Степени мнимой единицы таблица: Комплексные числа. Мнимая единица. — таблицы Tehtab.ru

Мнимая единица. Степени мнимой единицы.

		Раздел недели: Обезжиривающие водные растворы и органические растворители. Составы для очистки и обезжиривания поверхности.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Комплексные числа. Мнимая единица. / / Мнимая единица. Степени мнимой единицы. Поделиться:    Мнимая единица. Степени мнимой единицы. Мнимой единицей называется число i, такое что Мнимая единица не принадлежит привычному нам множеству действительных чисел, а используется для его расширения. Степени мнимой единицы. Рассмотрим несколько степеней мнимой единицы, чтобы стало ясно, как с ней работать: = =   -1 = = -i = = 1 =  =  i = =  -1 = =   -i = = 1 . .. (и т. д.) Примечательно то, что любой многочлен имеет корни, если брать в рассчет мнимую единицу, а именно, число корней равно степени многочлена, с точностью до кратности корней. Пример: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA. ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

§ 5. Комплексные числа . Том 1. Механика, излучение и теплота

Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х²=-1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предположим, что уравнение х²=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х²=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, потому что число

i определяется соотношением i²=-1; это соотношение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется верным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам получать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом мы приходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу —

чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим

(22.4)

потому что i·i=i²=-1. Теперь мы получили общее выражение для чисел, удовлетворяющих правилам (22.1).

Умудренные опытом, полученным в предыдущих разделах, вы скажете: «Рано говорить об общем выражении, надо еще определить, например, возведение в мнимую степень, а потом можно придумать много алгебраических уравнений, ну хотя бы x⁶+3x²=-2, для решения которых потребуются новые числа». В том-то и дело, что, кроме действительных чисел, достаточно изобрести только одно число — квадратный корень из -1, после этого можно решить любое алгебраическое уравнение

! Эту удивительную вещь должны доказывать уже математики. Доказательство очень красиво, очень интересно, но далеко не самоочевидно. Действительно, казалось бы, естественнее всего ожидать, что по мере продвижения в дебри алгебраических уравнений придется изобретать снова, снова и снова. Но самое чудесное, что больше ничего не надо изобретать. Это последнее изобретение. Изобретя комплексные числа, мы установим правила, по которым с этими числами надо обращаться, и больше ничего изобретать не будем. Мы научимся возводить комплексные числа в комплексную степень и выражать решение любого алгебраического уравнения в виде конечной комбинации уже известных нам символов. К новым числам это не приведет. Например, квадратный корень из i, или iⁱ— опять те же комплексные числа. Сейчас мы рассмотрим это подробнее.

Мы уже знаем, как надо складывать и умножать комплексные числа; сумма двух комплексных чисел (

р+iq)+(r+is) — это число (p+r)+i(q+s). Но вот возведение комплексных чисел в комплексную степень — уже задача потруднее. Однако она оказывается не труднее задачи о возведении в комплексную степень действительных чисел. Посмотрим поэтому, как возводится в комплексную степень число 10, не в иррациональную, а комплексную; нам надо знать число 10^(r+is). Правила (22.1) и (22.2) несколько упрощают задачу

(22.5)

Мы знаем, как вычислить 10^r, перемножить числа мы тоже умеем, не умеем только вычислить 10^is. Предположим, что это комплексное число x+iy. Задача: дано s, найти х и у. Если

то должно быть верным и комплексно сопряженное уравнение

(Некоторые вещи можно получить и без вычислений, надо просто использовать правила.) Перемножая эти равенства, можно получить еще один интересный результат

(22.6)

Если мы каким-то образом найдем х, то определить у будет очень легко.

Однако как все-таки возвести 10 в мнимую степень? Где искать помощи? Правила нам уже не помогут, но утешает вот что: если удастся возвести 10 в какую-нибудь одну мнимую степень, то ничего не стоит возвести 10 уже в любую степень. Если известно 10^is для одного значения s, то вычисление в случае вдвое большего s сводится к возведению в квадрат и т. д. Но как же возвести 10 в хотя бы одну мнимую степень? Для этого сделаем дополнительное предположение; его, конечно, нельзя ставить в один ряд с правилами (22.1) и (22.2), но оно приведет к разумным результатам и позволит нам шагнуть далеко вперед. Предположим, что «закон» 10^?=1+2,3025? (когда ? очень мало) верен не только для действительных,

но и для комплексных ?. Если это так, то 10^is=1+2,3025·is при s?0. Предполагая, что s очень мало (скажем, равно 1/1024), мы получаем хорошее приближение числа 10^is.

Теперь можно составить таблицу, которая позволит вычислить все мнимые степени 10, т. е. найти числа x и y. Надо поступить так. Начнем с показателя 1/1024, который мы считаем равным примерно 1+2,3025 i/1024. Тогда

(22.7)

Умножая это число само на себя много раз, мы дойдем до степеней более высоких. Мы просто-напросто перевернули процедуру составления таблицы логарифмов и, вычислив квадрат, 4-ю степень, 8-ю степень и т. д. числа (22.7), составили табл. 22.3. Интересно, что сначала все числа х были положительными, а потом вдруг появилось отрицательное число. Это значит, что существует число s, для которого действительная часть 10

is равна нулю. Значение iу в этом случае равно i, т. е. 10^is=i, или is=log₁₀i. В качестве примера (см. табл. 22..3) вычислим с ее помощью log₁₀i. Процедура поиска log₁₀i в точности повторяет то, что мы делали, вычисляя log₁₀2.

Произведение каких чисел из табл. 22.3 равно чисто мнимому числу? После нескольких проб и ошибок мы найдем, что лучше всего умножить «512» на «128». Их произведение равно 0,13056+0,99144i. Приглядевшись к правилу умножения комплексных чисел, можно понять, что надежду на успех сулит умножение этого числа на число, мнимая часть которого приблизительно равна действительной части нашего числа. Мнимая часть «64» равна 0,14349, что довольно близко к 0,13056. Произведение этих чисел равно -0,01350+0,99993i. Мы перескочили через нуль, поэтому результат нужно разделить на 0,99996+0,00900 i. Как это сделать? Изменим знак i и умножим на 0,99996-0,00900 i (ведь x²+y²=1). В конце концов обнаружим, что если возвести 10 в степень i(1/1024) (512+128+64-4-2+0,20) или 698,20i/1024, то получится мнимая единица. Таким образом, log₁₀i=0,068226i.

Таблица 22.3. последовательное: вычисление квадратов 10^i/1024=1+0,0022486i

Узнайте определение, символ, операции с диаграммами здесь

Числа, которые после возведения в квадрат дают отрицательные числа, являются мнимыми числами. Комплексное число записывается как z=a+ib. Здесь «a» и «b» — действительные числа, а «ib» вместе образуют мнимую часть. Таким образом, вы можете сказать, что комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых чисел . В этой конкретной статье вы узнаете об определении мнимого числа и примерах с различными операциями и диаграммами.

Мнимые числа

Для данного комплексного числа z = a + ib действительная часть обозначается \(Re_{z}\), а мнимая часть обозначается \(Im_{z}\).

Определение мнимых чисел: Мнимые числа выражаются как квадратный корень из отрицательных чисел. Или можно рассмотреть эти числа, чтобы найти квадратные корни данного отрицательного числа.

Узнайте больше о квадратном корне из комплексного числа.

Символ мнимых чисел

Мнимая часть комплексного числа в математике представляет собой произведение ненулевого действительного числа и мнимой единицы «i». Символ «i» также читается как «йота». Здесь \(i = \sqrt{-1}\). 98\) i

Аналогичным образом можно определить и другие степени i.

Алгебраические операции над мнимыми числами

Теперь, когда вы знаете определение мнимого числа, давайте разберемся в различных операциях, в которых задействована прямая мнимых чисел. Изучите различные операции с комплексными числами ниже.

Сложение мнимых чисел

Сложение и вычитание мнимых чисел аналогично тому, как вы комбинируете термины в алгебре.

Например:

3i + 5i = 8i (операция сложения)

Кроме того, сложение двух чисел, включающих мнимую часть, выглядит так:

Если \(z_1=x_1+iy_1\text{ и }z_2=x_2 +iy_2\)

затем \(z_1+z_2=\left(x_1+x_2\right)+i\left(y_1+y_2\right)\).

Вычитание мнимых чисел

Вычитание двух чисел с участием мнимой части показано ниже:

7i – 4i = 3i (операция вычитания)

Аналогично, \(z_1-z_2=\left(x_1-x_2\right) )+i \влево(y_1-y_2\вправо)\). 92}\).

Узнайте больше о полярной форме комплексных чисел здесь.

Использование мнимых чисел

Теперь, когда вы знаете таблицу мнимых чисел, ее символы и способы выполнения различных операций, давайте изучим различные способы использования мнимых чисел.

• Воображаемые типы чисел имеют множество применений, когда они связаны с действительными числами для построения комплексных чисел.
• Квадратное уравнение, которое находит множество приложений в математике, дает множество результатов, содержащих мнимые числа.
• Формула мнимых чисел также используется для расчета переменного тока.
• В дальнейшем они применяются в обработке сигналов для экранирования звуков и многих других модификаций исходного звука.
• В таких предметах, как наука, квантовая механика и теория относительности, также используются комплексные числа на разных уровнях.

Также читайте о свойствах комплексных чисел здесь.

Примеры решения мнимых чисел

Некоторые примеры решения, связанные с символами мнимых чисел, формулами и операциями, приведены ниже. Хотя решения даны, вы можете решить их и проверить свои ответы. 97=-i\)

Решено Пример 2: Чему равен квадратный корень из мнимого числа −36 ?

Решение: \(\sqrt{-36}\)

\(\sqrt{-36}=\sqrt{36\times(-1)}\)

\(=\sqrt{36} \times\sqrt{-1}\)

\(=6\times\sqrt{-1}\)

\(\sqrt{-36}=6i\) (как \(\sqrt{-1} =i\))

Также читайте здесь об аргументе комплексных чисел. 5}\) 94=-6+4=-2\)

Мы надеемся, что приведенная выше статья поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Часто задаваемые вопросы о мнимых числах

В.1 Что означает мнимое число?

Ответ 1 Мнимое число выражается как квадратный корень из отрицательных чисел. Это означает, что их можно рассматривать для нахождения квадратных корней данного отрицательного числа.

Q.2 Что такое примеры мнимых чисел?

Ответ 2 Некоторые примеры мнимых чисел: 4i, 12i, \(\sqrt{−49}\) и так далее.

Q.3 Является ли 0 мнимым числом?

Ответ 3 Ноль можно рассматривать как комплексное число, в котором мнимая часть равна нулю, что делает его действительным числом. Кроме того, мы можем сказать, что ноль — это комплексное число, в котором действительная часть равна нулю, что делает его мнимым числом. Поэтому ноль может быть указан как под действительным, так и под мнимым..

Q.4 Для чего используются мнимые числа?

Ответ 4 Мнимые числа в сочетании с действительными числами образуют комплексные числа, и эти числа широко используются в математике, естественных науках и квантовой механике, а также при обработке сигналов для звуков на разных уровнях.

В.5 Как вы пишете мнимые числа?

Ответ 5 В заданном уравнении с комплексными числами z=a+ib «a и b» — действительные числа, а «ib» вместе образуют мнимое число. Чисто мнимое число записывается как 4i, 8i, -21i и так далее.

Q.6 В чем разница между действительным и мнимым числом?

Ответ 6 Действительные числа представляют собой комбинацию рациональных и иррациональных чисел, которые являются как положительными, так и отрицательными. Мнимое число является произведением ненулевого действительного числа и мнимой единицы «i».

Q.7 Что такое чисто мнимое число?

Ответ 7 Чисто мнимое число — это число, не имеющее вещественной части. Например, 4i, 18i и т. д.

В.8 В чем разница между комплексными и мнимыми числами?

Ответ 8 Комплексное число представляет собой комбинацию действительного и мнимого числа. С другой стороны, мнимые числа являются частью комплексных чисел.

Скачать публикацию в формате PDF

горизонтальное выравнивание — Выравнивание комплексных чисел по центру таблицы с помощью siunitx — TeX

спросил 10 лет, 3 месяца назад

Изменено 5 лет, 7 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

Я пытаюсь выровнять комплексные числа по середине столбца таблицы, используя пакет siunitx для более удобного выравнивания, но числа центрируются в зависимости от того, где десятичная точка должна быть на действительных частях.

Вот мой MWE:

 \documentclass[a4paper]{статья}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{массив}
\usepackage{siunitx}
\sisetup{
    выходной комплексный корень = \ensuremath{\mathrm{j}},
    позиция сложного корня = перед номером
}
\начать{документ}
\begin{таблица}[ч!]
    \caption{Нагрузка на автобус}
    \label{рисунок:название фигуры}
    \центрирование
        \begin{табличный}{l|S[]}
        \toprule
        \textbf{Шина} & \multicolumn{1}{c}{\textbf{Нагрузка на шину (MVA)}} \\
        \midrule
            b1 и 50 + j30.99\\
            b2 & 170 + j105,35\\
            b3&200+j123,94\
            b4 & 150 + j49,58\
        \нижнее правило
        \end{табличный}
\конец{таблица}
\конец{документ}
 

И вот вывод:

Я бы хотел, чтобы комплексные числа были более выровнены по центру столбца. есть идеи как это сделать?

Я попытался передать параметр table-number-alignment=left в столбец, но тогда мнимая часть исчезла:

• таблицы
• горизонтальное выравнивание
• siunitx

1

Теперь, когда мы знаем, что комплексные числа не полностью поддерживаются пакетом siunitx , вот обходной путь, который адаптирует решение DrJay и использует пакет collcell для автоматизации форматирования числа в том, что целое число действительная часть выровнена по правому краю, так что знак + выровнен:

Примечания:

• Действительная часть в настоящее время выровнена по правому краю — можно улучшить, чтобы выровнять по десятичной запятой. Дайте мне знать, если это необходимо.
• Мнимая часть выровнена по левому краю. Это также может быть скорректировано по мере необходимости.

Код:

 \documentclass[a4paper]{статья}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{массив}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xstring}
\usepackage{коллцелл}
\sisetup{
    выходной комплексный корень = \ensuremath{\mathrm{j}},
    позиция сложного корня = перед номером
}
\newlength{\WidestRealNum}
\settowidth{\WidestRealNum}{$99999$}
\newcommand*{\ApplyNumFormatting}[1]{%
    \StrBefore{#1}{+}[\RealPart]%
    \StrBehind{#1}{j}[\ImagPart]%
    $\makebox[\WidestRealNum][r]{$\RealPart$} + j\,\ImagPart$%
}%
\newcolumntype{N}{>{\collectcell\ApplyNumFormatting}l<{\endcollectcell}}
\начать{документ}
\begin{таблица}[ч!]
    \caption{Нагрузка на автобус}
    \label{рисунок:название фигуры}
    \центрирование
        \begin{табличный}{l|N}
        \toprule
        \textbf{Шина} & \multicolumn{1}{c}{\textbf{Нагрузка на шину (MVA)}} \\
        \midrule
            б1 и 50 + к 30,99\\
            b2 & 170 + j105,35\\
            b3&200+j123,94\
            b4 & 150 + j49,58\
        \нижнее правило
        \end{табличный}
\конец{таблица}
\конец{документ}
 

3

Пакет siunitx в первую очередь ориентирован на физические величины (числа с единицами измерения). Таким образом, первая версия даже не охватывала комплексные числа. Для версии 2 меня попросили добавить их, поскольку они возникают, например, в некоторых разделах электроники. Однако, поскольку это относительно необычная ситуация, поддержка комплексных чисел несколько ограничена, и, в частности, функциональность для чисел с действительными и комплексными частями не является полной. Одной из причин этого, помимо сложности кода, является поддержание приемлемой производительности для наиболее распространенных случаев: чем больше ситуаций вы охватываете, тем больше требуется тестов и так далее.

В случае с числами в таблицах действительная и комплексная части для меня естественным образом образовывали бы два отдельных столбца

 \documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{siunitx}
\начать{документ}
\begin{табличный}{lS[формат таблицы = 3]S[формат таблицы = 3.2]}
\toprule
  \textbf{Шина} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{Нагрузка на шину (MVA)}} \\
               & {Настоящее} & {Сложное} \\
  \midrule
  b1&50&30,99\
  b2&170&105,35\
  b3 & 200 & 123,94\\
  b4&150&49,58\
  \нижнее правило
\end{табличный}
\конец{документ}
 

, так как это удаляет лишние + и j в каждом значении.