Сумма тригонометрических функций: Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы — урок. Алгебра, 10 класс.

сумма и разность синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

1. Сумма и разность синусов
2. Сумма и разность косинусов
3. Сумма и разность тангенсов
4. Сумма и разность котангенсов
5. Примеры

п.1. Сумма и разность синусов

Найдем \(sin\alpha+sin\beta\).
Введем новые переменные: \(x=\frac{\alpha+\beta}{2},\ y=\frac{\alpha-\beta}{2}\). Тогда \(\alpha=x+y,\ \beta=x-y\). Подставим в сумму и используем формулы синуса суммы и синуса разности (см.§13 данного справочника.

\begin{gather*} sin\alpha+sin\beta=sin(x+y)+sin(x-y)=sinx cosy+cosxsiny+\\ +sinxcosy-cosxsiny=2sinxcosy=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2} \end{gather*}

Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и нечетность синуса: \begin{gather*} sin\alpha-sin\beta=sin\alpha+\sin(-\beta)=2sin\frac{\alpha+(-\beta)}{2}cos\frac{\alpha-(-\beta)}{2}=\\ =2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2} \end{gather*}

п.

2. Сумма и разность косинусов

Теперь, используя ту же замену, найдем сумму двух косинусов: \begin{gather*} cos\alpha+cos\beta=cos(x+y)+cos(x-y)=cosxcosy-sinxsiny+\\ +cosxcosy+sinxsiny=2cosxcosy=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2} \end{gather*} Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и формулы приведения: \begin{gather*} cos\alpha-cos\beta=cos\alpha+cos(\pi+\beta)=2cos\frac{\alpha+\pi+\beta}{2}cos\frac{\alpha-(\pi+\beta)}{2}=\\ =2cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac\pi2\right)cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac\pi2\right)=2\left(-sin\frac{\alpha+\beta}{2}\right)sin\frac{\alpha-\beta}{2}=\\ =-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2} \end{gather*}

п.3. Сумма и разность тангенсов

Для этих формул замена переменных не нужна, только обычные преобразования: \begin{gather*} tg\alpha+tg\beta=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{sin\alpha cos\beta+cos\beta sin\beta}{cos\alpha cos\beta}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos\beta} \end{gather*} Для вывода формулы разности используем уже найденную формулу суммы и нечетность тангенса: \begin{gather*} tg\alpha-tg\beta=tg\alpha+tg(-\beta)=\frac{sin\left(\alpha+(-\beta)\right)}{cos\alpha cos(-beta)}=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos\alpha cos\beta} \end{gather*}

п.

4. Сумма и разность котангенсов

По аналогии с тангенсами: \begin{gather*} ctg\alpha+ctg\beta=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{cos\beta}{sin\beta}=\frac{cos\alpha sin\beta+sin\alpha sin\beta}{sin\alpha sin\beta}=\frac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha sin\beta}\\ ctg\alpha-ctg\beta=ctg\alpha+ctg(-\beta)=\frac{sin\left(\alpha+(-\beta)\right)}{sin\alpha sin(-\beta)}=-\frac{sin(\alpha-\beta)}{sin\alpha sin\beta} \end{gather*}

\begin{gather*} sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \\ sin\alpha-sin\beta=2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}\\ \\ cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \\ cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \\ tg\alpha+tg\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos\beta}\\ \\ tg\alpha-tg\beta=\frac{sin(\alpha-\beta)}{cos\alpha cos\beta}\\ \\ ctg\alpha+ctg\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)}{sin\alpha sin\beta}\\ \\ ctg\alpha-ctg\beta=-\frac{sin(\alpha-\beta)}{sin\alpha sin\beta} \end{gather*}

п.

2 2\alpha)}=\frac{2sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2}cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}+2sin\alpha cos\alpha}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=\\ =\frac{2sin\alpha cos4\alpha+2sin\alpha cos\alpha}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=\frac{2sin\alpha(cos4\alpha+cos\alpha)}{sin\alpha(cos\alpha+cos4\alpha)}=2 \end{gather*}
в) \begin{gather*} cos\left(\frac{2\pi}{3}+\alpha\right)+cos\left(\frac{2\pi}{3}-\alpha\right)+cos\alpha=\\ =2cos\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha+\frac{2\pi}{3}-\alpha}{2}cos\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha-\frac{2\pi}{3}+\alpha}{2}+cos\alpha=2cos\frac{2\pi}{3}cos\alpha+cos\alpha=\\ =2\cdot\left(-\frac12\right)cos\alpha+cos\alpha=0 \end{gather*}
г) \begin{gather*} \frac{sin\alpha+sin3\alpha+sin5\alpha}{cos\alpha+cos3\alpha+cos5\alpha}=\frac{(sin\alpha+sin5\alpha)+sin3\alpha}{(cos\alpha+cos5\alpha)+cos3\alpha}=\\ =\frac{2sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+sin3\alpha}{2cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+cos3\alpha}=\frac{2sin3\alpha cos2\alpha+sin3\alpha}{2cos3\alpha cos2\alpha+cos3\alpha}=\\ =\frac{sin3\alpha(2cos2\alpha+1)}{cos3\alpha(2cos2\alpha+1)}=tg3\alpha \end{gather*}
д) \begin{gather*} \frac{sin\alpha+2sin3\alpha+sin5\alpha}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\frac{(sin\alpha+sin3\alpha)+(sin3\alpha+sin5\alpha)}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{2sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}+2sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}cos\frac{3\alpha-5\alpha}{2}}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{2sin2\alpha cos\alpha+2sin4\alpha cos\alpha}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\frac{2cos\alpha(sin2\alpha+sin4\alpha)}{4sin3\alpha cos^2\alpha}=\\ =\frac{sin2\alpha+sin4\alpha}{2sin3\alpha cos\alpha}=\frac{2sin\frac{2\alpha+4\alpha}{2}cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2}}{2sin3\alpha cos\alpha}=\frac{2sin3\alpha cos\alpha}{2sin3\alpha cos\alpha}=1 \end{gather*}
e*) \begin{gather*} \frac{tg210^{\circ}+ctg210^{\circ}+tg220^{\circ}+ctg220^{\circ}}{sin100^{\circ}+sin40^{\circ}}=\frac{tg30^{\circ}+ctg30^{\circ}+tg40^{\circ}+ctg40^{\circ}}{2sin\frac{100^{\circ}+40^{\circ}}{2}cos\frac{100^{\circ}-40^{\circ}}{2}}=\\ =\frac{\frac{sin(30^{\circ}+40^{\circ})}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}}+\frac{sin(30^{\circ}+40^{\circ})}{sin30^{\circ}sin40^{\circ}}}{2sin70^{\circ}cos30^{\circ}}=\\ =\frac{sin70^{\circ}}{2sin70^{\circ}cos30^{\circ}}\left(\frac{1}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}}+\frac{1}{sin30^{\circ}sin40^{\circ}}\right)=\\ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{sin30^{\circ}sin40^{\circ}+cos30^{\circ}cos40^{\circ}}{cos30^{\circ}cos40^{\circ}sin30^{\circ}sin40^{\circ}}\right)=\frac{cos(40^{\circ}-30^{\circ})}{\sqrt{3}\cdot\frac{sin60^{\circ}}{2}\cdot\frac{sin80^{\circ}}{2}}=\\ =\frac{4cos10^{\circ}}{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot sin(90^{\circ}-10^{\circ})}=\frac{8cos10^{\circ}}{3cos10^{\circ}}=\frac83 \end{gather*}

Рейтинг пользователей

за неделю

• за неделю
• один месяц
• три месяца

Помогай другим

Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

См. подробности

Математика: Справ. материалы

Математика: Справ. материалы

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение, 1988.— 416 с. В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщении знаний по математике. Оглавление СЛОВО К УЧАЩИМСЯ ГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел. 8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами. 30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 46. Алгебраическая форма комплексного числа. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. 3. 112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени. 130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения. 149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. 169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. Глава VI. НЕРАВЕНСТВА § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. § 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21. Производная и ее применения 209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 211. Дифференцирование суммы, произведения, частного. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226. Правила вычисления первообразных. 227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости 22. Простейшие задачи на построение. 23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники. 49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76. Понятие движения. § 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Сумма и разность углов в тригонометрических функциях

Как можно измерить высоту горы? Как вы будете вычислять расстояние между Землей и Солнцем? Есть множество неразрешимых задач, мы зависим от математических формул, чтобы вычислить ответы. Тождества тригонометрии, которые обычно используются в математическом доказательстве, также используются для вычисления больших расстояний.

В этом разделе мы изучим технику решения сложных задач, подобных приведенной выше. Тригонометрические функции суммы и формулы разности углов, которые мы будем применять, упростят многие тригонометрические выражения и уравнения.

Следующие уравнения тригонометрии будут использоваться в этой статье для установления связи между суммой и разностью углов в тригонометрических функциях Тригонометрическая функция определяется как функция угла треугольника, т.е. отношения между углами и треугольниками выводятся с помощью тригонометрических функций. Это также известно как круговые функции. Некоторые из основных функций тригонометрии — это синус, косинус, косеканс, тангенс, секанс и котангенс. Эти основные функции также известны как соотношения тригонометрии.

Существует множество тригонометрических формул и тождеств, которые представляют отношения между функциями и позволяют им находить неизвестный угол треугольника.

Связь между суммой и разностью углов в тригонометрических функциях

Сумма и разность углов в тригонометрических функциях используются для нахождения функциональных значений любых углов. Тем не менее, наиболее практическое использование этого состоит в том, чтобы найти точные значения угла, которые могут быть записаны как сумма или разность, используя наиболее известные значения синуса, косинуса и тангенса 30 °, 45 °, 60 °,90°, 180°, 270° и 360°.

Тригонометрические функции суммы и разницы в формулах углов

Сумма двух углов тригонометрии. sin Ѳ cos A + cos Ѳ sin A	Sin (Ѳ -A) = sin Ѳ cos Q- cos Ѳ sin Q
Cos (Ѳ +A) = cos Ѳ cos A — sin Ѳ sin А	Cos (Ѳ -A) = cos Ѳ cos A + sin Ѳsin A
Tan ( Ѳ + A) = tan Ѳ + tan A/ 1- tan Ѳ tan A 34 (444 Ѳ+ A) = tan Ѳ — tan A/ 1- tan Ѳ tan A

Тригонометрические функции суммы и разностей углов

Рассмотрите следующий рисунок:

Окружность образована центром окружности как начало координат и радиус 1 единица. Точка P₁ выбрана под углом x единиц от оси x. Координаты окружности указаны на рисунке выше. Другая точка P₂ выбрана под углом y единиц к отрезку OP₁. P₃ — еще одна точка на окружности, которая лежит под углом y единиц от оси x, измеренной по часовой стрелке.

Теперь на приведенном выше рисунке ▴ OP₁P₃ ≅ OP₂OP₄ по критериям соответствия SAS.

 Поскольку мы знаем координаты всех 4 точек, указанных на рисунке выше, с помощью формулы расстояния мы можем написать:

[Cos x- cos (-y)] 2 + [sin x- sin (-y)] 2 = [1- cos(x + y] 2 + sin2 (x + y)

После решения вышеприведенного уравнения мы получили следующее тождество:

Cos (x+y) = cosx cosy -sinx siny… (1 )

Заменив y на –y в тождестве 1, получим

Cos (x-y) = cosx cosy + sinx siny…….(2)

Кроме того,

Cos (π/2 – x) = sin x……………(3)

Замена x на π/ 2 и y через x в тождестве 2 получаем,

Sin (π/2 – x) = cos x………..(4)

As sin (Cos (π/2 – x) = sin x

Так как sin (π/2 – x) = cos (π/2 – (π/2-x)] (используя тождество 3). Получаем

Sin (π/2-x) = cos x

Теперь мы знаем о расширенной форме суммы и разности углов cos.Теперь мы будем использовать вышеуказанную концепцию для нахождения значений суммы и разности углов sin.

Sin(x + y) можно записать как cos [π/2 – (x + y)], что эквивалентно cos [(π/2- x)-y].

Теперь с помощью тождества (2) мы можем записать

Cos [180/2 –x)-y)] = cos (π/2-x) cosy + sin [π/2 –x) siny

= sin x cos y + cos x sin y

Следовательно,

Sin (x+y) = sinx cosy + cosx siny………..(5)

Теперь, если мы заменим y на – y в выше формулы, мы получаем

Sin (x- y) = sinx cosx — cosx siny………..(6)

Теперь, если мы подставим подходящие значения в приведенные выше тождества (1), (2), (5 ) и (6), получим следующее уравнение:

• Cos (π/2 + x) = — sinx

• Sin (π/2 + x)= cos x

• Cos (π ±) x) = -cos x

9

(π — x) = sinx

• Sin (π + x) = — sinx

• Sin (2π — x) = — sinx

• Cos (2π — x)= cos x

4 После понимания расширенной формы тригонометрических функций суммы и разности углов sin и cos, расширение tan и cot получается по формуле 9. 0005

Аналогично получаем следующее

Cos (Ѳ + A) = cos Ѳ cos A — sin Ѳ sin A , и с помощью вышеуказанного угла 30° — 60°, 

Сначала решим левую часть (LHS) уравнения,

LHS = Cos(30° + Ѳ)

= Cos 30° cos Ѳ — sin 30° sin Ѳ

= \[\sqrt{3}\] /2 cos Ѳ — ½ sin Ѳ

LHS = RHS

Отсюда доказано

2. Показать, что cos(π /2 + Ѳ) = -sin Ѳ

 Решение: Как известно,

Cos ( Ѳ + A) = cos  Ѳ cos A — sin  Ѳ sin A

cos(π /2 + Ѳ) = cos π/2 cos Ѳ- sin π/2 sin Ѳ

= 0 * cos Ѳ -1 * sin Ѳ

= — sin Ѳ

LHS = RHS

Следовательно, доказано

 Факты

• Гиппарх составил первую тригонометрическую таблицу.

• Установление современной тригонометрии было навязано «Ариабхатия» и Аль-Бируни. n \sin\left(x_i\right) \Delta x. $$

  Вот удобное тригонометрическое тождество, которое вы можете использовать для этой задачи: $$\sin A \sin B = \tfrac12 \cos(A−B) − \tfrac12 \cos(A+B).$$ Мы можем применить его следующим образом: пусть $A = x_i$ и пусть $B = \frac12 \Delta x.$ Затем $$\sin (x_i) \sin\left(\tfrac12\Delta x\right) = \tfrac12 \cos\left(x_i — \tfrac12 \Delta x\right) − \tfrac12 \cos\left(x_i + \tfrac12 \Delta x\right). \tag1$$ Поскольку вы хотите вычислить сумму по $\sin (x_i)\Delta x$, а не $\sin (x_i) \sin\left(\tfrac12\Delta x\right),$ умножим обе части уравнения$\ (1)$ на $\dfrac{\Delta x}{\sin \left(\tfrac12 \Delta x\right)}$ для получения $$\sin (x_i) \Delta x = \frac{\Delta x}{2\sin\left(\tfrac12\Delta x\right)} \cos\left(x_i — \tfrac12\Delta x\right) − \ frac{\ Delta x} {2 \ sin \ left (\ tfrac12 \ Delta x \ right)} \cos\left(x_i + \tfrac12 \Delta x\right). $$ Большая дробь в правой части этого уравнения встречается не реже одного раза в каждом уравнение пишем после этого; чтобы уменьшить беспорядок, пусть $k = \dfrac{\Delta x}{2\sin\left(\tfrac12\Delta x\right)}$, чтобы мы могли написать $$\sin (x_i) \Delta x = k \cos\left(x_i — \tfrac12\Delta x\right) − k \cos\left(x_i + \tfrac12 \Delta x\right). $$ Теперь давайте посмотрим на следующий член суммирования, $\sin (x_{i+1}) \Delta x.$ Поскольку $x_{i+1} = x_i + \Delta x,$ $$\begin{эквнаррай} \sin (x_{i+1}) \Delta x &=& k \cos\left(x_{i+1} — \tfrac12 \Delta x\right) − k \cos\left(x_{i+1} + \tfrac12 \Delta x\right)\\ &=& k \cos\left(x_i + \tfrac12 \Delta x\right) − k \cos\left(x_{i+1} + \tfrac12 \Delta x\right). \end{eqnarray}$$ Теперь обратите внимание, что произойдет, если мы добавим $\sin (x_{i+1})$ к $\sin (x_i).$ Два члена $k \cos\left(x_i + \tfrac12 \Delta x\right)$ сокращаются, и у нас осталось $$\sin (x_i) \Delta x + \sin (x_{i+1}) \Delta x = k \cos\left(x_i — \tfrac12 \Delta x\right) − k \cos\left(x_{i+1} + \tfrac12 \Delta x\right). $$ Это то, что мы называем «телескопической суммой», и это чудесным образом упрощает суммирование: если каждый член $\sin (x_i) \Delta x$ записать как разность двух косинусов (умножить на константу), как и в приведенных выше уравнениях, пара косинусов компенсирует друг друга каждый раз, когда мы добавляем еще один член к сумме, и у нас остается только разница двух косинусов (умноженных на константу) в конце.

  No related posts.