Сумма ряда | это… Что такое Сумма ряда?
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).
Содержание
|
Определение
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .
Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
- (1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
- (1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2.
- ,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
- ,
причём сумма каждого равна соответственно .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Примеры
- где — сумма геометрической прогрессии, в частности
- .
- — гармонический ряд расходится.
- — телескопический ряд.
См. также
- Действия с числовыми рядами
Обобщения числовых рядов
- Ряд Тейлора
- Ряд Фурье
- Степенной ряд
- Функциональный ряд.
Признаки сходимости
- Логарифмический признак сходимости
- Признак Абеля
- Признак Гаусса
- Признак Дирихле
- Признак Ермакова
- Признак Лобачевского
- Признак Раабе
- Признак сходимости д’Аламбера
- Признаки Коши:
- Радикальный признак Коши
- Интегральный признак Коши
- Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
- Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
- Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2
Теория рядов.Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.
Сумма ряда | это… Что такое Сумма ряда?
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится
Содержание
|
Определение
Пусть — числовой ряд.
Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
- (1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
- (1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
- ,
а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды
- ,
причём сумма каждого равна соответственно .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!).
Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Примеры
- где — сумма геометрической прогрессии, в частности
- .
- — гармонический ряд расходится.
- — телескопический ряд.
См. также
- Действия с числовыми рядами
Обобщения числовых рядов
- Ряд Тейлора
- Ряд Фурье
- Степенной ряд
- Функциональный ряд.
Признаки сходимости
- Логарифмический признак сходимости
- Признак Абеля
- Признак Гаусса
- Признак Дирихле
- Признак Ермакова
- Признак Лобачевского
- Признак Раабе
- Признак сходимости д’Аламбера
- Признаки Коши:
- Радикальный признак Коши
- Интегральный признак Коши
- Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
- Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
- Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2
— 12-е изд. — М.: Наука, 1977.Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.
Предел ряда против суммы ряда — Криста Кинг Математика
Предел ряда против суммы ряда
Иногда легко забыть, что существует разница между пределом бесконечного ряда и суммой бесконечного ряда.
предел ряда – это значение, к которому члены ряда приближаются как ???n\to\infty???.
сумма ряда – это значение всех членов ряда, сложенных вместе.
Это две совершенно разные вещи, и мы используем разные вычисления, чтобы найти каждую из них. Найдем и предел, и сумму одного и того же ряда, чтобы увидеть разницу.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.
Сравнение предела и суммы ряда
{\ frac {n} {2}}} = \ infty???Каждый член нашего ряда будет равен ???1???. Поскольку у нас бесконечное количество членов в нашем ряду, мы можем сказать, что сумма бесконечна.
Мы видим, что предел ряда ???1???, но сумма того же ряда ???\infty???.
Получить доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учиться онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, исчисление 2, исчисление ii, последовательности и ряды, ряды, предел ряда, сумма ряда
исчисление — Нахождение суммы ряда
спросил
Изменено 7 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 33 тысячи раз 9n}{n+2}\right)\end{align}$$
Первое похоже на геометрическую прогрессию, но я не знаю, что делать с дополнительными $n$.