Сколькими способами можно выбрать из 25 человек 3 дежурных: Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте ?помогите…

Содержание

Одно из понятий комбинаторики. Формулы комбинаторики Одно из понятий комбинаторики

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика — раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В — n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье — n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.

е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов;

сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера- составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Первая буква «с»

Вторая буква «о»

Третья буква «ч»

Последняя бука буква «е»

Ответ на вопрос «Одно из понятий комбинаторики «, 9 букв:
сочетание

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова сочетание

математич. термин

Математический термин

Соединение, расположение чего-нибудь, образующее единство, целое

Соединение, образующее единство, целое

Определение слова сочетание в словарях

Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова. Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. С.И.Ожегов, Н.Ю.Шведова.
-я, ср. см. сочетать, -ся. Соединение, расположение чего-н. , образующее единство, целое. С. звуков. Красивое с. цветов. * В сочетании с кем-чем, в знач. предлога с те. п. — вместе, рядом с кем-чем-н. Талант в сочетании с работоспособностью.

Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков Значение слова в словаре Толковый словарь русского языка. Д.Н. Ушаков
сочетания, ср. только ед. Действие по глаг. сочетать. Благодаря умелому сочетанию подпольной работы с легальной работой большевикам удалось стать серьезной силой в открытых рабочих организациях. История ВКП(б). Сочетание теории с практикой. Сочетание браком…

Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова. Значение слова в словаре Новый толково-словообразовательный словарь русского языка, Т. Ф. Ефремова.
ср. Процесс действия по знач. несов. глаг.: сочетать, сочетаться (1*). Состояние по знач. несов. глаг.: сочетаться (1*).

Энциклопедический словарь, 1998 г. Значение слова в словаре Энциклопедический словарь, 1998 г.
см. Комбинаторика.

Википедия Значение слова в словаре Википедия
В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений…

Примеры употребления слова сочетание в литературе.

Дело в том, что

сочетание авантюрности с острой проблемностью, диалогичностью, исповедью, житием и проповедью вовсе не является чем-то абсолютно новым и никогда раньше не бывшим.

Так мастер написал замечательный автопортрет, находящийся ныне в собрании Фрик в Нью-Йорке и поражающий своеобразным сочетанием иронической усмешки с величавостью торжественного церемониала.

Более того, нельзя ли утверждать, что современный кризис авторитаризма — флуктуация, редкое сочетание политических планет, которое в ближайшие несколько сот лет не повторится?

Гойю, который извлекал из акватинты, часто в сочетании с офортом, выразительные контрасты темных тонов и внезапные удары светлых пятен, и французского художника Л.

Нерон воспел Акту в изящных стихах, и некоторые из них стали популярными, в особенности два стихотворения, где он славил в Акте сочетание ребенка и женщины, целомудрия и страсти.

Сколько комбинаций из 10. Элементы комбинаторики

КОМБИНАТОРИКА

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

Решение

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Пример 5.

Решение.

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно вы б рать и разместить по m различным местам m из n предметов, с реди которых есть одинаковые?

Пример 6.

Перестановки без повторений . Перестановки с повторениями

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым . На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т. к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *…*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая — из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =…n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*…*n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т. к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Т.к. число четное на третьем месте может стоять 0, 2, 4, 6, т.е. четыре цифры. На втором месте может стоять любая из семи цифр. На первом месте может стоять любая из семи цифр кроме нуля, т.е. 6 возможностей. Результат =4*7*6=168.
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
На первом месте может стоять любая цифра кроме 0, т.е. 9 возможностей. На втором месте может стоять любая цифра, т.е. 10 возможностей. На третьем месте тоже может стоять любая цифра из, т.е. 10 возможностей. Четвертая и пятая цифры определены заранее, они совпадают с первой и второй, следовательно, число таких чисел 9*10*10=900.
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16!))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
В первый конверт можно положить 1 из восьми писем, во второй одно из семи оставшихся, в третий одно из шесть т.д. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Друзья! Раз уж есть у меня этот мертвый блокнот, использую-ка я его для того, чтобы задать вам задачку, над которой вчера билось три физика, два экономиста, один политеховский и один гуманитарий. Мы сломали себе весь мозг и у нас постоянно получаются разные результаты. Может быть, среди вас есть программисты и математические гении, к тому же, задачка вообще школьная и очень легкая, у нас просто не выводится формула. Потому что мы бросили занятия точными науками и вместо этого зачем-то пишем книги и рисуем картины. Простите.

Итак, предыстория.

Мне выдали новую банковскую карточку и я, как водится, играючи угадала ее пин-код. Но не подряд. В смысле, допустим, пин-код был 8794, а я назвала 9748. То есть, я триумфально угадала все цифры , которое содержались в данном четырехзначном числе. Ну да, не само число , а просто его составляющие у гадала. Но цифры-то все верные! ПРИМЕЧАНИЕ — я действовала наугад, то есть, мне не надо было расставить уже известные числа в нужном порядке, я просто действовала в духе: вот тут есть неизвестные мне четыре цифры, и я считаю, что среди них могут быть 9, 7, 4 и 8, а порядок их не важен. Мы тут же задались вопросом, сколько у меня вообще было вариантов (наверное, чтобы понять, насколько это круто, что я вот взяла и угадала). То есть, из скольких комбинаций четырех цифр мне нужно было выбирать? И тут, натурально, начался ад. У нас весь вечер взрывалась голова, и у всех, в итоге, вышли абсолютно разные варианты ответа! Я даже начала выписывать все эти комбинации в блокнот подряд по мере возрастания, но на четырех сотнях поняла, что их больше четырех сотен (во всяком случае, это опровергло ответ физика Трэша, который уверял меня, что комбинаций четыре сотни, но все равно это не совсем однозначно) — и сдалась.

Собственно, суть вопроса. Какова вероятность угадывания (в любом порядке) четырех чисел, содержащихся в четырехзначном числе?

Или нет, переформулируем (я гуманитарий, простите, хотя к математике всегда питала огромную слабость), чтобы было яснее и четче. Сколько не повторяющихся комбинаций цифр содержится в ряду порядковых числительных от 0 до 9999? (пожалуйста, не путайте это с вопросом «сколько комбинаций не повторяющихся цифр»!! ! цифры могут повторяться! в смысле, 2233 и 3322 — это в данном случае одна и та же комбинация!!).

Или еще конкретнее. Мне нужно четыре раза угадать одну цифру из десяти. Но не подряд.

Ну или еще как-нибудь. В общем, нужно узнать, сколько у меня было вариантов числовой комбинации, из которой складывался пин-код карточки. Помогите, люди добрые! Только, пожалуйста, помогая, не начинайте сразу писать, что вариантов этих 9999 (вчера такое всем приходило в голову поначалу), потому что это же глупости — ведь в том ракурсе, который нас волнует, число 1234, число 3421, число 4312 и так далее являются одним и тем же! Ну и да, цифры же могут повторяться, ведь бывает пин-код 1111 или там, например, 0007. Можно представить вместо пин-кода номер машины. Допустим, какова вероятность угадать все однозначные цифры, из которых складывается номер машины? Или, чтобы вообще убрать теорию вероятности — из скольких числовых комбинаций мне нужно было выбрать одну?

Пожалуйста, подкрепите свои ответы и рассуждения какими-нибудь точными формулами, потому что мы вчера и так чуть не свихнулись. Заранее всем большое спасибо!

P.S. Один умный человек, программист, художник и изобретатель, только что очень верно подсказал правильное решение проблемы, подарив мне несколько минут прекрасного настроения: «решение задачи такое: у неё обсессивно-комп ульсивное расстройство, лечение такое: замуж и окучивать помидоры. меня бы больше на её месте волновал не вопрос «какова вероятность», а вопрос «схуя ли я обращаю внимание на все эти цифры»? В общем-то, даже нечего добавить:)

Калькулятор ниже предназначен для генерации всех сочетаний из n по m элементов.
Число таких сочетаний, как можно рассчитать с помощью калькулятора Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Описание алгоритма генерации под калькулятором.

Алгоритм

Комбинации генерируются в лексикографическом порядке. Алгоритм работает с порядковыми индексами элементов множества.
Рассмотрим алгоритм на примере.
Для простоты изложения рассмотрим множество из пяти элементов, индексы в котором начинаются с 1, а именно, 1 2 3 4 5.
Требуется сгенерировать все комбинации размера m = 3.
Сначала инициализуется первая комбинация заданного размера m — индексы в порядке возрастания
1 2 3
Далее проверяется последний элемент, т. е. i = 3. Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1.
1 2 4
Снова проверяется последний элемент, и опять он инкрементируется.
1 2 5
Теперь значение элемента равно максимально возможному: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, проверяется предыдущий элемент с i = 2.
Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1, а для всех следующих за ним элементов значение приравнивается к значению предыдущего элемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далее снова идет проверка для i = 3.
1 3 5
Затем — проверка для i = 2.
1 4 5
Потом наступает очередь i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И далее,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — последнее сочетание, так как все его элементы равны n — m + i.

Несмотря на важную роль PIN-кодов в мировой инфраструктуре, до сих пор не проводилось академических исследований о том, как, собственно, люди выбирают PIN-коды.

Исследователи из университета Кембриджа Sören Preibusch и Ross Anderson исправили ситуацию, опубликовав первый в мире количественный анализ сложности угадывания 4-циферного банковского PIN-кода.

Используя данные об утечках паролей из небанковских источников и онлайн анкетирование, учёные выяснили, что к выбору PIN-кодов пользователи относятся гораздо серьёзнее, чем к выбору паролей для веб-сайтов: большинство кодов содержат практически случайный набор цифр. Тем не менее, среди исходных данных присутствуют и простые комбинации, и дни рождения, — то есть, при некотором везении злоумышленник может просто угадать заветный код.

Отправной точкой исследования был набор 4-циферных последовательностей в паролях из базы RockYou (1.7 млн), и базы из 200 тысяч PIN-кодов от программы блокировки экрана iPhone (базу предоставил разработчик приложения Daniel Amitay). В графиках, построенных по этим данным, проступают интересные закономерности — даты, года, повторяющиеся цифры, и даже PIN-коды, заканчивающиеся на 69. На основе этих наблюдений учёные построили линейную регрессионную модель, которая оценивает популярность каждого PIN-кода в зависимости от 25 факторов, — например, является ли код датой в формате ДДММ, является ли он возрастающей последовательностью, и так далее. Этим общим условиям соответствуют 79% и 93% PIN-кодов в каждом из наборов.

Итак, пользователи выбирают 4-циферные коды на основе всего нескольких простых факторов. Если бы так выбирались и банковские PIN-коды, 8-9% из них можно было бы угадать всего за три попытки! Но, конечно, к банковским кодам люди относятся гораздо внимательнее. Ввиду отсутствия сколько-нибудь большого набора настоящих банковских данных, исследователи опросили более 1300 человек, чтобы оценить, насколько реальные PIN-коды отличаются от уже рассмотренных. Учитывая специфику исследования, у респондентов спрашивали не о самих кодах, а только о их соответствии какому-либо из вышеназванных факторов (возрастание, формат ДДММ, и т.д.).

Оказалось, что люди действительно гораздо тщательнее выбирают банковские PIN-коды. Примерно четверть опрошенных используют случайный PIN, сгенерированный банком. Более трети выбирают свой PIN-код, используя старый номер телефона, номер студенческого билета, или другой набор цифр, который выглядит случайным. Согласно полученным результатам, 64% владельцев карт используют псевдослучайный PIN-код, — это гораздо больше, чем 23-27% в предыдущих экспериментах с не-банковскими кодами. Ещё 5% используют цифровой паттерн (например, 4545), а 9% предпочитают паттерн на клавиатуре (например, 2684). В целом, злоумышленник с шестью попытками (три с банкоматом и три с платёжным терминалом) имеет меньше 2% шансов угадать PIN-код чужой карты.

Фактор	Пример	RockYou	iPhone	Опрос
*Даты*
ДДММ	2311	5. 26	1.38	3.07
ДМГГ	3876	9.26	6.46	5.54
ММДД	1123	10.00	9.35	3.66
ММГГ	0683	0.67	0.20	0.94
ГГГГ	1984	33.39	7.12	4.95
Итого		58.57	24.51	22.76
*Клавиатурный паттерн*
смежные	6351	1.52	4.99	—
квадрат	1425	0.01	0.58	—
углы	9713	0.19	1.06	—
крест	8246	0.17	0.88	—
диагональная линия	1590	0.10	1.36	—
горизонтальная линия	5987	0. 34	1.42	—
слово	5683	0.70	8.39	—
вертикальная линия	8520	0.06	4.28	—
Итого		3.09	22.97	8.96
*Цифровой паттерн*
заканчивается на 69	6869	0.35	0.57	—
только цифры 0-3	2000	3.49	2.72	—
только цифры 0-6	5155	4.66	5.96	—
повторяющиеся пары	2525	2.31	4.11	—
одинаковые цифры	6666	0.40	6.67	—
убывающая последовательность	3210	0.13	0.29	—
возрастающая последовательность	4567	3. 83	4.52	—
Итого		15.16	24.85	4.60
*Случайный набор цифр*		23.17	27.67	63.68

Всё бы хорошо, но, к сожалению, существенная часть опрошенных (23%) выбирает PIN-код в виде даты, — и почти треть из них использует дату своего рождения. Это существенно меняет дело, ведь почти все (99%) респонденты ответили, что хранят в бумажнике с банковскими картами различные удостоверения личности, на которых эта дата напечатана. Если злоумышленник знает день рождения владельца карты, то при грамотном подходе вероятность угадывания PIN-кода взлетает до 9%.

100 самых популярных PIN-кодов

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. На практике, разумеется, злоумышленнику гораздо проще подсмотреть ваш PIN-код, чем угадывать его. Но и от подглядывания можно защититься — даже, казалось бы, в безвыходном положении:

October 2019 — The Stats Ninja

(и почему ваша комбинация шкафчиков на самом деле является перестановкой)

Добро пожаловать в третью часть моей Шпаргалки по статистике. Обязательно ознакомьтесь с Частью 1 и Частью 2.

Перестановки и комбинации полезны для тех, кто интересуется определением общего количества элементов в наборе или группе. Это особенно полезно для вероятности при вычислении знаменателя и/или числителя.

Разницу между перестановкой и комбинацией легко понять, если обратить пристальное внимание на то, как выбираются предметы/объекты/люди (и игнорировать семантику). В этом посте я дам вам определения, формулы и примеры перестановок и комбинаций. Но сначала я расскажу о Основной принцип счета и факториалы .

Фундаментальный принцип подсчета

Этот принцип, также известный как правило подсчета умножения, гласит, что необходимо перемножить все возможные события, чтобы найти общее количество результатов.

Простой пример начинается с упаковки вещей в отпуск. Допустим, вы упаковали 4 рубашки, 3 пары брюк и 2 пары обуви. Сколько возможных нарядов вы можете сделать? (Предположим, что они все совпадают, или вам 5 лет, и вам все равно.)

Основной принцип подсчета гласит, что теперь у вас есть:

4 * 3 * 2 = 24 возможных наряда

Вот еще один пример. Предположим, вашей компании требуется пятизначный проверочный код, состоящий из трех числовых и двух буквенных значений ( в таком порядке, как , с учетом регистра). Сколько возможных кодов подтверждения может быть создано?

Иногда полезно увидеть, что происходит:

И визуализировать значения в каждой позиции:

Всего нужно учитывать 10 цифр (0–9) и 26 букв алфавита — 52, если регистр чувствительный. Хитрость заключается в том, чтобы умножить, чтобы найти общее количество возможных результатов:

= 2 704 000 различных кодов подтверждения

А что, если требование изменилось на 3 цифры и 2 буквы (в том же порядке), но без повторов? Нам пришлось бы вычесть количество вариантов для каждой цифры/буквы по мере их использования:

= 1 909 440 различных кодов подтверждения

Требуется немного больше математики, если вы можете расположить эти значения в любом порядке, и я не буду рассказывать об этом в этом посте.

Факториалы

На первый взгляд факториал выглядит как очень возбужденное число. Например, 5! может показаться, что он кричит: «ПЯТЬ!» (Глупая учительская шутка — работает лучше лично.) Восклицательный знак на самом деле является оператором, говорящим нам умножить это число на все целые числа, меньшие этого числа, вплоть до 1.

Перестановки

Перестановки применяют основной принцип подсчета для определения числа способов, которыми вы можете расположить членов группы. Формула перестановки вычисляет количество расположений n объектов взято r за раз:

Например, предположим, что вы и еще 29 человек боретесь за 3 разных приза. Ваши имена указаны в шапке, и призы присуждаются только первому, второму и третьему разыгранным именам (лучший приз — первый). Количество способов, которыми 30 человек могут получить первый, второй и третий призы, называется перестановкой . В перестановке порядок, в котором расположены предметы или люди, «имеет значение». (И если имеет значение , можно сказать, что порядок равен 9.0007 отмеченный или очевидный. )

не судите о моей внешности, я только что пробежал 5 км за 25:36. Победительница, занявшая первое место, не пришла за своим призом, поэтому табличку держала милая дама, чтобы мы не выглядели болванами.

Для примера с призом вы можете вычислить это, используя формулу перестановок:

И это восходит к фундаментальному принципу подсчета, поскольку часть числителя сокращается со знаменателем:

Упрощение выражения до 30*29*28 = 24 360 способов 3 человека могут быть награждены первым, вторым и третьим призом из группы 30 в случайном розыгрыше. Если бы мы просто разыгрывали 3 имени сразу без разницы в призах, это НЕ считалось бы перестановкой.

К счастью, вам не нужно знать формулу для вычисления перестановки. Функция Excel для перестановок: ПЕРЕСТАВКА :

Примечание. Существует еще одна функция Excel для перестановок с повторениями — ПЕРЕСТАНОВКА . В этом примере вы бы использовали это, если бы мы рисовали имена для трех призов и каждый раз имя возвращалось в шляпу, что позволяло одному и тому же человеку выигрывать все 3 раза.

Комбинации

Теперь предположим, что вы и еще 29 человек соревнуетесь за 3 приза одинаковой стоимости. Ваши имена в шапке и рисуются сразу все три имени. Поскольку порядок или расположение не используются, этот тип метода подсчета называется комбинацией 9.0028 . Формула комбинации также вычисляет n объектов, взятых r за один раз:

обратите внимание, что знаменатель отличается — и поскольку вы делите на большее число, вы можете видеть, что комбинация даст меньше возможных групп, чем permutation
В новейшей версии нашего примера с призом мы одновременно берем 3 имени из шляпы, и между призами нет никакой разницы. Вот этот расчет:
Раз 27! в числителе и знаменателе сокращаются, в числителе остается 24 360, но все равно делим на 3! (что 3*2 = 6):
Что дает только 4060 возможных комбинаций .
Функция Excel для комбинаций: COMBIN :
Комбинация шкафчиков на самом деле является перестановкой
Теперь рассмотрим комбинации шкафчиков. Предположим, типичная блокировка циферблата (правая, левая, правая), в которой на циферблате 39 цифр, а ваш код имеет 3 цифры. Имеет ли значение порядок? Абсолютно! Если вы попытаетесь открыть замок, используя свой трехзначный код, но в другом порядке, шкафчик не откроется. Итак, сколько возможных кодов у этого шкафчика?
Если бы числа не повторялись, у нас было бы P(39,3) = 54 834 различных кодов (или то, что мы называем «комбинациями»). Но если числа могут повторяться, существует 39*39*39 = 59 319 возможных кодов — чтобы включить повторяющиеся значения, примените функцию ПЕРЕСТАВКА в Excel.
Попробуй!
Основываясь на том, что вы только что узнали, можете ли вы определить разницу между комбинацией и перестановкой? Бонусные баллы, если вы можете рассчитать результат. (Ответы в конце поста.)
Совет директоров состоит из 13 человек. Сколькими способами можно выбрать главного исполнительного директора, директора и казначея?
Сколькими способами можно выбрать жюри в составе 12 человек из группы в 40 человек?
GM из сети ресторанов должен выбрать 8 ресторанов из 14 для рекламной программы. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?
В Waffle House оладьи можно заказать 18 различными способами. Как можно сделать заказы, выбрав только 3 из 18?
Шкафчик может иметь четырехзначный код. Сколько различных кодов у нас может быть, если существует 25 различных чисел и числа не могут повторяться ни в одном заданном коде?
Ответы:
Перестановка. P(13,3) = 1716
Комбинация. C(40,12) = 5 586 853 480 порядок здесь не важен
Комбинация. C(14,8) = 3003
Комбинация. C(18,3) = 816
Перестановка. P(25,4) = 303 600 (Повторяющиеся числа в коде дадут 390 625 различных кодов.)
5.4. Комбинации — математика для специалистов в области общественного здравоохранения и гигиены труда
Предположим, у нас есть набор из трех букв { A , B , C }, и нас просят составить двухбуквенные последовательности слов. У нас есть следующие шесть перестановок:
AB BA BC CB AC CA
Теперь предположим, что у нас есть группа из трех человек { A , B , C } , таких как Эл, Боб и Крис соответственно, и нас попросили сформировать комитеты по два человека в каждом. На этот раз у нас всего три комитета, а именно:
АБ ВС АС
При формировании комитетов порядок не важен, потому что комитет, в который входят Эл и Боб, ничем не отличается от комитета, в который входят Боб и Эл. В результате у нас всего три комитета, а не шесть. Формирование последовательностей слов — это пример перестановок, а формирование комитетов — это пример комбинаций — тема этого раздела.
Перестановки — это такие расположения, в которых важен порядок, а комбинации — это такие расположения, в которых порядок не имеет значения. Отныне именно так мы будем различать перестановки и комбинации.
Точно так же, как символ n Pr представляет количество комбинаций n объектов, взятых r за раз, n C r представляет количество комбинаций n объектов, взятых по 0 8 время.
Наша следующая цель — определить соотношение между количеством комбинаций и количеством перестановок в данной ситуации.

Учитывая набор букв { A , Б , С , Д }. Напишите количество сочетаний трех букв, а затем по этим сочетаниям определите количество перестановок.
Решение
У нас есть следующие четыре комбинации:
ABC BCD CDA BDA
Поскольку каждая комбинация состоит из трех букв, их всего 3! перестановки для каждой комбинации. Мы перечисляем их ниже:
ABC BCD CDA BDA
ACB BDC CAD BAD
BAC CDB DAC DAB
BCA CBD DCA DBA
CAB DCB ACD ADB
CBA DBC ADC ABD
Количество перестановок 3! умножить на количество комбинаций. То есть:
4П3 = 3! · 4C3
или 4C3 =
в целом, N C R =
С N PR =
, N C R =

Подведение итогов:
Комбинации : Комбинация набора элементов представляет собой компоновку, в которой каждый элемент используется один раз, и порядок не важен.
Количество комбинаций n объектов, взятых r одновременно : n C r = , где n и r — натуральные числа.

Вычисление:
а. 5C3
б. 7С3.
Решение
Используем приведенную выше формулу:

Сколькими способами учащийся может ответить на пять вопросов из теста, состоящего из семи вопросов, если порядок выбора не важен?
Решение
Так как порядок не важен, это комбинированная задача, и ответ:
7 C 5 = 21.

Сколько отрезков можно провести, соединив любые две из шести точек, лежащих на окружности?
Решение
Поскольку линия, идущая из точки А в точку Б, такая же, как и линия, идущая из В в А, это проблема комбинирования. Это комбинация из 6 объектов, взятых по 2 за раз. Поэтому ответ:

На вечеринке 10 человек. Если они все пожмут друг другу руки, сколько рукопожатий возможно?
Решение
Обратите внимание, что между любыми двумя людьми происходит только одно рукопожатие. Следовательно, имеем:
10 C 2 = 45 рукопожатий.

Торговый район города имеет форму квадрата размером 5 на 5 кварталов. Сколько различных маршрутов может выбрать таксист, чтобы добраться из одного угла торгового района в противоположный угол?
Решение
Предположим, что водитель такси едет из точки A, левого нижнего угла, в точку B, правого верхнего угла, как показано на рисунке ниже.
Чтобы добраться до места назначения, он должен пройти 10 кварталов; пять горизонтальных и пять вертикальных. Таким образом, если из 10 блоков он выберет любые пять горизонтальных блоков, остальные пять должны быть вертикальными блоками, и наоборот. Поэтому все, что ему нужно сделать, это выбрать 5 из 10:
Ответ: 10 C 5 или 252.
Как вариант, задачу можно решить перестановками с похожими элементами.
Маршрут таксиста состоит из пяти горизонтальных и пяти вертикальных блоков. Если мы назовем горизонтальный блок H, а вертикальный блок V, то один из возможных маршрутов может быть следующим:
HHHHVVVVV
Ясно, что есть перестановки.
Обратите внимание, что по определению .

Если монету подбросить шесть раз, сколькими способами она может выпасть с четырьмя орлами и двумя решками?
Решение
Сначала решим эту задачу, используя технику перестановок с подобными элементами.
Нам нужно 4 орла и 2 решки, то есть:
ЧЧЧХТТ
Есть перестановки.
Теперь решим эту задачу с помощью комбинаций.
Предположим, у нас есть шесть мест для размещения монет. Если мы выберем любые четыре места для орла, два других автоматически окажутся решкой. Итак, проблема проста:
.
Кстати, вместо этого мы могли бы легко выбрать два хвоста. В этом случае у нас будет:
.
Далее обратите внимание, что по определению:
и
Что подразумевает:
.

На данный момент мы решили основную задачу комбинирования r объектов, выбранных из n различных объектов. Теперь рассмотрим некоторые варианты этой задачи.

Сколько комитетов из пяти человек, состоящих из 2 мужчин и 3 женщин, можно выбрать из 4 мужчин и 4 женщин?
Решение
We list 4 men and 4 women as follows:
M ₁ M ₂ M ₃ M ₄ W ₁ W ₂ W ₃ W ₄
Поскольку нам нужны комитеты из 5 человек, состоящие из 2 мужчин и 3 женщин, мы сначала сформируем все возможные комитеты из двух мужчин и все возможные комитеты из трех женщин. Ясно, что есть 4 C 2 = 6 комитетов из двух человек и 4 C 3 = 4 комитета из трех женщин, мы перечисляем их следующим образом:
Комитеты из 2 мужчин 3 женские комитеты
М ₁ М ₂ Вт ₁ Вт ₂ Вт ₃
М ₁ М ₃ Вт ₁ Вт ₂ Вт ₄
М ₁ М ₄ Вт ₁ Вт ₃ Вт ₄
М ₂ М ₃ Вт ₂ Вт ₃ Вт ₄
М ₂ М ₄
М ₃ М ₄
На каждый комитет из 2 человек приходится четыре комитета из 3 женщин, из которых можно выбрать комитет из 5 человек. Если мы выберем M ₁ M ₂ в качестве нашего комитета из 2 человек, тогда мы можем выбрать любой из W ₁ W ₂ W ₃, W ₁ 2 , W ₁ 2 2 2 2 2 , W ₁ 2 , W ₁ 2 , W ₁ 2 . W ₄ , W ₁ W ₃ W ₄ , OR W ₂ W ₃ W ₄ AS NERH 3-WOMENTE. В итоге получаем:
,
Аналогично, если мы выберем M ₁ M ₃ в качестве нашего комитета из 2 человек, затем, опять же, мы можем выбрать любой из W ₁ W ₂ W ₃ , W ₁ W ₂ W ₄ , W ₁ W ₃ W ₄ , or W ₂ W ₃ W ₄ as наши комитеты из 3 женщин.
, , , ,
И так далее. Поскольку существует шесть комитетов из двух человек, а на каждый комитет из двух человек приходится четыре комитета из трех женщин, всего имеется 6 · 4 = 24 комитета из пяти человек. По сути, мы применяем аксиому умножения к различным комбинациям.

Клуб средней школы состоит из 4 первокурсников, 5 второкурсников, 5 юниоров и 6 старшеклассников. Сколькими способами можно выбрать комитет из 4 человек, в который входят:
а. По одному ученику из каждого класса?
б. Все юниоры?
в. Два первокурсника и 2 старшеклассника?
д. Нет первокурсников?
эл. Минимум трое пожилых людей?
Раствор
а. Применяя аксиому умножения к рассматриваемым комбинациям, получаем:
4 C 1 · 5 C 1 · 5 C 1 · 6 C 1 = 600
b. Мы выбираем всех 4 членов из 5 младших и никого из остальных.
5 C 4 = 5
c. 4 C 2 · 6 C 2 = 90
d. Так как мы не хотим, чтобы в комитет вошли первокурсники, нам нужно выбрать всех членов из оставшихся 16. То есть:
16 C 4 = 1820
e. Из 4 человек в комитете нам нужны как минимум трое старших. Это можно сделать двумя способами. У нас может быть три старших и один нестарший или все четыре старших:
(6 С 3 · 14 С 1) + 6 С 4 = 295

Сколько пятибуквенных словосочетаний, состоящих из 2 гласных и 3 согласных, можно составить из букв слова ВВОД?
Решение
Сначала мы выделяем группу из пяти букв, состоящую из 2 гласных и 3 согласных. Так как гласных 4 и согласных 5, то имеем:
4 C 2 · 5 C 3
Поскольку наша следующая задача состоит в том, чтобы составить из этих букв последовательности слов, мы умножаем их на 5!:
4 С 2 · 5 С 3 · 5! = 7200.

Стандартная колода игральных карт состоит из 52 карт, состоящих из 4 мастей по 13 карт в каждой. Сколькими способами можно составить комбинацию из 5 карт, состоящую из четырех карт одной масти и одной другой?
Решение
Мы решим задачу, используя следующие шаги. Шаг 1. Выберите костюм. Шаг 2. Выберите четыре карты этой масти. Шаг 3. Выберите другой костюм. Шаг 4. Выберите карту этой масти.
Применяя аксиому умножения, имеем:
Способы выбора костюма Способы выбора 4 карт этой масти Способы выбора следующей масти Способы выбора карты этой масти
4 С 1 13 С 4 3 С 1 13 С 1
4 С 1 · 13 С 4 · 3 С 1 · 13 С 1 = 111 540.

1. Сколько различных комитетов по 3 человека можно выбрать из 10 человек?
2.
No related posts.

Одно из понятий комбинаторики. Формулы комбинаторики Одно из понятий комбинаторики

Альтернативные вопросы в кроссвордах для слова сочетание

Определение слова сочетание в словарях

Примеры употребления слова сочетание в литературе.

Сколько комбинаций из 10. Элементы комбинаторики

Основная формула комбинаторики

Число размещений из n элементов по m

Число сочетаний из n элементов по m

Перестановки из n элементов

Алгоритм

October 2019 — The Stats Ninja

(и почему ваша комбинация шкафчиков на самом деле является перестановкой)

Фундаментальный принцип подсчета

Факториалы

Перестановки

Комбинации

Комбинация шкафчиков на самом деле является перестановкой

Попробуй!

Ответы:

5.4. Комбинации — математика для специалистов в области общественного здравоохранения и гигиены труда

Добавить комментарий Отменить ответ