Степень как частный случай многочлена 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Формулировка основных определений
Определение: многочленом называют сумму одночленов. Напомним, что одночлен есть произведение степеней и чисел.
Пример 1:
;
Комментарий: дана алгебраическая сумма одночленов, алгебраическая подразумевает, что есть как сложение, так и вычитание.
Пример 2:
;
Комментарий: задан также многочлен, но он состоит из двух членов, а потому чаще называется двучленом.
Пример 3:
;
Для того, чтобы овладеть техникой работы с многочленами и научится выполнять основные операции над ними, необходимо повторить определения, свойства и действия, касающиеся степеней и одночленов.
Начнем со степеней и дадим определение степени:
— степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени; n штук
кроме того, напомним, что:
и ;
Значения степеней часто встречающихся чисел
Вспомним значение часто встречающихся степеней:
– единица, возведенная в любую натуральную степень, равна единице;
– ноль, возведенный в любую натуральную степень, равен нулю;
Символ не имеет смысла.
Определение понятия натурального числа
Напомним, что натуральными называются числа, используемые для счета, то есть N=.
Основные теоремы о действиях со степенями и следствия из них
Основные теоремы о действиях со степенями:
1) ;
Для того, чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.
Пример: ;
2) ;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
3) ;
Для того, чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4) ;
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
Пример: ;
5) ;
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;
Рассмотрим некоторые следствия:
1) – обобщение теоремы о возведении степени в степень;
Пример: ;
2) ;
Решение примера на основные теоремы
Рассмотрим примеры:
Пример 1 — упростить:
;
Комментарий: данный пример выполняется согласно вышеописанным правилам, а именно: при возведении в степень, показатели перемножаются, при умножении степеней с одинаковым основание показатели складываются, а при делении – вычитаются.
Решение уравнения со степенями
Пример 2 – решить уравнение:
;
;
;
;
Комментарий: чтобы решить данное уравнение, нужно произвести ряд действий со степенями аналогично предыдущему примеру, а после решить элементарное уравнение.
Вывод: в данном уроке были вспомнены теоретические основы работы со степенями и выполнены примеры для наработки практических навыков.
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
Задание 1 — вычислить: Мерзляк А.
Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, №155, ст.40
Задание 2 – возвести в степень: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, №212, ст.50
Задание 3 – упростить: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7, №549, ст.157
Как сравнивать степени | Логарифмы
Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?
Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.
Сравнение степеней с одинаковыми основаниями
- Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
- Если основание степени меньше единицы (0<a<1), функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, знак неравенства между показателями степеней противоположен знаку между степенями.
С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:
Примеры.
№1. Сравнить значения выражений:
Решение:
Сравниваем показатели степеней: 1,5<1,9.
Основание a=2/7 меньше единицы, функция убывает, знак неравенства между степенями меняется на противоположный:
Решение:
Сравниваем показатели степеней:
Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:
№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:
Решение:
Основание a=0,21<1, функция убывает, поэтому знак неравенства между показателя степеней нужно изменить на противоположный: m>n.
Решение:
Основание
функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m<n.
Сравнение степеней с одинаковыми показателями.
1) Для возрастающих функций ( x>0):
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента
например,
2) Для убывающих функций:
Пример.
Для положительных значений аргумента
например,
Для отрицательных значений аргумента:
например,
Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?
Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:
при отрицательных — меньшие 1:
Если основание меньше единицы — соответственно,
Пример.
Сравнить
Решение:
В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.
Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.
Рубрика: Показательная функция | КомментарииСумма Сил — Набор инструментов Майка
Сумма Сил — Набор инструментов МайкаМатематические темы
Проценты Интерес Ипотека Казначейские облигации Логарифмы Расширенные логарифмы Сумма степеней числаСумма последовательных полномочий
В математике часто встречающимся вычислением является нахождение суммы последовательных степени числа. Например, нам может понадобиться найти сумму степеней числа x:
Сумма = х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1
Напомним, что такая степень, как x 3 , означает умножение 3 x вместе (3 называется показатель):
х 3 = х · х · х
Если бы вы знали значение x, можно было бы вычислить все степени и добавить
их вместе, чтобы найти сумму.
Например, если бы x имел значение 2, сумма была бы:
| Сумма | = | 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 1 |
| = | 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 | |
| = | 63 |
Несмотря на то, что можно вычислить сумму, как только что показано, это одновременно утомительно и подвержен ошибкам. К счастью, существует компактное уравнение, которое вычисляет сумму без необходимо рассчитать все силы. Чтобы вывести формулу, нам просто нужно заметить что произойдет, если мы умножим обе части исходного уравнения на x:
| Сумма · х | = | (х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1) · х |
| = | x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x |
Все показатели увеличились на единицу.
Обратите внимание, что большинство терминов в правой части
уравнения такие же, как и в исходной сумме выше. На самом деле они все там
за исключением значения 1, поэтому давайте добавим его к обеим сторонам:
| Сумма · х + 1 | = | x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 |
| = | х 6 + (х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1) | |
| = | x 6 + сумма |
Мы можем изменить это уравнение так, чтобы все члены, содержащие Sum, оказались в левой части:
Сумма · (х — 1) = х 6 — 1
Разделив обе части на (x − 1), мы получим хорошую компактную формулу для суммы последовательные степени числа:
| Сумма | = | х 6 − 1 |
| х — 1 |
Обратите внимание, что степень в компактной формуле всего на единицу больше, чем самая высокая степень в
сумма, которую вы пытаетесь определить.
| Сумма | = | 2 6 − 1 | = | 64 − 1 | = | 63 |
| 2 − 1 | 1 |
Одно предостережение заключается в том, что уравнение не работает, когда x = 1. Это потому что мы разделили обе части приведенного выше уравнения на (x − 1). Когда x = 1, этот термин равен нулю, и вы не можете делить на ноль. К счастью легко увидеть, каким было бы значение Sum, если бы x был равен единице. Каждый из степени в сумме оцениваются как 1, поэтому сумма — это просто количество добавленных терминов вместе, что в данном случае будет 6, или на единицу больше, чем самый высокий показатель в сумма. 9{-2}$$
не являются таковыми, поскольку эти числа не соответствуют всем критериям.