Сколько рациональных чисел содержит разложение: Помогите решить: сколько рациональных членов содержится в разложении: (корень из 2 + корень четвертой степени из 3) … — @дневники: асоциальная сеть

О математике и не только…: Бином Ньютона

Бинома Ньютона

Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ  при натуральном  n  в виде многочлена:

(a+b)ⁿ=aⁿ+C_n¹ ·a^n-1 ·b+C_n² ·a^n-2 ·b²+

+C_n³ ·a^n-3 ·b³+…+C_n^n-1· a· b^n-1+bⁿ 

Заметим, что сумма показателей степеней для  a  и  b  постоянна и равна n, т.е. все одночлены, входящие в это разложение имеют одинаковую степень n.

Числа  С_n¹; C_n²; C_n³;… C_nⁿ   называются биномиальными коэффициентами.
Т.о., член разложения бинома ( a + b ) ⁿ , стоящий на (к+1)-ом месте, выражается следующим образом:
 T_k+1=C

n^k·b^k·a^n-k, 
а если учесть, что разложение может быть такого вида ( a — b ) ⁿ, то 
T_k+1=(-1)^k ·C_n^k·b^k·a^n-k , где k может принимать все значения от 0 до n.
Всего в разложении бинома (n+1)  слагаемое.
Напомним формулу числа сочетаний

Из этой формулы ясно, что C_n^k=C_n^n-k

Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все  n элементов. Значит,  C_nⁿ=1; C_n⁰=1

Происходит это потому, что 0!=1 по определению.

Треугольник Паскаля

Биномиальные коэффициенты можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для  n = 1;  вторая — для  n = 2;  третья — для   n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:

( a + b )⁷ , 

мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

(a+b)⁷=a⁷+7a⁶b+21a⁵b²

+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷

Свойства биномиальных коэффициентов
 1.  Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) ⁿ  равна  2 ⁿ .
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения: C_n^k=C_n^n-k

3.  Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2^n-1

С использованием  материалов сайта http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg31.html

Домашнее задание по теме Бином Ньютона. Срок выполнения 31.01.2017
Как обычно, ответы заносим в googleформу. Удачи)))
Для справки (потребуется при решении задачи):
Каждый член арифметической прогрессии является средним арифметическим между своими соседними членами.

Математическая индукция 1к ПИвЭ

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ №1

Дисциплина:

Математический анализ

1 курс ПИЭ

Тема:

«Математическая индукция и бином Ньютона»

1. Математическая индукция.

1. Вычислить сумму

2. Вычислить сумму

3. Доказать, что .

4. Доказать,что .

5. Доказать, что

6. Доказать, что

7. Доказать, что

8. Доказать, что

9. Вычислить

10. Доказать тождество

11. Упростить выражение

12. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

13. Доказать, что при любом целом выражение делится на 133.

14. Доказать, что

15. Доказать, что

16. Доказать, что

17. Доказать, что делится на 19.

18. Доказать, что .

19. Доказать, что .

20. Доказать, что .

21. Доказать, что для всех n>1 .

22. Доказать, что для всех n>1 .

23. Доказать, что для всех n>1 .

24. При каких натуральных n верно неравенство: ?

25. При каких натуральных n верно неравенство: ?

26. При каких натуральных n верно неравенство: n⁴<4ⁿ?

27. Доказать, что n⁵-n делится на 5 для любого натурального числа n.

28. Доказать, что n⁷-n делится на 7 при любом натуральном n.

29. Вычислить (1+3²+5²+…+(2n-1)²+…+199²)- (2²+4²+6²…+(2n)²+…+200²).

30. Доказать, что при любом натуральном n выполняется равенство .

2.

Бином Ньютона.

1. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный от x член разложения.

2. Сколько рациональных членов содержится в разложении:

3. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

4. Найти тот член разложения , который не зависит от x, если сумма биноминальных коэффициентов равна 128.

5. Отношение коэффициента пятого члена к коэффициенту третьего члена разложения равно 2,5. Найти третий член разложения.

6. Найти средний член разложения , если коэффициент третьего члена равен 28.

7. Доказать, что выражение делится на 9 при любом натуральном

8. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

9. Сумма коэффициентов второго и третьего членов разложения равна 25,5. Найти член, не содержащий .

10. Сумма третьего от начала и третьего от конца биноминальных коэффициентов разложения равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

11. Третье слагаемое разложения не содержит x . При каких значениях x это слагаемое равно второму слагаемому разложения ?

12. При любом допустимом значении слагаемое разложения в 2 раза меньше слагаемого разложения . Найти эти слагаемые.

4. Найти k-тый член разложения , если известно, что .

4. Разность между некоторыми членами и разложения равна 30. Определить, при каких x это возможно, если член содержит x в степени, вдвое меньшей, чем член .

4. Найти наибольший биноминальный коэффициент разложения , если произведение четвёртого слагаемого от начала и четвёртого слагаемого от конца равно 14400.

4. Сумма нечётных биноминальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее x.

4. Найти член разложения , не зависящий от x.

4. Найти средний член разложения , не производя разложения.

4. Найти наибольший коэффициент многочлена .

4. Найти коэффициент разложения (1+3x+2x³)¹⁰ при x⁴.

4. Найти сумму коэффициентов разложения (13x³-7x-5)¹⁰⁰.

4. Вычислить .

4. Найти седьмой член разложения ()¹³.

4. Найти член разложения , не зависящей от a.

4. Найти член разложения , содержащий x⁸.

4. Найти член разложения , содержащий x¹⁹⁸⁰.

4. Найти члены разложения , являющиеся целыми числами.

4. Сколько членов разложения являются целыми числами?

4. Найти наибольший коэффициент многочлена .

4. Найти сумму коэффициентов многочлена .

1.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

2.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

3.

а). Доказать, что ;

б). Найти

4.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

5.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

6.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

7.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

8.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

9.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

10.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

11.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

12.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

13.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

14.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

15.

а). Доказать, что ;

б). Найти ;

а). Доказать, что ;

б). Найти .

8

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.03.2015193.02 Кб8Макроэкономика.doc

• #

  08.03.2015203.78 Кб6Макроэкономика.doc

• #

  08.03.2015221.7 Кб5Маркетинг_ФК_БУ_МЭ_ЭТ_дневное. doc

• #

  08.03.2015722.43 Кб96Мат методы в психологии.doc

• #

  08.03.2015925.18 Кб8Матем анализ_Теория вероятн.doc

• #

  08.03.2015226.3 Кб21Математическая индукция 1к ПИвЭ.doc

• #

  08.03.20151.11 Mб11Математическая статистика.doc

• #

  08.03.201515.85 Mб103Материалы курса КСЕ 2012.docx

• #

  08.03.2015104.96 Кб6Метод рек по социологии 1 курс.doc

• #

  08.03.2015104.96 Кб3Метод рек по социологии 1 курс.doc

• #

  08.03.2015294.91 Кб2метод.указ.контр.раб.2012-2013.doc

n{\frac{1}{a_k}}$$

• элементарная теория чисел
• дроби

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Любое рациональное число $0 < x < 1$ обладает так называемым разложением на египетские дроби, которое записывает $x$ в виде суммы дробей с единичными числителями. Одним из конструктивных доказательств является использование «жадного» алгоритма, который продолжает вычитать единичные дроби вида $\dfrac1{\lceil 1/x\rceil}$.

Вот код Mathematica , демонстрирующий жадный подход для $\dfrac{21}{23}$:

 f = 21/23; л = {};
Пока[f != 0, l = {l, p = потолок[1/f]}; f -= 1/p;];
Сгладить [л]
{2, 3, 13, 359, 644046}
 

Это говорит о том, что

$$\frac{21}{23}=\frac12+\frac13+\frac1{13}+\frac1{359}+\frac1{644046}$$

Это очень наивный метод, поскольку есть другие алгоритмы, которые дают единичные дроби с более мелкими знаменателями. Для целей этого вопроса достаточно доказать, что алгоритм останавливается. Как упоминалось здесь (доказательство приписывается Фибоначчи), если мы допустим $m=\lceil 1/x \rceil$, то всегда имеем скобки $\dfrac1{m} \leq x < \dfrac1{m-1} $. Тогда можно показать, что числитель $x-\dfrac1{m}$ меньше, чем числитель $x$. Таким образом, повторное применение шагов возвратно-поступательного движения и вычитания приводит к тому, что числители становятся все меньше и меньше, пока остаток после вычитания единичных дробей не станет равным нулю.

См. здесь хорошую библиографию методов декомпозиции.

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Логика разложения на неполные дроби

Отличный вопрос! Сначала рассмотрим случай, когда все корни $Q(x)$ различны. Один из способов осмыслить происходящее заключается в следующем: если $r$ является корнем $Q(x)$, то при $x \to r$ функция $f(x) = \frac{P(x) }{Q(x)}$ (мы всегда предполагаем, что $P, Q$ не имеют общих корней) стремится к бесконечности. Как быстро он уходит в бесконечность? Хорошо, напишите $Q(x) = (x — r) R(x)$. Затем

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{1}{x — r} \left( \frac{P(x)}{R(x)} \right)$ $

и $R(r)\neq 0$. Итак, мы видим, что при $x \to r$ это выражение стремится к бесконечности, как $\frac{1}{x — r}$; точнее, оно уходит в бесконечность как $\frac{c_r}{x — r}$, где $c_r = \frac{P(r)}{R(r)}$. Это число называется в комплексном анализе остатком полюса при $x = r$. Таким образом, результатом всего этого является то, что мы можем вычесть этот полюс и записать

$$f(x) — \frac{c_r}{x — r} = \frac{1}{x — r} \left( \frac{P(x)}{R(x)} — \frac{P(r)}{R(r)} \right).$$

Выражение в скобках приближается к $0$ при $x \to r$, и на самом деле это рациональная функция, числитель которой делится на $x — r$, так что мы действительно можем делить на $x — r$. Результатом является новая рациональная функция, которая больше не имеет полюса в точке $r$.

Мы можем повторять этот процесс для каждого корня $Q$, пока не получим рациональную функцию без каких-либо полюсов. Но это должен быть полином. Итак, теперь мы записали $f$ как сумму дробей вида $\frac{c_r}{x — r}$ плюс многочлен. (Обратите внимание, что в общем случае нам нужно рассматривать комплексные корни $Q$.) 9k}$, где $k < n$, до тех пор, пока результирующая рациональная функция не перестанет стремиться к бесконечности при $x \to r$.

---

Вышеизложенное неплохо, но позвольте мне упомянуть, что алгебраическое разложение на неполные дроби является более общим, чем рациональные функции над $\mathbb{C}$. Он также обобщается, например, на рациональные числа! Как и рациональные функции, рациональные числа также имеют разложение на частичные дроби, например

$$\frac{5}{12} = \frac{2}{3} — \frac{1}{4}.$$

Объясняя все для этого в единой структуре требуется язык абстрактной алгебры, в частности понятие группы, поля и области главных идеалов.