Решить уравнение sinx корень из 3 2: Как решить уравнение sinx = корень из (3/2)

Содержание

Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Решение уравнений sinx=a. Понятие арксинуса числа.

Понятие арксинуса числа а
Число называют арксинусом
6
1
2
и записывают
1
arcsin
6
2
1
arcsin
6
2
Арксинусом числа a 1;1 называется такое число
; , синус которого равен а
2 2
arcsin a = α, если sinα = a и
2
2
arcsin a = α, если sinα = a и
2
2
например
2
arcsin
2
4
и
2
так как sin
4
2
2
4
2
arcsin(-a)=-arcsina

4.

АРКСИНУС ЧИСЛА• Например
2
arcsin
;
2
4
arcsin 0 0;
3
arcsin
;
3
2
т.к.
т.к.
т.к.
2
; sin
.
2 4 2
4
2
2
0
2
; sin 0 0.
3
; sin
.
2 3 2
3 2

5. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
2
2
1
1
2 arcsin 3 arcsin
2 arcsin
2
2
2
2
3
13
3 2
4
6
4
3
12
1
3
2.
2 arcsin 1 5 arcsin 0
arcsin
2
2
1. 3 arcsin
1
3
arcsin
2 5 0
2
2
2
1
7
2 3
6
6
вычислить
3
3
arcsin
arcsin
2
2
3
arcsin(-a)=- arcsina
arcsin1-arcsin(-1)=arcsin1+arcsin(1)= 2 2
Определим, имеют ли смысл выражения:
Выражение имеет смысл, если удовлетворяет условию
1 sin x 1
1) arcsin (√5) — выражение не имеет смысла, так как √5 > 1;
2) arcsin (√2/3) — выражение имеет смысл, так как – 1
√2/3
1;
3) arcsin (-π/5) — выражение имеет смысл, так как – 1
— π /5
1;
4) arcsin (-√3) — выражение не имеет смысла, так как -√3 < -1.

8. При каких значениях х имеет смысл выражение:

1. arcsin(x²-1)
-1≤ х²-1 ≤ 1
0 ≤ х² ≤2
Ответ:
2.arcsin(5-2x)
—
1≤ 5-2х ≤1
-6≤ -2х ≤ -4
2≤ х ≤3
Ответ: [2;3]
Решить уравнение sin x=a
По определению:
синусом углаα называется ордината точки
-1
0
1
И значит определения синуса
следует, что 1 sin x 1
Поэтому, если sinx = 2,5, то уравнение
не имеет корней т.к 2,5>1
уравнение sinx= -1,5 тоже не имеет корней
т.к -1,5<-1
Решить уравнение
M1
x2
5
6
1
Ординату, равную 2 имеют
две точки окружности М и М1, т.к
1
1
2
0
1
sin x
2
M
1
sin
2
6
6
-1
То точка М1 получена
поворотом точки Р(0;1)
5
на угол равный x2 6
а также на углы x 5 2 k ,
5
6
6
6
То точка М получена
поворотом точки Р(0;1)
на угол равный x1
а также на углы
где k=±1,±2….
x
6
6
2 k ,
Получили , что решением уравнения являются
х1
6
2 k
x2
6
где k=±1,±2….

2 k
Эти 2 корня можно объединить в одну формулу
x ( 1)
n
6
n, n Z
1
sin x
2
значит x1 6 2 k
5
6
1
2
6
5
x2
2 k
6
k Z
Объединим в одну формулу
x ( 1) n n,
6
n Z
n 1
x
(
1
)
n,
Преобразуем ее по свойствам
6
степени в вид
n Z

13. Уравнение sinx=a

1
sin 2 x
2
1
2 x 1 arcsin n
2
n
2 x 1
n
x 1
n
Ответ:
1 n
12
n
2
12
6
, n Z.
n
n
2
, n Z.
вывод
Корни уравнения sin x=a
Выражаются общей формулой
Если а > 0, то
x ( 1) n n,
6
n Z
Если а< 0,то
x ( 1) n n,
6
n Z

15. Солнышко, запомни

sin x 5
3
sin x
2
2
sin x
2
Корней нет
x 1 k , k Z
6
k
x 1
k 1
4
k , k Z
Решить уравнение
2
sin x
3
2
x ( 1) arcsin
n,
3
n Z
n
Решить уравнение
x
2 sin 1
3
x
1
sin
3
2
х
1
n
( 1) arcsin
n, n Z
3
2
arcsin( a) arcsin a
х
1
( 1) n arcsin
n, n Z
3
2
х
1
n 1
( 1)
arcsin
n, n Z
3
2
х
1
( 1) n 1 arcsin
n, n Z
3
2
x ( 1) n 1
ответ
( 1)
n 1
3
3 n, n Z
4
3
3 n, n Z
4
1
2
2
2

19.

Уравнение sinx=a3sin x 1 2 sin x 1 0
3sin x 1 0;
2sin x 1 0;
1
sin x ;
3
1
sin x ;
2
1
x 1 arcsin n, n Z .
3
n
x ( 1)
n 1
n,
6
n Z
1
Ответ: 1 arcsin 3 n, n Z .
n
( 1)
n 1
n, n Z
6

20. Обратите внимание, никаких х в ответе нет, тем более с индексами

Частные случаи
sin x = 1
sin x = -1
у
у
x
2
2 k, k Z
у
х
х
sin x = 0
x
2
2 k, k Z
х
x πk, k Z

22. Тренируемся решать:

1. Sin 5x = 1
5x
2
2 k, k Z
2
k, k Z
x
10 5
2
k, k Z
Ответ :
10 5

23. Тренируемся решать:

sin x
0
4
x
4
x
4
n, n
n, n
Ответ :
4
n, n

English Русский Правила

Арксинус. Решение простейших уравнений с синусом. Часть 2

Арксинусом числа \(a\) (\(a∈[-1;1]\)) называют число \(x∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\) синус которого равен \(a\) т.

е.

\(\arcsin ⁡a=x\) \(<=>\) \(\sin ⁡x=a\)

Примеры:

\(\arcsin⁡{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{π}{4}\) потому что \(\sin ⁡\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{2}; \frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡1=\frac{π}{2}\) потому что \(\sin⁡\frac{π}{2}=1\) и \(\frac{π}{2}∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}]\)
\(\arcsin ⁡0=0\) потому что \(\sin ⁡0=0\) и \(0∈[-\frac{π}{2};\frac{π}{2}] \)
\(\arcsin⁡\sqrt{3}\) – не определен, потому что \(\sqrt{3}>1\)

Проще говоря, арксинус обратен синусу.

На круге это выглядит так:

Как вычислить арксинус?

Чтобы вычислить арксинус — нужно ответить на вопрос: синус какого числа (лежащего в пределах от \(-\frac{π}{2}\) до \(\frac{π}{2}\) ) равен аргументу арксинуса?

Например, вычислите значение арксинуса:

а) \(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})\)
б) \(\arcsin⁡(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
в) \(\arcsin(-1)\)

а) Синус какого числа равен \(-\frac{1}{2}\)? Или в более точной формулировке можно спросить так: если \(\sin ⁡x=-\frac{1}{2}\), то чему равен \(x\)? Причем, обратите внимание, нам нужно такое значение, которое лежит между \(-\frac{π}{2}\) и \(\frac{π}{2}\).

Ответ очевиден:

\(\arcsin⁡(-\frac{1}{2})=-\frac{π}{6}\)

б) Синус какого числа равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)? Кто-то вспоминает тригонометрический круг, кто-то таблицу, но в любом случае ответ \(\frac{π}{3}\).

\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{π}{3}\)

в) Синус от чего равен \(-1\)?
Иначе говоря, \(\sin ⁡x=-1\), \(x=\) ?

\(\arcsin⁡(-1)=-\frac{π}{2}\)

Тригонометрический круг со всеми стандартными арксинусами:

Зачем нужен арксинус? Решение уравнения \(\sin x=a\)

Чтобы понять зачем придумали арксинус, давайте решим уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{2}\).

Это не вызывает затруднений:

\( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{6}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{5π}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Внимание! Если вдруг затруднения всё же были, то почитайте здесь о решении простейших уравнений с синусом.

А теперь решите уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\).

Что тут будет ответом? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac{π}{4}\), даже не \(\frac{π}{7}\) — вообще никакие привычные числа не подходят, однако при этом очевидно, что решения есть. Но как их записать?

Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\), потому что известно, что синус равен \(\frac{1}{3}\). Длина дуги от \(0\) до правой точки тогда тоже будет равна \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\). Тогда чему равно значение второй точки? С учетом того, что правая точка находится на расстоянии равному \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\) от \(π\), то её значение составляет \(π- \arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Ок, значение этих двух точек нашли. Теперь запишем полный ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{3}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{3}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right. \) Без арксинусов решить уравнение \(\sin ⁡x=\frac{1}{3}\) не получилось бы. Как и уравнение \(\sin ⁡x=0,125\), \(\sin ⁡x=-\frac{1}{9}\), \(\sin⁡ x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многие другие. Фактически без арксинуса мы можем решать только \(9\) простейших уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Решение:

Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Решение:
Кто поторопился написать ответ \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\), тот на ЕГЭ потеряет 2 балла. Дело в том, что в отличии от прошлых примеров \(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}}\) — вычислимое значение, но чтобы это стало очевидно нужно избавиться от иррациональности в знаменателе аргумента. Для этого умножим и числитель и знаменатель дробь на корень из двух \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, получаем:

\(\arcsin⁡ \frac{1}{\sqrt{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{π}{4}\)

Значит в ответе вместо арксинусов нужно написать \(\frac{π}{4}\).

Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=\frac{π}{4}+2πn, n∈Z\\ x=\frac{3π}{4}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=\frac{7}{6}\).

Решение:
И вновь тот, кто поторопился написать \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin \frac{7}{6}+2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin\frac{7}{6}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right. \) на ЕГЭ потеряет \(2\) балла. Что не так? – спросите вы. Ведь точно не табличное значение, почему нельзя написать \(\arcsin⁡\frac{7}{6}\)? Пролистайте до самого верха, туда, где было определение арксинуса. Там написана маленькая, но очень важная деталь – аргумент арксинуса должен быть меньше или равен \(1\) и больше или равен \(-1\). Ведь синус не может выходить за эти пределы! И если решить уравнение с помощью круга, а не бездумно пользоваться готовыми формулами, то станет очевидно, что у такого уравнения решений нет.

Ответ: решений нет.

Думаю, вы уловили закономерность.

Если \(\sin ⁡x\) равен не табличному значению между \(1\) и \(-1\), то решения будут выглядеть как: \( \left[ \begin{gathered}x= \arcsin a +2πn, n∈Z\\ x=π- \arcsin a +2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Арксинус отрицательного числа

Прежде чем научиться решать тригонометрические уравнения с отрицательным синусом советую запомнить формулу:

\(\arcsin⁡({-a})=-\arcsin ⁡a\)

Если хотите понять логику этой формулы, внимательно рассмотрите картинку ниже:

Примеры:

\(\arcsin⁡(-0,7)=-\arcsin⁡ 0,7\)
\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\arcsin⁡\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{π}{6}\)

\(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2}) \neq -\arcsin⁡\frac{\sqrt{7}}{2}\)

Удивил последний пример? Почему в нем формула не работает? Потому что запись \(\arcsin⁡(-\frac{\sqrt{7}}{2})\) в принципе неверна, ведь \(-\frac{\sqrt{7}}{2}<-1\), а значит арксинус от \(-\frac{\sqrt{7}}{2}\) взять нельзя – он не вычислим, не существует, точно также как \(\sqrt{-5}\) или \(\frac{3}{0}\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение: \(\sin ⁡x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Решение:
Можно воспользоваться готовой формулой и написать:

\( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

\( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}})+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

Но я фанатка круга, поэтому:

Ответ: \( \left[ \begin{gathered}x=-\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πn, n∈Z\\ x=π+\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)

На всякий случай, уточню, что при решении уравнений написанное синим писать не обязательно – это скорее пояснения, как надо рассуждать.

Смотрите также:
Синус
Тригонометрические уравнения

определите общее решение для sin `x/2` = `sqrt 3/2.

` Используйте в своем решении меру в радианах.

Выберите область веб-сайта для поиска

MathAllУчебные пособияПомощь по домашним заданиямПланы уроков

Искать на этом сайте

Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Задайте вопрос

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться

Укажите эту страницу следующим образом:

«определить общее решение sin `x/2` = `sqrt 3/2.` Используйте радианы в своем решении». 2-302424. По состоянию на 9 мая 2023 г.

Ответы экспертов

Обратите внимание, что переменная x находится под тригонометрической функцией синуса.

sin(x/2) = sqrt3/2

Вы знаете, что функция синуса положительна в квадрантах I и II.

Вы также знаете, что синус числа пи/3 равен sqrt3/2, так что:

Квадрант I:

`x/2 = pi/3=gt x = 2pi/3`

Квадрант II:

`x/2 = pi/2 + pi/3 =gt x = pi + 2pi/3 = 5pi/3`

Число решений данного уравнения бесконечно: `x = 2pi/3 + 2npi` , `x = 5pi/3 + 2npi,` где n — целое число.

См. eNotes без рекламы

Начните 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые ответили наши эксперты.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Задайте вопрос

Каковы решения уравнения sin (x+7π/2) = — √3/2 на интервале [0,2π]?

Предварительный расчет

Марси Л.

спросил 18.05.22

Подробнее

Отчет

2 ответа от опытных наставников

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Мэрайя В. ответил 18.05.22

Репетитор

5 (10)

Учитель математики увлечен тем, что помогает другим найти их AHA!

Об этом репетиторе ›

Привет, видео, которое я сделал, немного длинновато, но я хотел объяснить, почему этот вопрос и как найти решения в целом.

Вместо того, чтобы запоминать какие-то формулы, это помогает понять, что такое sin и cos на самом деле. Это поможет вам понять, как найти решение, вместо того, чтобы заставлять вас запоминать единичный круг.

Простое запоминание часто подводит нас, когда мы сталкиваемся со стрессовой средой, такой как тест, или когда нам нужно использовать его в новом контексте.

Голосовать за 1 Понизить