Числовые ряды. Общие определения и свойства. Сходимость рядов. Признаки сходимости. (Семинар 25)
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Семинар 25
Ряды. Числовые ряды. Общиеопределения и свойства.
Сходимость рядов. Признаки
сходимости.
Определение
Выражение u1 u 2 ,…, u n … называется рядом, а числа u1 , u 2 ,…, u n — элементы
(члены) ряда.
Короткая форма записи u n , u n — общий элемент ряда.
n 1
Пусть дан ряд u1 u 2 ,…, u n … S n u1 u 2 ,…, u n — частичная сумма ряда.
S1 u1 ; S 2 u1 u 2 ;…S n u1 u 2 … u n ;….
С неограниченным увеличением числа n в сумме S n учитывается все
большее и большее число элементов ряда.
Определение
Если при n существует предел последовательности частичных сумм
данного ряда lim n S n S , ряд называется сходящимся, число S — его суммой.
Запись S u1 u 2 ,…, u n …
Если последовательность частичных сумм не стремится к пределу, то ряд
называется расходящимся. Выяснять сходимость ряда можно с помощью
признаков сходимости.
Рассмотрим сходящийся ряд S u1 u 2 ,…, u n …
Определение
Разность между суммой ряда и его n-ой частичной суммой называется n-ым
остатком ряда. Остаток ряда в свою очередь есть сумма бесконечного ряда.
Обозначение rn S S n u n 1 u n 2 …
Исходный ряд по определению сходится, то есть lim n S n S следовательно,
| rn | | S S n | будет как угодно мало, если n взять достаточно большим.
Таким образом, можно приближенно подсчитать сумму сходящегося ряда,
взяв достаточно большое число первых его элементов. Однако большую
трудность представляет выяснение величины возникающей ошибки.
Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд u1 u 2 … u n … сходится и имеет сумму S, то ряд, образованный
из произведений всех элементов данного ряда на одно и то же число k:
ku1 ku2 … kun … также сходится и имеет сумму kS.
2. Если сходятся ряды: S ‘ u1 u 2 … u n … S » v1 v2 … vn …
То ряд образованный сложением соответствующих элементов данных рядов
(u1 v1 ) (u 2 v2 ) … (u n vn )… то же сходится и его сумма равна S’+S”
3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем
приписывания или отбрасывания любого конечного числа элементов.
Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
номера.
Следует помнить, что стремление n-го элемента к нулю не является
достаточным для сходимости ряда.
1 1
1
Рассмотрим ряд 1 … … — гармонический ряд.
2 3
n
lim n u n 0 , но ряд расходится, lim n S n .
Признак сравнения
Рассмотрим ряд u1 u 2 … u n …(u n 0)
Лемма Если частичные суммы ряда с положительными элементами
ограничены сверху, то ряд сходится. ( S n M )
Замечание Если ряд с положительными элементами расходится, то его
частичные суммы
стремятся к бесконечности, то есть lim n S n или
другая запись u n .
n 1
Пусть даны два ряда с положительными элементами:
uk ; (uk 0) (1) и v k ; (v k 0) (2) и пусть каждый элемент ряда (1) не
k 1
k 1
больше соответствующего элемента ряда (2) u k vk (*).
Тогда:
1) Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)
2) Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)
Примеры с решениями
n
1. Дан общий элемент ряда u n n . Написать первые четыре элемента ряда
10 1
Решение. n 1 u1 1 / 11; n 2 u 2 2 / 101; n 3 u3 3 / 1001; n 4 u 4 4 / 10001
Ряд можно записать в виде
1
2
3
4
.
..11 101 1001 10001
2
3
4
2. Найти общий элемент ряда 2 3 4 5 …
3 7 11 15
Решение. Показатель степени каждого элемента совпадает с номером этого
элемента, поэтому показатель степени n-го элемента равен n.
Числитель дробей образует арифметическую прогрессию с первым элементом
2 и разностью 1. Поэтому n-ый числитель равен n+1. Знаменатель дробей
образует арифметическую прогрессию с первым элементом 3 и разностью 4.
Поэтому n-ый знаменатель равен 4n-1. Таким образом, общим элементом ряда
u
является n
4
n
1
3. Найти сумму ряда
Решение. Имеем u n
n
1
1
1
1
…
1 3 3 5 5 7 7 9
1
1 1
1
(2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1 , тогда
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
u1 (1 ), u 2 ( ), u 3 ( ), u 4 ( ),…
2 3
2 3 5
2 5 7
2 7 9 , следовательно
1
1 1 1 1
1
1
1
1
S n (1 …
) (1
2
3 3 5 5
2n 1 2n 1 2
2n 1)
то ряд сходится и его сумма равна ½.
1
1
1
lim
S
lim
(
1
)
. Так как n n 2 n 2n 1 2
2
1
1
1
…
4. Исследовать сходимость ряда
3 3 6 12
Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и поэтому сходится. Найдем сумму ряда. Здесь a=2/3, q=1/2
(знаменатель прогрессии).
a
2/3
4
S
Следовательно,
1 q
1 1/ 2
3
1
1
1
1
5. Исследовать сходимость ряда 11 12 13 14 …
Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых 10
элементов. Следовательно, он расходится.
1
u
6. Исследовать сходимость ряда с общим элементом n
4 2n 3
Решение. Сравним этот ряд с рядом, у которого общий элемент
1
v n n (т.е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией).
2
Применим признак
сравнения рядов:
n
u
2
1
1
lim n lim
lim
Так как предел конечен и отличен от 0 и
n
n
n
n
n
vn
ряд с vn
4 2 3
4 3/ 2
4
1
сходится, то сходится и данный ряд.
2n
7. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 …
2 5 8 11
u
1
/(
3
n
1
)
Решение. Здесь n
un
n
1
lim
lim
v
1
/
n
:
которого n
Следовательно, данный ряд
n v
n 3n 1
3
n
расходится.
Примеры для самостоятельного решения.
1. Составить формулы общих элементов рядов:
1) 10 100 1000 10000 … 2) 1 3 5 7 … 3) 1 1 1 1 …
7
9
11
13
2
4
6
8
3
5
7
9
2. Найти суммы рядов
1
1
1
1
2n 1
1
1
1
1
1) … 2) n 2 (n 1) 2 3) 1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 9 11 …
n 1
1 2 2 3 3 4 4 5
3. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:
1) 1 2 3 4 … 2) 1 1 1 1 … 3) 2 1 2 2 1 2 3 1 …
9 19
29
39
4n
4)
2
n 1 ( 2 n 1)
ln 2
ln 3
ln 4
2n
5) n
6)
n 1 5 1
ln 5
n
n 1 2 n 1
5 1
52 1
53 1
English Русский Правила
бесплатных онлайновых материалов курса MIT для старших классов | Серия, конвергенция, дивергенция
- Отправить эту страницу по электронной почте
Выберите тему —выберите тему—Анализ графиковПределы функцийАсимптотическое и неограниченное поведениеНепрерывность: свойство функцийПараметрические, полярные и векторные функцииПонятие о производнойПроизводная в точкеПроизводная как функцияВторые производныеПрименения производныхВычисление производныхИнтерпретации и свойства определенных интеграловПрименения интеграловФундаментальная теорема исчисленияАнтидифференциация АнтидифференцированиеЧисленные приближения к определенным интеграламПонятие о рядахРяды константРяд Тейлора
Выберите подтему —выберите подтему—Серии, Конвергенция, Дивергенция
- Конспект лекций
- Главы онлайн-учебника
- Экзаменационные вопросы
Конспект лекций
Последовательности
Раздел 1, стр.
Определение с примерами сходящихся и расходящихся последовательностей.
Курс: 18.01 Исчисление с одной переменной, осень 2005 г.
Преподаватель: проф. Джейсон Старр
Предыдущие знания: Пределы (раздел 2 лекции 2)
Наверх
Тесты на сходимость/расхождение последовательностей
Раздел 2, стр. 2 — стр. 3
Лемма о сжатии и критерий монотонной сходимости последовательностей.
Курс: 18.01 Исчисление с одной переменной, осень 2005 г.
Преподаватель: профессор Джейсон Старр
Предварительные знания: последовательности (раздел 1 этой лекции)
Наверх
Серия
Раздел 3, стр. 3 — стр. 4
Определение с использованием последовательности частичных сумм и последовательности частичных абсолютных сумм. Определены абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся ряды, приведены примеры гармонического и знакопеременного гармонического рядов.
Курс: 18.01 Исчисление с одной переменной, осень 2005 г.
Преподаватель: профессор Джейсон Старр
Предварительные знания: последовательности (раздел 1 этой лекции)
Вернуться к началу
Главы онлайн-учебника
Знакомство с Infinite Series
Документ
Определения последовательностей и рядов с примерами гармонических, геометрических и экспоненциальных рядов, а также определение сходимости.
Предыдущие знания: нет
Вернуться к началу
Манипулирование абсолютно сходящимся рядом
Документ
Примеры использования манипулирования или перестановки членов абсолютно сходящегося ряда.
Курс: 18.013A Исчисление с приложениями, весна 2005 г.
Преподаватель: профессор Дэниел Дж. Клейтман
Предыдущие знания: Infinite Series (OT30.
1)
Вернуться к началу
Частичные суммы серии вычислений
Документ
Шаги по использованию электронной таблицы для вычисления частичных сумм ряда.
Курс: 18.013A Исчисление с приложениями, весна 2005 г.
Преподаватель: проф. Дэниел Дж. Клейтман
Предварительные знания: Infinite Series (OT30.1)
Наверх
Экзаменационные вопросы
Бесконечная серия
Задача 17 (стр. 2)
Определение того, сходится или расходится данный ряд.
Курс: 18.01 Исчисление одной переменной, осень 2006 г.
Преподаватель: проф. Дэвид Джерисон
Предыдущие знания: нет
Решение (PDF) Страница 1
Наверх
Бесконечная серия
PDF — 2,2 МБ
От задачи 6C-1 (стр.
41) к задаче 6C-3 (стр. 41)
Три вопроса, которые включают в себя нахождение суммы геометрического ряда, запись бесконечных десятичных дробей как частное целых чисел, определение того, пятнадцать различных рядов сходятся или расходятся, а также использование сумм Римана, чтобы показать границу ряда сумм 1/n.
Курс: 18.01 Исчисление одной переменной, осень 2006 г.
Преподаватель: проф. Дэвид Джерисон
Предыдущие знания: нет
Решение (PDF — 4,0 МБ) Страницы с 94 по 96
Вернуться к началу
Основное определение бесконечной серии
PDF — 2,2 МБ
От задачи 7A-1 (стр. 43) к задаче 7A-5 (стр. 43)
Пять вопросов, которые включают определение сходится или расходится ряд, нахождение суммы ряда, нахождение рационального выражения для бесконечного десятичного числа и нахождение общего расстояния, пройденного мячом, когда он неоднократно подпрыгивает вверх и вниз.
Курс: 18.01 Исчисление одной переменной, осень 2006 г.
Преподаватель: проф. Дэвид Джерисон
Предыдущие знания: нет
Решение (PDF — 4,0 МБ) Страница 97
Вернуться к началу
Элементарные дифференциальные уравнения
Math 340 Home, Содержание учебника, Домашнее задание онлайн Домашний номер
Предупреждение: MathJax
требует JavaScript для обработки математики на этой странице.
Если ваш браузер поддерживает JavaScript, убедитесь, что он включен. 9n$ это
серийное решение
к
дифференциальное уравнение $p(x)y» + q(x)y’ + r(x)y = 0$, где $p(x)$, $q(x)$
и
Все $r(x)$ — многочлены, а $x_0$ — регулярная особая точка.
Затем
$y(x)$ сходится в областях $0
Эта теорема точно такая же, как и соответствующая теорема для обычных
точек, за исключением того, что ряд не обязательно должен сходиться в точке $x_0$ и что
мы используем ближайшую особую точку к $x_0$, исключая саму $x_0$.
Применяются те же вопросы, что и в разделе «Дополнительные обсуждения» этого раздела.
здесь также.
92$, что равно $0$.
Шаг 3: Поскольку 0 — единственная особая точка, других особых точек нет. найти расстояние до.
Шаг 4: Поскольку существует только одна особая точка при $x_0=0$, ряд
сходится в областях $0
Этот последний пример иллюстрирует, почему может потребоваться найти последовательное решение.
относительно особой точки, а не обычной точки. Если последовательное решение
ибо уравнение Бесселя находится относительно любой обычной точки, мы можем только
гарантировать, что ряд будет сходиться на ограниченном интервале, так как
особая точка в 0 будет находиться на некотором конечном расстоянии от обычной
точку (см. задачу 10 в разделе 3). Но разложение о единственном числе
точка 0 сама сходится на двух неограниченных интервалах. На самом деле,
одно решение этого конкретного уравнения будет сходиться везде,
в том числе и в точке 0.