Синус и косинус тангенс и котангенс таблица: Нахождение значений синуса и косинуса, тангенса и котангенса — методическая рекомендация. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Синус, косинус, тангенс и котангенс: формулы, таблица

Определение

Тригонометрия — один из видов науки о математике, изучающий функции по тригонометрии с применением их в геометрии.

Начало своего изучения данный научный раздел берет где-то в античной Греции, считается что первыми стали применять такие функции астрономы, а после в землемерии и строительстве. В средние века, большое внимание тригонометрии уделяли учёные Индии и Востока.

В этой статье будут рассмотрены понятия и различные определения тригонометрической науки. А также основные функции которыми являются: синус, косинус, тангенс, котангенс.

В начале стоит поговорить об определениях:

Угол определяется в двух величинах: градусы и радианы.
Так как окружность определяется 360 единицами, то 1∘равен 1\360 части окружности.
Гипотенуза — напротив лежащая сторона относительно прямого угла;
Катеты — две стороны, отходящие от прямого угла.

Определения основных функций

По началу понятие функций тригонометрии, значением которого был угол, вычислялось через отношение сторон треугольника, который обладает прямым углом.

Определения для острого угла прямоугольника.

Функция Sin a — Синус угла — отношение напротив лежащего катета к гипотенузе
Cos a — Косинус угла — отношение стороны треугольника (катета), который прилегает к данному углу и гипотенузы;
Tg a — Тангенс угла — отношение стороны треугольника который называется катетом и лежит напротив угла к прилежащему углу катету ;
Ctg a — Котангенс угла — прилежащего катета к противолежащему.

Теорема синусов в формуле:

\[ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma} \]

Угол поворота.

Как уже говорилось выше определения, которые мы рассмотрели относятся к острым углам треугольника. Но существует и понятие угол поворота, в котором исчисляемый угол не будет равен значению от 0 градусов до 90. При этом угол поворота может быть любым числом, от +бесконечности и до — бесконечности.

В данной связи можно выдвинуть определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла любой величины. Для этого представим окружность в системе координат с двумя взаимно перпендикулярными осями.

Заданная точка А, имеющая координатные значения 1,0, делает поворот вокруг центра оси на угол α, переходя в точку А1. рассматривая определение через координаты А1(х,у).

Sin угла поворота α, это ордината точки А1(х,у), то есть sinα=у

Косинус α — абсцисса точки А1 (cosα=х)

Tg данного угла — ‘это деление (отношение) ординаты А1 к абсциссе. tgα=у\х

Котангенс поворотного угла α — отношение её абсциссы к ординате, ctgα=х\у

Заметим, что синус и косинус можно выделить для любого угла, а вот тангенс и котангенс нет. И это абсолютно логично, так как при переходе точки в значение ноля для абсциссы, тангенс посчитать невозможно, так как невозможно деление на 0. Тоже самое со значением ординаты равным нулю, котангенс не исчисляется.

Sin и cos можно вычислить для любых углов α. тогда как tg всех кроме α = 90°+180°* k , k ∈ Z ( α = π 2 + π * k , k ∈ Z ) α=90°+180°*k, k∈Z (α=π2+π*k, k∈Z)

Котангенс так же можно вычислить не для всех углов, например для α = 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π * k , k ∈ Z , это сделать нельзя.

Отметим, что на практике при решении примеров словосочетание угол поворота опускается из речевого оборота.

Для удобства существуют таблицы значений часто используемых углов, которые вычисляются в тригонометрических функциях, к примеру, для первой четверти круга:

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1 2	√2 2	√3 2	1
cos	1	√3 2	√2 2	1 2	0
tg	0	1 √3	1	√3	–
ctg	–	√3	1	1 √3	0

Здесь можно посмотреть таблицу синусов, косинусов и других функций.

Вычисление тригонометрических функций числа

В данном пункте рассмотрим случай, когда определение рассматриваемых нами функций тригонометрии, происходит из числового значения, а не угла. Таких подходов два:

Sin, cos, tg, ctg числа n, является число которое равно sin, сos, tg, ctg n радиан. Где Радиа́н это угол, который соответствует дуге, которая в свою очередь равна длине, её радиуса. Пример: sin числа2k=sin угла2k радиан. Используя формулы можно получить таблицу часто встречаемых углов, которая поможет быстро перевести значения из градусов в радианы и в противоположную сторону.
На прямоугольной системе координат, в единичной окружности, ставится точка, которой соответствует любое действительное значение числа d. тригонометрические функции можно определить, узнав координаты этой точки.
Считая начальной точкой А с координатами (1,0). Поэтому для того чтобы найти взаимодействие между точкой на окружности и числом, нужно найти отрицательное и положительное значение числа d, положительным будет значение при движении точки А(1,0) в противоположную сторону движения часовой стрелки и её движение будет равным open t \ t, а отрицательным движение по часовой стрелке.

В связи с этим выделяют следующие функции:

(sin f = y) Синус числа f- определяется ординатой точки единичной окружности, которая равна числу f;
(cos f = x) Косинус числа f — абсцисса окружности, которая соответствующая числу f;
(tg f = y\x=sin f\cos f) тангенс f определяется делением ординаты на абсциссу точки, равной числу f.

Функции аргумента угла и числа

Каждому значению угла а, существует своё значение sin, сos, данного угла, которое ему соответствует. А также углам α, кроме от α = 90 ° + 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π 2 + π * k , k ∈ Z ) будет соответствовать определенное значение тангенса. Так же котангенс α, кроме α = 180 ° * k , k ∈ Z ( α = π * k , k ∈ Z ).

Из чего следует что синус а, косинус а, тангенс а, котангенс а — это и есть функции углового аргумента.

Точно также определяются функции числового аргумента. Выбранное любое действительное число, имеет своё соответственное значение функций тригонометрии, все кроме перечисленных исключений.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Определения функций и их связь

Вернемся к единичной окружности в прямоугольной системе координат, где центр окружности и системы координат совпадает. Точку А(1,0) повернём на 90°, и из полученной точки А1 проведём перпендикуляр к абсциссе. В результате получится прямоугольный треугольник, где угол А1 ОН это угол поворота а. длины катета ОН и абсциссы точки А1 также равны. А катет, который находится напротив угла равен ординате точки А1, а длина гипотенузу это единица.

Получается исходя из определения, синус угла а, это отношение катета напротив к гипотенузе.

sin α = A 1 H\ O A 1 = y \1 = y

sin α=A1H\OA1=y\1=y

Из чего следует, что определение sin острого угла, одинаково определению синуса угла поворота а, если а лежит в пределе 0-90°. Точно так же и с вычислением косинуса, тангенса и котангенса.

Положительные и отрицательные знаки функций

Знаки sin и cos в изобразительном виде системы координат.

	I	II	III	IV
sin	+	+	—	—
cos	+	—	—	+
tg	+	—	+	—
ctg	+	—	+	—

Знаки sin, cos, tg, ctg в виде таблицы.

Знаки тангенса и котангенса на оси

Для того чтобы сделать проверку знаков функций тангенса и котангенса , можно также воспользоваться такой окружностью и её четвертями. Если мы берём угол из третьей четверти и проводим прямую через точку на окружности и начало координат, пока прямая не пересечёт ось тангенсов. Мы увидим что значение tg угла и угла в первой четверти будет положительным. Таким же образом значение из второй четверти и четвёртой отрицательно.

Тождества в тригонометрии

Рассмотрим подробнее тождества функций. {2} t}, \quad t \neq \pi n, n \in Z \]

Таблица функций тригонометрии

Эта таблица представляет из себя уже посчитанные значения sin, cos, tg, ctg углов от 0до 360 градусов. Такая таблица заменит специальный калькулятор если нужны значения, нужно просто найти нужный угол в таблице.

Области применения тригонометрии

Приведём для примера несколько областей в которых применяются функций:

В астрономии. Во-первых, как отмечалось выше область астрономии стала первой, где стали применять тригонометрические функции. Именно по этой причине довольно долго этот раздел науки относили к астрономии. Одним из крупных открытий в этой науке при помощи тригонометрических основ стала возможность вычисления наступления темноты, а также составление первых звёздных карт.
В физике. Мир, который нас окружает построен на колебательных процессах, это такие явления и процессы, которые повторяются через определённый цикл;
В окружающей нас природе. Например, отражение лучей солнца от различных поверхностей;
В медицине. К примеру, существует такое понятие как формула сердца;
В биологии. Биологические ритмы, модель которых строят при помощи тригонометрии;
В музыке, звуковые ритмы, построение моделей.
Важную роль тригонометрия играет и для морского флота и авиации;
В изучении сейсмической активности.

Как мы видим тригонометрия очень важная наука, которая пронизывает практически все сферы нашей жизни.

Кейс «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа t»

Кейс «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа t»

1. Глава – Тригонометрические функции.

2. Цели занятия:

знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t;
уметь находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа t и уметь их;
уметь строить точки на окружности, если известно значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса этого числа и уметь их записывать.

Режим работы.

№

Этапы работы

Время на этап

4
5

Представление кейса.

Повторение изученного материала.

Индивидуальное изучение кейса каждым учеником. Разработка вариантов индивидуальных решений.

Обсуждение вариантов индивидуальных решений в каждой микрогруппе.

Вопросы для обсуждения.

Подведение итогов

7 мин

8 мин

25 мин
15 мин
18 мин

7 мин

4. Правила работы над кейсом.

Все решения заданий следует записывать в тетради. Переписывать в тетрадь задания и чертежи не требуется, если это не предусмотрено самим заданием.

В данном кейсе нельзя писать решения. Внимательно читайте теоретический материал и выполняйте практические задания индивидуально по порядку.

Не выполнение предыдущего задания влечет не понимание следующего. После выполнения пункта 5 следует отвечать на вопросы пункта 6. За консультацией можно обращаться только к учителю. Следи за временем, отведенным на каждый этап работы.
5. Теоретический материал и задания.

Рассмотрим первую четверть координатной плоскости с дугой единичной окружности. Возьмем произвольную точку на дуге M(t). Найдем абсциссу и ординату точки M(t)=M(x; y).

Косинусом числа t называют абсциссу точки t и обозначают cos t.

Синусом числа t называют ординату точки t и обозначают sin t.

если M(t)=M(x; y), то

x = cos t,

y = sin t.

Рис. 1

Задание 1. По рисунку 1 с помощью изображенной линейки определить приближенно значения cos t =__ , sin t = __ . Результат запишите в тетради.

Это же проделайте по рисунку 2 для точек M₁, M₂, M₃, M₄.

Рис. 2

Задание 2. По рисунку 3 определите чему равны

Рис. 3

Справка. Начало учению о тригонометрических величинах было положено в Индии, начиная с IV – VI вв. Индийские ученые впервые в науке стали употреблять линию синуса как половину хорды, и составили первые тригонометрические таблицы синусов (полухорд).

По примеру индийских математиков рассмотрите на рисунке 4 лук с натянутой стрелой. Греческое слово хорде, от которого происходит термин «хорда», буквально означает «тетива лука», «струна». Индийские ученые впервые

Рис. 4 предложили рассматривать величину полухорды, которую назвали

джива. Арабские математики, которые позже (начиная с VIII в.) осваивали накопленные математические знания, писали слово джива в арабской транскрипции как джайб, которое дословно означает «пазуха». Вместе с военными завоеваниями арабов слово «пазуха» для обозначения полухорды в тригонометрии попало в Европу (X – XI вв.

), где европейские ученые перевели его на латынь как «синус». Этот термин сохранился до настоящего времени, но он применяется не только в математике: сейчас в медицине заболевание пазух носа называют синуситом. Слово «косинус» – это сокращение латинского выражения complementy sinus, т. е. «дополнительный синус» или, иначе, «синус дополнительной дуги» ведь в тригонометрии действительно равенство .

Задание 3. Тест (запишите в тетрадях ответы в виде 1а, 2а,…)

Вычислите и укажите ответ	а	б	в	г	д	е	ж	з
Вычислите и укажите ответ					1		2	3
1
2
3
4
5

Задание 4.

На окружности дана точка М(t). Известны синус и косинус этой точки. К окружности через точку А провели касательную, которая перпендикулярна Ох (рис. 5). Вырази АК через sint и cost (использовать подобие треугольников).

Рис. 5

Тангенсом числа t называют число, соответствующее длине отрезка правой касательной, заключенного между Ох и лучом ОМ и обозначают tg t.

Какой вывод ты можешь сделать из задания 4 и определения тангенса?

Задание 5. На окружности дана точка М(t). Известны синус и косинус этой точки. К окружности через точку В провели касательную, которая перпендикулярна Оу (рис. 6). Вырази ВК через sint и cost.

Рис. 6

Котангенсом числа t называют число, соответствующее длине отрезка верхней касательной, заключенного между Оу и лучом ОМ и обозначают сtg t.

Какой вывод ты можешь сделать из задания 5 и определения котангенса?

Справка. Понятия «тангенс» и «котангенс», как и первые таблицы значений этих новых тригонометрических величин, родились не из рассмотрения тригонометрической окружности, а из учения о солнечных часах – гномоники. Термин tangens (от лат. касающийся [отрезок касательной]) был введен только в 1583 г. датским математиком Томасом Финком.

Задание 6. Определите число.

tg 0 = __,

tg M₁=__,

tg M₂ =__,

tg M₃

=__,

tg = ___.

Как изменяется значение тангенса числа, при увеличении числа?

Задание 7. Определите число.

сtg = __,

сtg M₁=__,

сtg M₂ =__,

сtg M₃ =__,

сtg 0 = __.

Как изменяется значение котангенса числа, при увеличении числа?
Задание 8. Изобразите в тетради целиком единичную окружность, расположенной на координатной плоскости

определите числа на этой окружности, синус которых равен ;
определите числа на этой окружности, косинус которых равен ;
определите числа на этой окружности, тангенс которых равен ;
определите числа на этой окружности, котангенс которых равен ;

Вопросы для обсуждения.

Вспомните определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Найдите треугольник, в котором

Требуется найти высоту башни СК, к основанию С которой нельзя подойти. Для этого на доступной поверхности земли отметили две точки А и В, расположенные с точкой С на одной прямой, и произвели следующие замеры: АВ=12м, CВК=47^о, САК=42^о. Достаточно ли этих данных для нахождения высоты?

7. Критерии самооценивания.

№

Наименование критерия

MAX колич. баллов

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Работа в микрогруппе.

Участие в обсуждении.

Штрафные баллы за нарушение дисциплины

-2

№ 1 – 8.

0 – не выполнено.

1 – выполнено не полностью либо выполнено с ошибкой.

2 – выполнено верно.

№ 9 – 10.

0 – не работал (а).

1 – работал (а).

Каталог: статьи

жүктеу/скачать 0.54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

синус косинус тангенс диаграмма | Совершенствуйте свои математические способности

СОВЕТ ПО ЗАПИСИ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

Существует простой способ запомнить синус, косинус и тангенс особых тригонометрических углов.

Специальные триггерные углы: 0º, 30º, 45º, 60º и 90º. Что делает эти углы особенными? Треугольник 30°-60°-90° составляет половину равностороннего треугольника, а треугольник 45°-45°-90° — половину квадрата. В обоих случаях триггерные функции (синус, косинус и тангенс) могут быть выражены в виде простых отношений.

Вот способ быстрого вычисления синуса, косинуса и тангенса углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

ШАГ 1: Специальные углы.

Запишите специальные углы по порядку.

ШАГ 2: Целые числа.

Запишите целые числа от 0 до 4 по порядку.

ШАГ 3: Квадратные корни.

Квадратный корень каждого числа.

ШАГ 4: Найдите синус тета.

Разделите каждое число на 2.

Это синус 0°, 30°, 45°, 60° и 9.0º.

Это так просто. Вот резюме:

Напишите числа от 0 до 4.
Квадратный корень каждого числа.
Разделите каждое число на 2.

ШАГ 5: Найдите косинус тета.

Просто запишите предыдущие числа в обратном порядке.

Почему это работает? Потому что синус теты равен косинусу дополнения теты: sin( θ )=cos(90º– θ). То, что противоположно тэте, соседствует с ее дополнением.

ШАГ 6: Найдите тангенс тэты.

Разделите синус тета на косинус тета.

TRIG CHART

Эта диаграмма показывает все шаги вместе.

Напишите специальные углы.
Запишите целые числа от 0 до 4.
Квадратный корень каждого числа.
Разделите каждое число на 2. Это даст вам синус тета.
Запишите числа в обратном порядке. Это дает вам косинус тета.
Разделить две предыдущие строки (синус на косинус). Это дает вам касательную тета.

ПРИМЕЧАНИЕ

Существует два разных, но эквивалентных способа записи приведенной выше таблицы.

Это связано со следующими свойствами иррациональных чисел:

Так, например, существуют альтернативные способы выражения следующих значений триггера:

На диаграмме в этом блоге используется стандартная форма . В большинстве математических курсов используется стандартная форма, что означает, что в знаменателе нет иррациональных чисел (например, корня 2).

Иногда вы найдете триггерную таблицу в другой нестандартной форме. В этой форме вы видите 1 над корнем 2 вместо корня 2 над 2, и вы видите 1 над корнем 3 вместо корня 3 над 3.

Важно понимать, что обе формы верны. Однако стандартная форма ожидается в большинстве математических курсов.

КРИС МАКМУЛЛЕН, PH.D.

Практическое пособие по основам тригонометрии с ответами
Изучите или повторите основные навыки тригонометрии
Флэш-карты тригонометрии (для Kindle)
Рабочая тетрадь по основам алгебры с ответами
Системы уравнений: одновременные, замена, правило Крамера
Другие тома охватывают обыкновенные дроби, деление в столбик, арифметику и т. д.
Также ищите книги по четвертому измерению, астрономии, концептуальной химии и т. д.

Трехзначная тригонометрическая таблица

Значения тригонометрических функций можно найти различными способами, в том числе с помощью калькулятора или, как описано здесь, с помощью таблицы.

Ниже приведена так называемая «трехзначная тригонометрическая таблица», в которой для углов до 45° используйте левый столбец и верхние метки функций, а для углов более 45° используйте правый столбец. ручная колонка и нижние функциональные метки.

Например, sin 5° = 0,087 и sin 85° = 0,996

θ	sin θ cos θ	соз θ sin θ	светло-коричневый θ детская кроватка θ	детская кроватка θ светло-коричневый θ	сек θ csc θ	csc θ сек θ
0°	. 000	1 . 000	. 000	……..	1 . 000	……..	90°
1°	. 017	1 . 000	. 017	57 . 290	1 . 000	57 . 299	89°
2°	. 035	. 999	. 035	28 . 636	1 . 001	28 . 654	88°
3°	. 052	. 999	. 052	19 . 081	1 . 001	19 . 107	87°
4°	. 070	. 998	. 070	14 . 301	1 . 002	14 . 336	86°
5°	. 087	. 996	. 087	11 . 430	1 . 004	11 . 474	85°
6°	. 105	. 995	. 105	9 . 514	1 . 006	9 . 567	84°
7°	. 122	. 993	. 123	8 . 144	1 . 008	8 . 206	83°
8°	. 139	. 990	. 141	7 . 115	1 . 010	7 . 185	82°
9°	. 156	. 988	. 158	6 . 314	1 . 012	6 . 392	81°
	sin θ cos θ	cos θ sin θ	светло-коричневый θ детская кроватка θ	детская кроватка θ светло-коричневый θ	сек θ csc θ	csc θ сек θ
10°	. 174	. 985	. 176	5 . 671	1 . 015	5 . 759	80°
11°	. 191	. 982	. 194	5 . 145	1 . 019	5 . 241	79°
12°	. 208	. 978	. 213	4 . 705	1 . 022	4 . 810	78°
13°	. 225	. 974	. 231	4 . 331	1 . 026	4 . 445	77°
14°	. 242	. 970	. 249	4 . 011	1 . 031	4 . 134	76°
15°	. 259	. 966	. 268	3 . 732	1 . 035	3 . 864	75°
16°	. 276	. 961	. 287	3 . 487	1 . 040	3 . 628	74°
17°	. 292	. 956	. 306	3 . 271	1 . 046	3 . 420	73°
18°	. 309	. 951	. 325	3 . 078	1 . 051	3 . 236	72°
19°	. 326	. 946	. 344	2 . 904	1 . 058	3 . 072	71°
	sin θ cos θ	cos θ sin θ	светло-коричневый θ детская кроватка θ	детская кроватка θ светло-коричневый θ	сек θ csc θ	csc θ сек θ
20°	. 342	. 940	. 364	2 . 747	1 . 064	2 . 924	70°
21°	. 358	. 934	. 384	2 . 605	1 . 071	2 . 790	69°
22°	. 375	. 927	. 404	2 . 475	1 . 079	2 . 669	68°
23°	. 391	. 921	. 424	2 . 356	1 . 086	2 . 559	67°
24°	. 407	. 914	. 445	2 . 246	1 . 095	2 . 459	66°
25°	. 423	. 906	. 466	2 . 145	1 . 103	2 . 366	65°
26°	. 438	. 899	. 488	2 . 050	1 . 113	2 . 281	64°
27°	. 454	. 891	. 510	1 . 963	1 . 122	2 . 203	63°
28°	. 469	. 883	. 532	1 . 881	1 . 133	2 . 130	62°
29°	. 485	. 875	. 554	1 . 804	1 . 143	2 . 063	61°
	sin θ cos θ	cos θ sin θ	светло-коричневый θ детская кроватка θ	детская кроватка θ светло-коричневый θ	сек θ csc θ	csc θ сек θ
30°	. 500	. 866	. 577	1 . 732	1 . 155	2 . 000	60°
31°	. 515	. 857	. 601	1 . 664	1 . 167	1 . 972	59°
32°	. 530	. 848	. 625	1 . 600	1 . 179	1 . 887	58°
33°	. 545	. 839	. 649	1 . 540	1 . 192	1 . 836	57°
34°	. 559	. 829	. 675	1 . 483	1 . 206	1 . 788	56°
35°	. 574	. 819	. 700	1 . 428	1 . 221	1 . 743	55°
36°	. 588	. 809	. 727	1 . 376	1 . 236	1 . 701	54°
37°	. 602	. 799	. 754	1 . 327	1 . 252	1 . 662	53°
38°	. 616	. 788	. 781	1 . 280	1 . 269	1 . 624	52°
39°	. 629	. 777	. 810	1 . 235	1 . 287	1 . 589	51°
	sin θ cos θ	cos θ sin θ	светло-коричневый θ детская кроватка θ	детская кроватка θ светло-коричневый θ	сек θ csc θ	csc θ сек θ
40°	. 643	. 766	. 839	1 . 192	1 . 305	1 . 556	50°
41°	. 656	. 755	. 869	1 . 150	1 . 325	1 . 524	49°
42°	. 669	. 743	. 900	1 . 111	1 . 346	1 . 494	48°
43°	. 682	. 731	. 933	1 . 072	1 . 367	1 . 466	47°
44°	. 695	. 719	. 966	1 . 036	1 . 390	1 . 440	46°
45°	. 707	. 707	1 . 000	1 . 000	1 . 414	1 . 414	45°

Компания Homesweet Learning Inc. занимается обучением домашним заданиям и подготовкой к экзаменам, а также развивающими программами для детей школьного возраста.
Его интерактивные программы обучения и повышения квалификации охватывают математику, английский язык, естественные науки, компьютерное программирование, подготовка к экзаменам SSAT, SAT и ACT, шахматы, французский, испанский и т.