Совокупности неравенств как решать: Системы и совокупности неравенств — урок. Алгебра, 11 класс.

Решение совокупностей неравенств с одной переменной: алгоритм, определение, сравнение

Понятие совокупности неравенств с одной переменной и его решения

Например: $\left[ \begin{array}{cc} x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \ge -5 \\ x \lt 5 \end{array} \right. \iff x \in \Bbb R$ — любое действительное число

Об объединении числовых промежутков подробней см. §17 данного справочника

Алгоритм решения совокупности неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество решений для каждого из неравенств системы. Если какое-либо частное решение является пустым множеством, отбросить его, но продолжить решение.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных непустых частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать.

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их объединение – это и будет общим решением совокупности.

Шаг 4. Работа завершена.

Например: $\left[ \begin{array}{cc} x-1 \lt 0 \\ x+5 \ge 8 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \lt 1 \\ x \ge 3 \end{array} \right. \iff x \lt 1 \cup x \ge 3 или x \in (-\infty;1) \cup [3;+\infty) $

Сравнение систем и совокупностей неравенств

Система

Совокупность

Скобка

Фигурная

${\left\{ \begin{array}{c} x+5 \gt 3 \\ x-7 \lt 5 \end{array} \right.}$

Квадратная

$\left[ \begin{array}{cc} x+5 \gt 3 \\ x-7 \lt 5 \end{array} \right.$

Общее

решение

Пересечение

частных решений

$x \gt -2 \cap x \lt 12 \iff$

$ -2 \lt x \lt 12$

Объединение частных решений

$x \gt -2 \cap x \lt 12 \iff x \in \Bbb R$

Логическая операция

«И»

Логическое умножение

«ИЛИ»

Логическое сложение

Наличие одного частного решения $x \in \varnothing$

Вся система не имеет решений

$x \in \varnothing$

(аналогия с умножением на 0)

Вся совокупность может иметь

другие решения

(аналогия с прибавлением 0)

Неравенства могут образовывать сложные конструкции условий из вложенных систем и совокупностей. Раскрытие скобок при упрощении таких конструкций подчиняется законам логики и правилам операций над множествами (см. §10 данного справочника).

Примеры

Пример 1. Решите совокупности неравенств:

$ а) \left[ \begin{array}{cc} 5(x-1) \ge 4(x+2) \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} 5x-4x \ge 8-5 \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \ge 3 \\ x \lt 0 \end{array} \right. \iff x \lt 0 \cup x \ge 3 $

$x \in (-\infty;0) \cup [3;+\infty) $

$ б) \left[ \begin{array}{cc} 2(x-5) \gt x-11 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} 2x-x \gt -11+10 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} x \gt -1 \\ x \gt -3 \end{array} \right. \iff x \gt -3 $

$x \in (-3;+\infty) $

Пример 2. Решите неравенство:

$ а) (x+3)(x-5) \lt 0 $

Произведение слева будет отрицательным, если сомножители будут иметь разные знаки. Получаем совокупность двух систем неравенств:

$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \gt 0 \\ x-5 \lt 0 \end{array} \right. } \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \lt 0 \\ x-5 \gt 0\end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -3 \\ x \lt 5 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -3 \\ x \gt 5 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} -3 \lt x \lt 5 \\ x \in \varnothing \end{array} \right. \iff -3 \lt x \lt 5 $

$ x \in (-3;5) $

$ б) (2x+3)(3x-2) \ge 0 $

Произведение слева будет положительным (или равным 0), если сомножители будут иметь одинаковые знаки (или равными 0).

Получаем совокупность двух систем неравенств:

$ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \le 0 \\ 3x-2 \le 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \iff \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1,5 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \le -1,5 \\ x \le \frac{2}{3} \end{array} \right. 2+3x-4 \lt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x(x+3) \gt 0 \\ (x+4)(x-1) \lt 0 \end{array} \right.} \iff $$

$$ \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 0 \\ x+3 \gt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 0 \\ x+3 \lt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x+4 \gt 0 \\ x-1 \lt 0 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x+4 \lt 0\\ x-1 \gt 0 \end{array} \right.} \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 0 \\ x \gt -3\end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 0 \\ x \lt -3 \end{array} \right.} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -4 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -4 \\ x \gt 1 \end{array} \right.} \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{cc} x \gt 0 \\ x \lt -3 \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{cc} -4 \lt x \lt 1 \\ x \in \varnothing \end{array} \right. \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \lt -3 \cup x \gt 0 \\ -4 \lt x \lt 1 \end{array} \right.} \iff $$

$$ \iff -4 \lt x \lt -3 \cup 0 \lt x \lt 1 $$

$x \in (-4;-3) \cup (0;1)$

В 9 классе для решения подобных неравенств будет предложен очень эффективный метод интервалов, который позволяет значительно упростить ход решения.

что это такое, как решить

Тема совокупностей уравнений и др. систем, как правило, в рамках школьного курса представлена скупо. В 10-11 классе она изучается совсем недолго. Мы считаем, что это неверный подход, поскольку совокупности — прекрасный способ оформления привычных решений при работе с неравенствами и уравнениями, поэтому в рамках статьи мы раскроем этот вопрос.

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Для того, чтобы хорошо понимать, что такое совокупность уравнений, нужно вспомнить еще одно понятие из школьного курса алгебры — система уравнений (аналогично неравенствам). Тогда определения совокупности покажутся вам знакомыми и легко усвоятся.

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Определение 1

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

1.  Запись совокупности, как мы уже говорили выше, осуществляется с помощью квадратной скобки, а системы записываются с фигурной.
2. Совокупность включает в себя множество решений, которые относятся хотя бы одному из уравнений, входящих в ее состав. Система объединяет решения, которые подходят для каждого уравнения.

Пример 1

Вот примеры совокупности уравнений:

x+1=0,x2-1=-8  x+y2+z4=0,x·y·z=0,z=5

Иногда при записи совокупности можно обойтись и без квадратной скобки: так часто делают в школе. В таком случае уравнения можно просто указать через запятую. Для примера выше это может быть запись вида x+y2+z4=0, x·y·z=0, z=5.

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Определение 2

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Пример 2

Приведем пример такой записи:

x+3>0,2·x+3≤0,5

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

Если необходимо, то можно указать, сколько уравнений (неравенств) входят в состав совокупности, а также сколько в ней участвует переменных. Вид уравнения (неравенства) также может быть внесен в запись при необходимости. Сформулируем название совокупности из примера: это совокупность 2-х неравенств с одной переменной, а ее составные части — это целые рациональные первой степени.

Сочетать в рамках одной совокупности можно не только записи одного вида. Так, имеет право на существование совокупность, состоящая из двух неравенств и одного уравнения, сочетание одного неравенства с системой уравнений, двух систем неравенств и др. Главная задача — сохранить неизменным основной смысл совокупности: в нее входят такие решения, которые подходят хотя бы для одной составляющей совокупности.

Пример 3

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

x>3x<8x<-5x≤-2×2=9×2>5(x-6)·(x-8)=0x≤3×2+2·x-8>0

Что такое решение совокупности

Решение — главная составляющая совокупности. Сформулируем, что же такое решения совокупности с разным количеством переменных.

Определение 3

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Если мы возьмем совокупность уравнений, значит, его решение — это значение x, при котором хотя бы одно из уравнений, входящих в состав совокупности, обращается в верное равенство.

Пример 4

Возьмем неравенство x>1,x2≥4·x+2. Для него решением, например, будет тройка, т.к. она больше единицы, и, следовательно, она — верное решение для первого неравенства. А если мы возьмем ноль, то увидим, что ни к одному из неравенств он не подходит; значит, 0 в качестве решения совокупности мы рассматривать не можем , ведь запись вида 0>1иx2≥4·x+2 неверна.

Определение 4

Решение совокупности, в которую входит две, три и более переменных, — это две, три и более переменных, которые подходят в качестве решения хотя бы одному компоненту совокупности.

Пример 5

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

x2+y2=4,x+y>0,x≥3

Значения 3 и 0 будут верными решениями совокупности: они подходят в качестве верных значений в уравнения 2 и 3(3+0>0и 3≥3 — верно). А вот значения 2 и 1 не есть решение совокупности: ни к 1, ни ко 2, ни к 3 они не подойдут.

В некоторых учебниках можно встретить также понятия общего и частного решения совокупности; под частным при этом понимается одно решение, а под общим — их некое множество. Но более употребительно понятие просто решения совокупности, а о том, общее оно или частное, можно понять из контекста.

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

В продолжение темы мы советуем вам материал «Равносильные совокупности».

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Наборы растворов

Горячая математика

Наборы решений для уравнений

установлен содержащий все решения уравнения называется множеством решений этого уравнения.

Если уравнение не имеет решений, пишем ∅ для набора решений. ∅ означает нулевой набор (или пустой набор).

Уравнение	Набор решений
3 Икс + 5 знак равно 11	{ 2 }
Икс 2 знак равно Икс	{ 0 , 1 }
Икс + 1 знак равно 1 + Икс	р (набор всех действительных чисел)
Икс + 1 знак равно Икс	∅ (пустой набор)

Иногда вам могут дать набор для замены и попросить проверить, верно ли уравнение для всех значений в наборе для замены.

Пример 1:

Найдите множество решений уравнения г + г знак равно г × г если сменный комплект { 0 , 1 , 2 , 3 , } .

Одним из способов решения этой проблемы является проверка всех значений в замещающем наборе с помощью таблицы.

г г + г знак равно г × г Результат 0 0 + 0 знак равно ? 0 × 0 0 знак равно 0 1 1 + 1 знак равно ? 1 × 1 2 ≠ 1 2 2 + 2 знак равно ? 2 × 2 4 знак равно 4 3 3 + 3 знак равно ? 3 × 3 6 ≠ 9

Таким образом, набор решений этого уравнения равен { 0 , 2 } .

Наборы решений для неравенств

Наборы решений для неравенств часто представляют собой бесконечные множества; мы не можем перечислить все числа. Поэтому мы используем специальные обозначения.

Пример 2:

Решите неравенство

Икс + 2 > − 3 .

Вычитая 2 из обеих частей, мы получаем эквивалентное неравенство

Икс > − 5 .

Итак, множество решений

{ Икс | Икс > − 5 } .

(Чтобы прочитать это, вы бы сказали: » Икс такой, что Икс больше, чем минус пять.» Символ | означает «такой, что» в этом случае.)

Часто решения неравенств также записываются в интервальная нотация .

Graphing Solution Sets for Inequalities

• Expression
• Equation
• Inequality
• Contact us

• Simplify
• Factor
• Expand
• GCF
• LCM

• Solve
• Graph
• System

• Решить
• График
• Система

• Математический решатель на вашем сайте

Сначала возьмем очень простое неравенство, y 1. Множество решений состоит из всех точки, координата y которых больше или равна 1. Эти точки содержатся в заштрихованной области на графике ниже.

Этот вид области называется полуплоскостью потому что это одна из двух частей плоскости, в которую проходит граница линия разделяет его. В этом случае регион состоит из всех тех точки, лежащие на и выше линии y = 1,

Другой пример: y 1. больше или равно to заменяется на меньше или равно. множество решений этого неравенства показано ниже.

Тоже полусамолет. В этом случае набор решений состоит из всех точек полуплоскости, включая и ниже линия у = 1.

В обоих случаях уравнение граничной линии находится по формуле замена символа неравенства знаком равенства.

Рассмотрим у х. Уравнение граничной линии есть y = x , что находится заменой символа неравенства на знак равенства. Множество решений неравенства есть полуплоскости в том числе и над линией. Таким же образом график набора решений для y x — полуплоскость, включающая и ниже эта же линия.

Наборы решений для обоих неравенств показаны ниже.

Следующая общая ключевая идея всегда верна.

Ключевая идея

Для любого линейного неравенства, если символ неравенства заменяется знаком равенства, в результате получается линия, которая делит плоскость на две полуплоскости. Набор решений для неравенство является одной из этих полуплоскостей.

 

Пример 1

График y 2x — 3.

Решение

Сначала замените символ неравенства в y 2x — 3 на знак равенства, в данном случае y = 2x — 3. Нарисуйте линию.

Теперь, поскольку неравенство утверждает, что координата y равна больше или равно линейному выражению в x , множество решений для неравенства — это множество точек над этим линия.

Это показано в заштрихованной области выше.

Если символ неравенства был перевернут и неравенство y 2x — 3, набор решений будет набором точек ниже этой линии, как показано ниже.

Ключевая идея

Если линейное неравенство устанавливает y больше или равно линейное выражение по x, то набор решений представляет собой набор точек выше линии границы.

Если линейное неравенство устанавливает y меньше или равно линейное выражение по x, то множество решений есть множество точек ниже линии границы.

Используя эту ключевую идею, набор решений для y 5x — 7 представляет собой набор точек над линия y = 5x — 7. Набор решений для y x — 1 представляет собой набор точек ниже линии у = х — 1,

До сих пор графически отображались только неравенства, содержащие и . Неравенство с символы < и > так же легко изображаются на графике.

Ключевая идея

Когда символ неравенства или , нарисуйте сплошную линию на границе полуплоскость, чтобы указать, что линия границы включена.