Схема Горнера. Наибольший общий делитель. Разложение на множители. Многочлены с целыми коэффициентами
Схема Горнера предназначена для вычисления значения полинома в точке. Пусть дан полином
над полем или кольцом (с коэффициентами из этого поля или кольца). Дано число . Требуется найти . Разделим на с остатком:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части:
Это можно записать в виде таблицы:
Пример.
Примечание. Схема Горнера показывает, что если — многочлен с целыми коэффициентами, , то при делении на получается целое число — остаток, и неполное частное имеет целые коэффициенты.
Наибольший общий делитель полиномов
Определение. Наибольшим общим делителем полиномов над полем называется полином наибольшей степени среди полиномов над , делящих оба полинома .
Теорема.
Н.О.Д. единствен с точностью до константы и делится на любой общий делитель этих полиномов. Н.О.Д. допускает линейное представление в виде , где — некоторые полиномы из .
Доказательство. Рассмотрим множество полиномов (из кольца полиномов над полем ). Выберем в этом множестве отличный от нуля полином наименьшей степени. Докажем, что Н.О.Д..
Пусть . Докажем, что . Пусть .
Тогда . Получили, что . Противоречие. Значит, .
Докажем, что каждый общий делитель — делитель .
Пусть — общий делитель . . Значит, . Поскольку , то — наибольший общий делитель.
Пусть — максимальны. Тогда . Следовательно, они равны с точностью до константы.
Для нахождения Н.О.Д. полиномов можно использовать алгоритм Евклида нахождения Н.О.Д.
Разложение многочлена на множители
Определение. полином над полем , отличный от константы, называется неприводимым над полем , если его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из поля .
Примеры неприводимых многочленов:
многочлены первой степени;
— неприводимый над , приводимый над .
Теорема. делится на тогда и только тогда, когда .
Доказательство. См. теорему Безу.
Теорема. Любой приводимый полином со старшим коэффициентом, равным , единственным образом представляется в виде произведения неприводимых полиномов со старшими коэффициентами, равными (с точностью до порядка сомножителей).
Многочлены над полем
Теорема. Пусть — полином с целыми коэффициентами.
Пусть и — взаимно простые целые числа, не равные нулю. Предположим, что . Тогда .
Доказательство.
Значит,
Так как все слагаемые, кроме последнего, делятся на и , то . Так как и взаимно просты, то
Аналогично .
Задача. Разложить на множители многочлен над полем
Решение. Возможные целые корни — делители : , , , , , , , , , .
Пусть — целый корень, .
.
Способы разложения на множители формулы. Разложение сложного трехчлена. Полезное видео: разложение трехчлена на множители
Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
где A , B , C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
Итак, получили:
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
где E , F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
Тогда получаем:
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители.
Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители
:Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.
где — являются корнями многочлена.
Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:
Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.
Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:
П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.
Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:
П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:
П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:
П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.
Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.
Способ №2. Формулы Виета
Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.
Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,
справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:
Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения
В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:
Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.
Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями
Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами
то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):
Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».
Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .
Выполним деление исходного многочлена на двучлен:
Воспользуемся схемой Горнера
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.
В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:
Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).
В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).
В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).
Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:
Способ №4. Использование формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.
Формулы, используемые для разложения на множители
Понятия «многочлен» и «разложение многочлена на множители» по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами.
В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.
Понятие многочлена
Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.
Например, 2 * x * y — это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 — многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.
Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.
Группировка (запись в общем виде)
Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:
ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)
Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель.
В первой скобке это множитель с, а во второй — d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.
Алгоритм разложения на конкретном примере
Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:
10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b)
В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую — со множителем b. Обратите внимание на знаки + и — в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.
На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку — значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке.
Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.
В нашем случае — только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке — это а, во второй — b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и — Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.
10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5).
Получилось 2 слагаемых: 5а(2c — 5) и 7b(2c — 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с — 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:
5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).
Итак, полное выражение:
10ас + 14bc — 25a — 35b = (10ас — 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c — 5) = (2c — 5)*(5а + 7b).
Таким образом, многочлен 10ас + 14bc — 25a — 35b раскладываается на 2 множителя: (2c — 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать
Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:
5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:
5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)
Формулы квадратов
Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 — формула, получившая название «квадрат суммы», так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
- a 2 + 2ab — b 2 = (a — b) 2 — формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
- a 2 — b 2 = (a + b)(а — b) — это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.
Примеры на вычисления по формулам квадратов
Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:
- 25x 2 + 20xy + 4y 2 — используем формулу «квадрат суммы».
- 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху — удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 — это квадрат 2у.
- Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).
Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:
- 25а 2 — 400 = (5а — 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
- 36х 2 — 25у 2 = (6х — 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
- с 2 — 169b 2 = (с — 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2
Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
В данном примере а 8 можно представить как (a 4) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 — это 5 2 , а 10а 4 — это удвоенное произведениеслагаемых2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.
Формулы кубов
Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:
- a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 — ab + b 2) — эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
- a 3 — b 3 = (а — b)(a 2 + ab + b 2) — формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 — куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
- a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = (a — b) 3 — формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название «куб разности».
Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении — при раскрытии скобок.
Примеры на формулы кубов
Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2).
Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 — это (4а) 3 , а 8b 3 — это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.
Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 — это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.
На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.
Разложение многочленов на множители – это тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей – многочленов или одночленов.
Существует несколько способов разложения многочленов на множители.
Способ 1. Вынесение общего множителя за скобку.
Это преобразование основывается на распределительном законе умножения: ac + bc = c(a + b). Суть преобразования заключается в том, чтобы выделить в двух рассматриваемых компонентах общий множитель и «вынести» его за скобки.
Разложим на множители многочлен 28х 3 – 35х 4 .
Решение.
1. Находим у элементов 28х 3 и 35х 4 общий делитель. Для 28 и 35 это будет 7; для х 3 и х 4 – х 3 . Иными словами, наш общий множитель 7х 3 .
2. Каждый из элементов представляем в виде произведения множителей, один из которых
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.
3. Выносим за скобки общий множитель
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).
Способ 2. Использование формул сокращенного умножения. «Мастерство» владением этим способом состоит в том, чтобы заметить в выражении одну из формул сокращенного умножения.
Разложим на множители многочлен х 6 – 1.
Решение.
1. К данному выражению мы можем применить формулу разности квадратов. Для этого представим х 6 как (х 3) 2 , а 1 как 1 2 , т.е. 1. Выражение примет вид:
(х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1).
2. К полученному выражению мы можем применить формулу суммы и разности кубов:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Итак,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).
Способ 3.
Группировка. Способ группировки заключается в объединение компонентов многочлена таким образом, чтобы над ними было легко совершать действия (сложение, вычитание, вынесение общего множителя).
Разложим на множители многочлен х 3 – 3х 2 + 5х – 15.
Решение.
1. Сгруппируем компоненты таким образом: 1-ый со 2-ым, а 3-ий с 4-ым
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15).
2. В получившемся выражении вынесем общие множители за скобки: х 2 в первом случае и 5 – во втором.
(х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3).
3. Выносим за скобки общий множитель х – 3 и получаем:
х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3)(х 2 + 5).
Итак,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5).
Закрепим материал.
Разложить на множители многочлен a 2 – 7ab + 12b 2 .
Решение.
1. Представим одночлен 7ab в виде суммы 3ab + 4ab. Выражение примет вид:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 .
Раскроем скобки и получим:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 .
2. Сгруппируем компоненты многочлена таким образом: 1-ый со 2-ым и 3-ий с 4-ым. Получим:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Вынесем за скобки общие множители:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).
4. Вынесем за скобки общий множитель (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
Итак,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= а(а – 3b) – 4b(а – 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.
Если
же корень найти не удается, то используются
специфические способы разложения: от
группировки, до ввода дополнительных
взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .
Пример.
Разложить многочлен третьей степени на множители.
Решение.
Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем корни квадратного трехчлена
Таким образом,
К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.
В
этом случае, если многочлен имеет целые
корни, то они являются делителями
свободного члена.
Пример.
Решение.
Проверим,
имеются ли целые корни. Для этого
выписываем делители числа -18 : .
То есть, если многочлен имеет целые
корни, то они находятся среди выписанных
чисел. Последовательно проверим эти
числа по схеме
Горнера. Ее удобство еще и в том, что
в итоге получим и коэффициенты разложения
многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
Осталось разложить квадратный трехчлен .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение .
Решение.
Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .
Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.
Как метод Хорнера оценивает производную функции
спросил
Изменено 4 года назад
Просмотрено 4к раз
$\begingroup$
Насколько я понимаю, метод Хорнера в основном используется для оценки полиномиальных функций путем преобразования уравнения в более простое рекурсивное отношение с меньшим количеством операций. 2+x+5$
Это можно переписать как $5 + x (1 + x (2 + x (3 + x (4))) $
Если бы мы могли оценить функцию как рекуррентное отношение более простых членов, начиная с:
$b_n=4 $
$b_{n-1} = 3 + b_n* x$
И $b_0$ было бы оценивается весь термин и, следовательно, образ функции. Что я хочу понять, как запуск метода Хорнера для значений $b_n$ приводит к производной?
- производные
- численные методы
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Если вы примените схему Хорнера или, возможно, метод Руффини (оба первоначально опубликовали статьи о вариантах метода Ньютона, в которых используется прием для быстрого вычисления полинома, который был хорошо известен ранее), то вы выполняете полиномиальное деление с остатком на линейный термин. Из таблицы Хорнера можно считать коэффициенты многочлена $q$ так, что
$$
p (x) = p (a) + (xa) q (x) \ тогда и только тогда, когда q (x) = \ frac {p (x) -p (a)} {xa}
$$
что говорит вам, что $q(a)=p'(a)$. Таким образом, вторая оценка Хорнера под первой таблицей будет оценивать значение производной.
Вы также можете увидеть это как алгоритмическое дифференцирование, если исходный алгоритм
val = 0
при k=0 до град.
знач = знач * х + а[градус-к]
конец для
, тогда производная с использованием цепного правила на каждом шаге дает
dval = 0; значение = 0
при k=0 до град.
двойное значение = двойное значение * х + значение
знач = знач * х + а[градус-к]
конец для
Сначала необходимо вычислить шаг производной, поскольку он использует последнее значение val .
$\endgroup$ 9{i-2}$$ В качестве псевдокода у вас будет
p = c(n)
дп = 0
сделать j = n-1, 1, -1
дп = дп * х + р
р = р * х + с (j)
конец
, который одновременно вычисляет многочлен и его производную с минимальным количеством основных операций.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Ключ в том, чтобы сделать индексы одинаковыми и использовать оригинальные 9(н)
И его производная оценивается в x. ВНИМАНИЕ: вектор коэффициентов дан в обратном порядке для простоты индексации.
»’
расстояние, скорость = 0, 0
для i в диапазоне (len (a) — 1):
расстояние = а[я] + (х * расстояние)
скорость = i * a[i] + (x * скорость)
dist = a[-1] + (x * dist) # так как функция имеет на один член больше, чем производная
обратное расстояние, скорость
dist хранит значения полинома x .
скорость хранит значения производной полинома x .
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.Полиномиальный сдвиг — Mathematics Stack Exchange
Это обычно называют «сдвигом Тейлора» по уже указанной причине. К сожалению, веб-поиск обычно выдает или еще результатов для «Taylor Swift»…
[править] Достаточно забавно, это сохраняется даже после того, как вы нажмете «Искать вместо taylor s h ift» в Google. С другой стороны, к настоящему времени именно этот тред занял первое место по запросу «taylor s h ift polynomial». Тем не менее, «taylor s w ift polynomial» приводит вас к «формуле ряда полиномов Тейлора» в Uncyclopedia, которая описывается как «музыкальная формула кантри/вестерн, изобретенная Тейлором Свифтом», а также к песне полиномов, пародии на на песню Тейлор Свифт «Все изменилось». Ну, плюс ça change, плюс c’est la même selected… [/edit]
В главе 4 книги Юргена Герхарда Modular Algorithms in Symbolic Summation and Symbolic Integration ( Springer, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 3218, 2004; DOI: 10.1007/b104035), со ссылками на оригинальные исследовательские работы. Кроме того, загляните в учебники по компьютерной алгебре; хорошими модными словечками являются «сдвиг Тейлора», «быстрое полиномиальное деление с остатком и приложениями» и «полиномиальное многоточечное вычисление и интерполяция на основе БПФ».
Итог: Используя, например, подход «разделяй и властвуй», вы можете сэкономить примерно на один порядок (т. е. $n$). Это снижает стоимость до $\tilde O(n)$ арифметических операций в кольце коэффициентов, где полилогарифмические множители игнорируются. Обратите внимание, что это арифметические операции; -битная сложность будет выше в $n$ раз и, очевидно, также будет зависеть от размера (величины и/или точности) входных данных.
Быстрые алгоритмы концептуально не слишком сложны. Но они требуют достаточного количества асимптотически быстрых подпрограмм для полиномиальной арифметики, так что это не для слабонервных. А когда дело доходит до фактической реализации: это может быть совершенно другой зверь.