Свойства ln логарифмов: основание, свойства, формулы, функция, график

{n}=n \cdot \ln x \]

Свойства натурального логарифма

1. Из основного определения логарифма можно сформулировать главное логарифмическое тождество (уравнение).

e^lna=a

2. Для равенства двух простых натуральных логарифмов следует равенство логарифмируемых значений выражения.
3. В случае, когда возрастает значения любого аргумента, следовательно, будет возрастать и логарифмическое значение функции.

Описание функции натурального логарифма

Логарифмическая функция выражается как: y=log n^k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы.

Область определения логарифма и функции — это совокупность положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1:

y = ln x, вычислить область определения.

\[\mathrm{D}(\mathrm{y})=(0 ;+\infty)\]

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

\[ y=\ln x=\frac{1}{x}; \]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

\[ \lim _{x \rightarrow 0+0} \ln x=\ln (0+0)=-\infty; \]

\[ \lim _{x \rightarrow \infty} \ln x=\ln (+\infty)=+\infty. \]

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

График натурального логарифма

Значение логарифма принято обозначается при положительных числовых значениях переменной x. Затем он монотонно начинает возрастать по всей своей области определения.

При значении, которое стремится к нулю (x → 0) пределом натурального логарифма, будет считаться значение до бесконечности с отрицательным значением ( – ∞ ).

Для значений x, которые имеют большие значения, логарифм возрастает относительно медленно.

Значение степенной функции xⁿ, имея при этом положительное значение показателя степени, будет возрастать намного быстрее, чем сама функция.

Ниже приведены рисунки графического изображения функции.

Оценить статью (0 оценок):

Поделиться

Специальные свойства натурального логарифма ‹ OpenCurriculum

Цели статьи

Первая цель этой статьи — представить натуральный логарифм как уникальный тип логарифма. Вторая цель этой статьи — продемонстрировать и уточнить особые свойства натурального логарифма.

Введение

Логарифмы известны как операции, обратные экспоненциальным функциям с одним и тем же основанием, поэтому два типа функций отменяют друг друга. Неважно, применяете ли вы сначала логарифм или экспоненту — результат один и тот же. Если основанием логарифма является число Эйлера \(e\), функция обладает особыми свойствами. Это называется 9a) = a$$

Натуральные логарифмы обладают теми же свойствами, что и другие логарифмы, но можно наблюдать некоторые особые закономерности. Эта статья продемонстрирует стандартные свойства логарифмов с натуральным логарифмом, а затем перейдет к показу свойств исключительно натурального логарифма.

Основные тождества

Как было сказано ранее, все тождества, применимые к другим логарифмам, применимы и к натуральному логарифму. Этот набор примеров покажет, как эти тождества применяются к выражениям с натуральными логарифмами: 92) = 2\)

Единственная загвоздка в том, что вам нужно сделать так, чтобы основание необычного логарифма соответствовало аргументу натурального логарифма посредством комбинации логарифмических тождеств, если только выражение уже не задано в такой форме.

Скорость изменения

Натуральный логарифм также имеет уникальную производную:

$$\frac{d}{dx}(\ln (x)) = \frac{1}{x}$$

Однако, поскольку натуральный логарифм определен только для положительных чисел, при сравнении этих двух функций мы устанавливаем ограничение на \(\frac{1}{x}\) из \(x > 0\).

Пример 4: Найдите производную от \(\ln(2x + 1)\).

Решение: Используйте цепное правило и нашу идентификацию выше, чтобы получить

$$\frac{d}{dx}(\ln(2x + 1)) = \frac{2}{2x + 1}$$

Эта производная также указывает на особое свойство натурального логарифма: монотонно возрастает , или постоянно возрастает. Это связано с тем, что производная положительна во всей области значений натурального логарифма, поэтому натуральный логарифм всегда будет возрастать. 93}{3} — …$$

Некоторые учителя исчисления II считают, что эти три ряда Тейлора стоит запомнить; они достаточно распространены, чтобы сделать это стоящим.

Вы видели множество примеров и демонстраций уникальных особенностей функции натурального логарифма, начиная от алгебры и заканчивая исчислением. Тем не менее, будет трудно понять корни этих тем, если вы забудете, что \(\ln(e) = 1\).

Справочник, любезно предоставленный

«Искусство решения задач на среднем уровне алгебры» Рущик, Ричард и Кроуфорд, Мэтью

Свойства натуральных логарифмов — Mechamath

Свойства натуральных логарифмов важны, поскольку они помогают нам упростить и решить задачи логарифмирования, которые на первый взгляд кажутся очень сложными. Натуральные логарифмы обозначаются как в . Эти логарифмы имеют основание e . Помните, что буква e  обозначает математическую константу, известную как натуральный показатель степени. Значение e приблизительно равно 2,71828.

e  появляется во многих приложениях в математике и даже в других областях. Поскольку e так часто используется в математике и экономике, людям, работающим в этих областях, часто приходится брать логарифмы с основанием e , поэтому натуральный логарифм был создан как сокращение для записи и вычисления логарифма по основанию. и .

АЛГЕБРА

Актуально для …

Изучение свойств натуральных логарифмов.

См. свойства

Содержание

АЛГЕБРА

Актуально для …

Изучение свойств натуральных логарифмов.

См. свойства

Четыре ключевых свойства натуральных логарифмов

Свойство произведения

Логарифм свойства произведения говорит нам о том, что мы можем записать логарифм произведения в виде суммы индивидуальных логарифмов его множителей:

9{x+y}})=\ln(pq)$

Применяя свойство логарифма степени (которое мы увидим позже), имеем:

$latex (x+y)\ln(e) =\ln(pq)$

$latex (x+y)=\ln(pq)$

Мы можем подставить исходные значения x и y в полученное уравнение:

$

латекс \ln(p)+\ln(q)=\ln(pq)$

Свойство частного

Свойство частного логарифма говорит нам, что если у нас есть логарифм частного, мы можем переписать его как логарифм числителя минус логарифм знаменателя: 9{x-y}})=\ln(\frac{p}{q})$

Применяя логарифм степенного правила (которое мы увидим позже), мы имеем:

$latex (x-y)\ln(e )=\ln(\frac{p}{q})$

$latex (x-y)=\ln(\frac{p}{q})$

Путем замены исходных значений x и y  в полученном уравнении имеем:

$latex \ln(p)-\ln(q)=\ln(\frac{p}{q})$

Степенное свойство

Свойство степени натурального логарифма говорит нам, что мы можем переписать логарифм экспоненциального аргумента следующим образом: 9n}) $

Взаимное свойство

Натуральный логарифм обратного размера x является противоположностью природного логарифма x :

Пример:

$ $ waterx \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln \ Ln. {1}{3})=-\ln(3)$

---

Другие важные свойства натуральных логарифмов

В дополнение к четырем свойствам натуральных логарифмов, описанным выше, существуют другие важные свойства этих логарифмов, которые нам нужно знать, изучаем ли мы натуральные логарифмы. Желательно запомнить эти свойства, чтобы упростить и легко решать логарифмические задачи.

Натуральный логарифм отрицательного числа

Натуральный логарифм любого отрицательного числа  undefined .

Натуральный логарифм нуля

Натуральный логарифм нуля, то есть $latex \ln(0)$ также  undefined :

Натуральный логарифм единицы

Натуральный логарифм единицы равен нулю:

Натуральный логарифм бесконечности

Натуральный логарифм бесконечности равен бесконечности:

Натуральный логарифм

e

Натуральный логарифм натурального числа e равен 1:

Свойство логарифма показателя степени

Логарифм показателя степени e равен показателю степени:

Свойство показателя логарифма

Возведение e  в натуральный логарифм числа равно числу:

---

Чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов?

Основное различие между натуральными логарифмами и другими логарифмами заключается в используемом основании.