Синуса разложение в ряд: Разложение функций по степеням в ряд Тейлора и ряд Маклорена

Содержание

Разложение в ряд Тейлора

Введите функцию, которую будете раскладывать в ряд Тейлора

Выполним разложение функции f(x) в ряд Тейлора в точки x0 до n-го члена

Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание

Другие функции:
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

Разложение в ряд Фурье (1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты ряда Фурье

Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=ao+c1sin(x+α1)+c2sin(2x+α2)+...+cnsin(nx+αn)

Где ao - константа, с 1=(a12+b12)1/2 , с n=(an2+bn2)1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctg an/bn.

Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α

2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Разложение непериодической функции в ряд Фурье. График.

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

Ряд Фурье четной периодической функции

где коэффициенты ряда Фурье,

Коэффициенты ряда Фурье

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

Разложение в ряд Фурье по синусам

где коэффициенты ряда Фурье,

Коэффициенты ряда фурье (разложение по синусам)

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется

рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an

Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде

Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде

Ряд Фурье на полупериоде. График.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

 

Разложение в ряд Фурье по синусам. Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде

Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде по синусам. График.

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Разложение в ряд Фурье на полупериоде. Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде

Где коэффициенты ряда Фурье, 

Разложение в ряд Фурье на полупериоде. Определение коэффициентов ряда Фурье на полупериоде

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

Ряд Фурье для произвольного интервала. Определение коэффициентов ряда Фурье на произвольном интервале

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье для произвольного интервала. Определение коэффициентов ряда Фурье на произвольном интервале

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в

ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Ряд Фурье для произвольного интервала. Определение коэффициентов ряда Фурье на произвольном интервале

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье.Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.  

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=ao+c1sin(x+α1)+c2sin(2x+α2)+...+cnsin(nx+αn)

Где ao - константа, с 1=(a12+b12)1/2 , с n=(an2+bn2)1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctg an/bn.

Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin(x+α1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin(2x+α2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам ил

Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций — ПриМат

Перед тем прочтением данной статьи следует просмотреть следующий материал определение многочлена Тейлора, Остатки формулы Тейлора, Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора.

Запишем разложения основных элементарных функций в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}=0$, т.е. в ряд вида $f(x)=$$\sum\limits _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { f }^{ (n) }(0) }{ n! } } { x }^{ n }$ (1), который называется рядом Маклорена.

Показательная и гиперболические функции

Пусть $f(x)=e^{x}$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= e^{x}$, $f^{\prime\prime}( x )=e^{x}$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=e^{x}$. Тогда $0 < f(x) < e^{\rho }$, $0 < f^{(n)}(x) < e^{\rho }$ для любого $x\in(-\rho ,\rho )$, где $\rho > 0$ и для любого $n\in \mathbb{N}$.

Из теоремы о представлении функции в виде ее ряда Тейлора (Курс математического анализа, ст.437) следует, что ряд (1) для $f(x)=e^{x}$ сходится к этой функции на интервале $(-\rho ,\rho )$ при любом $\rho > 0$. Так как для функции $f(x)=e^{x}$ выполняются $f(0)=1$, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n\in \mathbb{N}$, то, по формуле (1), получаем разложение в ряд Маклорена показательной функции:
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +\frac{x^{n}}{n!}+ \ldots = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}, x\in \mathbb{R} (2)$$

Используя разложение (2), синус и косинус $\text{sh} \, x=\frac{e ^{x}-e ^{-x}}{2}$, $\text{ch} \, x=\frac{e ^{x}+e ^{-x}}{2}$, находим:
$$\text{sh} \, x=x+\frac{x^{3}}{3!}+ \ldots +\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in \mathbb{R} (3)$$
$$\text{ch} \, x=1+\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +\frac{x^{2n}}{(2n)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in \mathbb{R} (4)$$
Радиус сходимости $R=+\infty $.

Тригонометрические функции

Пусть $f(x)=\sin x$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= \cos x$, $f^{\prime\prime}(x)= -\sin x$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=\sin x$ при $n$ — четное. Тогда $\left | f^{(n)}(x) \right | \leq 1$, для любого $n\in \mathbb{N}$ и для любого $x\in \mathbb{R}$.

Из теоремы о представлении функции в виде ее ряда Тейлора (Курс математического анализа, ст.437) ряд (1) для $f(x)=\sin x$ сходится для любого $x\in (-\infty , \infty )$. Радиус сходимости $R=+\infty$.

Если $f(x)=\sin x$, то $f(0)=0$, $f^{(2n)}(0)=0$, ${f}'(0)=1$, $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n}$ для любого $n\in \mathbb{N}$, и, по формуле (1), получаем разложение в ряд Маклорена:
$$\sin x =x-\frac{x^{3}}{3!}+ \ldots +(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in \mathbb{R} (5)$$

Пусть $f(x)=\cos x$. Найдем производные функции: ${f}'(x)= -\sin x$, $f^{\prime\prime}(x)= -\cos x$,$\ldots$,$f^{(n)}(x)=\cos x$ при $n$ — четное. Тогда $\left | f^{(n)}(x) \right | \leq 1$, для всех $x\in \mathbb{R}$, $n\in \mathbb{N}$, $f(0)=1$, ${f}'(0)=0$, $f^{(2n)}(0)=(-1)$, $f^{(2n+1)}(0)=0$ для всех $n\in \mathbb{N}$. По формуле (1):
$$\cos x =1-\frac{x^{2}}{2!}+ \ldots +(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in \mathbb{R} (6)$$

Радиус сходимости $R=+\infty$.

Логарифмическая функция

Пусть $f(x)=\ln(1+x)$. Тогда $$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{(n-1)}(n-1)!}{(1+x)^{n}} (7),$$ откуда находим $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(-1)^{(n-1)}}{n}.$$

Оценим остаток по формуле остаточного члена в интегральной форме: $$r_{n}=\frac{1}{n!}\int\limits_{0}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt=\frac{x^{(n+1)}}{n!}\int\limits_{0}^{1}(1-\tau )^{n}f^{(n+1)}(\tau x)d\tau.$$ Используя равенство (7), получаем $$r_{n}=(-1)^{n}x^{n+1}\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\tau )^{n}}{(1+\tau x)^{n+1}}d\tau.$$ Пусть $\left | x \right |

Пусть $x=1$. Тогда $\left | r_{n}(1) \right |=$$\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\tau )^{n}}{(1+\tau )^{n+1}}d\tau$$ \leq \int\limits_{0}^{1}(1-\tau )^{n}d\tau$$ =\frac{1}{n+1}$ $\rightarrow 0.$

Если $x\in (-1,1]$, то остаточный член $r_{n}(x)$ для функции $f(x)=\ln(1+x)$ стремится к нулю при $n\rightarrow \infty.$

В итоге получаем разложение в ряд Маклорена

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+ \ldots +(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+ \ldots =$$ $$=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}, x\in \mathbb{R} (8)$$
Радиус сходимости $R=1.$

Степенная функция

Пусть $f(x)=(1+x)^{\alpha }$. Если $\alpha =0$, то $f(x)=1$, а если $\alpha =n$, где $n\in \mathbb{N}$, то $f(x)$-многочлен степени $n$, который можно представить в форме бинома Ньютона в форме конечной суммы:
$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}.$$ Покажем, что если $\alpha \neq 0$ и $\alpha \notin \mathbb{N}$, то функция $f(x)=(1+x)^{\alpha }$ представляется при каждом $x\in (-1,1)$ сходящимся к ней рядом Маклорена $$(1+x)^{\alpha }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }C_{\alpha }^{n}x^{n} (9),$$ где $C_{\alpha }^{0}=1$, $C_{\alpha }^{n}=\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1))}{n!}$.

Так как $f^{(n+1)}(x)=\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n)(1+x)^{\alpha -n-1}$, то по формуле $r_{n}(x)=\frac{x^{(n+1)}}{n!}\int\limits_{0}^{1}(1-\tau )f^{(n+1)}(\tau x)d\tau$ получаем $$r_{n}(x)=A_{n}x^{n+1}\int\limits_{0}^{1}\left ( \frac{1-\tau}{1+\tau x} \right )^{n}(1+\tau x)^{\alpha -1}d\tau,$$ где $C_{n }=\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n)}{n!}.$

Выберем $m\in \mathbb{N}$ такое, чтобы выполнялось условие $\left | \alpha \right |\leq m$. Тогда для всех $n\geq m$ справедливо $\left | A_{n} \right |$$\leq \frac{m(m+1) \ldots (m+n)}{n!}$$\leq \frac{(m+n)!}{n!}=(n+1) \ldots (n+m)\leq (2n)^{m}$. Используя неравенства $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\tau \left | x \right |\geq 1-\tau$, $\left | 1+\tau x \right |\geq 1-\left | x \right |$, а также неравенство $\left | 1+\tau x \right |\leq 1+\left | x \right |$, получаем $0\leq \frac{1-\tau }{1+\tau x}\leq 1$.

Так как $\lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{t^{m}}{a^{t}}=0$ при $\alpha > 1$, то $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{m}}{\left ( \frac{1}{\left | x \right |} \right )^{n+1}}=0$. Поэтому справедливо равенство $(1+x)^{\alpha }=\sum\limits_{n=0}^{\infty }C_{\alpha }^{n}x^{n}$. Радиус сходимости этого ряда $R=1$ при $\alpha \neq 0$ и $\alpha \notin \mathbb{N}.$

$$(1+x)^{\alpha }=$$ $$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+ \ldots +\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+\ldots=$$$$1+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1)}{n!}x^{n}+\ldots, x\in \mathbb{R} (10)$$

    Частные случаи формулы (9):
  • $\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-\ldots=\sum\limits_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}, x\in \mathbb{R}$
  • $\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }x^{n}, x\in \mathbb{R}$

Спойлер

Разложить функцию в ряд Маклорена.

$$f(x)=x\cos 3x$$

$\cos 3x=1-\frac{(3x)^2}{2!}+\frac{(3x)^4}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{(3x)^{2n}}{(2n)!}+\ldots$

Раскрывая скобки, получим

$\cos 3x=1-\frac{3^{2}x^{2}}{2!}+\frac{3^{4}x^{4}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n)}}{(2n)!}+ \ldots $

Умножая левую и правую часть на $x$, получим

$x\cos 3x=x(1-\frac{3^{2}x^{2}}{2!}+\frac{3^{4}x^{4}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n)}}{(2n)!}+\ldots)$

Таким образом:

$f(x)=x\cos x=x-\frac{3^{2}x^{3}}{2!}+\frac{3^{4}x^{5}}{4!}-\ldots+(-1)^{n}\frac{3^{(2n)}x^{(2n+1)}}{(2n)!}$

[свернуть]

Литература
  • Конспект З.М.Лысенко по математическому анализу
  • А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин «Курс математического анализа«, ст. 435-441, 158-165
  • Разложение в ряд Тейлора основных элементарных функций

    Лимит времени: 0

    Информация

    Для закрепления материала рекомендуется пройти этот тест

    Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

    Тест загружается...

    Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

    Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

    Правильных ответов: 0 из 4

    Ваше время:

    Время вышло

    Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

    Средний результат

     

     
    Ваш результат

     

     
    Рубрики
    1. Математический анализ 0%
    1. С ответом
    2. С отметкой о просмотре

    Поделиться ссылкой:

    Похожее

    Решение пределов, используя ряд Тейлора

    Метод решения

    Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
    1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x, стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
    2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0. При этом выполняем разложение до такой степени xn, которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o(xn).

    Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

    Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n, до которого мы будем проводить разложение.
    Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
    В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
    .
    Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

    Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

    Применяемые свойства о малого

    Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

    Далее m и n – натуральные числа, .
    ;
    ;
    , если ;
    ;
    ;
    ;
    , где ;
    , где c ≠ 0 – постоянная;
    .

    Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
    , где .

    Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

    Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

    ;
    ;
    ,
    где ;
    ;
    ;
    ,
    где – числа Бернулли: ,   ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ;
    ,
    ;
    ;
    .

    Примеры

    Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
    ⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

    Пример 1

    Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
    .

    Решение

    Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого выполняем преобразования.

    .
    Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

    .
    Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
    .
    Оставляем только линейный член.
    .
    .
    Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

    Ответ

    Пример 2

    Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

    Решение

    Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
    .

    Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
    .

    Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
    .
    .

    Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
    .

    Ответ

    Пример 3

    Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
    .

    Решение

    Это неопределенность вида 0/0. Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
    ;
    ;
    .

    Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
    ;
    .
    Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
    .

    Ответ

    Пример 4

    Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
    .

    Решение

    Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0. Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
    (П4.1)   .
    В разложении экспоненты, заменим x на –x:
    (П4.2)   .
    Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t:
    (П4.3)   .

    Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
    .
    Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

    Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x: . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x: , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
    ;
    ;
    .
    Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:

    .
    Подставляем в предел:

    .
    Мы снова получили неопределенность вида 0/0. Значит разложения до степени не достаточно.

    Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
    .

    Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
    ;
    ;

    ;

    .
    Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :


    .

    Подставляем в исходную функцию.


    .
    Находим предел.
    .

    Ответ

    .

    Пример 5

    Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
    .

    Решение

    Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

    Начнем со знаменателя. Используем свойства о малого ⇑ и разложения синуса и тангенса ⇑.

    ;
    ;

    .

    Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
    .
    Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

    Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
    ;
    ;

    ;
    ;
    ;
    ;
    Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

    Раскладываем первый логарифм.


    ; ;
    ;
    .

    Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
    ,
    где .

    Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
    Применим разложение синуса ⇑:
    .
    Заменим x на :
    . Тогда
    ;

    ;
    Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

    Раскладываем с точностью до и учитываем, что .


    ;
    .

    Находим разложение числителя.

    ;
    ;
    .

    Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
    ;
    .

    Ответ

    Использованная литература:
    Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

    Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

    Разложение  e^x в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

    Разложение  sinx в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

    При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

    Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

    1)Ряд Тейлора в окрестности точки а, где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением Остаточный член в ряде Тейлора

    2)

    k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

    определение к-го члена ряда Тейлора

    3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

    при a=0 ряд Тейлора

    члены ряда определяются по формуле

    определение к-го члена ряда Тейлора

    Условия применения рядов Тейлора.

    1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

    2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

    Свойства рядов Тейлора.

    1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
    2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

    Решение определенного интеграла

    Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

    Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

    Разложение в ряд Фурье - Калькулятор Онлайн

    Введите функцию, которую будете разложить в ряд Фурье

    Выполним разложение функции f(x)
    в ряд Фурье на отрезке [a, b]

    Правила ввода выражений и функций
    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
    absolute(x)
    Абсолютное значение x
    (модуль x или |x|)
    arccos(x)
    Функция - арккосинус от x
    arccosh(x)
    Арккосинус гиперболический от x
    arcsin(x)
    Арксинус от x
    arcsinh(x)
    Арксинус гиперболический от x
    arctg(x)
    Функция - арктангенс от x
    arctgh(x)
    Арктангенс гиперболический от x
    e
    e число, которое примерно равно 2.7
    exp(x)
    Функция - экспонента от x (что и e^x)
    log(x) or ln(x)
    Натуральный логарифм от x
    (Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
    pi
    Число - "Пи", которое примерно равно 3.14
    sin(x)
    Функция - Синус от x
    cos(x)
    Функция - Косинус от x
    sinh(x)
    Функция - Синус гиперболический от x
    cosh(x)
    Функция - Косинус гиперболический от x
    sqrt(x)
    Функция - квадратный корень из x
    sqr(x) или x^2
    Функция - Квадрат x
    tg(x)
    Функция - Тангенс от x
    tgh(x)
    Функция - Тангенс гиперболический от x
    cbrt(x)
    Функция - кубический корень из x
    В выражениях можно применять следующие операции:
    Действительные числа
    вводить в виде 7.5, не 7,5
    2*x
    - умножение
    3/x
    - деление
    x^3
    - возведение в степень
    x + 7
    - сложение
    x - 6
    - вычитание

    Другие функции:
    floor(x)
    Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
    ceiling(x)
    Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
    sign(x)
    Функция - Знак x
    erf(x)
    Функция ошибок (или интеграл вероятности)
    laplace(x)
    Функция Лапласа
    90000 Sinus cavernosus | definition of sinus cavernosus by Medical dictionary 90001 90002 sinus 90003 [si'nus] 90004 90005 1. 90006 a recess, cavity, or channel, such as one in bone or a dilated channel for venous blood. 90007 90004 90005 2. 90006 an abnormal channel or fistula, permitting escape of pus. 90007 90004 90005 anterior s's 90006 (90005 sinus anterio'res 90006) the anterior air cells that together with the middle and posterior air cells form the ethmoidal sinus. 90007 90004 90005 aortic s's 90006 pouchlike dilatations at the root of the aorta, one opposite each semilunar cusp of the aortic valve, from which the coronary arteries originate.90007 90005 carotid sinus 90006 a dilatation of the proximal portion of the internal carotid or distal portion of the common carotid artery, containing in its wall pressoreceptors that are stimulated by changes in blood pressure. See also carotid sinus syndrome. 90004 90005 cavernous sinus 90006 an irregularly shaped venous channel between the layers of dura mater of the brain, one on either side of the body of the sphenoid bone and communicating across the midline. Several cranial nerves course through this sinus.90007 90004 90005 cerebral sinus 90006 one of the ventricles of the brain. 90007 90004 90005 cervical sinus 90006 a temporary depression in the neck of the embryo containing the branchial arches. 90007 90004 90005 circular sinus 90006 the venous channel encircling the pituitary gland, formed by the two cavernous sinuses and the anterior and posterior intercavernous sinuses. 90007 90004 90005 coccygeal sinus 90006 a sinus or fistula just over or close to the tip of the coccyx. 90007 90004 90005 coronary sinus 90006 the dilated terminal portion of the great cardiac vein, receiving blood from other veins draining the heart muscle and emptying into the right atrium.90007 90004 90005 dermal sinus 90006 a congenital sinus tract extending from the surface of the body, between the bodies of two adjacent lumbar vertebrae, to the spinal canal. 90007 90004 90005 ethmoid s's 90006 (90005 ethmoidal s's 90006) ethmoid cells. 90007 90004 90005 frontal sinus 90006 one of the paired paranasal sinuses in the frontal bone, each communicating with the middle nasal meatus on the same side. 90007 90004 90005 intercavernous s's 90006 channels connecting the two cavernous sinuses, one passing anterior and the other posterior to the stalk of the pituitary gland.90007 90004 90005 lymphatic s's 90006 irregular, tortuous spaces within lymphoid tissues through which lymph flows. 90007 90004 90005 maxillary sinus 90006 one of the paired paranasal sinuses in the body of the maxilla on either side, opening into the middle nasal meatus on the same side. 90007 90004 90005 occipital sinus 90006 a venous sinus between the layers of dura mater, passing upward along the midline of the cerebellum. 90007 90005 paranasal s's 90006 the eight cavities in the skull that are connected with the nasal cavity (see also Plates).They are arranged in four pairs, each of which has one member on the left and one on the right. The pairs are the maxillary sinuses in the maxillae; the frontal sinuses in the frontal bone; the sphenoid sinuses in the sphenoid bone behind the nasal cavity; and the ethmoid cells (90005 ethmoid sinuses 90006) in the ethmoid bone behind and below the frontal sinuses. The functions of the sinuses are not certain. They are believed to help the nose in circulating, warming, and moistening the air as it is inhaled, thereby lessening the shock of cold, dry air to the lungs.They also are thought to have a minor role as resonating chambers for the voice. 90082 90004 Sinus paranasal (Paranasal sinuses). From Dorland's, 2000. 90007 90004 90005 petrosal sinus, inferior 90006 a venous channel arising from the cavernous sinus and draining into the internal jugular vein. 90007 90004 90005 petrosal sinus, superior 90006 one arising from the cavernous sinus and draining into the transverse sinus of the dura mater. 90007 90004 90005 prostatic sinus 90006 the posterolateral recess between the seminal colliculus and the wall of the urethra, where the prostatic ductules empty into the urethra.90007 90004 90005 s's of pulmonary trunk 90006 spaces between the wall of the pulmonary trunk and cusps of the pulmonary valve at its opening from the right ventricle. 90007 90004 90005 renal sinus 90006 a recess in the substance of the kidney, occupied by the renal pelvis, calices, vessels, nerves, and fat. 90007 90004 90005 sagittal sinus, inferior 90006 a small venous sinus of the dura mater, opening into the straight sinus. 90007 90004 90005 sagittal sinus, superior 90006 a venous sinus of the dura mater that ends in the confluence of sinuses.90007 90004 90005 sigmoid sinus 90006 a venous sinus of the dura mater on either side, continuous with the straight sinus and draining into the internal jugular vein of the same side. 90007 90005 sphenoid sinus 90006 (90005 sphenoidal sinus 90006) one of the paired paranasal sinuses in the body of the sphenoid bone, opening into the superior nasal meatus on the same side. 90004 90005 sphenoparietal sinus 90006 one of the venous sinuses of the dura mater, emptying into the cavernous sinus.90007 90004 90005 s's of spleen 90006 dilated venous sinuses found in the splenic pulp; they are not lined by ordinary endothelial cells. 90007 90004 90005 straight sinus 90006 a venous sinus of the dura mater formed by junction of the great cerebral vein and inferior sagittal sinus, and ending in the confluence of sinuses. 90007 90004 90005 tarsal sinus 90006 a space between the calcaneus and talus. 90007 90004 90005 transverse sinus of dura mater 90006 a large venous sinus on either side of the brain.90007 90004 90005 transverse sinus of pericardium 90006 a passage within the pericardial sac, behind the aorta and pulmonary trunk and in front of the left atrium and superior vena cava. 90007 90004 90005 tympanic sinus 90006 a deep recess on the medial wall of the middle ear. 90007 90004 90005 urogenital sinus 90006 an elongated sac that is formed by division of the cloaca in the early embryo, which ultimately forms most of the vestibule, urethra, and vagina in the female, and some of the urethra in the male.90007 90004 90005 uterine s's 90006 venous channels in the wall of the uterus in pregnancy. 90007 90004 90005 uteroplacental s's 90006 blood spaces between the placenta and uterine sinuses. 90007 90005 sinus of venae cavae 90006 the posterior portion of the right atrium into which the inferior and the superior vena cava open; called also sinus venosus. 90005 sinus veno'sus 90006 (90005 venous sinus 90006) 90004 90005 2. 90006 the common venous receptacle in the early embryo attached to the posterior wall of the primitive atrium.90007 90004 90005 venous s's of dura mater 90006 large channels for venous blood forming an anastomosing system between the layers of the dura mater of the brain, receiving blood from the brain and draining into the veins of the scalp or deep veins at the base of the skull. 90007 90005 venous sinus of sclera 90006 a circular channel at the junction of the sclera and cornea, into which aqueous humor filters from the anterior chamber of the eye. Called also Schlemm's canal. .90000 types of cysts and methods of treatment 90001 90002 90003 Sinus cyst 90004 is a pathological formation in the nasal cavity. It's considered abnormal, but not malignant. A sinus cyst looks like a small container that is filled with a liquid substance. Typically, cyst formation occurs in the paranasal sinus. 90005 90002 Sinuses are an excellent tool for distilling air and performing protective functions. They are covered with mucous membrane, which is formed by a special gland, located in the cavities of the sinuses.Such an unusual structure helps to protect the sinuses from respiratory infections and ensures the constant maintenance of a moist environment. 90005 90002 Due to some factors, the ducts may close. In this case, the accumulation of a liquid substance in the epithelial membrane (epithelial bladder) occurs. There have been cases when the formation was formed from its own sinus tissue. 90005 90002 90005 90002 In 8 out of 10 cases, the epithelial bladder forms in the frontal sinuses. Because of this, the person feels strong periodic headaches, it becomes difficult for him to breathe.About 20% of patients have cysts in the ethmoid labyrinth. 4% of people have cysts in the maxillary sinuses. Each disease has different symptoms and treatment approaches. 90005 90002 When the patient learns about the diagnosis, then he often asks the question: "Is the sinus cyst dangerous?" To begin with, the person must calm down and this type of wrist formation can not seriously change the structure of tissues or cells. But we must remember that a cyst will never resolve on its own. It is necessary to consult a specialist.Also, it is necessary to carry out all the therapeutic instructions of the doctor, so that the treatment is as effective as possible. 90005 .90000 Sinus Endoscopy | definition of Sinus Endoscopy by Medical dictionary 90001 90002 Sinus Endoscopy 90003 90004 Definition 90005 90006 An endoscope is a narrow flexible tube which contains an optical device like a telescope or magnifying lens with a bright light. In sinus endoscopy, the endoscope is inserted into the nose, and the interior of the nasal passages, sinuses, and throat is examined. 90007 90004 Purpose 90005 Sinus endoscopy is used to help diagnose structural defects, infection or damage to the sinuses, or structures in the nose and throat.It may be used to view polyps and growths in the sinuses and to investigate causes of recurrent inflammation of the sinuses (sinusitis). During surgical procedures, an endoscope may be used to view the area to correct sinus-drainage problems or to remove polyps from the nose and throat. 90004 Precautions 90005 90006 Insertion of the endoscope may cause a gag reflex and some discomfort, however, no special precautions are required to prepare for nasal endoscopy. 90007 90004 Description 90005 90006 This procedure can be done in a physician's office.The endoscope is inserted into a nostril and is threaded through the sinus passages to the throat. To make viewing of these areas easier, and to record the areas being examined, a camera, monitor, or other such viewing device is connected to the endoscope 90007 90004 Preparation 90005 90006 For the procedure, the patient is usually awake and seated upright in a chair. A local anesthetic spray or liquid may be applied to the throat to make insertion of the endoscope less uncomfortable. 90007 90004 Aftercare 90005 90006 After the endoscope is removed, the patient can return to most normal activities.If an anesthetic was used, the patient may have to wait until the numbness wears off to be able to eat or drink. 90007 90004 Risks 90005 The insertion and removal of the endoscope may stimulate a gag reflex, and can cause some discomfort. The procedure may also irritate the tissues of the nose and throat, causing a nosebleed or coughing. 90004 Normal results 90005 90006 Under normal conditions, no polyps, or growths are found in the sinuses. There should also be no evidence of infection, swelling, injury, or any structural defect that would prevent normal draining of the sinuses.90007 90004 Abnormal results 90005 90006 Polyps, growths, infections, or structural defects of the nasal passages are considered abnormal. 90007 90004 Resources 90005 90038 Organizations 90039 90006 American Academy of Otolaryngology-Head and Neck Surgery, Inc. One Prince St., Alexandria VA 22314-3357. (703) 836-4444. 90041 http://www.entnet.org 90042. 90007 90006 Ear Foundation. 1817 Patterson St., Nashville, TN 37203. (800) 545-4327. 90041 http://www.earfoundation.org 90042. 90007 90038 Other 90039 90006 "Endoscopic Plastic Surgery."90051 Southern California Plastic Surgery Group 'Page 90052. 90041 http://www.facedoctor.com 90042. 90007.90000 Sinus arrhythmia | definition of sinus arrhythmia by Medical dictionary 90001 Taha BH, Simon PM, Dempsey JA, Skatrud JB, Iber C (1995) Respiratory sinus arrhythmia in humans: an obligatory role for vagal feedback from the lungs.Condition Number of subjects PSS mean score PSS variance Not stressed 13 22.3 5.6 Stressed 7 27.6 4.7 TABLE 4: Results of the sinus rhythm classification and the sinus arrhythmia detection algorithm.1985 Changes in heart period, heart period variability and a spectral analysis estimate of respiratory sinus arrhythmia in response to pharmacological manipulations of the baroreceptor reflex in cats.90002 Patients with COPD have elevated resting heart rate, reduced baroreflex sensitivity, reduced respiratory sinus arrhythmia, a direct increase in muscle sympathetic nerve activity and abnormal heart rate recovery (HRR) following exercise. 90003 90002 Respiratory sinus arrhythmia in humans: how breathing pattern modulates heart rate. 90003 90002 The arrhythmias were grouped into three categories as sinus arrhythmia, abnormalities of impulse formation and abnormalities of impulse conduction (Tilley, 1985).90003 90002 The group of sinus arrhythmia included Sinus Bradycardia, Sinus Tachycardia, Sinus Arrhythmias and Wandering pacemaker and their prevalence was 3.12 (19/608), 27.13 (165/608), 11.34 (69/608), 0.98% (6/608 ) amongst arrhythmic dogs (Table 1). 90003 90002 DIAGNOSIS: Sinus rhythm with monomorphic ventricular bigeminy and ventriculophasic sinus arrhythmia. Otherwise, the ECG is normal. 90003 90002 This ventriculophasic sinus arrhythmia often is most clearly seen in electrocardiograms showing sinus rhythm with 2: 1 atrioventricular block but may be seen in any situation in which some sinus P-P intervals contain QRS complexes, while others do not.90003 The researchers were interested in seeing if there were physical differences in the way high-power people and low-power people responded to others 'suffering; specifically they wanted to test if high-powered individuals would exhibit greater autonomic emotion regulation [or respiratory sinus arrhythmia (RSA) reactivity] .This rhythmic shortening and lengthening of the PR intervals is usually due to slight sinus arrhythmia while the junctional rhythm is more regular .The cardiac effects of olanzapine are minimal; [4,5] dose-related sinus arrhythmias and ST-T changes can occur, but these changes are reversible and there is no evidence of more serious EEG changes, such as prolongation of the QT interval ..

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *