Смежный угол для прямого угла: Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

Смежные и вертикальные, центральные и вписанные углы

Репетиторы ❯ Математика ❯ Смежные и вертикальные, центральные и вписанные углы

Автор: Владимир Л., онлайн репетитор по математике

●

12.10.2011

●

Раздел: Математика

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке углы a и b являются смежными, смежные и углы b и c, и углы c и d, и углы a и d.

Сумма смежных углов равна 180˚. Исходя из этого, можно говорить о свойствах смежных углов:

1. если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
2. угол, смежный с прямым углом, является прямым углом;
3. угол, смежный с тупым, является острым, а смежный с ним острый – тупым.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми (лучами) сторон другого.

На рисунке углы α и d являются вертикальными. Вертикальными также являются и углы с и d.

Вертикальные углы равны. Исходя из этого, можно говорить о свойствах вертикальных углов:

Две пересекающиеся прямые образуют и смежные, и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180˚. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Вспомним, что биссектриса угла – это луч. Который делит угол на два равные угла. У вертикальных углов биссектрисы лежат на одной прямой. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Биссектриса угла обладает свойством: каждая её точка находится на одинаковом расстоянии сторон угла.

Понятия центрального и вписанного угла связаны с понятием окружность.

Окружность – это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Центральный угол в окружности – это плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Свойства прямоугольного треугольника, когда угол равен 45°

• Математические сомнения
• Геометрия
• Прямоугольный треугольник
• Свойства

Есть три свойства прямоугольного треугольника, когда угол прямоугольного треугольника равен $45$ градусам.

1. Длины противоположной и смежной сторон равны.
2. Длина гипотенузы равна $\small \sqrt{2}$ раз как в противоположную, так и в прилежащую стороны.
3. Дополнительные углы равны. 9{°}$ можно доказать геометрически.

   Свойство

   Длины противолежащей и прилежащей сторон равны, если угол прямоугольного треугольника равен $\dfrac{\pi}{4}$

   Измерьте линейкой длины противолежащей и прилежащей сторон. Вы заметите, что длины обеих сторон равны, а длина каждой из них ровно $4,25 см$.

   Теперь вычислите длину противоположной или смежной стороны теоретическим методом.

   $Длина \, от \, Противоположная \, сторона$ $\,=\,$ $\dfrac{Длина \, от \, Гипотенуза}{\sqrt{2}}$

   $Длина \, от \, Противоположная \, сторона$ $\,=\,$ $\dfrac{6}{\sqrt{2}}$

   $\имеет в виду Длина \, от \, противоположная \, сторона $ $\,=\,$ $4.2426\ldots$

   $\,\,\, \поэтому \,\,\,\,\,\, длина \, из \, противоположная \, сторона$ $\, \ приблизительно \,$ $4,24$

   Длина противоположной или смежной стороны геометрически равна $4,25 \, см$, а ее приближенное значение в теоретическом методе равно $4,24 \, см$. Эти два значения приблизительно равны.

   Таким образом, доказано, что длины противоположной и смежной сторон равны, когда угол прямоугольного треугольника $45$ градусов. 92 }$

   $\ подразумевает длину \, of \, гипотенузу$ $\,=\,$ $\sqrt{2} \times 4.25$

   $\,\,\, \следовательно \,\,\, \,\,\, Длина \, из \, Гипотенуза$ $\,=\,$ $\sqrt{2} \times $ $Длина \, из \, Противоположная \, (или) \, Смежная \, сторона$

   Свойство

   Дополнительные углы прямоугольного треугольника равны, если угол прямоугольного треугольника равен $45$ градусов.

   $\angle KIJ$ и $\angle IJK$ — два угла и дополнительные углы прямоугольного треугольника. $\угол KIJ$ равен $45$ градусам и является углом прямоугольного треугольника. $\angle IJK$ является дополнительным углом к ​​$\angle KIJ$, но неизвестным.

   Это можно узнать, измерив $\угол IJK$ транспортиром. Вы заметите, что угол $IJK$ также равен $45$ градусам.

   Таким образом, доказано, что дополнительные углы равны в прямом угле, когда его угол равен $45$ градусам и сумма дополнительных углов является прямым углом.

   Смежный (ключевой этап 3)

   Урок

   Прилегающая сторона — это более короткая сторона рядом с заданным углом прямоугольного треугольника (также называемого прямоугольным треугольником). Если мы выберем один из углов прямоугольного треугольника, равный , а не прямой угол, тогда соседний угол — это более короткая сторона рядом с этим углом. На изображении ниже показано, что мы подразумеваем под углом (обозначенным θ) и прилежащим:

   Прилегающий и тригонометрический

   Тригонометрия связывает угол внутри прямоугольного треугольника с длинами его трех сторон (называемых гипотенузой, прилежащим и прилежащим треугольником). противоположный). На изображении ниже показано, что мы подразумеваем под углом (обозначенным θ) и тремя сторонами (гипотенуза, смежная и противоположная).

   • Функция косинуса связывает угол прямоугольного треугольника с отношением длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

   • Функция тангенса связывает угол в прямоугольном треугольнике с отношением длины противолежащей стороны к длине прилежащей:

   Прилегающие и теорема Пифагора

   Теорема Пифагора касается отношения между длинами трех сторон прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора (или теорема Пифагора) утверждает, что:

   Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон.

   Теорему Пифагора легче запомнить в виде формулы:

   а ² + б ² = в ²

   Эту формулу можно изменить так, чтобы она показывала длину смежного участка с точки зрения двух других сторон:

   В формуле a — это длина соседнего, b — длина противоположной стороны, а c — длина гипотенузы. На изображении ниже показано, что мы имеем в виду:

   Что в имени?

   «Прилегающий» означает «рядом с». Прилегающая сторона находится рядом с углом.

   Стороны прямоугольного треугольника

   Две более короткие стороны прямоугольного треугольника называются катетами или катетами (единственным числом катетов).

   No related posts.