже умеете решать: линейные и квадратные. Эти уравнения являются частными случаями целого уравнения.

---

Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения.

---

Каждое из следующих уравнений является целым:

 

(2×2+1)2=3x-1,

3x+1=7x-12,

x2-x3=5.

 

А вот такие уравнения не являются целыми:

 

17x(x-1)=2,

12x+31=x.

 

Преобразуем уравнение (2×2+1)2=3x-1. Для этого раскроем скобки, перенесём все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые. Получим

 

4×4+4×2+1-3x+1=0,

4×4+4×2-3x+2=0.

 

Выполним те же преобразования в уравнении x2-x3=5, умножив предварительно обе его части на 2:

 

x-2×3=10,

-2×3+x-10=0.

 

Выполняя преобразования, мы привели каждое из уравнений к виду P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида. По сути, мы заменили оба уравнения на равносильные им уравнения вида P(x)=0. Такие преобразования можно сделать с любым целым уравнением.  

---

Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x)=0, где P(x) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения .

 

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида P(x)=0,  где P(x) — многочлен стандартного вида.

---

Пример 1

Определите степень уравнения (x2+3x)2-3×3=(2x-1)2.

---

Решение

 

Чтобы определить степень этого уравнения, необходимо привести его к виду  P(x)=0,  где P(x) — многочлен стандартного вида.

 

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:

 

x4+6×3+9×2-3×3=4×2-4x+1

x4+6×3+9×2-3×3-4×2+4x-1=0

x4+3×3+5×2+4x-1=0

 

Тогда получили, что P(x)=x4+3×3+5×2+4x-1. Степень этого многочлена равна 4. Значит, и степень уравнения равна 4.

 

Ответ: 4.

---

Упражнение 1

Определите степень уравнения:

 

1. 3×5-(3-6x)3=2-5×3
2. (x-1)3+(x-1)2=x-12

---

Линейное и квадратное уравнения

 

Вспомним, что линейным уравнением называется уравнение вида ax+b=0, где x — переменная, a и b — некоторые числа, причём a≠0. Любое линейное уравнение является уравнением первой степени. Знаем, что, если a≠0, то x=-ba — корень уравнения ax+b=0. Каждое уравнение первой степени (линейное) имеет один корень.

 

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём a≠0. Любое квадратное уравнение является уравнением второй степени. Знаем, что количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта D=b2-4ac:

 

• если D>0, то уравнение имеет два корня;
• если D=0, то уравнение имеет один корень;
• если D<0, то уравнение не имеет корней.

 

Корни квадратного уравнения при D≥0 можно найти с помощью формулы 

 

x=-b±D2a.

---

Упражнение 2

1. Решите уравнение: 3(x-2)+4=2(4-x)-2
2. Решите уравнение: (x-2)2=9

---

Методы решения уравнений третьей степени и более

 

Уравнения третей степени можно привести к виду 

 

ax3+bx2+cx+d=0,

 

уравнение четвёртой степени – к виду

 

ax4+bx3+cx2+dx+e=0

 

и т.д., где a, b, c … — некоторые числа, причём a≠0. При этом любое уравнение 
n-й степени не может иметь более n корней.

 

Уравнения, степень которых больше двух, либо имеют громоздкие формулы корней (например, уравнения третьей и четвертой степеней), либо не имеют совсем. Часто удается решить эти уравнения с помощью какого-либо специального приема.

 

Рассмотрим метод разложения многочлена на множители (метод группировки) на примере.

---

Пример 2

Решить уравнение x3-4×2-x+4=0.

---

Решение

 

Выполним группировку первого слагаемого со вторым, третьего с четвертым. У первой пары вынесем за скобку x2, а у второй -1. Получим:

 

x2(x-4)-(x-4)=0,

(x-4)(x2-1)=0.

 

Выражение (x2-1) можно разложить на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов a2-b2=(a-b)(a+b), тогда получим

 

(x-4)(x-1)(x+1)=0:

 

Приравняем каждый множитель к нулю:

 

x-4=0, x-1=0, x+1=0.

 

Получили:

 

x1=4, x2=1, x3=-1.

 

Ответ: -1; 1; 4.

---

Теперь рассмотрим примеры, которые решим с помощью метода замены.

---

Пример 3

Решить уравнение (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.

---

Решение

 

Обычные преобразования приведут нас к сложному уравнению четвертой степени:

 

x4+4×3+6×2+4x-15=0.

 

Заметим, что обе скобки уравнения имеют одинаковое выражение x2+2x. Тогда это выражение можно обозначить за новую переменную y:

 

y=x2+2x

 

Получим уравнение с переменной y:

 

(y-2)(y+4)=7

 

Приведем уравнение к виду P(x)=0:

 

y2+4y-2y-8-7=0,

y2+2y-15=0.

 

Имеем квадратное уравнение, корнями которого являются:

 

y1=-5, y2=3.

 

Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:

 

x2+2x=-5,x2+2x=3.

 

Решая оба уравнения, получим, что x2+2x+5=0 не имеет корней, а уравнение x2+2x-3=0 имеет 2 корня:

 

x1=1, x2=-3.

 

Тогда x1=1, x2=-3   также корни исходного уравнения (x2+2x-2)(x2+2x+4)=7.

 

Ответ: -3; 1.

---

Метод введения новой переменной является достаточно универсальным способом решения разных уравнений. С его помощью можно решить уравнение вида ax4+bx2+c=0.

---

Уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a≠0, являющееся квадратным относительно x2, называют  биквадратным уравнением .

---

Пример 4

Решить уравнение x4-13×2+36=0.

---

Решение

 

Обозначим x2 через y (т.е. x2=y), причём x4=y2.

 

Тогда уравнение четвертой степени превратилось в уравнение второй степени с новой переменной y:

 

y2-13y+36=0.

 

Корни этого уравнения:

 

y1=4, y2=9.

 

Возвращаясь к переменной x, получим два квадратных уравнения:

 

x2=4, x2=9. 

 

Решая уравнения, получим, что уравнение x2=4 имеет два корня x1=-2, x2=2,  и уравнение x2=9 тоже имеет два корня x3=-3, x4=3.

 

Значит, исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня:

 

 x1=-2, x2=2, x3=-3, x4=3.

 

Ответ: -3; -2; 2; 3.

---

Упражнение 3

1. Решить уравнение: x3-3×2-4x+12=0
2. Решить уравнение: (x2+x-1)(x2+x+5)=7
3. Решить уравнение: 36×4-5×2-1=0

---

Контрольные вопросы:

 

1. Сколько корней может иметь целое уравнение? От чего это зависит?

2. Какие методы решения уравнений третьей степени и более есть?

3. Что такое биквадратное уравнение? Как его решить?

---

Ответы

Упражнение 1

 

1. 5. 2. 3

 

Упражнение 2

 

1. {2}+b y+a=0}\]

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y³+1)+b(y²+y)=a(y+1)(y²-y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay²+y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay²+y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

ay³+by²+cy+d=0

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

ay3+by2+cy=0

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

y(ay²+by+c)=0

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

5y³+2y²+4y=0

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

5y³+2y²+4y=0

Получим уравнение вида:

y(5y²+2y+4)=0

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y²+2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

D=2²-2*5*4=-38

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay³+by²+cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a² каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

ay³+by²+cy+d=0

Каждую составляющую выражения умножаем на a²:

a³*y³+b*a²*y²+c*a*a*y+d*a²=0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x²+b*x²+c*a*x+d*a²

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

x₁=y₁/a

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение \[x 3-3 x 2-13 x+15=0\].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: \[0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm15\] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: \[x 2-2 x-15=0\], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Ответ: 1; -3; 5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Если взять уравнение вида B₀y³+B₁y²+B₂y+B₃=0, то A₁=B₁/B₀, A₂=B₂/B₀, A₃=B₃/B₀.

Z=-A²₁/3+A₂

P=2A³₁/27-A₁A₂/3+A₃.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X=³√-P/2+√P²/4+Z³/27+³√-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. {3}=-27\]

Так \[\Delta\] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку \[q=0 \Rightarrow
\varphi=\frac{\pi}{2}=>\]

\[y_{1}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos \left(\frac{\varphi}{3}\right)=2 \sqrt{-\frac{-9}{3}} * \cos
\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=2 \sqrt{3} *
\frac{\sqrt{3}}{2}=3,\\y_{2}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos \left(\frac{\varphi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)=2
\sqrt{3} * \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{5
\pi}{6}\right)=-2 \sqrt{3} * \frac{\sqrt{3}}{2}=-3,\\y_{3}=2 \sqrt{-\frac{p}{3}} * \cos
\left(\frac{\varphi}{3}+\frac{4 \pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}+\frac{4
\pi}{3}\right)=2 \sqrt{3} * \cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=0.\]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

x₁=y₁-2=3-2=1;

x₂=y₂-2=-3-2=-5;

x₃=y₃-2=0-2=-2.

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

y³+ay²+by+c=0

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y³+ay²+by+c=0 на y-y₁ получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂ и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

y₃+ay₂+by+c=(y-y₁)(y-y₂)(y-y₃)

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Как решать кубические уравнения

Решение полиномиальных функций является ключевым навыком для всех, кто изучает математику или физику, но освоить этот процесс, особенно когда речь идет о функциях более высокого порядка, может быть довольно сложно. Кубическая функция — один из самых сложных типов полиномиальных уравнений, которые вам, возможно, придется решать вручную. Хотя это может быть не так просто, как решение квадратного уравнения, есть несколько методов, которые вы можете использовать, чтобы найти решение кубического уравнения, не прибегая к страницам и страницам подробной алгебры. 91+d = 0

Каждое решение для x называется «корнем» уравнения. Кубические уравнения имеют либо один действительный корень, либо три, хотя они могут повторяться, но всегда есть хотя бы одно решение.

Тип уравнения определяется наибольшей степенью, поэтому в приведенном выше примере это не было бы кубическим уравнением, если a = 0 , потому что член наибольшей степени был бы равен bx ² и было бы быть квадратным уравнением. Это означает, что следующие уравнения являются кубическими: 92 = 0

Решение с использованием теоремы о факторах и синтетического деления

Самый простой способ решить кубическое уравнение включает в себя немного догадок и алгоритмический тип процесса, называемый синтетическим делением. Начало, тем не менее, в основном такое же, как метод проб и ошибок для решения кубического уравнения. Попробуйте угадать, какой из корней. Если у вас есть уравнение, в котором первый коэффициент a равен 1, то немного легче угадать один из корней, потому что они всегда являются множителями постоянного члена, который представлен выше как 92 − 2x + 24 = 0

Вы должны угадать одно из значений x , но поскольку a = 1, в этом случае вы знаете, что каким бы ни было значение, оно должно быть в 24 раза больше. первый такой множитель равен 1, но это оставит:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Что не равно нулю, и −1 даст:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Что опять же не ноль. Далее, x = 2 даст:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Еще один провал. Попытка x = -2 дает:

-8 — 20 + 4 + 24 = 0

Это означает, что x = -2 является корнем кубического уравнения. Это показывает преимущества и недостатки метода проб и ошибок: вы можете получить ответ без долгих размышлений, но это отнимает много времени (особенно если вам нужно перейти к более высоким факторам, прежде чем найти корень). К счастью, когда вы нашли один корень, вы можете легко решить остальную часть уравнения.

Ключом является включение теоремы о факторах. Это говорит о том, что если 92 + ax + b) = 0

Слагаемые во второй группе скобок имеют форму квадратного уравнения, поэтому, если найти соответствующие значения для a и b , уравнение можно решить.

Этого можно добиться с помощью синтетического деления. Сначала запишите коэффициенты исходного уравнения в верхней строке таблицы с разделительной чертой, а затем известный корень справа:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & & \\ \hline & & & & & \end{массив}

Оставьте один запасной ряд и добавьте под ним горизонтальную линию. Во-первых, возьмите первое число (в данном случае 1) до строки ниже вашей горизонтальной линии

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x =-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array}

Теперь умножьте полученное число на известный корень. В этом случае 1 × −2 = −2, и это записывается под следующим числом в списке следующим образом:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array}

Затем добавьте числа во второй столбец и поместите результат под горизонтальной чертой:

\def\arraystretch{1. 5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}

Теперь повторите только что пройденный процесс с новым числом под горизонталью строка: Умножьте на корень, поместите ответ в пустое место в следующем столбце, а затем добавьте столбец, чтобы получить новое число в нижней строке. Остается:

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{array}

И затем повторите процесс в последний раз.

\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc:c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}

Тот факт, что последний ответ равен нулю, говорит вам, что у вас правильный корень, так что если это не ноль, то вы где-то ошиблись. 92 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)

Вы можете умножить это, чтобы проверить, если хотите. Не расстраивайтесь, если вы не можете сразу увидеть факторизацию; это требует немного практики. Это оставляет исходное уравнение как:

(x + 2) (x — 3) (x — 4) = 0

Которое, как вы сразу видите, имеет решения в x = -2, 3 и 4 (все из которых множители 24, исходная постоянная). Теоретически также можно увидеть всю факторизацию, начиная с исходной версии уравнения, но это намного сложнее, поэтому лучше найти одно решение путем проб и ошибок и использовать подход, описанный выше, прежде чем пытаться обнаружить ошибку. факторизация. 92}

и

r = {c \над{1pt}3a}

Использование этой формулы требует много времени, но если вы не хотите использовать метод проб и ошибок для решения кубического уравнения, а затем квадратного формула, это работает, когда вы проходите через все это.

Калькулятор кубических уравнений

Калькулятор кубических уравнений х ³ &nbsp х ² &nbsp х&nbsp = 0

---

Как работает калькулятор кубических уравнений?

Решение кубических уравнений в форме ax ³ + bx ² + cx + d = 0 с использованием следующих методов:
1) Решить длинный путь для всех 3-х корней и дискриминанта Δ
2) Теорема о рациональном корне (теорема о рациональном нуле) для решения действительных корней с последующим синтетическим методом деления/квадрата для других мнимых корней, если это применимо.
Этот калькулятор имеет 5 входов.

Какие 4 формулы используются в Калькуляторе кубических уравнений?

1. Δ = 4b ³ d — b ² c ² + 4ac ³ — 18abcd + 27a ² d ²
2. x1 = 2j * косинус(к/3) — б/(3а)
3. х2 = l(m + n) + p
4. x3 = l(m — n) + p

Дополнительные математические формулы см. в нашем досье формул

Какие 7 понятий используются в Калькуляторе кубических уравнений?

кубическое

кубическое уравнение

Уравнение вида ax ³ + bx ² + cx + d = 0

уравнение

утверждение, объявляющее два математических выражения равными

квадратное

Многочлены с максимальной степенью члена второй степени

теорема о рациональном корне

используется для нахождения рациональные решения полиномиальное уравнение

синтетическое деление

сокращенный метод деления многочлена на линейный коэффициент

неизвестный

число или значение, которое мы не знаем 92 — 22x + 24

• Электронная почта: donsevcik@gmail.

  No related posts.