Симметричную монету бросают два раза найдите вероятность того что решка выпадет ровно один раз: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды

Задачи 3 ЕГЭ профильная математика

MATHM >> ЕГЭ >> ЕГЭ профиль >>

Задача 3

Сложность 1
Сложность 2

Задачи разделены на уровни сложности. Задачи из любого уровня вполне реально встретить на настоящем экзамене ЕГЭ, более сложные встретятся если «не повезло».

Сложность 1 (легкие задачи)

1. Симметричную монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни одного раза.

посмотреть ответ

2. Вероятность того, что новый утюг прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

посмотреть ответ

3. Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Иван верно решит больше 11 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Иван верно решит больше 10 задач, равна 0,82. Найдите вероятность того, что Иван верно решит ровно 11 задач.
   посмотреть ответ

4. Симметричную монету бросают сто раз. Найдите вероятность того, что последние два раза выпадут два орла.

посмотреть ответ

5. На соревнования приехали спортсмены из России, Китая и США. Из России приехали 12 спортсменов, из Китая – 12 спортсменов и из США – 16 спортсменов. Все спортсмены выступают по очереди согласно жребию. Найдите вероятность того, что вторым выступит спортсмен из Китая.

посмотреть ответ

6. В некотором городе из 7000 новорожденных детей 3590 – мальчики. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

7. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

посмотреть ответ

8. Симметричную монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет один раз.

посмотреть ответ

9. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет один раз.

посмотреть ответ

10. Фабрика выпускает детали. В среднем на каждые 98 деталей приходятся 2 бракованные. Найдите вероятность, что наугад взятая деталь не бракованная.

посмотреть ответ

11. Из каждой партии в 50 пирожков 5 – пережаренные. Найдите вероятность того, что наугад взятый пирожок – пережаренный.

посмотреть ответ

12. В группе спортсменов 24 человека. Спортсменов распределяют случайным образом по группам. В каждой группе по 6 человек. Найдите вероятность того, что спортсмен Н. попадет в первую группу.

посмотреть ответ

13. На математическую олимпиаду приехали команды из России, Израиля, Китая и Индии. В первом круге случайным образом образуются пары команд. Найдите вероятность того, что Россия в первом круге встретится с командой Китая. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

14. На шахматный турнир приехали спортсмены из четырех стран: России, Китая, Индии и Ирана. Из России 7 спортсменов, из Китая 8, из Индии 11 и 8 из Ирана. В Российской команде есть гроссмейстер Сергей Иванович.
    В первом туре участники по жребию разбиваются на пары. Найдите вероятность того, что в первом туре Сергей Иванович будет играть с участником из России. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

15. В лотерее из каждых 25 билетов 2 выигрышных. Виталий Иванович покупает лотерейный билет. Найдите вероятность того, что он выиграет приз.

посмотреть ответ

16. В среднем на 280 пирожков, выпускаемых кондитерской, 7 пирожков без начинки. Найдите вероятность того, что наугад взятый пирожок окажется с начинкой.

посмотреть ответ

17. Фабрика выпускает лампочки. В среднем на каждые 239 качественных лампочек приходятся 11 с браком. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка без брака.

посмотреть ответ

18. На кружок по теннису ходят шесть Полин, четыре Кати, одна Оля, четыре Настя, три Егора, три Артема, два Матвея и три Васи. Дети разбились на пары и стали играть в теннис. Какова вероятность того, что Оля будет играть с Полиной?

посмотреть ответ

19. Комбинат выпускает готовые костюмы. В среднем в каждой партии из 50 костюмов имеется 5 костюмов с браком. Найдите вероятность того, что из двух случайно купленных костюмов бракованным будет ровно один. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

20. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел кратна 4.

посмотреть ответ

21. Два лыжника едут по одной и той же трассе. Первый лыжники на развилке случайным образом выбирает одну из пяти трасс. Найдите вероятность, что второй лыжник на этой же развилке выберет ту же самую трассу, что выбрал первый. (Второй лыжник также выбирает трассу случайным образом).

посмотреть ответ

22. На территории парка живет 850 птиц. Из них 221 воробей. Из всех воробьев 51 – окольцованы. Найдите вероятность того, что случайно взятая птица – окольцованный воробей?

посмотреть ответ

23. На территории небольшого парка живет 800 птиц. Из них 350 воробьев и 300 синиц. Воробьи все окольцованы, из синиц окольцована половина. Остальные птицы, проживающие в этом парке, пока не окольцованы. Найдите вероятность того, что случайно взятая птица – окольцована.

посмотреть ответ

24. В спортивных соревнованиях принимают участие спортсмены из 20 стран, по одному участнику от каждой страны. Спортсмены выступают по одному, порядок выступления определяется жребием. Среди выступающих есть спортсмены из России и США (по одному человеку). Найдите вероятность того, что спортсмен из России будет выступать раньше спортсмена из США.

посмотреть ответ

Сложность 2 (средние по сложности задачи)

1. Симметричную монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что монету подкинут ровно два раза.

посмотреть ответ

2. Симметричную монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что монету подкинут ровно три раза.

посмотреть ответ

3. Симметричную монету бросают до тех пор, пока не выпадет решка. Найдите вероятность того, что монету подкинут более двух раз.

посмотреть ответ

4. Из каждой партии в 50 пирожков 5 – пережаренные. Найдите вероятность того, что два наугад взятых пирожка – не пережаренные. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

5. Комбинат выпускает готовые костюмы. В среднем в каждой парии из 50 костюмов находится 5 костюмов с браком. Найдите вероятность того, что из двух случайно купленных костюмов бракованных будет не более одного. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

6. Игральный кубик бросают до тех пор, пока на ее грани не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кость бросят ровно два раза. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

7. Игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 6 очков. Найдите вероятность того, что кость бросят не менее трех раз. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

8. На плоскости нарисованы четыре точки, образующие квадрат. Случайным образом выбираются две точки из этих четырех и соединяются отрезком. Найдите вероятность, что этот отрезок будет диагональю квадрата. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

9. На плоскости нарисованы шесть точек, образующие правильный шестиугольник. Случайным образом выбираются две точки из этих шести и соединяются отрезком. Найдите вероятность, что этот отрезок будет делить шестиугольник на две равные части.

посмотреть ответ

10. На плоскости нарисованы четыре параллельные прямые. Случайным образом выбирают две из этих прямых. Найдите вероятность, что это будут две соседние параллельные прямые (между ними не лежит ни одна другая прямая).

посмотреть ответ

11. В квадратной таблице, состоящей из двух строк и двух столбцов, наугад выбирают две различные ячейки и ставят туда по одной точке. Найдите вероятность, что эти две точки будут стоять в одной строке или в одном столбце. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

12. За круглым столом стоят 10 стульев. На два диаметрально противоположных стула сажают Васю и Петю. Затем, случайным образом за этот стол сажают Машу. Найдите вероятность, что Маша окажется рядом с Васей или Петей.

посмотреть ответ

13. За круглым столом стоят 12 стульев. На два стула, между которыми находится ровно один стул, сажают Васю и Петю. Затем, случайным образом, за этот стол сажают Ивана. Найдите вероятность, что Иван окажется рядом с Васей или Петей.

посмотреть ответ

14. На шахматную доску случайным образом ставятся два короля. Известно, что один из них попал в угловую клетку. Найдите вероятность того, что короли не будут бить друг друга. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

15. На шахматную доску (8 на 8 клеток) случайным образом ставятся две ладьи. Найдите вероятность того, что они не будут бить друг друга. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

16. На шахматную доску случайным образом ставятся два слона (офицера). Известно, что один из них попал в угловую клетку. Найдите вероятность того, что слоны будут бить друг друга. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

17. На столе лежит 21 лотерейный билет, два из которых выигрышные. Катя собирается взять со стола два билета. Первый билет оказался выигрышным. Какова вероятность того, что второй билет, который возьмет Катя, также будет выигрышным?

посмотреть ответ

18. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет два раза.

посмотреть ответ

19. Игральный кубик бросают трижды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 7, если известно, что в первый бросок выпало 3 очка. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

20. Игральный кубик бросают трижды. Найдите вероятность того, что сумма цифр выпадавших на кубике больше шестнадцати. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

21. Игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что в сумме двух попыток получится 5 очков. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

22. На научной конференции принимают участие ученые из 12 стран, по одному из каждой страны. Среди участников есть ученые из России, Китая и Канады (из каждой страны по одному человеку). Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что ученый из России выступит раньше ученого из Китая, а тот в свою очередь выступит ранее ученого из Канады. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

23. В соревнованиях по прыжкам воду принимают участие спортсмены из 15 стран. Среди них есть по одному спортсмену из Ирана, России, США и Израиля. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Израиля будет выступать ранее спортсмена из Ирана, спортсмен из Ирана выступит ранее спортсмена из России и, наконец, спортсмен из России выступит ранее спортсмена из США. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

24. На плоскости нарисованы четыре точки, образующие квадрат. Случайным образом выбираются две точки из этих четырех и соединяются отрезком. Затем, случайным образом выбирают другую пару точек из этих четырех и также соединяют отрезком. Найдите вероятность, что построенные отрезки — это две соседние стороны квадрата. Ответ округлите до сотых.

посмотреть ответ

25. В квадратной таблице, состоящей из трех строк и трех столбцов, наугад выбирают две различные ячейки и ставят туда по одной точке. Найдите вероятность, что эти две точки будут стоять в одной строке или в одном столбце.

посмотреть ответ

Типы задач по теории вероятностей, предлагаемых на ОГЭ

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Типы задач по теории вероятностей, предлагаемых на ОГЭ

Задачи
на вероятность
с игральным кубиком
(игральная кость)
Задача 1. Игральный кубик бросили один раз. Какова
вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4?
Решение:
Случайный эксперимент – бросание кубика.
Элементарное событие – число на выпавшей грани.
Всего граней:
N=6
Элементарные события:
1, 2, 3, 4, 5, 6
N(A)=2
N ( A) 2 1
P ( A)
N
6 3
Ответ:1/3
Реши самостоятельно!
В случайном эксперименте игральный кубик бросают
один раз. Найдите вероятность того, что выпадет чётное
число.
1, 2, 3, 4, 5, 6
3
P ( A) 0,5
6
Ответ: 0,5
Реши самостоятельно!
В случайном эксперименте игральный кубик бросают
один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число,
отличающееся от числа 3 на единицу.
1, 2, 3, 4, 5, 6
2 1
P ( A)
6 3
Ответ: 1/3
Задача2. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.
Решение :
Сумма будет нечетна, когда:
1) в первый раз выпадет нечетное число, а во второй четное.
2) в первый раз — четное, а во второй раз нечетное.
1) 3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа в первое бросание.
3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа во второе бросание.
0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти
совместно.
2) 3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа в первое бросание.
3 : 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа во второе бросание.
0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти
совместно.
3) 0,25 + 0,25 = 0,5
Ответ: 0,5
Задача 3. Игральную кость бросают дважды. Найдите
вероятность того, что наибольшее из двух выпавших
чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.
Решение :
1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором
броске выпадет 5
2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или
3, или 4, или 5
1) 5 : 6 = 5/6 – вероятность того, что выпадут 1; 2; 3; 4; 5
1 : 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5
5/6 · 1/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события
2) 1 : 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5
5 : 6 = 5/6 — вероятность выпадения 1; 2; 3; 4; 5
1/6 · 5/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события
3) 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…
Ответ: 0,3
Задачи
на вероятность
с монетами
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную
монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что
орел выпадет ровно один раз.
Решение:
Возможные исходы события:
N=4
решка — Р орел — О
N(A)=2
1
бросок
2
бросок
О
О
Р
Р
О
Р
О
Р
N ( A) 2 1
P ( A)
0,5
N
4 2
4 исхода
Ответ:0,5
Реши самостоятельно!
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит
исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй РЕШКА)
1
2
О
О
О
Р
Р
Р
О
Р
1
P ( A) 0,25
4
Ответ: 0,25
Реши самостоятельно!
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка
выпадет ровно 2 раза.
1
2
О
О
О
Р
Р
Р
О
Р
1
P ( A) 0,25
4
Ответ: 0,25
Реши самостоятельно!
Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что
выпадет хотя бы один ОРЕЛ.
1
2
О
О
О
Р
Р
Р
О
Р
3
P ( A) 0,75
4
Ответ: 0,75
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл
выпадет ровно 2 раза.
Решение :
1 бросок
2 бросок
3 бросок
орел
орел
орел
решка
решка
решка
орел
решка
решка
орел
орел
решка
орел
решка
орел
решка
решка
орел
решка
орел
решка
решка
орел
орел
3 : 8 = 0,375 – вероятность того, что выпадет орел при броске.
Ответ: 0,375
Задача 3. В случайном эксперименте бросают два
игральных кубика. Найдите вероятность того, что в
сумме выпадет 8 очков.
Решение:
Множество элементарных исходов: N=36
Числа на
выпавших
сторонах
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
6 7 8 9 10
7 8 9 10 11
8 9 10 11 12
A= {сумма равна 8}
N(А)=5
N ( A)
P ( A)
N
5
P ( A)
36
Ответ:5/36
Реши самостоятельно!
Игральный
кубик
бросают
дважды.
Сколько
элементарных исходов опыта благоприятствуют событию
А={сумма очков равна 5}
Числа на
выпавших
сторонах
1
2
3
4
5
6
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
5
6
6
7
7
8
8
9
9 10 11
10 11 12
Ответ: 4
Реши самостоятельно!
Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что
результаты двух первых бросков будут одинаковы?
1
2
3
О
О
О
О
О
Р
О
Р
О
О
Р
Р
Р
О
О
Р
О
Р
Р
Р
О
Р
Р
Р
4
P ( A) 0,5
8
Ответ: 0,5

English     Русский Правила

Видео-вопрос: определение вероятности выпадения решки хотя бы один раз при трехкратном подбрасывании монеты

Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка, если монету подбросить три раза?

Стенограмма видео

Какова вероятность получения решка хотя бы один раз, если монета подбрасывается три раза?

Существует множество способов подход к этой проблеме. Какой бы метод мы ни решили использовать, нам нужно напомнить, что каждый бросок или подбрасывание монеты является независимым событием. Результат первого броска делает не влияет на результат других. Один из способов решения этой проблемы будет перечислять все возможные комбинации при трехкратном подбрасывании монеты. Возможно, что все три монеты мог приземлиться на решку. Другой возможностью было бы приземлиться на решку для наших первых двух бросков и решку на третий. Мы могли бы получить два хвоста и голову двумя другими способами. Решки, головы, решки или головы, решки, хвосты. Получение одного хвоста и двух голов может случиться решка, орел, орел. Также может случиться орел, решка, головы или головы, головы, решки.

Наконец-то все три монеты смогли приземлиться на головах. Это означает, что существует восемь различные комбинации, которые могут возникнуть. Нам нужна вероятность получения хвост хотя бы один раз. Наша топ-комбинация состоит из трех хвосты. Следующие три имеют два хвоста. Три комбинации после этого иметь одну монету, приземлившуюся на решку. Это означает, что семь из восемь комбинаций завершаются получением решки хотя бы один раз. Вероятность того, что это произойдет следовательно, семь из восьми или семь восьмых.

Альтернативным методом может быть вычислить вероятность единственной комбинации, которая нам не нужна в первую очередь, вероятность трех решек. Вероятность приземления головой в любом отдельном броске монеты половина. Поскольку каждое из событий или бросков независимыми, мы можем перемножить эти дроби, чтобы вычислить вероятность получения три головы. Вероятность выпадения трех орлов равна одна восьмая. Как вероятность выпадения решки по крайней мере один раз все остальное, мы можем вычесть этот ответ из единицы, как мы знаем сумма вероятностей равна единице. Вычитая из единицы одну восьмую, еще раз дает нам ответ семь восьмых. При трехкратном подбрасывании монеты вероятность того, что хотя бы раз выпадет решка, составляет семь восьмых.

Nagwa использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство на нашем веб-сайте. Узнайте больше о нашей Политике конфиденциальности.

Калькулятор серии подбрасываний монет

Создано Анной Щепанек, доктором философии

Рассмотрено Райком де Ветом

На основе исследования

Марка Ф. Шиллинга , 196–207 (1990)

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

Содержание:

• Что такое полосы при подбрасывании монеты?
• Как использовать этот калькулятор серии подбрасывания монеты?
• Примеры вероятности выпадения при подбрасывании монеты
• Как найти вероятность выпадения полос при подбрасывании монеты?
• Последовательные головы и k-шаговые последовательности Фибоначчи
• Определение вероятности серии при подбрасывании монеты — пример0049 привел вас сюда, вы находитесь в правильном месте — калькулятор серии подбрасывания монеты Omni поможет вам узнать все интересные вещи, вытекающие из этого простого наблюдения, что иногда последовательных орлов появляются, когда мы подбрасываем монету (нашему Ведьмаку из курс). В статье ниже мы:
  • Расскажем вам, что такое полоса подбрасывания монеты;
  • Пройти примеров вычисления вероятности выигрыша при подбрасывании монеты; и
  • Объясните как вывести формулу для вероятности выигрыша при подбрасывании монеты.

  Что такое полосы при подбрасывании монеты?

  Когда вы подбрасываете монету, она может выпасть орлом или решкой. Мы говорим о полос (или серий ), когда нам нужно получить один и тот же результат несколько раз подряд . Чаще всего нас интересует самая длинная серия из заданного количества бросков.

  В отличие от стандартной задачи о подбрасывании монеты (которую вы можете обнаружить с помощью нашего калькулятора вероятности подбрасывания монеты), где нас интересует только количество орлов, выпавших за заданное количество подбрасываний, в задаче о полосе важен порядок получения результатов. : через HHHTH есть полоса из 3 орлов в 5 бросках монеты, что отличается от HHTHH , содержащего серию из 2 орлов, хотя в обоих случаях у нас всего 4 орлов.

  Вычисление вероятности выигрыша при подбрасывании монеты — нетривиальная задача. Прежде чем мы углубимся в теорию и обсудим, как вывести формулу для вероятности выигрышей при подбрасывании монеты, давайте быстро объясним, как работает наш калькулятор серий подбрасывания монет, чтобы вы могли использовать его во время расчетов.

  🔎 Чтобы ознакомиться с математической теорией вероятности, попробуйте наш калькулятор вероятности.

  Как использовать этот калькулятор серии подбрасывания монеты?

  Чтобы определить вероятность удачных подбрасываний монеты с помощью нашего калькулятора серии подбрасываний монеты, выполните следующие действия:

  1. Скажите нам , сколько всего подбрасывается монета .
  2. Введите длину полос , которые вас интересуют.
  3. Наконец, сообщите нам, если вы заинтересованы в:
     • полосы ровно этой длины;
     • полосы из не менее этой длины; или
     • полосы из максимум этой длины.
  4. Результаты появятся внизу. Если бросков на 30 или меньше, вы можете выбирать между точной вероятностью (в виде дроби) и ее аппроксимацией.
  5. Также, по вашему желанию, мы отобразим график распределения вероятностей интересующей вас серии. Эта функция доступна до 100 бросков.

  Поиграйте немного с калькулятором серии подбрасывания монеты, чтобы понять суть математической задачи, прежде чем мы запачкаем руки некоторыми вычислениями.

  Примеры вероятности выигрыша при подбрасывании монеты

  Мы начнем с мягкого примера с тремя подбрасываниями монеты. Очевидно, есть восемь возможных результатов:

  HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT

  Длины самой длинной серии решек соответственно:

  3, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 0

  и поэтому мы получаем следующее распределение:

  Длина. 0	1/8
  1	4/8
  2	2/8
  3	1/8

  То есть, прописью, есть 25% шанс, что выпадет серия ровно два орла при трехкратном подбрасывании монеты. Вы можете проверить эти результаты с помощью нашего калькулятора серии бросков монеты.

  🔎 Обратите внимание, что приведенное выше точное распределение является , а не симметричным!

  Теперь легко найти вероятность того, что полосы будут не меньше или максимум какой-то длины. Логично, что они нас интересуют, ведь полоса из трех голов содержит полосу из двух голов, верно?

  Давайте повторим то, что мы сделали выше, и заметим, что есть:

  • один результат ( ЧЧЧ ), который имеет не менее трех головок подряд
  • три результата ( HHH, HHT, THH ), которые имеют не менее двух головок подряд
  • семь результатов (все, кроме TTT ), которые имеют по крайней мере одну головку подряд (концепция головок подряд становится более абстрактной, но потерпите нас)
  • восемь результатов (все они), которые имеют не менее нуля орлов подряд (поэтому подойдет любой результат).

  This can be summarized as follows:

  min streak length	probability
  0	1
  1	7/ 8
  2	3/8
  3	1/8

  Что касается полос не более некоторой длины, мы очень точно так же делаем вывод, что существует: в ряд.

• пять результатов ( TTT, HTH, HHT, THH ), которые имеют не более одной решек подряд.
• семь результатов (все, кроме HHH ), которые имеют не более двух решек подряд.
• восемь результатов (все), которые имеют не более трех орлов подряд (потому что всего три подбрасывания монеты).

max streak length	probability
0	1/8
1	5/8
2	7/8
3	1

🔎 Обратите внимание, что таблицы min length и max length являются , а не зеркальными отражениями друг друга!

Оказывается, здесь проще всего вывести значение вероятности максимальной длины полосы. nP(L≤k)=f(k,n)/2n. Здесь f(k,n)f(k,n)f(k,n) обозначает количество результатов, содержащих полоски орлов, длина которых не превышает kkk. 9nf(k,n)=2n, потому что мы не можем получить полосу длиннее, чем общее количество наблюдений. Поэтому считаем, что k

Представьте, что вы начинаете подбрасывать монету. В какой-то момент вы начинаете получать решки подряд. По мере их появления нервничаешь все больше и больше — потому что не хочешь наблюдать больше, чем ккк решек подряд (я чувствую, ты чувствуешь, как растет это давление). Но вдруг тьфу , какое облегчение — есть решки! Игра фактически перенастроена: мы снова начнем считать серию выпадений орлов с нуля.

На самом деле, это простое наблюдение и есть главный принцип, на котором основаны рассуждения! Точнее, важно, как долго вы будете ждать до своего первого T :

• Если вы получили T в самом первом броске, то есть f(k,n−1)f(k,n-1) f(k,n−1) последовательностей, имеющих не более kkk последовательных головок в оставшихся n−1n-1n−1 подбрасываниях.
• Если вы начали с HT , то существует f(k,n−2)f(k,n-2)f(k,n−2) последовательностей, имеющих не более kkk последовательных головок в оставшихся n−2n-2n −2 броска.
• Если вы начали с HHT , то существует f(k,n−3)f(k,n-3)f(k,n−3) последовательностей, имеющих не более kkk последовательных головок в оставшихся n−3n-3n −3 броска.
• И так далее. Спорим, вы видите правило.
• Самое долгое, что вы можете ждать своего первого T , это до k+1k+1k+1-го броска. (В противном случае вы получите больше, чем kkk решек подряд, и игра будет окончена). Тогда существует f(k,n−k−1)f(k,n-k-1)f(k,n−k−1) последовательностей, имеющих не более kkk последовательных головок в оставшихся n−k−1n-k-1n− k−1 подбрасывает. 9{k+1} f(k,n-i) f(k,n)=i=1∑k+1​f(k,n−i)

  Очевидно, что для фактического вычисления значений f(k,n)f(k,n)f(k,n ) используя приведенные выше рекуррентные соотношения, нам нужны начальные условия. То есть значения f(k,n)f(k,n)f(k,n) при малых значениях nnn. jf(k,j)=2j. В частности, f(k,0)=1f(k,0) = 1f(k,0)=1, потому что, если мы не бросаем, единственным возможным результатом будет пустая строка, и она определенно не содержит последовательных головок ( на самом деле ничего не содержит).

  Хорошо, теперь мы знаем, как определить вероятность того, что самая длинная серия выпавших орлов не превышает некоторой заданной длины. Это то, что мы назвали случаем , максимум . Как получить точных и хотя бы ?

  Случай не менее требует дополнения случая не более . То есть вероятность того, что самая длинная полоса орлов имеет длину не менее kkk, выглядит следующим образом:

  P(L≥k)=1−P(L≤k−1)\footnotesize P(L \geq k) = 1 — P(L \leq k-1)P(L≥k)=1−P(L≤k−1)

  Наконец, вероятность того, что самая длинная серия nnn бросков равна ровно длины kkk, есть просто разница между длиной не более kkk и не более k−1k-1k−1:

  P(L =k)=P(L≤k)−P(L≤k−1)\размер сноски P(L\!=\!k) = P(L\!\leq\!k) — P(L\!\leq\!k \!-\! 1)P(L=k)=P(L ≤k)−P(L≤k−1)

  🙋 Если вы знакомы с языком теории вероятностей, вы легко поймете, что мы только что вычислили функцию массы вероятности из кумулятивной функции распределения .

  Последовательные головы и последовательности Фибоначчи с k-шагами

  Рассмотрим более подробно случай k=1k = 1k=1. Переписывая формулу для f(k,n)f(k,n)f(k,n) из предыдущего раздела, получаем:

  f(k,n)=f(k,n−1)+f( k,n−2)\размер сноски f(k,n) = f(k,n-1) + f(k,n-2)f(k,n)=f(k,n−1)+f(k,n−2)

  Начальные условия таковы: f(k,0)=1f(k,0) = 1f(k,0)=1 и f(k,1)=2f(k,1) = 2f(k,1)=2. Тогда получаем f(k,2)=3f(k,2) = 3f(k,2)=3, f(k,3)=5f(k,3) = 5f(k,3)=5, f (к, 4) = 8f (к, 4) = 8f (к, 4) = 8. Да, вы правильно поняли! Перед нами всемирно известная последовательность Фибоначчи (хотя индексы немного смещены)! Ничего себе, мы знали, что числа Фибоначчи появляются везде , а здесь их ждали? 🤯

  🔎 Перейдите к нашему калькулятору последовательности Фибоначчи, если вы еще не знакомы с этой знаменитой математической концепцией.

  Для больших значений kkk мы получаем так называемую m-шаговую последовательность Фибоначчи с m=k+1m = k+1m=k+1. Идея состоит в том, что следующий член является суммой ммм предыдущих членов. Итак, для k=1k=1k=1 у нас есть двухшаговая последовательность Фибоначчи (просто стандартная Фибоначчи), для k=2k=2k=2 мы получим трехшаговую последовательность Фибоначчи и т. д. Вот краткое резюме. из них:

  1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,

  m	Name	Several initial terms
  2	Fibonacci	1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55, 89, 144, 233
  3	Tribonacci	1, 2, 4, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 5044, 5044, 927, 927, 927, 927, 927, 927, 9
  4	Tetranacci	1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490
  5	Pentanacci	1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793
  6	Hexanacci	1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125 , 248, 492, 976, 1936
  7	Гептаначчи	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000
  8	octonacci	9, 2,	9, 2, 2,	. 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028
  9	Nonanacci	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511 , 1021, 2040
  10	Decanacci	1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1023, 2045

  🙋 Префиксы выше (три-, тетра-, пента- и т. д.) соответствуют числам в древнегреческом языке. Вы наверняка уже видели их в таких словах, как три угол, тетра эдр, пента угольник и т. д. Они просто говорят нам, сколько предыдущих членов нам нужно сложить, чтобы получить следующий член: для тетра nacci — четыре, для Octo nacci — восемь и т. д.

  Нахождение вероятности серии бросков монеты — пример 9{10}} \\[0,5см] & \ приблизительно 0,5078125 \end{align*}P(L≥3)​=1−210504​≈0,5078125​

  Таким образом, если вы подбросите монету десять раз, у вас будет примерно пятидесятипроцентный шанс выпадения как минимум трех решек. Довольно высокий шанс, не так ли? По крайней мере, для четырех последовательных решек вероятность падает примерно до 25%, для полос из пяти и более голов она по-прежнему составляет около 10%, а затем для шести это чуть меньше 5%.

  Часто задаваемые вопросы

  Что такое рекуррентное отношение?

  A рекуррентное отношение означает, что n -й член последовательности выражается как некоторая комбинация (например, сумма) предыдущих членов этой последовательности. Для работы этой процедуры необходимо определить достаточное количество начальных значений!

  Как определить вероятность полос при подбрасывании монеты?

  Чтобы найти вероятность того, что длина самого длинного пробега орла не превышает k :

  1. Вычислите 2 в степени n , где n — это общее количество подбрасываний монеты, которые вы совершите.
  2. Определите n -й член (k+1) -ступенчатой ​​последовательности Фибоначчи.

     No related posts.