Разложение функции в ряд Тейлора
Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.
Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале.
Select rating12345
Рейтинг: 4 (Голосов 2)
Сообщить об ошибке
Вам помог этот калькулятор?Предложения и пожелания пишите на [email protected]
Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!
Это помогает делать новые калькуляторы.
НЕТ
Смотрите также
| Решение функций | Математический анализ | Решение интегралов | Решение неравенств | Решение уравнений |
| Производные функции | Решение комплексных чисел | Графические построения | Решение логарифмов | Решение прогрессии |
Как разложить функцию в степенной ряд
Как разложить функцию в степенной ряд
Разложение функций в степенные ряды чаще всего является не удовольствием, как многие другие математические преобразования, а необходимостью. К этой процедуре чаще всего прибегают при выполнении приближенных вычислений. При этом используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series):
С практической точки зрения, разложение функции в степенной ряд — это чисто техническая процедура, которая требует довольно много времени и усилий, но мало что дает для понимания конечного результата.
Если только освоение этой процедуры не является самоцелью. Конечно, для этого можно использовать справочники рядов. Однако, такие справочники у нас не всегда под рукой. Да и издавались они достаточно давно. А вот Интернет… всегда с нами.
Wolfram|Alpha, естественно, умеет находить разложение функций в степенные ряды. Для этого, в простейшем случае, служит запрос series. Вот, например:
series exp(x)
Обратите внимание, что Wolfram|Alpha без каких-либо дополнительных указаний выводит область сходимости полученного степенного ряда: converges everywhere — означает, что ряд сходится всюду.
Кроме того, очень удобно, что по запросу series f(x) система Wolfram|Alpha выводит графическое представление разложения данной функции в степенной ряд, которое позволяет визуально оценить аппроксимацию данной функции ее степенным рядом в случае удержания заданного количества членов ряда:
Это важно, поскольку слишком часто, при изучении разложения функций в степенные ряды такая чрезвычайно полезная для практики возможность остается невостребованной в связи с относительной трудоемкостью ее реализации.
x в ряд Маклорена (в точке x=0). Если же применение ряда Маклорена невозможно (вспомните условия разложения функции в ряд Маклорена), то Wolfram|Alpha автоматически выводит разложение данной функции в ряд Тейлора в ближайшей точке, например в точке x=1:
series ln(x)
При необходимости, Wolfram|Alpha может вывести определенное количество членов разложения функции в степенной ряд. Точнее, выводятся члены ряда до определенной степени (т. е. с коэффициентами до заданного порядка) включительно. Это нужно указать явно следующим образом:
series sin(x) order 13
В настоящее время эта конструкция запроса срабатывает не всегда корректно — в некоторых случаях Wolfram|Alpha выводит больше членов ряда, чем указано в запросе.
Wolfram|Alpha позволяет получить разложение функции в степенной ряд в заданной точке. Соответствующий запрос выглядит так:
series 1/x point x=-1
Кстати, эту форму запроса можно использовать также и для того, чтобы разложить некий многочлен по степеням одночлена (x-x0).
10, используйте запрос вида:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 10}]
Наконец, если нужно найти несколько коэффициентов ряда для степеней n, например, с 6-й по 12-ю, запрос к Wolfram|Alpha формулируем так:
SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 6..12}]
Если хотите узнать, как выполнять приближенные вычисления при помощи степенных рядов в Wolfram|Alpha, читайте следующий пост.
Калькулятор степенных рядов — Найдите представление степенных рядов
Онлайн-калькулятор степенных рядов специально запрограммирован для получения представления степенных рядов функции (сложной полиномиальной функции) в виде бесконечной суммы членов. Вы можете преобразовать функцию в степенной ряд с помощью бесплатного калькулятора расширения степенного ряда.
Для лучшего концептуального понимания обратите внимание!
Что такое силовая серия?
В контексте математического анализа,
9n} + \ldots ,} $$где;
‘a’= коэффициент членов
‘n’= количество членов ряда до любого конца, а также могут быть рассчитаны с помощью этого калькулятора степенных рядов свободного радиуса сходимости ».
Кроме того, у нас есть еще один калькулятор радиуса сходимости, который специально разработан для расчета этой конкретной сущности для любого типа функционального ряда.
Тест отношения:
Это действительно самый эффективный способ найти различные параметры степенного ряда, который может включать следующее:
- Интервал сходимости
- Радиус схождения
- Интервал дивергенции
Общая формула:
Основное уравнение, которое применяется для проведения теста соотношения, выглядит следующим образом:
$$ L=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n } $$
Эта же формула используется в нашем лучшем ряду степеней из калькулятора функций. 9{1}}{1}* \frac{∞}{\left(x-6\right)}] $$
$$ \left|x-6\right| $$
Степенной ряд будет сходиться при x-6 < 1
Степенной ряд будет расходиться при x-6 > 1
Для этого радиус сходимости будет равен 1, что можно проверить, подвергнув к этому калькулятору серии p.
Как работает калькулятор степенных рядов из функции?
С помощью нашей функции калькулятора степенных рядов вы получите правильное разложение функции для нужного числа переменных x.
Давайте посмотрим, что вам нужно сделать:
Ввод:
- Сначала введите функцию в строке меню
- Выберите тип переменной, с помощью которой вы хотите определить ряд мощности
- Установите точку входа и максимальный порядок терминов
- Нажмите «Рассчитать»
Вывод:
Свободная функция, вычисляемая калькулятором степенного ряда:
- Полное расширение степенного ряда данной функции
Часто задаваемые вопросы:
Всегда ли сходится степенной ряд?
Поскольку мы знаем, что члены степенного ряда содержат переменную x, ряд может сходиться или расходиться для определенных значений x. Например, если ряд в степени 4 имеет центр в точке x = a, это означает, что c0 дает значения ряда в точке x = a.
Вот почему степенной ряд всегда сходится в своем центре.
Каждая ли функция имеет степенной ряд?
Нет, функция называется степенным рядом только в том случае, если она бесконечно дифференцируема. Здесь вы также можете использовать наш бесплатный искатель степенных рядов, чтобы определить, является ли функция дифференцируемой или нет.
Для чего нужны силовые ряды?
Вы можете найти общие черты между различными функциями, а также определить новые серии функций, используя ряды мощности. Кроме того, этот калькулятор суммы степенных рядов также позволит вам кратко проанализировать любой набор рядов.
Можем ли мы умножить ряд мощности?
Да, вы можете умножать степенной ряд функции, так как это точно так же, как полиномиальное умножение.
Является ли ряд Тейлора степенным рядом?
Ряд Тейлора всегда определяется для некоторой гладкой функции и не может все время называться степенным рядом. Однако каждый степенной ряд считается рядом Тейлора.
Использование нашего бесплатного онлайн-калькулятора решения ряда мощности может помочь вам в решении таких рядов.
Что такое центр силового ряда?
Центр степенного ряда — это значение переменной, на которой находится центр ряда. Если вы не понимаете сценарий, позвольте этому бесплатному калькулятору степенных рядов научить вас должным образом с показанными полными расчетами.
Заключение:
Степенной ряд используется для представления и определения общих и новых функций соответственно. Более того, степенные ряды широко используются в области инженерных наук, где они используются в числовых аппроксимациях сложных функций. Тем не менее, бесплатный онлайн-калькулятор представления степенных рядов с шагами — отличный способ для математиков оценить сумму определенных конечных или бесконечных членов.
Литература:
Из источника Википедии: Радиус сходимости, Операции над степенными рядами, Аналитические функции, Формальные степенные ряды, Порядок степенных рядов.
Из источников академии хана: дифференциальные уравнения первого порядка, преобразование Лапласа, линейные уравнения второго порядка.
Из источника изучения люмена: последовательности, индексация, ряды, интегральный критерий и оценки сумм, сравнительные тесты, чередующиеся ряды, выражение функций в виде степенных функций, ряды Тейлора и Маклорена, суммирование бесконечного ряда
Создание степенных рядов из функций
Создание степенных рядов из функций
Серия геометрической мощности
Напомним, что
Подставив x вместо r, мы получим
.
Пишем
Доение серии Geometric Power
Используя подстановку, мы можем получить разложение степенного ряда
из геометрического ряда.
Пример 1
Подставив x 2 вместо x, мы получим
Пример 2
Умножая на x, получаем
Пример 3
Предположим, мы хотим найти степенной ряд для
1
f(x) =
2x — 3
с центром в x = 4. Перепишем функцию как
1
1
=
2(х — 4) + 8 —
3 2(x — 4) + 5
Пример 4
Подставив -x вместо x, мы получим
Пример 5
Замена x 2 дюйма вместо x дюйма в предыдущем примере у нас есть
Пример 6
Взяв интеграл от предыдущего например, у нас есть
Упражнение Найдите степенной ряд, представляющий
следующие функции:
л(1 + х)
танх -1 x
-(1 — х) -2
Интеграция невозможных функций
Мы можем использовать силовые серии для интеграции функций там, где их нет.