Свойства конечных пределов: Основные свойства конечных пределов последовательностей

Арифметические свойства конечных пределов последовательностей

Формулировки арифметических свойств

Пусть существуют конечные пределы   и    числовых последовательностей {x_n} и {y_n}. Тогда существуют пределы суммы, разности и произведения последовательностей, которые равны, соответственно, сумме, разности и произведению их пределов. Если  b ≠ 0  и  y_n ≠ 0  для всех n, то существует предел частного последовательностей, равный частному пределов:
(1)   ;   Доказательство ⇓
(2)   ;   Доказательство ⇓
(3)   ,   если и ;   Доказательство ⇓
(4)   .   Доказательство ⇓
Здесь C – постоянная, то есть заданное число.

Если , то .   Доказательство ⇓

Формулировки всех определений, теорем и свойств сходящихся последовательностей собраны на странице
Предел последовательности – основные теоремы и свойства.

Арифметические свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

Подобные свойства имеются и когда предел одной из последовательностей равен бесконечности. Ниже мы приводим эти свойства. Их доказательство изложено на странице «Свойства бесконечно больших последовательностей».

Пусть существуют пределы и числовых последовательностей и . Причем . И пусть последовательность бесконечно малая: , а последовательность бесконечно большая: .
Тогда существует пределы суммы и разности:
;
существуют пределы произведений:
;
существуют пределы частного:
  при ,
  при .

Эти свойства выполняются и в случае, если последовательности и не имеют пределов. При этом последовательность должна быть ограниченной: , а абсолютные величины элементов последовательности должны быть ограничены снизу положительным числом: .

Доказательство арифметических свойств

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε₁ выполняется неравенство:
(5)    при  .

Поскольку существует предел , то имеется функция такая, что для любого положительного числа ε₂ выполняется неравенство:
(6)    при  .

Теорема о пределе суммы и разности числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   последовательностей и . Тогда существуют пределы суммы и разности последовательностей {x_n ± y_n}, и они равны сумме и разности их пределов:
(1)   .

Доказательство

Чтобы доказать свойство суммы и разности (1), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых выполняются неравенства (5) и (6), для любых положительных и .

Воспользуемся известным неравенством
.
Преобразуем модуль разности в (1.1) и применим (5) и (6):
.
Последнее неравенство справедливо при   и  . Положим . Тогда, при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
 при  .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(1.1)    при  .
Это и означает, что число a ± b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о пределе произведения числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Тогда существует предел произведения последовательностей {x_n· y_n}, и он равен произведению их пределов:
(2)   .

Доказательство

Для доказательства свойства произведения (2), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство
(2.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)    при  ;
(6)    при  .

Преобразуем модуль разности в (2.1), применяя свойства неравенств:

.
Поскольку последовательность имеет конечный предел, то она ограничена некоторым положительным числом M_y: (см. Основные свойства пределов последовательностей). Применим (5) и (6). Тогда
.
Положим . Тогда при   и  ,
.
Пусть, при заданном ε,   есть наибольшее из чисел   и  . Тогда
 при  .

То есть мы нашли такую функцию , при которой, для любого положительного числа , выполняется неравенство:
(2.1)    при  .
Это и означает, что число    является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о вынесении постоянной за знак предела

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность образована из , умножением ее на постоянное число C. Тогда постоянную C можно выносить за знак предела:
(4)   .

Доказательство

Это свойство является следствием свойства произведения последовательностей. Для доказательства рассмотрим последовательность, все элементы которой равны числу C: . Предел этой последовательности равен этому числу:

(см. Основные свойства пределов последовательностей).

Применим свойство произведения последовательностей:
.
Свойство доказано.

Теорема о пределе частного числовых последовательностей

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы   и   числовых последовательностей и . Причем   и    для всех n. Тогда существует предел частного последовательностей {x_n / y_{}, и он равен частному их пределов:
(3)   .}

Доказательство

Для доказательства свойства частного (3), нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
(3.1)    при  .
При этом мы имеем функции и , при которых, для любых положительных и , выполняются неравенства (5) и (6):
(5)    при  ;
(6)    при  .

Преобразуем модуль разности в (3. 1), применяя свойства неравенств:

.
Тем самым мы получили следующую оценку:
(3.2)   .

Сделаем оценку для . Подставим в (6) :
 при  .
Заметим, что есть расстояние между точками и на числовой прямой. Поскольку расстояние между точками и равно а расстояние между точками и меньше : , то расстояние между точками и больше :
, или
.
Это неравенство можно получить и другим способом. Применяя свойства неравенств и соотношение имеем:
;
;
.
Итак, мы нашли, что
 при  ,
где . Тогда
(3.3)    при  .

Подставим (5), (6) и (3.3) в (3.2):
.
Это неравенство выполняется при одновременном выполнении трех неравенств:
.
Подставим ,   . И пусть обозначает максимальное из чисел . Тогда
.

То есть мы нашли такую функцию
,
при которой, для любого положительного , выполняется неравенство
(3.1)    при  .
Это и означает, что число a/b является пределом последовательности .
Свойство доказано.

Теорема о пределе абсолютного значения элементов последовательности

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел   числовой последовательности . И пусть последовательность составлена из элементов , взятых по абсолютной величине. Тогда
.

Доказательство

Для доказательства этого свойства, нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого положительного , выполняется неравенство:
 при  .
При этом у нас есть функция , при которой выполняется неравенство (5):
(5)    при  .

Воспользуемся известным неравенством:

и применим (5):
.
Последнее выполняется при .
То есть мы можем взять .

Итак, для любого ,
 при  .
Свойство доказано.

3. Основные свойства пределов

1. Последовательность называется постоянной, если все её члены равны постоянному числу , т. е. , при всех . Предел постоянной последовательности равен постоянному числу , т. е. если , то .

2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.

3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.

4. Если последовательность имеет предел, то он один.

5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.

,

Если пределы справа существуют.

Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.

6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.

,

Если пределы справа существуют.

Следствие 1

. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

.

Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.

Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.

,

Если существует и – конечное число.

Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.

,

Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).

7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.

,

Если пределы справа существуют и .

В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий). Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.

То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.

Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.

Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .

Доказательство. Пусть задано . Найдём разность

.

По определению предела должно выполняться неравенство

,

Откуда

.

Следовательно, , если . Поэтому .

Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:

.

Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:

.

Пример 8. Найти предел .

Решение. Рассмотрим отдельно три случая:

.

а) Пусть ; тогда

.

б) Пусть ; тогда

.

в) Пусть ; тогда

.

Ответ:

Пример 9. Найти предел .

Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:

.

Пример 10. Найти предел .

Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда

(второй предел равен нулю).

Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.

Ответ: .

Пример 11. Найти предел .

Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.

Ответ: .

Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.

Пример 12. Найти .

Решение. Рассмотрим отдельно три случая:

.

а) Пусть ; тогда

.

б) Пусть ; тогда

.

в) Пусть ; тогда

.

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

конечный предел в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Содержание

Контекст

Пределы и копределы

Пределы и копределы

1-категориальный

• лимит

  и колимит

  • пределы и копределы по примеру

  • коммутативность пределов и копределов

  • маленький лимит

  • отфильтрованный колимит

    • направленный колимит

      • последовательный копредел

  • просеянный колимит

  • связанный лимит, широкий откат

  • сохраненный лимит, отраженный лимит, созданный лимит

  • Продукт

    , Волокнистый продукт, Изменение базы, Побочный продукт, Откат, Выталкивание, Изменение собазы, Уравнитель, Уравнитель, присоединиться, встретиться, Терминальный объект, Исходный объект, Прямой продукт, Прямая сумма

  • конечный предел

    • точный функтор

• Расширение Кан

  • Удлинитель Йонеда

• взвешенный предел

• конец и муфта

2-категорийный

• 2-предельный

  • вкладыш

  • Изоинсертер

  • Эквайр

  • инвертор

  • PIE-лимит

• 2-откат, объект-запятая

(∞,1)-категориальный

• (∞,1)-предел

  • (∞,1)-откат

    • последовательность волокон

Модельно-категориальный

• гомотопическое расширение Кана

• гомотопический предел

  • гомотопический продукт

  • гомотопический эквалайзер

  • гомотопическое волокно

  • картографический конус

  • гомотопический обратный образ

  • гомотопическая тотализация

  • гомотопический конец

• гомотопический копредел

  • гомотопический побочный продукт

  • гомотопический соэквалайзер

  • гомотопическое коволокно

  • картографический кокон

  • гомотопический выталкиватель

  • гомотопическая реализация

  • гомотопический коэнд

Изменить эту боковую панель

• Определение
• Примеры
• Свойства
• Связанные понятия
• Каталожные номера

Определение

Конечный предел — это предел над конечной диаграммой, т. е. такой, форма которой является конечной категорией.

В более общем смысле в теории высших категорий конечный предел — это предел диаграммы, являющейся конечной (n,r)-категорией.

Категория, имеющая все конечные пределы, называется конечно полной категорией или (финитарной) существенно алгебраической теорией .

Функтор, который сохраняет все конечные пределы, называется левым точным функтором , lex функтором , декартовым функтором или конечно непрерывным функтором .

2-категорию конечно полных категорий, точных слева функторов и естественных преобразований часто обозначают Lex .

Примеры

Свойства

Предложение

Для категории 𝒞\mathcal{C} следующие эквиваленты эквивалентны:

1. 𝒞\mathcal{C} имеет все конечные пределы.

2. 𝒞\mathcal{C} содержит все эквалайзеры и бинарные произведения.

3. 𝒞\mathcal{C} имеет все обратные вызовы и конечный объект.

На самом деле любой класс пределов может быть выражен через другой, так что для функтора F:𝒞→𝒟F \;\двоеточие\; \mathcal{C} \to \mathcal{D} следующие эквиваленты:

1. FF сохраняет конечные пределы.

2. FF сохраняет эквалайзеры и бинарные продукты.

3. FF сохраняет откаты и терминальный объект.

(Первое утверждение можно найти, например, в Borceux 1994, Prop. 2.8.2. Из доказательства там сразу следует второе утверждение.)

• конечный (∞,1)-предел

• конечное множество, конечная группа, конечная категория

Ссылки

Счет в учебнике:

О насыщении до L-конечных пределов:

• Робер Паре, Раздел 3 из: Односвязные пределы . Может. J. Math., Vol. XLH, № 4, 1990, стр. 731-746 (doi:10.4153/CJM-1990-038-6)

Последняя редакция: 25 августа 2021 г., 07:59:54. См. историю этой страницы для получения списка всех вкладов в нее.

РедактироватьОбсудитьПредыдущая редакцияИзменения по сравнению с предыдущей редакциейИстория (18 редакций) Цитировать Распечатать Источник

Конечные и бесконечные пределы

Конечные пределы

Начнем с краткого описания свойств конечных пределов.

Предположим, что $$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)}=a$$ и что $$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{g( x)}=b$$, тогда также:

• $$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{f(x) \pm g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)} \pm \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{g(x)}=a \pm b$$ 9б$$
• Если $$n$$ нечетно или $$n$$ четно и $$f(x)\geqslant0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{\sqrt[n]{f(x )}} = \ sqrt [n] {\ displaystyle \ lim_ {x \ to \ pm \ infty} {f (x)}} = \ sqrt [n] {a} $ $
• Если $$\alpha >0$$ и $$f(x)>0$$, $$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{\log_{\alpha}f(x)}= \log_{\alpha}\Big(\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty}{f(x)}\Big)=\log_{\alpha}a$$

Если $$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)}=3$$ и $$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{g(x )}=-5$$ тогда: 9{f(x)}}$$ не существует, так как $$g(x)

$$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{\sqrt[3]{g(x)}}=\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5 }$$

$$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{\sqrt{g(x)}}$$ не существует, поскольку $$g(x)

Бесконечные пределы

Начнем с определения того, что такое бесконечный предел функции $$f(x)$$:

$$$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f( x)}=+\infty \Longleftrightarrow \mbox{ для любого } k, \mbox{ существует другое число } h$$$

$$$ \mbox{ такое, что если } x>h \mbox{ then } f(x)>k$$$

Интуитивно это означает, что мы можем иметь $$f(x)$$ столь большим, как мы хотим, выбрав достаточно большое $$x$$. k} =+\infty$$ 9х$$. Оно стремится к бесконечности, как $$x$$ стремится к бесконечности.

Логарифмический: если $$a>1, \displaystyle\lim_{x \to {+}\infty}{\log_{a}x}=+ \infty$$

Аналогично, если $$a>1 \displaystyle \lim_{x \to {+}\infty}{\log_{a}x}=sign(p) \cdot \infty$$.

Например, функция $$f(x)= \log_{e}x=\ln x$$. Эта функция стремится к бесконечности, когда $$x$$ становится очень большим.

Арифметика Бесконечности

Предположим, что $$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)}=+\infty$$ и что $$\displaystyle\lim_{x \to { +} \infty}{g(x)}=+\infty$$, то без проблем заметим, что:

$$$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)+g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x) }+\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{g(x)}=+\infty + \infty=+\infty$$$

$$$\displaystyle\lim_{x \to { +} \infty}{f(x) \cdot g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)} \cdot \displaystyle\lim_{x \to {+ } \infty}{g(x)}=(+\infty) \cdot (+\infty)=+\infty$$$

Однако у нас будут проблемы, когда мы столкнемся с ситуациями, подобными следующей:

$ $$\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)-g(x)}=\displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{f(x)}-\ displaystyle\lim_{x \to {+} \infty}{g(x)}=(+\infty)-(+\infty)$$$

так как если мы вычтем бесконечность из бесконечности, то получим неопределенность.