Сложение векторов по правилу треугольника: Какие правила сложения векторов вы знаете?

Содержание

Ədəbiyyat — 9

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение и вычитание неколленарных векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа: 1) правило треугольника; 2) правило паралелограмма.

При сложении векторов графическим способом данные векторы и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира (направление).

1) Правило треугольника
1. Даны:
векторы и

2. Вектор переместить таким образом, чтобы конечная точка вектора и начальная точка вектора совпадали.

3. Направленный отрезок, соединяющий начальную точку вектора с конечной точкой вектора -результирующий вектор, выражающий вектор +

Вектор + можно также получить смещением вектора .

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для сложения векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. (Это — называется правилом многоугольника).

Вычитание векторов. Определим графическим способом вектор ( — ). Для этого:
1. Нарисуем вектор -, противоположный вектору .

2. — переместим так, чтобы конечная точка вектора - совпадала с начальной точкой вектора .
3. Направленный отрезок, соединяющий начальную точку вектора и конечную точку вектора — , будет вектором — .

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Комментарии преподавателя

Отметим, что сложение векторов производится аналогично планиметрии, только все действия выполняются в пространстве.

Итак, пусть заданы два произвольных вектора в пространстве (рис. 1):

Рис. 1. Произвольные векторы в пространстве

Определим, что же называется суммой двух этих векторов.

Точно так же, как в планиметрии, из любой удобной точки, назовем ее точкой А, можно единственным образом отложить вектор, равный вектору . Напомним, что заданные векторы, как и любые другие, свободны, важно лишь направление и длина, сам вектор можно параллельно переносить в любое место как на плоскости, так и в пространстве. Так, мы получили вектор – в результате действия вектора точка А переместилась в точку В. Теперь из точки В откладываем единственно возможным образом вектор , получаем вектор – так, в результате действия вектора точка В переместилась в точку С. В результате точка А переместилась в точку С, получен вектор , который и называется суммой векторов и (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух векторов в пространстве

Так, получено правило треугольника для сложения векторов в пространстве.

Правило треугольника

Из любой точки пространства (точка А) откладываем первый вектор, из конца первого вектора (точка В) откладываем второй вектор и получаем точку С. Вектор, соединяющий начало первого вектора (точка А) и конец второго (точка С), и будет результирующим.

Отметим, что результат сложения векторов не зависит от выбора начальной точки, существует соответствующая теорема, которая это доказывает на основании того, что из точки можно отложить вектор, равный заданному, единственным образом.

Определение

Разностью двух векторов называется такой третий вектор, который, будучи сложенным со вторым вектором, даст первый вектор.

Введем разность векторов и , для этого сложим вектор с противоположным вектором :

Итак, из произвольной точки А откладываем вектор , получаем точку В. Чтобы получить вектор мы строим вектор, равный вектору по длине, но противонаправленный. Полученный вектор откладываем из точки В – получаем точку D. Вектор и будет искомым вектором разности.

Проиллюстрируем (рис. 3):

Рис. 3. Вычитание двух векторов в пространстве

Построим на заданных векторах и параллелограмм (рис. 4):

Рис. 4. Параллелограмм на двух заданных векторах

Т. к. вектор ; аналогично .

По правилу треугольника:

Так, одна из диагоналей параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует сумме этих векторов.

Рассмотрим разность векторов. По правилу треугольника:

Так, вторая диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, соответствует разности этих векторов.

Для сложения и вычитания нескольких векторов применяется правило многоугольника. Пусть заданы векторы и :

Рис. 5. Три вектора в пространстве

Необходимо построить вектор .

Видим, что перед некоторыми векторами стоят численные множители. Напомним, что при умножении вектора на число получаем сонаправленный вектор, длина которого – это длина исходного вектора, умноженная на заданное число. Получим векторы и . Вектор сонаправлен с вектором , длина его в три раза больше. Вектор противонаправлен вектору , длина его в два раза больше. Проиллюстрируем (рис. 6):

Рис. 6. Умножение вектора на число

Приступаем к сложению. Из произвольной точки А откладываем полученный вектор – получаем точку В. Из точки В откладываем вектор – получаем точку С. Из точки С откладываем вектор – получаем точку D. Согласно правилу многоугольника, вектор соответствует искомому вектору :

Рис. 7. Сложение векторов по правилу многоугольника

Задача 1:

Задан тетраэдр ABCD (рисунок 8). Доказать:

Рис. 8. Тетраэдр, задача 1

Решение:

По правилу треугольника:

Аналогично:

, ч. т. д.

По правилу треугольника:

Аналогично: , ч. т. д.

Задача 2

Упростить выражение:

Рассмотрим отдельно сумму двух векторов: , ее значение очевидно:

Проиллюстрируем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух векторов

Теперь сократим противоположные векторы:

Можно было сразу заметить:

В результате упрощения получено:

Итак, мы ввели операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число в стереометрии, отметили, что операции аналогичны таким же для планиметрии. Кроме того, решили несколько задач, базирующихся на описанных операциях.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

Прямоугольные треугольники и векторы — Science Pickle

Прямоугольный треугольник имеет один угол, равный 90º, или прямой угол. гипотенуза — это сторона, противоположная «прямому» углу, и она всегда будет самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

Два оставшихся угла внутри треугольника меньше 90º, а их сложение всегда равно 90º.

Если мы пометим один из углов меньше 90º как θ, стороны треугольника можно будет пометить относительно θ. Есть сторона напротив θ, а сторона, отходящая от θ, называется смежной -й стороной .

Прямоугольные треугольники и теорема Пифагора

Теорема Пифагора применима к прямоугольным треугольникам: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины двух более коротких сторон.

Напротив ² + Смежный ² = Гипотенуза ²

⁰⁰²⁴

- напротив = длина стороны, противоположной обозначенному углу прямоугольного треугольника
- смежный = длина стороны, прилегающей к обозначенному углу прямоугольного треугольника
- гипотенуза = длина наибольшей стороны прямоугольного треугольника

Веб-приложение Vectors

Если вы знакомы с векторами, нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение и попрактиковаться в работе с векторами. Далее следуют значительные вспомогательные материалы о векторах, а также еще одна кнопка для запуска приложения.

Прямоугольный треугольник имеет два острых угла (углы меньше 90°). На приведенной выше диаграмме угол тета (θ ) имеет одну сторону, противоположную ему, и другую, примыкающую к нему.

Прямоугольные треугольники и триггерные функции

При анализе переменных, связанных с прямоугольными треугольниками, снова и снова всплывает отношение H/L. Например, рассмотрим большой прямоугольный треугольник с гипотенузой 2L и длиной вертикальной стороны 2H. Вставьте аналогичный прямоугольный треугольник с длиной стороны по вертикали, равной H. Это означает, что его гипотенуза равна только L. Оба треугольника имеют одинаковый угол наклона θ. И H/L, и θ указывают шаг или наклон пандуса.

Когда количество постоянно появляется в окончательной форме расчета, математики, ученые и инженеры обращают на это внимание. Они дали количеству собственное имя. H/L называется « синус от θ».

синус(θ) = sin(θ) = H / L = противоположность / гипотенуза

Основание треугольника W также имеет значение в других физических явлениях. W — сторона, примыкающая к θ. Отношение W/L равно косинусу θ:

косинусу(θ) = cos(θ) = W/L = смежный / гипотенуза

Кроме того, есть функция, которая включает функции sin и cos. Тангенс θ определяется как: что-то связанное с углом θ.

Тригонометрические функции — это просто отношения сторон прямоугольного треугольника к одному из острых углов треугольника.

Величина и направление ⇔ Осевые компоненты

Что следует использовать при работе с векторами? Оказывается, у обоих есть сильные и слабые стороны, поэтому вам следует ознакомиться с обоими. Направление и величина вектора весьма полезны при работе с навигацией, поскольку именно так вы и будете путешествовать. Нам больше нравится идти по прямой линии, а не по ступенчатой схеме восток/запад и север/юг. Компоненты вектора позволяют нам работать с векторами математически, а результаты часто преобразуются обратно в величину и направление.

Используйте приведенные ниже примеры для преобразования между этими двумя формами векторов.

Расчет компонентов вектора по величине и направлению

Поскольку оси, определяющие направление вектора, перпендикулярны друг другу, прямоугольный треугольник также описывает вектор относительно осей. Это пространственное отношение означает, что мы используем триггерные функции для нахождения осевых компонентов векторов, если мы знаем величину и направление. Сначала определите угол к интересующей оси, а затем примените соответствующую триггерную функцию. Во всех случаях гипотенуза будет величиной вектора.

Чтобы преобразовать величину и направление в осевые компоненты, используйте триггерные уравнения. Вектор, нарисованный справа, составляет 60º по часовой стрелке от оси Y (что соответствует северу, если использовать соглашение для навигации ). Это означает, что сторона, противоположная 60º, параллельна оси x (восток/запад), а соседняя сторона параллельна оси y (север/юг).

Чтобы найти компонент в направлении Восток/Запад (или X):

Противоположный = Компонент X = Величина * sin(Направление) = 5,0 * sin(60º) = 4,3 Восток

и для расчета компонента Север/Юг (или Y):

Смежный = Компонент Y = Величина * cos(Направление) = 5,0 * cos(60º) = 2,5 Север

Приведенный выше вектор построен с использованием навигации Соглашение для направления, где 0º указывает на север, а углы увеличиваются по часовой стрелке. В тригонометрии конвекция заключается в том, что 0º указывает на положительную ось x, а углы увеличиваются против часовой стрелки.

Нажмите на изображение, чтобы загрузить .pdf сетку полярных координат.

Обратные триггерные функции

На каждом этапе изучения математических операций мы одновременно учимся «отменять» их. Сложение и вычитание обучались вместе, так как одно «отменяет» другое. Теперь нам нужно научиться отменять триггерные функции, чтобы мы могли вычислить угол, если мы знаем отношение сторон прямоугольного треугольника.

Для триггерных функций обратные функции обозначаются верхним индексом «-1» или «а» перед функцией.

Обратное значение sin(θ) = asin(θ) = sin¯¹(θ)

Это означает, что asin(sin(θ)) = θ и asin(противоположное/гипотенуза) = θ.

Аналогично,

acos(Смежный/Гипотенуза) = θ

atan(Противоположный/Смежный) = θ.

На вашем калькуляторе это sin¯¹, inv sin, arcsin или asin. Арккосинус равен cos¯¹, inv cos, arccos или acos, а арктангенс — tan¯¹, inv tan, arctan или atan.

Например, рассчитайте θ для прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза равна 20, сторона, противоположная θ, равна 16, а прилежащая сторона равна 12 (см. схему выше).

θ = asin(16/20) = asin(0,8) = 53,13°

Мы также можем использовать гипотенузу и прилежащий катет:

θ = acos(12/20) = acos(0,6) = 53,13°

И последнее, но не менее важное: мы можем использовать противоположную и смежную стороны:

θ = atan(16/12) = atan(1,333) = 53,13°

Расчет величины и направления из компонентов вектора

Если мы знаем вектор компоненты, мы используем теорему Пифагора, чтобы вычислить величину вектора.

Величина = √(5,0² + 6,0²) = 7,8·

Используйте обратные триггерные функции для вычисления направления вектора. При использовании навигационного соглашения (0º означает север или положительное направление y) и направление увеличивается по часовой стрелке), направление вектора равно 50,2º:

/ 5.0) = 50,2º

Используя соглашение тригонометрии (0º находится в положительном направлении x или на восток на диаграмме, а направление увеличивается против часовой стрелки), направление вектора равно 39,8º:

Направление = tan¯¹(противоположное / соседнее) = tan¯¹(5,0 / 6,0) = 39,8º

Выше приведены компоненты вектора, используемые в этом примере для расчета величины и направления как в навигационных, так и в тригонометрических соглашениях о направлении ( показано слева).

Нажмите на изображение, чтобы загрузить .pdf пустой прямоугольной сетки.

Решение для преобразования компонентов направления в навигационных соглашениях по величине и направлению.

Решение для преобразования компонент направления в тригонометрических соглашениях по величине и направлению.

Нажмите на любое изображение выше, чтобы загрузить пустую комбинированную полярную и прямоугольную сетки для построения и преобразования между величиной и направлениями и осевыми компонентами.

Интерактивное исследование векторов

Используйте веб-приложение Vectors для визуализации, концептуализации, оценки и расчета векторов в любой из навигации и тригонометрия условное обозначение направлений. Многие из приведенных выше примеров взяты из веб-приложения Vectors.

Веб-приложение Vectors представляет собой комбинированное приложение для моделирования и для практики . Симуляция, поскольку вектор реагирует на измененную переменную. И приложение для практики, поскольку существует неограниченное количество задач, которые обеспечивают визуальную, письменную, числовую и математическую обратную связь на основе ваших ответов.

Веб-приложение Vectors

Нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение.

Общие проблемы при работе с векторами

Существует несколько соглашений о том, как ориентироваться и менять направление, поэтому важны детали.
Пространственное мышление — важный навык работы с векторами, и это может быть новым опытом.

Триггерные функции также могут быть новыми.
Оценки и расчеты требуют работы со значениями и уравнениями в уникальной последовательности для конкретной задачи. Это требует поиска правильного математического инструмента и интерпретации, когда это необходимо для решения данного шага в задаче.

Благодарности

Я хотел бы поблагодарить Макса Холла, Эми Кампел и Джорджа Лариви за их многочисленные важные предложения и рекомендации во время бета-тестирования.

Действия в

Векторах Веб-приложение
Представление Действия (вектор представления, компоненты или и то, и другое) сосредоточены на том, как величина и направление; осевые/направленные компоненты; и прямоугольные треугольники определяют векторы, а также то, как каждый из них пространственно связан с другим.
Чтобы создать новый вектор, щелкните график или выберите переменную для цикла. Какая бы переменная ни была выбрана, она перебирает диапазон возможных значений, автоматически обновляя отображение, чтобы выделить концептуальную природу векторов.
Любое изображение, отображаемое во время использования действий View , может быть сохранено для тренировки, просмотра или тестирования.
Операции Estimate обеспечивают практическую оценку местоположения вектора без акцента на высокой точности. Этот навык бесценен для физики, поскольку создание качественных эскизов является важным шагом в решении любой задачи движения, в том числе и тригонометрии. Это также критический навык для улавливания моментов калькулятора «мусор на входе, мусор на выходе» при работе с триггерными функциями и теоремой Пифагора.
Действия Расчет объединяют все концепции и навыки, чтобы рассчитать mag/dir или компоненты с точностью до одной десятой единицы. Правила для значащих цифр, или значащих цифр, строго не соблюдаются, но правильность ответа находится в пределах 0,09 от значения или меньше.
Преимущества запуска веб-приложения
Несмотря на то, что вы можете просматривать эти иллюстрации и анимации, созданные с помощью веб-приложения Vectors , самостоятельное его использование имеет ряд преимуществ:
Изображения будут больше.
Вы можете сколько угодно рассматривать любое изображение, чтобы изучить и/или нарисовать то, что вам больше всего поможет.
Есть дополнительные визуализации и действия для изучения.
Проверьте свое понимание, предсказав результат новых настроек до внесения изменений в приложение.

Вы можете сохранять скриншоты созданных вами визуализаций.
Предложение : Если вы перевели экран/компьютер в спящий режим с коротким интервалом времени, вы потеряете то, что просматриваете при запуске веб-приложения. Рассмотрите возможность изменения настроек, чтобы дать себе время работать с приложением по своему усмотрению.
5.2 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы
Цели обученияКомпоненты векторовАналитический метод сложения и вычитания векторовИспользование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задачПроверьте свое понимание компоненты векторов
Описать аналитический метод сложения и вычитания векторов
Использовать аналитический метод сложения и вычитания векторов для решения задач

Ключевые термины раздела
аналитический метод компонент (двумерного вектора)
Компоненты векторов
Для аналитического метода сложения и вычитания векторов мы используем простую геометрию и тригонометрию вместо использования линейки и транспортира, как в графических методах. Однако графический метод все же пригодится для визуализации задачи путем рисования векторов методом «голова к хвосту». Аналитический метод более точен, чем графический метод, который ограничен точностью чертежа. Чтобы освежить в памяти определения синуса, косинуса и тангенса угла, см. рис. 5.18.
Рисунок 5.18 Для прямоугольного треугольника синус, косинус и тангенс
θ определяются в терминах прилежащей стороны, противолежащей стороны или гипотенузы. На этом рисунке 90 323 х 90 004 — это прилежащая сторона, 90 323 y 90 004 — противолежащая сторона, а 90 323 h 90 004 — гипотенуза.
Поскольку по определению cosθ=x/hcosθ=x/h, мы можем найти длину x , если мы знаем h и θθ, используя x=hcosθx=hcosθ. Точно так же мы можем найти длину y , используя y=hsinθy=hsinθ. Эти тригонометрические отношения полезны для сложения векторов.
Когда вектор действует более чем в одном измерении, полезно разбить его на компоненты x и y. Для двумерного вектора компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x, либо в направлении y. Каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма его компонентов x и y.

Например, имея такой вектор, как A A на рис. 5.19, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора, Ax Ax и Ay Ay , нужно сложить, чтобы получить его. В этом примере Ax Ax и Ay Ay образуют прямоугольный треугольник, а это означает, что угол между ними равен 90 градусов. Это обычная ситуация в физике, и с точки зрения тригонометрии это наименее сложная ситуация.
Рис. 5.19 Вектор A A с хвостом в начале системы координат x — y показан вместе с его x — и y -компонентами, Ax Ax и Ay. Ай. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник.
Ax Ax и Ay Ay определяются как компоненты A A вдоль осей x — и y .
Три вектора, A A, Ax Ax и Ay Ay, образуют прямоугольный треугольник.
Ax + Ay = AAx + Ay = A
Если вектор A A известен, то известны его величина A A (его длина) и его угол θ θ (его направление). Чтобы найти Ax Ax и Ay Ay, его x — и y -компоненты, мы используем следующие соотношения для прямоугольного треугольника:
Ax=AcosθAx=Acosθ
и
Ay=Asinθ,Ay=Asinθ,
, где Ax Ax – величина A в направлении x , Ay Ay – величина A в направлении y , а θ θ — это угол равнодействующей по отношению к оси x , как показано на рисунке 5.20.
Рис. 5.20 Величины компонентов вектора Ax Ax и Ay Ay можно связать с результирующим вектором A A и углом θ θ тригонометрическими тождествами. Здесь мы видим, что Ax=Acosθ Ax=Acosθ и Ay=Asinθ.
Ay=Asinθ.
Предположим, например, что A A — это вектор, представляющий общее перемещение человека, идущего по городу, как показано на рис. 5.21.
Рисунок 5.21 Мы можем использовать отношения Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=AsinθAy=Asinθ для определения величины векторов горизонтальной и вертикальной составляющих в этом примере.
Тогда A = 10,3 блока и θ=29,1∘θ=29,1∘, так что
5,6Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874)=9,0 блока.Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874) =9,0 блоков.
Эта величина указывает на то, что пешеход прошел 9 кварталов на восток, другими словами, 9- блокировать смещение на восток. Точно так же
5,7 Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блока,Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блоки,
, указывающее, что ходок переместился на 5 блоков к северу — смещение на 5 блоков к северу.
Аналитический метод сложения и вычитания векторов
Вычисление результирующего вектора (или сложения векторов) является обратным разбиением результирующего на его компоненты. Если известны перпендикулярные компоненты AxAx и AyAy вектора AA, то AA можно найти аналитически. как нам это сделать? Поскольку по определению
tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),
мы находим θθ, чтобы найти направление равнодействующей.
θ=tan-1(Ay/Ax)θ=tan-1(Ay/Ax)
Поскольку это прямоугольный треугольник, для нахождения гипотенузы применима теорема Пифагора (x ² + y ² = h ² ). В этом случае получается
A2=Ax2+Ay2.A2=Ax2+Ay2.
Решение для A дает
А=Ах2+Ау2.А=Ах2+Ау2.
Таким образом, чтобы найти величину AA и направление θθ вектора по его перпендикулярным компонентам AxAx и AyAy, как показано на рис. 5.22, мы используем следующие соотношения:
A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/ Ax)A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/Ax)
Рисунок 5.22. Величина и направление результирующего вектора A A могут быть определены после определения горизонтальных составляющих Ax Ax и Ay Ay .
Иногда добавляемые векторы не идеально перпендикулярны друг другу. Примером этого является приведенный ниже случай, когда векторы AA и BB складываются для получения результирующих R,R, как показано на рис. 5.23.
Рис. 5.23 Векторы A A и B B являются двумя участками ходьбы, а R R является результирующим или полным перемещением. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления R R.
Если A A и B B представляют два этапа ходьбы (два перемещения), то R R является полным перемещением. Человек, совершающий прогулку, оказывается на вершине R R. Есть много способов добраться до одной и той же точки. Человек мог идти прямо сначала в направлении x , а затем в у -направление. Этими путями являются x — и y -компоненты результирующего Rx Rx и Ry. Рай. Зная Rx Rx и Ry Ry, мы можем найти R R и θ θ используя уравнения R=Rx2+Ry2 R=Rx2+Ry2 и θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1 ).
Нарисуйте компоненты x и y каждого вектора (включая результирующий) пунктирной линией. Используйте уравнения Ax=Acosθ Ax=Acosθ и Ay=Asinθ Ay=Asinθ , чтобы найти компоненты. На рис. 5.24 этими компонентами являются Ax Ax, Ay Ay, Bx Bx и By. К. Вектор A A составляет угол θA θA с x -ось, а вектор B B составляет угол θB θB со своей собственной осью x (которая немного выше оси x , используемой вектором A ).
Рисунок 5.24. Чтобы сложить векторы A A и B, B, сначала определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора. Это точечные векторы Ax, Ax, Ay Ay By By , показанные на изображении.
Найдите компонент результирующего размера x путем сложения компонентов векторов размером x .
Rx=Ax+BxRx=Ax+Bx
и найдите компонент y результирующей (как показано на рис. 5.25) путем сложения компонентов y векторов.
Ry=Ay+By.Ry=Ay+By.
Рисунок 5.25 Векторы Ax Ax и Bx Bx в сумме дают величину результирующего вектора в горизонтальном направлении, Rx. Rx. Точно так же векторы Ay Ay и By By в сумме дают величину результирующего вектора в вертикальном направлении Ry. Рай.
Теперь, когда мы знаем компоненты R,R, мы можем найти его величину и направление.
Чтобы получить величину равнодействующей R, используйте теорему Пифагора.
R=Rx2+Ry2R=Rx2+Ry2
Чтобы получить направление результирующего
θ=tan-1(Ry/Rx) .θ=tan-1(Ry/Rx) .
Смотреть физику
Классификация векторов и величин Пример
В этом видео сравниваются три вектора с точки зрения их величины, положения и направления.

Проверка захвата
Три вектора u→, v→ и w→ имеют одинаковую величину 5 единиц. Вектор v→ указывает на северо-восток. Вектор w→ указывает на юго-запад точно напротив вектора u→. Вектор u→ указывает на северо-запад. Если сложить векторы u→, v→ и w→, какой будет величина результирующего вектора? Почему?
0шт. Все они будут компенсировать друг друга.
5шт. Два из них будут компенсировать друг друга.
10шт. Два из них будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.
15 шт. Все они будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.
Советы по достижению успеха
В видео векторы были представлены стрелкой над ними, а не жирным шрифтом. Это обычное обозначение на уроках математики.
Использование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задач
На рис. 5.26 для добавления векторов используется аналитический метод.
Рабочий пример
Ускоряющийся поезд метро
Добавьте вектор A A к вектору B B , показанному на рис. 5.26, используя описанные выше шаги. Ось x проходит в направлении восток-запад, а ось y — в направлении север-юг. Сначала человек проходит 53,0 м 53,0 м в направлении 20,0° 20,0° к северу от востока, представленному вектором A. A. Затем человек проходит 34,0 м 34,0 м в направлении 63,0° к востоку от вектора B, °0 63. Б.
Рисунок 5.26 Для добавления векторов можно использовать аналитические модели.
Стратегия
Компоненты A A и B B вдоль осей x и y представляют собой движение строго на восток и строго на север, чтобы добраться до одной и той же конечной точки. Мы найдем эти компоненты, а затем добавим их в направлениях x и y, чтобы найти результат.
Решение
Сначала находим компоненты A A и B B вдоль осей x — и y . Из задачи мы знаем, что A=53,0 м A=53,0 м, θA=20,0∘ θA=20,0∘, B B = 34,0 м 34,0 м, и θB=63,0∘ θB=63,0∘. Мы находим x -компоненты с использованием Ax=Acosθ Ax=Acosθ, что дает
Ax=AcosθA=(53,0 м)(cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 мAx=AcosθA=(53,0 м) (cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 м
и
Bx=BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м.Bx= BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м.
Аналогично, y -компоненты находятся с использованием Ay=AsinθA Ay=AsinθA
Ay=AsinθA=(53,0 m)(sin20,0∘)=(53,0 m)(0,342)=18,1 mAy=Asinθ 53,0 м)(sin20,0∘)=(53,0 м)(0,342)=18,1 м
и
By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м)(0,891)=30,3 м.By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м) (0,891)=30,3 м.
x — и y -компоненты равнодействующей равны
Rx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 mRx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=
и
5
Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м . Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м .
Теперь мы можем найти величину равнодействующей по теореме Пифагора.
, так что
R=6601 м=81,2 м.R=6601 м=81,2 м.
Наконец, мы находим направление результирующей 48,4/65,2) .
Это
θ=tan−1(0,742)=36,6∘ .θ=tan−1(0,742)=36,6∘ .
Обсуждение
В этом примере показано сложение векторов с использованием аналитического метода. Вычитание вектора с использованием аналитического метода очень похоже. Это просто добавление отрицательного вектора. То есть A−B≡A+(−B) A−B≡A+(−B). Компоненты –B B являются минусами компонентов B B. Следовательно, x — и y -компоненты равнодействующей A−B=R A−B=R равны
Rx=Ax+-BxRx=Ax+-Bx
и
Ry+005Ay+-ByRy=
, а в остальном метод, описанный выше, идентичен методу добавления.
Практические задачи
Какова величина вектора, у которого x -компонента равна 4 см, а y -компонента равна 3 см?
1 см
5 см
7 см
25 см
Какова величина вектора, составляющего угол 30° с горизонтом и чья x -компонента равна 3 единицам?
2,61 шт.
3,00 шт.
3,46 шт.
6,00 шт.
Проверьте свое понимание
Упражнение 3
Между аналитическим и графическим методами сложения векторов, что точнее? Почему?
Аналитический метод менее точен, чем графический метод, поскольку первый включает геометрию и тригонометрию.
Аналитический метод является более точным, чем графический метод, поскольку последний включает в себя некоторые обширные вычисления.
Аналитический метод менее точен, чем графический метод, поскольку первый включает рисование всех фигур в правильном масштабе.
Аналитический метод более точен, чем графический, поскольку последний ограничен точностью чертежа.
Упражнение 4
Что является компонентом двумерного вектора?
Компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x , либо в направлении y .
No related posts.