Сумма ряда это: Недопустимое название | Математика | Fandom

Сумма ряда | это… Что такое Сумма ряда?

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Сходимость числовых рядов
  • 3 Необходимый признак сходимости ряда
  • 4 Примеры
  • 5 См. также
    • 5.1 Обобщения числовых рядов
    • 5.2 Признаки сходимости
  • 6 Литература
  • 7 Примечания

Определение

Пусть  — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2.

Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры

  • где  — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • .
  •  — гармонический ряд расходится.
  •  — телескопический ряд.

См. также

  • Действия с числовыми рядами

Обобщения числовых рядов

  • Ряд Тейлора
  • Ряд Фурье
  • Степенной ряд
  • Функциональный ряд.

Признаки сходимости

  • Логарифмический признак сходимости
  • Признак Абеля
  • Признак Гаусса
  • Признак Дирихле
  • Признак Ермакова
  • Признак Лобачевского
  • Признак Раабе
  • Признак сходимости д’Аламбера
  • Признаки Коши:
    • Радикальный признак Коши
    • Интегральный признак Коши
  • Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
  • Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
  • Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Примечания

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.

Сумма ряда | это… Что такое Сумма ряда?

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится

[1]. Элементы ряда представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Сходимость числовых рядов
  • 3 Необходимый признак сходимости ряда
  • 4 Примеры
  • 5 См. также
    • 5.1 Обобщения числовых рядов
    • 5.2 Признаки сходимости
  • 6 Литература
  • 7 Примечания

Определение

Пусть  — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд   может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Примеры

  • где  — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • .
  •  — гармонический ряд расходится.
  •  — телескопический ряд.

См. также

  • Действия с числовыми рядами

Обобщения числовых рядов

  • Ряд Тейлора
  • Ряд Фурье
  • Степенной ряд
  • Функциональный ряд.

Признаки сходимости

  • Логарифмический признак сходимости
  • Признак Абеля
  • Признак Гаусса
  • Признак Дирихле
  • Признак Ермакова
  • Признак Лобачевского
  • Признак Раабе
  • Признак сходимости д’Аламбера
  • Признаки Коши:
    • Радикальный признак Коши
    • Интегральный признак Коши
  • Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике.  — 12-е изд. — М.: Наука, 1977.
  • Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
  • Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 с. — ISBN 5-9221-0155-2

Примечания

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.

Предел ряда против суммы ряда — Криста Кинг Математика

Предел ряда против суммы ряда

Иногда легко забыть, что существует разница между пределом  бесконечного ряда и суммой бесконечного ряда.

предел  ряда – это значение, к которому члены ряда приближаются как ???n\to\infty???.

сумма  ряда – это значение всех членов ряда, сложенных вместе.

Это две совершенно разные вещи, и мы используем разные вычисления, чтобы найти каждую из них. Найдем и предел, и сумму одного и того же ряда, чтобы увидеть разницу.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

Сравнение предела и суммы ряда

{\ frac {n} {2}}} = \ infty???

Каждый член нашего ряда будет равен ???1???. Поскольку у нас бесконечное количество членов в нашем ряду, мы можем сказать, что сумма бесконечна.

Мы видим, что предел ряда ???1???, но сумма того же ряда ???\infty???.

Получить доступ к полному курсу Calculus 2

Начать

Изучайте математикуКриста Кинг математика, учиться онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, исчисление 2, исчисление ii, последовательности и ряды, ряды, предел ряда, сумма ряда

0 лайков

исчисление — Нахождение суммы ряда

спросил

Изменено 7 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 33 тысячи раз 9n}{n+2}\right)\end{align}$$

Первое похоже на геометрическую прогрессию, но я не знаю, что делать с дополнительными $n$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *