| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | ||
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | загар((5pi)/3) | ||
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
тригонометрия — Найдите экстремумы $\sin(x)\cos(y)$ с гессианом
Задавать вопрос
спросил
Изменено 4 года, 10 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
У меня есть следующая функция: $f(x,y) = \sin(x)\cos(y)$.
Я правильно вычислил матрицу Гессе со вторыми производными:
\begin{bmatrix} -\sin(x)\cos(y) & -\cos(x)\sin(y)\\ -\cos(x)\sin(y) & -\sin(x)\cos(y) \end{bmatrix}
Но проблема возникает, когда я хочу найти экстремумы (критические и седловые точки). Решая $\cos(x)\cos(y) = 0$ и $-\sin(x)\sin(y) = 0$ (первые частные производные), я получаю:
$\cos(x) = 0$ или $\cos(y) = 0$
$\sin(x) = 0$ или $\sin(y) = 0$.
Если $\cos(x) = 0$, то $\sin(x) = \pm 1$, а если $\sin(x) = 0$, то $\cos(x) = \pm1$. Ну, здесь я думаю, что у нас есть только две возможности:
$\cos(x) = \sin(y) = 0$;
$\sin(x) = \cos(y) = 0$.
Как теперь найти экстремумы?
Я имею в виду при $\cos(x) = \sin(y) = 0$, что является точкой $(x, y)$ и как ее заменить в матрице Гессе? (Решение говорит, что это должна быть седловая точка, но я не понимаю, почему?)
- тригонометрия
- частная производная
- квадратичные формы
- матрица гессиана
$\endgroup$
$\begingroup$
Критические точки:
- $f_x=\cos x \cos y=0$
- $f_y=-\sin x \sin y=0$
и, таким образом,
- $x=k\pi \quad y=\frac{\pi}2+j\pi$
- $y=k\pi \quad x=\frac{\pi}2+j\pi$
матрица Гессе равна
$$\begin{bmatrix} -\sin x \cos y & -\cos x \sin y \\ -\cos x \sin y & -\sin x \cos y \end{bmatrix}$$
и для $x=k\pi \quad y=\frac{\pi}2+j\pi$ получаем
$$H_1=\begin{bmatrix} 0 и 1 \\ 1 и 0 \end{bmatrix} \quad H_2=\begin{bmatrix} 0 и -1 \\ -1 и 0 \end{bmatrix}$$
и для $y=k\pi \quad x=\frac{\pi}2+j\pi$ получаем
$$H_3=\begin{bmatrix} 1 и 0 \\ 0 и 1 \end{bmatrix} \quad H_4=\begin{bmatrix} -1 и 0 \\ 0 и -1 \end{bmatrix}$$
и $H_1$,$H_2$ имеют подпись (1,1), $H_3$ имеют подпись (2,0) и $H_4$ имеют подпись (0,2).
2y.$$
Для $1)$:
$$a) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=1 \\ \cos y=1\end{cases} \Rightarrow H_1=-1<0, H_2 =1>0 \правая стрелка макс; \\
б) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=-1 \\ \cos y=1\end{cases} \Rightarrow H_1=1>0, H_2=1 >0 \стрелка вправо мин.; \\
c) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=1 \\ \cos y=-1\end{cases} \Rightarrow H_1=1>0, H_2=1 >0 \стрелка вправо мин.; \\
г) \begin{cases}\cos x=0 \\ \sin y=0 \\ \sin x=-1 \\ \cos y=-1\end{cases} \Rightarrow H_1=-1<0, H_2 =1>0 \правая стрелка макс. \\$$
Сможете справиться с $2)$?
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Вы неправильно вычислили гессиан; это на самом деле
$$
Н (х, у) =
\begin{bmatrix}
-\sin(x)\cos(y) & -\cos(x)\sin(y)\\
-\cos(x)\sin(y) & -\sin(x)\cos(y)
\end{bmatrix}
$$
В точках, где $\cos x=0$ и $\sin y=0$, определитель гессиана равен $1$, так что это либо максимумы, либо минимумы (собственные значения либо оба положительны, либо оба отрицательны).