Синус 240 градусов равен: Mathway | Популярные задачи

0:00 — 0:01

Здравствуйте!

0:01 — 0:06

Нас просят найти значения синуса и косинуса угла тета,

0:06 — 0:14

если тета равно П/3, 2П/3, 4П/3 и 5П/3.

0:14 — 0:17

Мера угла тета нам дана в радианах.

0:17 — 0:21

Что ж, приступим к выполнению задания.

0:21 — 0:27

Сейчас я вставлю сюда изображение единичной (тригонометрической) окружности.

0:27 — 0:35

Вот так. Эта окружность поможет нам в вычислении синуса и косинуса угла тета.

0:35 — 0:39

И я предлагаю еще перевести меру угла тета из радиан в градусы.

0:39 — 0:49

Потренируемся немного. Итак, первое значение тета – это П/3.

0:49 — 0:58

Запишем: П/3 радиан. Сколько это градусов?

0:58 — 1:02

Нам нужно выяснить, сколько градусов приходится на радиан.

1:02 — 1:08

Мы знаем, что на каждые 180° приходится П радиан.

1:08 — 1:14

Значит, мы умножаем П/3 на 180/П градусов на радиан.

1:14 — 1:20

П сокращаются, остается 180/3, а это 60,

1:20 — 1:24

в единицах измерения радианы уходят, остаются градусы.

1:24 — 1:32

Таким образом, это равно 60°. П/3 – это 60°.

1:32 — 1:35

Далее у нас идет значение 2П/3.

1:35 — 1:41

Мы только что выяснили, что П/3 – это 60 градусов.

1:41 — 1:45

Значит, чтобы узнать, сколько градусов в угле 2П/3,

1:45 — 1:48

нужно всего лишь 60° умножить на 2.

1:48 — 1:51

Это будет 120°. Можно проверить.

1:51 — 1:58

2П/3 радиан мы умножаем на 180 градусов, деленных на П радиан.

1:58 — 2:16

Если мы перемножим, то получим (2/3)*180, а это 120°.

2:05 —

Значит, 2П/3 радиан – это 120°. Вы, наверное, уже догадались,

Not Synced

Единицы измерения, радианы, у нас сокращаются, и остаются только градусы.

Not Synced

что градусная мера угла 4П/3 равна градусной мере угла 2П/3, умноженной на 2.

Not Synced

Мы можем сразу сказать, что это 240°, а можем все это расписать.

Not Synced

4П/3 радиан мы умножаем на 180°, деленных на П радиан.

Not Synced

В итоге П сокращается, и получается (4/3)*180 радиан, а это 240°.

Not Synced

По той же логике 5П/3 – это сколько градусов?

Not Synced

Можно рассуждать по-разному.

Not Synced

Мы можем рассматривать 5П/3 как 5 умножить на П/3.

Not Synced

А чему равно П/3, мы знаем. Это 60°.

Not Synced

Следовательно, чтобы выяснить, сколько градусов в 5П/3 радиан,

Not Synced

нужно всего лишь умножить 60° на 5. Это будет 300°.

Not Synced

Или же можем выяснить это так: 5П/3 радиан мы умножаем на 180°,

Not Synced

деленных на П радиан. В итоге радианы уходят, П сокращаются.

Not Synced

И у нас остается (5180)/3, а это то же самое, что и 560, или 300°.

Not Synced

Вот мы и перевели все значения тета из радиан в градусы.

Not Synced

Теперь давайте изобразим эти все углы.

Not Synced

Потом используя определения синуса и косинуса,

Not Synced

на единичной окружности вычислим синус и косинус наших углов.

Not Synced

Начнем с угла 60°. Изобразим этот угол.

Not Synced

60° — это ровно 2/3 (две трети) угла 90°.

Not Synced

Вот примерно так он будет выглядеть. Это угол 60°.

Not Synced

Запомните, когда мы рассматриваем единичную окружность,

Not Synced

то синус и косинус угла, соответственно,

Not Synced

равны ординате и абсциссе в этой точке.

Not Synced

Исходя из всего этого, мы можем записать,

Not Synced

что координаты данной точки – это cos 60° и sin 60°.

Not Synced

Как можно вычислить, чему равны эти координаты?

Not Synced

cos 60° — это абсцисса нашей точки, а sin 60° — это ордината.

Not Synced

Давайте дорисуем здесь прямоугольный треугольник. Вот так.

Not Synced

Этот угол равен 90°, а этот 60°.

Not Synced

А так как сумма всех углов любого треугольника равна 180,

Not Synced

то третий угол должен быть равен 30°.

Not Synced

Значит, перед нами треугольник 30°-60°-90°.

Not Synced

Давайте вспомним свойства этого треугольника.

Not Synced

Предположим, у нас есть вот такой равносторонний треугольник.

Not Synced

Все его стороны равны. Допустим, они равны 1.

Not Synced

Поскольку это треугольник равносторонний, то и углы у него равны.

Not Synced

Каждый равен 60°. А что если мы разделим этот треугольник пополам,

Not Synced

проведем высоту из вершины к основанию.

Not Synced

В результате получились два симметричных треугольника.

Not Synced

Если мы разделим угол при вершине пополам,

Not Synced

то этот угол будет равен 30°, а эта сторона будет равна 1/2, правильно?

Not Synced

Высота в равностороннем треугольнике является также и медианой.

Not Synced

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник.

Not Synced

Гипотенуза этого треугольника равна 1, этот угол равен 60°,

Not Synced

этот угол равен 30°, и эта сторона равна 1/2.

Not Synced

А чему будет равна третья сторона треугольника?

Not Synced

Она будет равна v3 умножить на длину этой стороны, а это v3/2.

Not Synced

Это все, что нам нужно знать о треугольнике с углами 30°-60°-90°.

Not Synced

Это у нас точно такой же треугольник.

Not Synced

Чему равны стороны этого треугольника.

Not Synced

Чему равна гипотенуза этого треугольника с углами 30°-60°-90°?

Not Synced

Это единичная окружность, и радиус этой окружности равен 1.

Not Synced

А это значит, что длина этой стороны равна 1.

Not Synced

Длина гипотенузы равна 1.

Not Synced

Зная длину гипотенузы, можем ли мы сказать, чему равна эта сторона?

Not Synced

Это треугольник с углами 30°-60°-90°.

Not Synced

Сторона, которая лежит напротив угла в 30° (самая маленькая сторона),

Not Synced

равна половине гипотенузы. Значит, этот катет равен 1/2.

Not Synced

А чему равна длина этого катета?

Not Synced

Она будет равна v3 умножить на длину этого катета. Это будет v3/2.

Not Synced

Теперь вернемся к вопросу: «Чему равен косинус 60°?»

Not Synced

Это координата х данной точки. Вот это значение.

Not Synced

А оно расположено на расстоянии 1/2 от начала координат.

Not Synced

Таким образом, косинус угла П/3, это то же самое,

Not Synced

что и косинус угла 60°,а он равен 1/2. А чему равен синус П/3?

Not Synced

Итак, синус П/3 – это то же самое, что и синус 60°, равен ординате этой точки.

Not Synced

А ордината, как видите, равна v3/2. Значит, синус равен v3/2.

Not Synced

Переходим к следующему значению тета.

Not Synced

Нам нужно вычислить синус и косинус угла 2П/3, или 120°.

Not Synced

Этот угол равен 90°, нам еще нужно отложить угол в 30°. Вот так.

Not Synced

Градусная мера этого угла равна 120°.

Not Synced

Как нам вычислить координаты этой точки?

Not Synced

Дорисовываем еще один прямоугольный треугольник. Это прямой угол.

Not Synced

А чему равен этот угол, как вы думаете?

Not Synced

Наш угол равен 120°, значит, до 180 не хватает 60°, следовательно,

Not Synced

градусная мера этого угла равна 60°.

Not Synced

Если мы сложим 60°и 120°, то получим развернутый угол, угол 180°.

Not Synced

Опять-таки перед нами треугольник с углами 30°-60°-90°.

Not Synced

Чему равны стороны этого треугольника?

Not Synced

Мы уже знаем, чему они равны.

Not Synced

Длина гипотенузы – это длина радиуса окружности, а она равна 1.

Not Synced

А чему равен катет напротив угла 60°? Он равен v3/2.

Not Synced

Это длина этой стороны. А длина катета напротив угла 30° равна 1/2.

Not Synced

Исходя из этой информации, как вы думаете, чему равны координаты этой точки?

Not Synced

Мы знаем, что координата х – это значение косинуса угла тета,

Not Synced

а координата у, соответственно, — это синус угла тета.

Not Synced

Итак, косинус угла 2П/3 равен косинусу угла 120° и это равно чему?

Not Synced

Это равно значению абсциссы этой точки. Смотрим сюда.

Not Synced

Наша точка расположена на расстоянии 1/2 от начала координат

Not Synced

(в отрицательном направлении).

Not Synced

Значит, абсцисса в этой точке равна минус 1/2.

Not Synced

А чему равен синус? Синус 2П/3 равен синусу 120°, а это равно чему?

Not Synced

Это равно ординате этой точки, Значит, синус 120° равен v3/2.

Not Synced

Теперь рассмотрим угол 240° или 4П/3.

Not Synced

Это у нас угол 180°, значит, нам еще нужно отложить угол 60°.

Not Synced

Вот так будет выглядеть этот угол. Это 180°, а это 60°.

Not Synced

Дорисовываем прямоугольный треугольник.

Not Synced

И опять-таки это треугольник с углами 30°-60°-90°.

Not Synced

Мы уже знаем, что эта сторона равна 1, эта равна v3/2, а эта 1/2.

Not Synced

Следовательно, косинус 4П/3, а это то же самое, что и косинус 240°,

Not Synced

а он равен значению х в этой точке.

Not Synced

Точка расположена на расстоянии 1/2 от начала координат

Not Synced

(в отрицательном направлении). Значит, косинус равен минус 1/2.

Not Synced

Теперь синус. Синус 4П/3, а это то же самое, что и синус 240°…

Not Synced

Синус этого угла равен ординате этой точки.

Not Synced

А она равна длине этого катета только со знаком минус.

Not Synced

Значение у в этой точке равно минус v3/2.

Not Synced

Следовательно, синус 240° равен минус v3/2.

Not Synced

Остался последний угол, 5П/3, или угол 300°.

Not Synced

Здесь угол будет равен 270°, значит, еще нужно 30°.

Not Synced

Вот таким будет этот угол.

Not Synced

Этот угол равен 300°, и до полного поворота, до угла 360°, не хватает 60°.

Not Synced

Значит, градусная мера вот этого угла равна 60°.

Not Synced

Думаю, вы уже знаете, что будет дальше.

Дорисовываем прямоугольный треугольник. Это прямой угол.

Not Synced

И перед нами еще один треугольник с углами 30°-60°-90°.

Not Synced

Мы знаем, что это еще один радиус единичной окружности, он равен 1.

Not Synced

Самая маленькая сторона этого треугольника равна 1/2

Not Synced

(это катет напротив угла 30°), а сторона напротив угла 60°,

Not Synced

соответственно, равна v3/2.

Not Synced

Чему же равен косинус 5П/3, или косинус 300°?

Not Synced

Значение х в этой точке равно 1/2.

Not Synced

Точка расположена на расстоянии 1/2 от начала координат

Not Synced

(в положительном направлении). Значит, косинус равен 1/2.

Not Synced

А чему равен синус 5П/3, или синус 300°? Чему он равен?

Not Synced

Синус угла равен значению у в этой точке.

Not Synced

Точка расположена на расстоянии v3/2 от начала координат

Not Synced

(в отрицательном направлении).

Not Synced

Значит, синус 5П/3 будет равен минус v3/2.

Not Synced

Вот и все. Мы справились с заданием. До встречи!