Сложение комплексных чисел: Сложение и вычитание комплексных чисел

Учебные материалы по математике | Сложение и вычитание комплексных чисел

  1.1.2. Сложение и вычитание комплексных чисел

Сумма и разность комплексных чисел

z1=x1+iy1 и z2 = x2+iy2 определяются по формулам

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2),

z1-z2 = (x1-x2) + i(y1-y2).

Отсюда следует, что действительная и мнимая части суммы и

разности комплексных чисел определяются так же, как координаты суммы и разности соответствующих векторов на плоскости. При этом следует придерживаться правила: начало всех векторов помещать в начало координат (рис.1.2). В частности, из треугольников с вершинами в точках 0, z1, z1+z2 и

0, z1, z1-z2 следует, что Рис.1.2

½z1±z2ê £ ÷z1÷ + ÷z2ê, êz1±z2ç ³ êêz1ê — êz2êê. (1.3)

1.1.3. Умножение и деление комплексных чисел

Умножение двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и

z2=x2+iy2 производится по правилу умножения многочленов, при этом учитывается, что i2 = -1, i3 = —i, i4 = 1 и так далее

(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2-y1y2) + i(x1y2+x2y1). (1.4)

Из формулы (1.4), в частности, следует, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел является действительным числом, равным квадрату модуля этих чисел

=`(x+iy)(x-iy) = x2+y2 = ½z½2. (1.5)

Сумма двух взаимно сопряженных чисел также является действительным числом

z+ = (x+iy) + (x-iy) = 2x = 2Rez. (1.6)

Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: частным от деления числа z1 на число z2 называется число z такое, что

z∙z2 = z1. Это равенство невозможно, если z2=0, а z1¹0. Это означает, что деление на 0 невозможно.

Пусть z1=x1+iy1, z2=x2+iy2¹0, z=x+iy. Тогда, в силу определения частного,

(x+iy) (x2+iy2)=x1+iy1

или

(x2x-y2y)+i(y2x+x2y)=x1+iy1.

Приравнивая действительную и мнимую части в этом равенстве, получим систему уравнений для определения x и y

Отсюда находим, что

.

Таким образом,

(1.7)

Этот же результат можно получить по-другому. Для этого нужно числитель и знаменатель дроби z1/z2 умножить на число, сопряженное к знаменателю, и произвести умножение чисел в числителе и в знаменателе.

Если комплексные числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме:

z1=r1(cosj1+isinj1), z2=r2(cosj2+isinj2),

то

z1z2=r1(cosj1+isinj1) r2(cosj+isinj)=

=r1r2 ((cosj1 cosj2-sinjsinj2)+i(sinjcosj2+cosj1sinj2)=

=(r1r2)(cos(j1+j2)+isin(j1+j2). (1.8)

Отсюда следует, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов сомножителей.

Пусть теперь z1/z2 = z = r(cosj + isinj). Так как z2z=z1,

то, в силу (1.8), r2r=r1, j2+j=j1.

Отсюда следует, что r=r1/r2, j=j1-j2:

z1/z2=(r1/r2)(cos(j1-j2)+isin(j1-j2)), (1.9)

то есть

½z1

/z2½=½z1½/½z2½, Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2.

1.1.4. Возведение комплексных чисел в целую

положительную степень. Формула Муавра.

Извлечение корня из комплексных чисел

Как и для действительных чисел, n-я степень комп-плексного числа z определяется как произведение n одинаковых множителей z

zn = z× z× z× … z.

n — множителей

Если число z задано в тригонометрической форме z=r(cosj+isinj), то, в силу (1. 7 получаем

(r(cosj+isinj))n=rn(cosnj+isinnj): (1.10)

при возведении комплексного числа в n-ю степень его модуль возводится в n-ю степень, а аргумент умножается на n.

В частности, если

r=1, то

(cosj+isinj)n=cosnj+isinnj. (1.11)

Соотношение (1.8) называется формулой Муавра. С помощью формулы Муавра легко решается следующая тригонометрическая задача. Выразить cosnj и sinnj через степени функций cosj и sin j. Например, при n=3 из формулы (1.11) следует, что

cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j=cos3j + isin3j.

Приравнивая в этом равенстве действительную и мнимую части, получаем

cos3j = cos3j-3cosjsin2j, sin3j = 3cos2j sinj — sin3j.

Заметим, что формулы (1.10) и (1.11) справедливы и для целых отрицательных n. В самом деле, пусть N=-k (k>0). Тогда

[r(cosj+isinj)]n=1/[r(cosj+isinj)]k=1/[rk(coskj+isinkj)]=

=r-k[cos(-kj)+isin(-kj)]= rn(cosnj+isinnj).

Переходим к операции извлечения корня из комплексных чисел. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w, для которого выполняется равенство wn=z. Пусть число z¹0 задано в тригонометрической форме: z=r(cosj+isinj), и пусть число w==r(cosq+isinq). Из определения, корня n-й степени из z следует, что

(r(cosq+isinq))n=r(cosj+isinj)

или

rn(cosnq+isinnq)=r(cosj+isinj).

Отсюда следует, что rn=r, nq=j+2kp, где k – любое целое число. Так как r положительное число, то из первого равенства следует, что r=, где — арифметический корень n-й степени из числа r. Из второго равенства находим, что q=(j+2kp)/n.

Таким образом, формула для извлечения корня n-й степени из комплексного

z¹0 имеет вид

= . (1/12)

Придавая k значения 0,1,2,…. , n-1, получим n различных значений корня n-й степени из числа z. Изображения этих значений на комплексной плоскости являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , с центром в начале координат. Аргумент одной из вершин равен

j/n. Все значения корня n-й степени из числа z=0 совпадают и равны 0.

Пример: Найти все значения .

В тригонометрической форме

-1=cosp+isinp, (½-1½=1, arg(-1)=p).

По формуле (1.12) находим, что

w==1(cos((p+2kp)/4)+isin((p+2kp)/4)), k = 0,1,2,3;

 

w0=cosp/4+isinp/4 =(+i)/2,

Арифметика комплексных чисел

Добавлено 15 августа 2020 в 15:46

Поскольку комплексные числа – это корректные математические объекты, как и скалярные числа, их можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в квадрат, инвертировать и т.д. , как и любые другие числа.

Некоторые научные калькуляторы запрограммированы на выполнение таких операций непосредственно с двумя или более комплексными числами, но эти операции также можно выполнять «вручную». В данном разделе показано, как выполняются основные операции.

Настоятельно рекомендуется вооружиться научным калькулятором, способным легко выполнять арифметические операции над комплексными числами. Это сделает ваше изучение цепей переменного тока намного более приятным, чем, если бы вы были вынуждены проделывать все вычисления дольше вручную.

Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

Складывать и вычитать комплексные числа в алгебраической форме очень просто. В случае сложения просто сложите действительные составляющие комплексных чисел, чтобы определить действительную составляющую суммы, и сложите мнимые составляющие комплексных чисел, чтобы определить мнимую составляющую суммы:

Рисунок 1 – Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

При вычитании комплексных чисел в алгебраической форме просто вычтите действительную составляющую второго комплексного числа из действительной составляющей первого, чтобы получить действительную составляющую разности, и вычтите мнимую составляющую второго комплексного числа из мнимой составляющей первого числа, чтобы получить мнимую составляющую разности:

Рисунок 2 – Вычитание комплексных чисел в алгебраической форме

Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме

Для обычного умножения и деления предпочтительнее использовать полярную форму записи комплексных чисел. При умножении комплексных чисел в полярной форме просто умножьте друг на друга амплитуды комплексных чисел, чтобы определить амплитуду произведения, и сложите углы комплексных чисел, чтобы определить угол произведения:

Рисунок 3 – Умножение комплексных чисел в полярной форме

Делить комплексные числа в полярной форме также легко: просто разделите амплитуду первого комплексного числа на амплитуду второго комплексного числа, чтобы получить амплитуду частного, и вычтите угол второго комплексного числа из угла первого комплексного числа, чтобы получить угол частного:

Рисунок 4 – Деление комплексных чисел в полярной форме

Чтобы получить обратное значение, или «инвертировать» (1/x) комплексное число, просто разделите число (в полярной форме) на скалярное значение 1, которое является не чем иным, как комплексным числом без мнимой составляющей (угол = 0):

Рисунок 5 – Получение обратного значения, или «инвертирования» (1/x), комплексного числа

Это основные операции, которые вам необходимо знать, чтобы манипулировать комплексными числами при анализе цепей переменного тока. Однако операции с комплексными числами никоим образом не ограничиваются только сложением, вычитанием, умножением, делением и инвертированием.

Практически любая арифметическая операция, которая может быть выполнена со скалярными числами, может быть применена и к комплексным числам, включая возведение в степень, извлечение корня, решение систем уравнений с комплексными коэффициентами и даже тригонометрические функции (хотя это включает в себя совершенно новую часть тригонометрии, называемую гиперболическими функциями, что выходит за рамки данного обсуждения).

Если вы знакомы с основными арифметическими операциями сложения, вычитания, умножения, деления и инвертирования, у вас не будет проблем с анализом цепей переменного тока.

Резюме

• Чтобы сложить комплексные числа в алгебраической форме, сложите действительные компоненты и сложите мнимые компоненты. Вычитание выполняется аналогично.
• Чтобы перемножить комплексные числа в полярной форме, перемножьте амплитуды (модули) и сложите углы. Чтобы разделить, разделите амплитуды (модули) и вычтите один угол из другого.

Оригинал статьи:

• Complex Number Arithmetic

Теги

Комплексные числаОбучение

Назад

Оглавление

Вперед

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел

Результаты обучения

• Сложение и вычитание комплексных чисел
• Умножение комплексных чисел

Так же, как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

Общее примечание: сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)+\влево(с+ди\вправо)=\влево(а+с\ вправо)+\влево(b+d\вправо)i[/латекс]

Вычитание комплексных чисел:

[латекс]\влево(а+би\вправо)-\влево(с+ди\вправо)=\влево(а-с\вправо)+\влево(b-d\вправо)i[/латекс ]

Как: Даны два комплексных числа, найти их сумму или разность.

1. Определите действительную и мнимую части каждого числа.
2. Добавьте или вычтите действительные части.
3. Сложите или вычтите мнимые части.

Пример: добавление комплексных чисел

Добавьте [латекс]3 — 4i[/латекс] и [латекс]2+5i[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Вычтите [латекс]2+5i[/латекс] из [латекс]3 — 4i[/латекс].

Показать решение

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение двучленов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.

Умножение комплексного числа на вещественное число

Начнем с умножения комплексного числа на действительное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,

[латекс]\begin{align}3(6+2i)&=(3\cdot6)+(3\cdot2i)&&\text{Распространить.}\\&=18+6i&&\text{Упростить.}\ end{align}[/latex]

Как: Даны комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Использовать свойство дистрибутива.
2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на вещественное число

Найдите произведение [латекс]4\влево(2+5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуй 9{2}=-1[/латекс], у нас есть

[латекс]\левый(а+би\правый)\левый(с+ди\правый)=ас+ади+bci-bd[/латекс]

Для упрощения мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.

[латекс]\влево(a+bi\вправо)\влево(c+di\вправо)=\влево(ac-bd\вправо)+\влево(ad+bc\вправо)i[/латекс]

Как: Имея два комплексных числа, умножьте их, чтобы найти произведение.

1. Используйте свойство распределения или метод FOIL.
2. Упростить.

Пример: умножение комплексного числа на комплексное число

Умножить [латекс]\влево(4+3i\вправо)\влево(2 — 5i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Попробуйте

Умножить [латекс]\влево(3 — 4i\вправо)\влево(2+3i\вправо)[/латекс].

Показать решение

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Операции над геометрическими представлениями комплексных чисел

Операции над комплексными числами

Чтобы сложить или вычесть комплексные числа (которые являются объектами формы \(a + bi\)) вы делаете соответствующую вещь, чтобы действительные части (\(а\)’s) и мнимые части (\(b\)) отдельно. 2\) равно \(-1\). 92\\ &= 28 + 3 + 17i\\ &= 31 + 17i \end{выровнено} \]

Деление немного сложнее, потому что мы хотим, чтобы наш ответ имел форму \(a + bi\), а не форму отношения такие вещи (хотя \(a\) и \(b\) могут быть соотношениями).

Чтобы получить это, мы воспользуемся тем замечательным фактом, что любое комплексное число, умноженное на его комплексно-сопряженное (то, что вы получите путем изменения знака его \(b\)) является действительным числом. 92\) называется

квадратом величины комплекса число \(а + би\).

Геометрические представления комплексных чисел

Комплексное число (\(a + ib\) с \(a\) и \(b\) действительными числами) может быть представлено точкой на плоскости, с координата \(x\) \(a\) и координата \(y\) \(b\).

Это определяет то, что называется «комплексной плоскостью». Отличается от обычного самолета только тем, что мы знаем, как умножать и делить комплексные числа, чтобы получить другое комплексное число , что-то у нас не так вообще умею делать для точек на плоскости.

Эта картинка говорит о том, что есть еще один способ описать комплексное число. Вместо того, чтобы использовать его реальный и мнимые части, которые являются его координатами \(x\) и \(y\) для его описания. Мы можем использовать расстояние от его точка на комплексной плоскости в начало координат \((0,0)\), а угол, образованный отрезком прямой из начала координат в эту точку, а положительная половина оси \(x\) . Расстояние до начала координат равно обычно обозначается как \(r\) , этот угол обычно называют \(θ\) (тета). \(θ\) называется «фаза» и иногда «аргумент» «комплексного числа. расстояние до начала координат называется его «величиной», а также его «абсолютным значением».

Как эти параметры, \(r\) и \(\theta\), связаны с \(a\) и \(b\)?

Мы используем евклидово определение расстояния, для которого справедлива теорема Пифагора. Это говорит нам 92}\]

Что касается \(\theta\), мы используем стандартные тригонометрические определения синусов и косинусов. Синус угла это определяется как отношение его координаты y \(b\) к длине \(r\), а косинус — как отношение его x-координата \(a\) в \(r\). Таким образом, \(\theta\) — это угол, синус которого равен \(\frac{y}{r}\), а косинус равен \(\ гидроразрыва{х}{г}\).

Это дает нам отношения

\[a = r\cos\theta \enspace \text{and} \enspace b = r\sin\theta\]

Что в этом хорошего?

Много хорошего, как мы в конечном итоге увидим. Но прямо сейчас мы можем заметить следующий любопытный факт:

В терминах \(a\) и \(b\), называемых реальной и мнимой частями комплексного числа, сложения и вычитания легко описать (добавьте или вычтите каждую часть отдельно, как если бы другой не существовало): \((a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i\), но умножение и деление немного уродливы.

С точки зрения \(r\) и \(θ\), величины и фазы комплексного числа, верно обратное. То есть, умножение и деление легко описать, а сложение и вычитание немного уродливы.

Как так?

Что ж, вы можете умножить два комплексных числа, перемножив их величины вместе и добавив их фазы . Вы делите, соответственно разделив величины и вычитая фазу знаменатель от числителя.

В явном виде у нас есть произведение комплексного числа с величиной \(r_1\) и фазой \(\theta_1\) с комплексное число с величиной и фазой \(r_2\) и \(\theta_2\), это комплексное число с величиной \(r_1*r_2\) и фазы \(\theta_1 + \theta_2\).