Тема 2. Функциональные ряды.
Степенные ряды
Контрольные вопросы для самопроверки
Какой ряд называется функциональным?
Что называется областью сходимости функционального ряда?
Какой функциональный ряд называется мажорируемым рядом? Какой ряд называется мажорантным?
Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Какой ряд называется степенным?
Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенного ряда.
Что является областью сходимости степенного ряда?
Сформулируйте свойства степенного ряда.
Какой ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?
Какой ряд называется рядом Маклорена? Как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена данной функции?
Приведите формулы разложения функций ,,,,,,в ряд Маклорена и укажите их области сходимости.
Как используются степенные ряды для приближенных вычислений функций; определенных интегралов?
2.1. Область сходимости функционального ряда Примеры решения задач
Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда:
а) ; б);
в) ; г).
а) Найдем область сходимости с помощью признака Даламбера:
.
По признаку Даламбера ряд сходится (причем абсолютно), если
, т.е. .
При имеем, откуда.
Признак Даламбера не дает ответ о сходимости ряда в этом случае, поэтому подставим в данный ряд. Получим числовой ряд.
Сравнивая этот ряд, например, с помощью предельного признака сравнения с расходящимся гармоническим рядом , делаем вывод, что числовой ряд расходится.
Итак, область
сходимости данного ряда:
.
б) По признаку Даламбера
.
Ряд сходится, если , т.е., тогда.
Исследуем ряд на сходимость в точках и, в которых признак Даламбера не отвечает на вопрос, сходится ряд или расходится (эти точки соответствуют случаю, когда).
При имеем числовой ряд. Этот ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядомпри.
При имеем числовой ряд. Ряд сходится абсолютно, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, имеет види сходится по той же причине, что и предыдущий числовой ряд.
Так как оба ряда сходятся, то точки ивключаются в область сходимости.
Итак, область сходимости: .
в) Применим радикальный признак Коши:
.
Ряд сходится, если или, т.е..
При
не выполняется необходимый признак
сходимости.
Итак, область сходимости: .
г) Необходимый признак сходимости выполняется только при .
Так как
,
а при ряд сходится по радикальному признаку Коши:
,
то данный ряд сходится по первому признаку сравнения при.
Итак, область сходимости ряда: .
Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость на указанных промежутках данные функциональные ряды:
а) ,; б),;
в) ,.
а) Применим определение равномерно сходящегося ряда, согласно которому ряд является равномерно сходящимся, если , такое, что для всехивыполняется неравенство.
Для любого x данный ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому его n-й остаток оценивается с помощью неравенства
для .
Поскольку
,
как только,
возьмем.
Итак, для всех получаем. Это означает, что ряд равномерно сходится на промежутке.
б) В интервале ряд сходится, так как является геометрическим рядом, для которого. Остаток ряда
.
Для остатка имеем:
,.
Итак, приняв , невозможно достичь выполнения неравенства для. Согласно определению равномерно сходящегося ряда, ряд не является равномерно сходящимся на промежутке.
в) Применим признак Вейерштрасса.
.
Ряд − сходящийся (по признаку Даламбера), следовательно, он является мажорантным для данного ряда. Отсюда следует, что данный ряд равномерно сходящийся на промежутке.
|
Заглавная страница
КАТЕГОРИИ: Археология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. |
⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 26Следующая ⇒ Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (переместительность, сочетательность, распределительность). Т.е. абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят от порядка записи членов. В случае условно сходящихся рядов, такие свойства, вообще говоря, не имеют места.
Степенные ряды Функциональные ряды Основные понятия Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится – точкой расходимости. Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой суммой от : . Определяется она в области сходимости ряда равенством , где — частичная сумма ряда. Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особая роль принадлежит рядам, членами которых являются степенные функции аргумента , т.е. так называемые степенные ряды. Действительные или комплексные числа , , …, … называются коэффициентами ряда, а — действительной переменной. Ряд расположен по степеням . Рассматривают такие степенные ряды, расположенные по степеням , т.е. ряд вида , где — некоторое постоянное число. 1.2. Сходимость степенных рядов Область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку: , в которой ряд сходится. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству . Доказательство . По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство , . Пусть , тогда величина и следовательно, , , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при степенной ряд абсолютно сходящийся.Следствие. Если ряд (степенной) расходится при , то он расходится и при всех , удовлетворяющих неравенству . 1.3. Интервал и радиус сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что, если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда. Интервал называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде . Число называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. — это такое число, что при всех , для которых , ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится. В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же степенной ряд сходится при всех значениях , то . Отметим, что на концах интервала сходимости (при и =-R) сходимость ряда проверяется отдельно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел , . По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых . Ряд, составленный из модулей членов степенного ряда, расходятся при тех значениях , для которых . Таким образом, для степенного ряда радиус абсолютной сходимости (1). Аналогично, воспользовавшись радикальными признаками, можно установить, что (2). Дополнение: 1) Если , то можно убедиться, что ряд степенной абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то . 2) Интервал сходимости степенного ряда по степеням находят из неравенства и имеет вид . 3) Если степенной ряд содержит не все степени , т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости в соответствии с формулами (1) и (2), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда. Пример 1. Найти область сходимости ряда . Воспользуемся формулой (1) , следовательно данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. Пример 2. Найти область сходимости ряда . Данный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем , ; . Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. 1.4. Свойства степенных рядов 1) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости . 2) Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2,. 3) Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом для ряда при выполняется равенство (1) 4) Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для степенного ряда при выполняется равенство (2). Ряды (1) и (2) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Свойства степенных рядов широко используются в теоретических исследованиях и приближенных расчетах.
⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒ Читайте также: Как правильно слушать собеседника Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе Принятие христианства на Руси и его значение Средства массовой информации США |
||||||||
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 448; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161. | a b | exp | 4 | 5 | 6 | × | delete | ||
| ( | ) | |а| | ln | 7 | 8 | 9 | — | ↑ | ↓ |
| √ | 3 √ | C | журнал a | 0 | . | ↵ | + | ← | → |
Определение реакций опор и моментов защемления
. Придавая определенное значение х0 мы получаем числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Этот ряд легко приводится к первому, если положить .
При всех значениях вне этого интервала ряд расходится.
При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При имеем ряд , это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .
«> a b Этот калькулятор для расчета суммы ряда взят от ООО «Вольфрам Альфа». Все права принадлежат владельцу!
Сумма ряда
OnSolver.
com позволяет найти сумму ряда онлайн. Помимо нахождения суммы числовой последовательности онлайн, сервер находит частичную сумму ряда онлайн. Это полезно для анализа, когда сумма ряда онлайн должна быть представлена и найдена как решение пределов частичных сумм ряда. По сравнению с другими сайтами www.OnSolver.com имеет огромное преимущество, так как можно найти сумму не только числового, но и функционального ряда, что позволит определить область сходимости исходного ряда, используя самые известные методы. Согласно теории необходимым условием сходимости числовой последовательности является равенство нулю предела общего члена ряда при стремлении переменной к бесконечности. Однако этого условия недостаточно для определения сходимости числовых рядов в режиме онлайн. Если ряд не сходится, OnSolver.com укажет на это соответствующим сообщением. Для определения сходимости ряда найдено множество достаточных критериев сходимости или расходимости ряда. Наиболее популярными и часто используемыми из них являются критерии Даламбера, Коши, Раабе; сравнение числовых рядов, а также интегральный критерий сходимости числовых рядов.
Особое место среди числовой ряд занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные значения числового ряда монотонно спадают. Оказывается, для таких числовых рядов достаточен и необходимый признак сходимости, т. е. предел общего члена ряда равен нулю при стремлении переменной к бесконечности. Есть много разных сайтов, на которых представлены серверы для вычисления суммы ряда , а также для разложения функций в ряд в какой-то точке области определения этой функции. Развернуть функцию в ряд онлайн для этих серверов несложно, а вот сложение функциональных рядов, каждый член которых, в отличие от числового ряда, является не числом, а функцией, практически невозможен из-за отсутствия необходимых технических средств. Ресурсы. Для www.OnSolver.com такой проблемы нет.
Калькулятор радиуса сходимости: Найдите интервал сходимости
Онлайн-калькулятор радиуса сходимости предназначен для расчета радиуса сходимости любого заданного степенного ряда.
Давайте разберемся в понятии конвергенции в деталях.
Что такое конвергенция?
В математике сходимость определяется как:
«Свойство, которое используется для приближения к пределу все более и более абсолютно по мере увеличения или уменьшения переменной функции или по мере увеличения числа членов степенного ряда».
Например;
Рассмотрим функцию ниже;
$$ y=\frac{1}{x} $$
Эта функция сходится к нулю, если мы продолжаем увеличивать значение x. Хотя едва ли возможно сделать y точно равным нулю, предельное значение y приближается к нулю, потому что мы можем сделать y настолько малым, насколько это возможно, выбрав большие значения x.
Сходящийся ряд:
В сходящемся ряду для любого заданного значения x, лежащего между -1 и +1, ряд 1 + x + x2 +⋯+ xn всегда стремится к пределу 1 / (1 -x) по мере увеличения числа членов (n) .
Вы можете определить радиус сходимости сходящегося ряда с помощью бесплатного онлайн-калькулятора радиуса сходимости
Графическое представление сходящегося ряда:
Прежде чем двигаться дальше, давайте посмотрим, как члены сходящегося ряда отображаются на графике.
Визуализируя приведенный выше график, мы видим, что по мере увеличения числа членов частичная сумма ряда приближается к определенному числу.
Например:
Возьмем сходящийся ряд следующим образом:
1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 + 1 / 64 + ……..
Давайте посмотрим, как изменится сумма по мере добавления членов:
| Слагаемые | Сумма |
| 1 / 2 | 1 / 2 = 0,5 |
| 1/2 + 1/4 | 3 / 4 = 0,75 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 | 7/8 = 0,87 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | 15 / 16 = 0,93 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 | 63 / 64 = 0,98 |
Отсюда мы можем сказать, как сходящийся ряд приближается к определенному значению, если мы продолжаем добавлять частичные члены один за другим.
94+…. $$
Для вышеуказанного степенного ряда, когда мы положили x = 0 , ряд рассчитывается как 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … и сходится к 1 и не превосходит ряд за пределами 1, поскольку он сделает ряд расходящимся.
Однако онлайн-калькулятор радиуса и интервала сходимости находит диапазон ряда, для которого он сходится.
Радиус сходимости:
Когда степенной ряд сходится на некотором интервале, расстояние от центра схождения до другого конца называется радиусом схождения. Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор радиуса сходимости для накопления радиуса заданного ряда Тейлора.
Тест отношений:
Тест отношений — это один из тестов, используемых для определения сходимости, расхождения, радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.
$$ L=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n} $$
Как найти радиус сходимости?Давайте решим пример, чтобы понять, как определить радиус сходимости:
Пример № 01:
Найдите радиус сходимости r ряда ниже.
9{1}}{1}* \frac{∞}{\left(x-3\right)}] $$
$$ \left|x-3\right| $$
Теперь этот ряд будет сходиться, только если x-3 < 1 . В противном случае при x-3 > 1 ряд расходится.
Итак, радиус сходимости равен 1.
Теперь, взяв любое из приведенных выше неравенств, мы можем определить интервал сходимости.
$$ \left|x-3\right|≤1 $$
$$ -1<\left|x-3\right|<1 $$
$$ -1+3 $$ 2 Каков интервал сходимости данного ряда. Вы можете упростить любой ряд, используя калькулятор свободного радиуса сходимости рядов Тейлора. Если вы хотите определить радиус сходимости с помощью бесплатного онлайн-калькулятора решений степенных рядов, вам необходимо выполнить следующие шаги. Ввод: Выход: Для введенных степенных рядов вычисляется: Радиус сходимости дает нам половину длины интервала сходимости. Мы можем вычислить радиус сходимости как бесконечный, только если ряд сходится для всех комплексных чисел z. Корневой тест — это простой тест, который говорит нам, что ряд определенно сходится к некоторому значению. Когда степенной ряд сходится в одной точке, то можно сказать, что радиус сходимости равен нулю. Да, радиус может быть отрицательным, что означает, что он измеряется на стороне, противоположной стороне круга. Кроме того, окружность с нулевым радиусом — это всего лишь одна точка. Нахождение радиуса сходимости даст вам возможность определить радиус данного степенного ряда. Радиус сходимости фактически представляет собой расстояние от середины степенного ряда до конечных точек. Каждый степенной ряд является рядом Тейлора, но следует помнить, что ряды Тейлора связаны с абсолютной функцией. Как работает калькулятор радиуса сходимости?
Часто задаваемые вопросы:
Что нам говорит радиус сходимости?
Можно ли вычислить бесконечный радиус сходимости?
Что такое корневой тест сходимости?
Может ли радиус сходимости быть равен нулю?
Может ли радиус быть отрицательным?
Заключение:
