Таблица косинусов синусов в градусах: Таблица синусов и косинусов

Перевод градусов в радианы и обратно. Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно Градусная мера угла

(pi / 4) тремя способами.

Первый.
Этим способом чаще всего пользуются при решении тригонометрических уравнений в школе. Он заключается в использовании , в которой содержатся значения четырех тригонометрических функций от самых распространенных аргументов.

Такие таблицы существуют в нескольких вариантах. Различаются они тем, что значения углов представлены в градусах, в радианах или и в градусах и радианах (что наиболее удобно).
В таблице находим угол (в данном случае pi / 4) и нужную функцию (нам нужна функция косинус) и на пересечении этих значений получаем число корень из 2 / 2.
Математически это записывают так:

Второй.
Также распространенный способ, который всегда можно использовать, если таблицы нет. Заключается в использовании (или тригонометрической окружности).

На таком тригонометрическом круге значения косинуса расположены на горизонтальной оси — оси абсцисс, а аргументы — на кривой самой окружности.

В нашем случае аргумент косинуса равен pi / 4. Определим, где находится это значение на окружности. Далее опустим перпендикуляр на ось Ох. Значение, в котором окажется конец этого перпендикуляра, и будет значением заданного косинуса. Следовательно, косинус от pi / 4 равен корень из 2 / 2.

Третий.
Удобно использовать также график соответствующей функции — . Несложно запомнить, как он выглядит.

При использовании графика необходимы некоторые знания для определения значения косинуса pi / 4, который равен . В этом случае нужно понимать, что значение дроби больше 0,5 и меньше 1.
Есть, конечно, еще несколько способов. Например, вычисление значения косинуса с помощью калькулятора. Но для этого нужно предварительно угол pi / 4 перевести в градусы. Также могут быть полезными и таблицы Брадиса.

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360

градусов и соответствующих им значений углов врадианах . Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс . Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов.

Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй — косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный — косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

Корень 2/2 это сколько пи? — Это по-разному бывает (смотрите картинку). Нужно знать, какая именно тригонометрическая функция равна корню из двух, деленному на два.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, мне в работе над другими материалами.

cos pi делённый на 2

Главная > Справочник > Математические формулы.

Математические формулы.

Перевод радиан в градусы.
A d = A r * 180 / пи

Перевод градусов в радианы.
A r = A d * пи / 180
Где A d — угол в градусах, A r — угол в радианах.

Длина окружности.
L = 2 * пи * R

Длина дуги окружности.
L = A * R

Площадь треугольника.

p=(a+b+c)/2 — полупериметр.

Площадь круга.
S = пи * R 2

Площадь сектора.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2

Площадь поверхности шара.
S = 4 * пи * R 2

S = 2 * пи * R * H

Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

S = пи * R * L

S = пи * R * L + пи * R 2

Объем шара.
V = 4 / 3 * пи * R 3

Объем цилиндра.
V = пи * R 2 * H

Объем конуса.

Размещено: 15.01.13
Обновлено: 15.11.14
Просмотров всего: 10754
сегодня: 1

Главная > Справочник > Математические формулы.

Егор

Доброй вечер! Вы задали очень интересный вопрос, надеюсь, мы сможем Вам помочь.

Как решать С1. Урок 2. ЕГЭ по математике 2014

Нам с вами нужно решить такую задачку: найти cos pi делённый на 2.
Чаще всего для решения таких задач нужно определить показатели косинуса либо же синуса. Для углов от 0 до 360 градусов практически любое значение cos или sin можно с лёгкостью найти в соответствующих табличках, которые существуют и распространены, как например такие:

Но у нас с Вами не синус (sin), а косинус. Давайте сначала разберёмся, что такое косинус. Cos (косинус) — это одна из тригонометрических функцией. Для того, чтоб высчитать косинус острого прямоугольного треугольника Вам нужно будет знать отношение катета прилежащего угла к гипотенузе. Косинус pi делённый на 2 можно легко высчитать по тригонометрической формуле, которая относится к стандартным формулам тригонометрии. Но а если мы с Вами говорим о значении косинуса pi делённый на 2, то для этого мы воспользуемся таблицей, о которой уже вспоминали и не раз:

Удачи Вам в дальнейших решениях подобных заданий!
Ответ:

Главная > Справочник > Математические формулы.

Математические формулы.

Перевод радиан в градусы.
A d = A r * 180 / пи

Перевод градусов в радианы.
A r = A d * пи / 180
Где A d — угол в градусах, A r — угол в радианах.

Длина окружности.
L = 2 * пи * R
Где L — длина окружности, R — радиус окружности.

Длина дуги окружности.
L = A * R
Где L — длина дуги окружности, R — радиус окружности, A — центральный угол, выраженный в радианах
Для окружности A = 2*пи (360 градусов), получим L = 2*пи*R.

Площадь треугольника.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон,
p=(a+b+c)/2 — полупериметр.

Площадь круга.
S = пи * R 2
Где S — площадь круга, R — радиус круга.

Площадь сектора.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Где S — площадь сектора, R — радиус круга, L d — длина дуги.

Площадь поверхности шара.
S = 4 * пи * R 2
Где S — площадь поверхности шара, R — радиус шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H + 2 * пи * R 2
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Площадь боковой поверхности конуса.
S = пи * R * L
Где S — площадь боковой поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

Площадь полной поверхности конуса.
S = пи * R * L + пи * R 2
Где S — площадь полной поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.

Объем шара.
V = 4 / 3 * пи * R 3
Где V — объем шара, R — радиус шара.

Объем цилиндра.
V = пи * R 2 * H
Где V — объем цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.

Объем конуса.
V = пи * R * L = пи * R * H/cos (A/2) = пи * R * R/sin (A/2)
Где V — объем конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса, A — угол при вершине конуса.

Размещено: 15.01.13
Обновлено: 15.11.14
Просмотров всего: 10742
сегодня: 1

Главная > Справочник > Математические формулы.

Егор
Закрепить провод на клеммах батарейки Крона можно трубочкой, отрезанной от колпачка медицинской иголки.

Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом «Пи», которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да. ..

Стандартные задания по тригонометрии с числом «Пи» решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона — валит наповал! Чтобы не свалиться — понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле — всё поймём!

Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла . Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии — никуда.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили… Да и в жизни частенько встречаемся с фразой «повернул на 180 градусов», например. Градус, короче, штука простая…

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то…

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было… Веков 40 назад… И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус — это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее… Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак… Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно… Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя… В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926… раз.

Это и есть число «Пи». Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой — бесконечное число цифр без всякого порядка… Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

Где L — длина окружности, а d — её диаметр.

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число «Пи» сидит не только в геометрии… В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь… Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие — 360? И в каком варианте этих делителей нацело — больше? Людям такое деление очень удобно. Но…

Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся… Высшая математика — дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: «Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245… И что мне делать? Нет уж…» Пришлось послушаться. Природу не обманешь…

Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь — радиан!

Радианная мера угла.

Что такое радиан? В основе определения радиана — всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L ) равна длине радиуса (R ). Смотрим картинки.

Маленький такой угол, почти и нет его… Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан . L = R

Чувствуете разницу?

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Да! Этот хвостик — 0,1415926…. Здравствуй, число «Пи», мы тебя ещё не забыли!

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926… радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926… неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

А вот в Интернете число

писать неудобно… Поэтому я в тексте пишу его по имени — «Пи». Не запутаетесь, поди?…

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

Или точное равенство:

Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 3,14:

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

Но главное умение этой темы — перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом «Пи», всё очень просто. Мы знаем, что «Пи» радиан = 180°. Вот и подставляем вместо «Пи» радиан — 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле «Пи»/2 радиан ? Вот и пишем:

Или, более экзотическое выражение:

Легко, верно?

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = «Пи» радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 180. Представлять «Пи» как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

Или, аналогично:

Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы — это очень просто. Да и перевод без проблем… И «Пи» — вполне терпимая штука… Так откуда путаница!?

Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов — пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов . А значок радианов (рад ) — не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что… Но решили не писать. Если внутри синуса — котангенса нет никаких значков, то угол — в радианах ! Например, cos3 — это косинус трёх радианов .

Это и приводит к непоняткам… Человек видит «Пи» и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры — стандартные. Но «Пи» — это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это «Пи» радиан = 180°!

Ещё раз: «Пи» — это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно «Пи» шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить «Пи» килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся…

«Пи» — это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

Или, что меньше?

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать…

Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: «Пи» — это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол — в градусах ! Стало быть, заменять «Пи» на 180° — нельзя! «Пи» градусов — это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там — радианы ! Вот здесь замена «Пи» на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05° .

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси . Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут… И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются… Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге — сплошь и рядом.

Во второй строчке — тоже углы специальные… Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо — ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных — именно про эти углы вы должны знать всё . И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° — уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего… Но об этом подробнее — в следующем уроке.

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно — уже не ваша проблема.) Но перевод углов — это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже…

Второй мощный шаг — это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да…) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

1. В какую четверть попадают углы:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Легко? Продолжаем:

2. В какую четверть попадают углы:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Тоже без проблем? Ну, смотрите…)

3. Сможете разместить по четвертям углы:

Смогли? Ну вы даёте. .)

4. На какие оси попадёт уголок:

и уголок:

Тоже легко? Хм…)

5. В какую четверть попадают углы:

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю…)

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами — можете не посещать 555. Не настаиваю.)

Хорошее понимание — достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби — символ «/». См. также полезные материалы: Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов — ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой «30 градусов», на их пересечении считываем результат — одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других «популярных» углов. Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан. Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам. Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 . Примеры : 1. Синус пи . sin π = sin 180 = 0 таким образом, синус пи — это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю. 2. Косинус пи . cos π = cos 180 = -1 таким образом, косинус пи — это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице. 3. Тангенс пи tg π = tg 180 = 0 таким образом, тангенс пи — это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю. Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 — 360 градусов (часто встречающиеся значения) значение угла α (градусов) значение угла α в радианах (через число пи) sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс) sec (секанс) cosec (косеканс) 0 0 0 1 0 — 1 — 15 π/12 2 — √3 2 + √3 30 π/6 1/2 √3/2 1/√3 √3 2/√3 2 45 π/4 √2/2 √2/2 1 1 √2 √2 60 π/3 √3/2 1/2 √3 1/√3 2 2/√3 75 5π/12 2 + √3 2 — √3 90 π/2 1 0 — 0 — 1 105 7π/12 — — 2 — √3 √3 — 2 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 -√3/3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 -1 -√2 √2 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 -√3 180 π 0 -1 0 — -1 — 210 7π/6 -1/2 -√3/2 √3/3 √3 240 4π/3 -√3/2 -1/2 √3 √3/3 270 3π/2 -1 0 — 0 — -1 360 2π 0 1 0 — 1 — Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет — клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач. Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов 0, 15, 30, 45, 60, 90 … 360 градусов (цифровые значения «как по таблицам Брадиса») значение угла α (градусов) значение угла α в радианах sin (синус) cos (косинус) tg (тангенс) ctg (котангенс) 0 0 15 0,2588 0,9659 0,2679 30 0,5000 0,5774 45 0,7071 0,7660 60 0,8660 0,5000 1,7321 7π/18

Синус 0 6 сколько косинус — Сборка-Доработка

СИНУС (SIN α) — это одна из прямых тригонометрических функций для углов, в прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к его единственной гипотенузе.

Малая таблица значений тригонометрических функций (в радианах и градусах)

α (радианы)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	√3π/2	2π
α (градусы)	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
SIN α (СИНУС)	0	1/2	√ 2/2	√3 /2	1	0	-1	0

Полная таблица синусов для углов от 0° до 360° с шагом всего в 1°

Угол в градусах	Sin (Синус)
0°	0
1°	0.0175
2°	0.0349
3°	0.0523
4°	0.0698
5°	0.0872
6°	0.1045
7°	0.1219
8°	0.1392
9°	0. 1564
10°	0.1736
11°	0.1908
12°	0.2079
13°	0.225
14°	0.2419
15°	0.2588
16°	0.2756
17°	0.2924
18°	0.309
19°	0.3256
20°	0.342
21°	0.3584
22°	0.3746
23°	0.3907
24°	0.4067
25°	0.4226
26°	0.4384
27°	0.454
28°	0.4695
29°	0.4848
30°	0.5
31°	0.515
32°	0.5299
33°	0.5446
34°	0.5592
35°	0.5736
36°	0. 5878
37°	0.6018
38°	0.6157
39°	0.6293
40°	0.6428
41°	0.6561
42°	0.6691
43°	0.682
44°	0.6947
45°	0.7071
46°	0.7193
47°	0.7314
48°	0.7431
49°	0.7547
50°	0.766
51°	0.7771
52°	0.788
53°	0.7986
54°	0.809
55°	0.8192
56°	0.829
57°	0.8387
58°	0.848
59°	0.8572
60°	0.866
61°	0.8746
62°	0.8829
63°	0. 891
64°	0.8988
65°	0.9063
66°	0.9135
67°	0.9205
68°	0.9272
69°	0.9336
70°	0.9397
71°	0.9455
72°	0.9511
73°	0.9563
74°	0.9613
75°	0.9659
76°	0.9703
77°	0.9744
78°	0.9781
79°	0.9816
80°	0.9848
81°	0.9877
82°	0.9903
83°	0.9925
84°	0.9945
85°	0.9962
86°	0.9976
87°	0.9986
88°	0.9994
89°	0.9998
90°	1

Полная таблица синусов для углов от 91° до 180°

Угол в градусах	Sin (Синус)
91°	0. 9998
92°	0.9994
93°	0.9986
94°	0.9976
95°	0.9962
96°	0.9945
97°	0.9925
98°	0.9903
99°	0.9877
100°	0.9848
101°	0.9816
102°	0.9781
103°	0.9744
104°	0.9703
105°	0.9659
106°	0.9613
107°	0.9563
108°	0.9511
109°	0.9455
110°	0.9397
111°	0.9336
112°	0.9272
113°	0.9205
114°	0.9135
115°	0.9063
116°	0.8988
117°	0. 891
118°	0.8829
119°	0.8746
120°	0.866
121°	0.8572
122°	0.848
123°	0.8387
124°	0.829
125°	0.8192
126°	0.809
127°	0.7986
128°	0.788
129°	0.7771
130°	0.766
131°	0.7547
132°	0.7431
133°	0.7314
134°	0.7193
135°	0.7071
136°	0.6947
137°	0.682
138°	0.6691
139°	0.6561
140°	0.6428
141°	0.6293
142°	0.6157
143°	0. 6018
144°	0.5878
145°	0.5736
146°	0.5592
147°	0.5446
148°	0.5299
149°	0.515
150°	0.5
151°	0.4848
152°	0.4695
153°	0.454
154°	0.4384
155°	0.4226
156°	0.4067
157°	0.3907
158°	0.3746
159°	0.3584
160°	0.342
161°	0.3256
162°	0.309
163°	0.2924
164°	0.2756
165°	0.2588
166°	0.2419
167°	0.225
168°	0.2079
169°	0. 1908
170°	0.1736
171°	0.1564
172°	0.1392
173°	0.1219
174°	0.1045
175°	0.0872
176°	0.0698
177°	0.0523
178°	0.0349
179°	0.0175
180°	0

Таблица синусов для углов 181° — 270°

Угол	Sin (Синус)
181°	-0.0175
182°	-0.0349
183°	-0.0523
184°	-0.0698
185°	-0.0872
186°	-0.1045
187°	-0.1219
188°	-0.1392
189°	-0.1564
190°	-0.1736
191°	-0.1908
192°	-0. 2079
193°	-0.225
194°	-0.2419
195°	-0.2588
196°	-0.2756
197°	-0.2924
198°	-0.309
199°	-0.3256
200°	-0.342
201°	-0.3584
202°	-0.3746
203°	-0.3907
204°	-0.4067
205°	-0.4226
206°	-0.4384
207°	-0.454
208°	-0.4695
209°	-0.4848
210°	-0.5
211°	-0.515
212°	-0.5299
213°	-0.5446
214°	-0.5592
215°	-0.5736
216°	-0.5878
217°	-0.6018
218°	-0. 6157
219°	-0.6293
220°	-0.6428
221°	-0.6561
222°	-0.6691
223°	-0.682
224°	-0.6947
225°	-0.7071
226°	-0.7193
227°	-0.7314
228°	-0.7431
229°	-0.7547
230°	-0.766
231°	-0.7771
232°	-0.788
233°	-0.7986
234°	-0.809
235°	-0.8192
236°	-0.829
237°	-0.8387
238°	-0.848
239°	-0.8572
240°	-0.866
241°	-0.8746
242°	-0.8829
243°	-0.891
244°	-0. 8988
245°	-0.9063
246°	-0.9135
247°	-0.9205
248°	-0.9272
249°	-0.9336
250°	-0.9397
251°	-0.9455
252°	-0.9511
253°	-0.9563
254°	-0.9613
255°	-0.9659
256°	-0.9703
257°	-0.9744
258°	-0.9781
259°	-0.9816
260°	-0.9848
261°	-0.9877
262°	-0.9903
263°	-0.9925
264°	-0.9945
265°	-0.9962
266°	-0.9976
267°	-0.9986
268°	-0.9994
269°	-0.9998
270°	-1

Таблица синусов для углов от 271° до 360°

Угол	Sin (Синус)
271°	-0. 9998
272°	-0.9994
273°	-0.9986
274°	-0.9976
275°	-0.9962
276°	-0.9945
277°	-0.9925
278°	-0.9903
279°	-0.9877
280°	-0.9848
281°	-0.9816
282°	-0.9781
283°	-0.9744
284°	-0.9703
285°	-0.9659
286°	-0.9613
287°	-0.9563
288°	-0.9511
289°	-0.9455
290°	-0.9397
291°	-0.9336
292°	-0.9272
293°	-0.9205
294°	-0.9135
295°	-0.9063
296°	-0.8988
297°	-0. 891
298°	-0.8829
299°	-0.8746
300°	-0.866
301°	-0.8572
302°	-0.848
303°	-0.8387
304°	-0.829
305°	-0.8192
306°	-0.809
307°	-0.7986
308°	-0.788
309°	-0.7771
310°	-0.766
311°	-0.7547
312°	-0.7431
313°	-0.7314
314°	-0.7193
315°	-0.7071
316°	-0.6947
317°	-0.682
318°	-0.6691
319°	-0.6561
320°	-0.6428
321°	-0.6293
322°	-0.6157
323°	-0. 6018
324°	-0.5878
325°	-0.5736
326°	-0.5592
327°	-0.5446
328°	-0.5299
329°	-0.515
330°	-0.5
331°	-0.4848
332°	-0.4695
333°	-0.454
334°	-0.4384
335°	-0.4226
336°	-0.4067
337°	-0.3907
338°	-0.3746
339°	-0.3584
340°	-0.342
341°	-0.3256
342°	-0.309
343°	-0.2924
344°	-0.2756
345°	-0.2588
346°	-0.2419
347°	-0.225
348°	-0.2079
349°	-0. 1908
350°	-0.1736
351°	-0.1564
352°	-0.1392
353°	-0.1219
354°	-0.1045
355°	-0.0872
356°	-0.0698
357°	-0.0523
358°	-0.0349
359°	-0.0175
360°	0

Таблица синусов особенно нужна, когда у вас под рукой нет супер навороченного инженерного калькулятора с маленькой спасительной кнопкой с надписью «sin». В таком случае, чтобы узнать, чему же равняется синус определенного заданного угла, просто найдите информацию о интересующем градусе.

Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на компьютерной мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите уже правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать».

Как пользоваться таблицей? Всё гораздо проще, чем Вы думаете, ищем в левой вертикальной колонке, соответствующий градус, и напротив него и будет указано нужное значение синуса для данного нужного нам угла.

Чему равен синус 45? …

— А вот собственно и сам ответ на поставленную задачку.sin 45 = 0.7071

Калькулятор поможет рассчитать точные значения тригонометрических функций sin, cos, tg и ctg для различных значений углов в градусах или радианах.

На данной странице таблица Брадиса, которая дает значение sin, cos, tg, ctg любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса. Для нахождения значения угла берется число на пересечении строки, которое соответствует числу градусов и столбца, которое соответствует числу минут. Например, sin 70°30′ = 0.9426.

Таблица косинусов — это записанные в таблицу посчитанные значения косинусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу косинусов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение косинуса от нужного Вам угла, достаточно найти его в таблице или вычислить с помощью калькулятора.

Таблица градусов в тригонометрии. Cинус, косинус, тангенс и котангенс

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

Вот этот вывод:

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку…

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов. .. Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)

Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется…)

Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов. )

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Угол х (в градусах)	0	90	180	270	360
Угол х (в радианах)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не сущ.	0	не сущ.	0
ctg x	не сущ.	0	не сущ.	0	не сущ.

Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ… Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.

Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.

Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают…)

Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.

В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.

Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:

А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.

Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!

Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.

Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)

Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем!

Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество…) Отсчитал (правильно!) угол на круге — и нет проблем с функциями.

Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки… Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол

вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.

А если угол

Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.

Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.

Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.

Вторая группа углов.

Следующая группа углов — это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так… Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.

Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

Угол х (в градусах)	0	30	45	60	90
Угол х (в радианах)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не сущ.
ctg x	не сущ.		1		0

Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.

Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов…

Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось…

Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся… Три значения можно выучить, правда?

С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.

Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.

Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

Кошмар, правда?)

А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

Или углы в радианах? Например, про углы:

и многие другие, вы должны знать всё .

Самое забавное, что знать это всё — невозможно в принципе. Если использовать механическую память.

И очень легко, фактически элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй — косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный — косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

1. В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

   Документ

   Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 . ..

2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

   Документ

   … функции равно функции изображения. Из этой теоремы сле­дует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию … геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; …

3. 1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

   2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

   3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

   4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
   sinα=y/r.
   Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

   5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
   cosα=x/r

   6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
   tanα=y/x,x≠0

   7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
   cotα=x/y,y≠0

   8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
   secα=r/x=1/x,x≠0

   9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
   cscα=r/y=1/y,y≠0

   10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
   Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
   Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
   Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
   Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
   Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
   Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

   11. График функции синус
   y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

   12. График функции косинус
   y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

   13. График функции тангенс
   y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

   14. График функции котангенс
   y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

   15. График функции секанс
   y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}

Таблица синусов — Мир в таблицах

Главная » Математика

Автор admin На чтение 6 мин Просмотров 222 Опубликовано

Таблица синусов — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. Используя таблицу синусов вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение синуса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.

Радиан — угловая величина дуги, по длине равной радиусу или 57,295779513° градусов.

Градус (в геометрии) — 1/360-я часть окружности или 1/90-я часть прямого угла.

π = 3.141592653589793238462… (приблизительное значение числа Пи).

Содержание

Таблица синусов в радианах

α	0	π6	π4	π3	π2	π	3π2	2π
sin α	0	12	√22	√32	1	0	-1	0

Таблица синусов для углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°

Угол х (в градусах)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Угол х (в радианах)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π
sin x	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0

Таблица синусов углов от 0° до 180°

sin(0°) = 0 sin(1°) = 0. 017452 sin(2°) = 0.034899 sin(3°) = 0.052336 sin(4°) = 0.069756 sin(5°) = 0.087156 sin(6°) = 0.104528 sin(7°) = 0.121869 sin(8°) = 0.139173 sin(9°) = 0.156434 sin(10°) = 0.173648 sin(11°) = 0.190809 sin(12°) = 0.207912 sin(13°) = 0.224951 sin(14°) = 0.241922 sin(15°) = 0.258819 sin(16°) = 0.275637 sin(17°) = 0.292372 sin(18°) = 0.309017 sin(19°) = 0.325568 sin(20°) = 0.34202 sin(21°) = 0.358368 sin(22°) = 0.374607 sin(23°) = 0.390731 sin(24°) = 0.406737 sin(25°) = 0.422618 sin(26°) = 0.438371 sin(27°) = 0.45399 sin(28°) = 0.469472 sin(29°) = 0.48481 sin(30°) = 0.5 sin(31°) = 0.515038 sin(32°) = 0.529919 sin(33°) = 0.544639 sin(34°) = 0.559193 sin(35°) = 0.573576 sin(36°) = 0.587785 sin(37°) = 0.601815 sin(38°) = 0.615661 sin(39°) = 0.62932 sin(40°) = 0.642788 sin(41°) = 0.656059 sin(42°) = 0.669131 sin(43°) = 0.681998 sin(44°) = 0. 694658 sin(45°) = 0.707107

sin(46°) = 0.71934 sin(47°) = 0.731354 sin(48°) = 0.743145 sin(49°) = 0.75471 sin(50°) = 0.766044 sin(51°) = 0.777146 sin(52°) = 0.788011 sin(53°) = 0.798636 sin(54°) = 0.809017 sin(55°) = 0.819152 sin(56°) = 0.829038 sin(57°) = 0.838671 sin(58°) = 0.848048 sin(59°) = 0.857167 sin(60°) = 0.866025 sin(61°) = 0.87462 sin(62°) = 0.882948 sin(63°) = 0.891007 sin(64°) = 0.898794 sin(65°) = 0.906308 sin(66°) = 0.913545 sin(67°) = 0.920505 sin(68°) = 0.927184 sin(69°) = 0.93358 sin(70°) = 0.939693 sin(71°) = 0.945519 sin(72°) = 0.951057 sin(73°) = 0.956305 sin(74°) = 0.961262 sin(75°) = 0.965926 sin(76°) = 0.970296 sin(77°) = 0.97437 sin(78°) = 0.978148 sin(79°) = 0.981627 sin(80°) = 0.984808 sin(81°) = 0.987688 sin(82°) = 0.990268 sin(83°) = 0.992546 sin(84°) = 0.994522 sin(85°) = 0.996195 sin(86°) = 0. 997564 sin(87°) = 0.99863 sin(88°) = 0.999391 sin(89°) = 0.999848 sin(90°) = 1

sin(91°) = 0.999848 sin(92°) = 0.999391 sin(93°) = 0.99863 sin(94°) = 0.997564 sin(95°) = 0.996195 sin(96°) = 0.994522 sin(97°) = 0.992546 sin(98°) = 0.990268 sin(99°) = 0.987688 sin(100°) = 0.984808 sin(101°) = 0.981627 sin(102°) = 0.978148 sin(103°) = 0.97437 sin(104°) = 0.970296 sin(105°) = 0.965926 sin(106°) = 0.961262 sin(107°) = 0.956305 sin(108°) = 0.951057 sin(109°) = 0.945519 sin(110°) = 0.939693 sin(111°) = 0.93358 sin(112°) = 0.927184 sin(113°) = 0.920505 sin(114°) = 0.913545 sin(115°) = 0.906308 sin(116°) = 0.898794 sin(117°) = 0.891007 sin(118°) = 0.882948 sin(119°) = 0.87462 sin(120°) = 0.866025 sin(121°) = 0.857167 sin(122°) = 0.848048 sin(123°) = 0.838671 sin(124°) = 0.829038 sin(125°) = 0.819152 sin(126°) = 0.809017 sin(127°) = 0. 798636 sin(128°) = 0.788011 sin(129°) = 0.777146 sin(130°) = 0.766044 sin(131°) = 0.75471 sin(132°) = 0.743145 sin(133°) = 0.731354 sin(134°) = 0.71934 sin(135°) = 0.707107

sin(136°) = 0.694658 sin(137°) = 0.681998 sin(138°) = 0.669131 sin(139°) = 0.656059 sin(140°) = 0.642788 sin(141°) = 0.62932 sin(142°) = 0.615661 sin(143°) = 0.601815 sin(144°) = 0.587785 sin(145°) = 0.573576 sin(146°) = 0.559193 sin(147°) = 0.544639 sin(148°) = 0.529919 sin(149°) = 0.515038 sin(150°) = 0.5 sin(151°) = 0.48481 sin(152°) = 0.469472 sin(153°) = 0.45399 sin(154°) = 0.438371 sin(155°) = 0.422618 sin(156°) = 0.406737 sin(157°) = 0.390731 sin(158°) = 0.374607 sin(159°) = 0.358368 sin(160°) = 0.34202 sin(161°) = 0.325568 sin(162°) = 0.309017 sin(163°) = 0.292372 sin(164°) = 0.275637 sin(165°) = 0.258819 sin(166°) = 0.241922 sin(167°) = 0.224951 sin(168°) = 0. 207912 sin(169°) = 0.190809 sin(170°) = 0.173648 sin(171°) = 0.156434 sin(172°) = 0.139173 sin(173°) = 0.121869 sin(174°) = 0.104528 sin(175°) = 0.087156 sin(176°) = 0.069756 sin(177°) = 0.052336 sin(178°) = 0.034899 sin(179°) = 0.017452 sin(180°) = 0

Таблица синусов углов от 181° до 360°

sin(181°) = -0.017452 sin(182°) = -0.034899 sin(183°) = -0.052336 sin(184°) = -0.069756 sin(185°) = -0.087156 sin(186°) = -0.104528 sin(187°) = -0.121869 sin(188°) = -0.139173 sin(189°) = -0.156434 sin(190°) = -0.173648 sin(191°) = -0.190809 sin(192°) = -0.207912 sin(193°) = -0.224951 sin(194°) = -0.241922 sin(195°) = -0.258819 sin(196°) = -0.275637 sin(197°) = -0.292372 sin(198°) = -0.309017 sin(199°) = -0.325568 sin(200°) = -0.34202 sin(201°) = -0.358368 sin(202°) = -0.374607 sin(203°) = -0.390731 sin(204°) = -0. 406737 sin(205°) = -0.422618 sin(206°) = -0.438371 sin(207°) = -0.45399 sin(208°) = -0.469472 sin(209°) = -0.48481 sin(210°) = -0.5 sin(211°) = -0.515038 sin(212°) = -0.529919 sin(213°) = -0.544639 sin(214°) = -0.559193 sin(215°) = -0.573576 sin(216°) = -0.587785 sin(217°) = -0.601815 sin(218°) = -0.615661 sin(219°) = -0.62932 sin(220°) = -0.642788 sin(221°) = -0.656059 sin(222°) = -0.669131 sin(223°) = -0.681998 sin(224°) = -0.694658 sin(225°) = -0.707107

sin(226°) = -0.71934 sin(227°) = -0.731354 sin(228°) = -0.743145 sin(229°) = -0.75471 sin(230°) = -0.766044 sin(231°) = -0.777146 sin(232°) = -0.788011 sin(233°) = -0.798636 sin(234°) = -0.809017 sin(235°) = -0.819152 sin(236°) = -0.829038 sin(237°) = -0.838671 sin(238°) = -0.848048 sin(239°) = -0.857167 sin(240°) = -0.866025 sin(241°) = -0.87462 sin(242°) = -0.882948 sin(243°) = -0. 891007 sin(244°) = -0.898794 sin(245°) = -0.906308 sin(246°) = -0.913545 sin(247°) = -0.920505 sin(248°) = -0.927184 sin(249°) = -0.93358 sin(250°) = -0.939693 sin(251°) = -0.945519 sin(252°) = -0.951057 sin(253°) = -0.956305 sin(254°) = -0.961262 sin(255°) = -0.965926 sin(256°) = -0.970296 sin(257°) = -0.97437 sin(258°) = -0.978148 sin(259°) = -0.981627 sin(260°) = -0.984808 sin(261°) = -0.987688 sin(262°) = -0.990268 sin(263°) = -0.992546 sin(264°) = -0.994522 sin(265°) = -0.996195 sin(266°) = -0.997564 sin(267°) = -0.99863 sin(268°) = -0.999391 sin(269°) = -0.999848 sin(270°) = -1

sin(271°) = -0.999848 sin(272°) = -0.999391 sin(273°) = -0.99863 sin(274°) = -0.997564 sin(275°) = -0.996195 sin(276°) = -0.994522 sin(277°) = -0.992546 sin(278°) = -0.990268 sin(279°) = -0.987688 sin(280°) = -0.984808 sin(281°) = -0.981627 sin(282°) = -0. 978148 sin(283°) = -0.97437 sin(284°) = -0.970296 sin(285°) = -0.965926 sin(286°) = -0.961262 sin(287°) = -0.956305 sin(288°) = -0.951057 sin(289°) = -0.945519 sin(290°) = -0.939693 sin(291°) = -0.93358 sin(292°) = -0.927184 sin(293°) = -0.920505 sin(294°) = -0.913545 sin(295°) = -0.906308 sin(296°) = -0.898794 sin(297°) = -0.891007 sin(298°) = -0.882948 sin(299°) = -0.87462 sin(300°) = -0.866025 sin(301°) = -0.857167 sin(302°) = -0.848048 sin(303°) = -0.838671 sin(304°) = -0.829038 sin(305°) = -0.819152 sin(306°) = -0.809017 sin(307°) = -0.798636 sin(308°) = -0.788011 sin(309°) = -0.777146 sin(310°) = -0.766044 sin(311°) = -0.75471 sin(312°) = -0.743145 sin(313°) = -0.731354 sin(314°) = -0.71934 sin(315°) = -0.707107

sin(316°) = -0.694658 sin(317°) = -0.681998 sin(318°) = -0.669131 sin(319°) = -0.656059 sin(320°) = -0.642788 sin(321°) = -0. 62932 sin(322°) = -0.615661 sin(323°) = -0.601815 sin(324°) = -0.587785 sin(325°) = -0.573576 sin(326°) = -0.559193 sin(327°) = -0.544639 sin(328°) = -0.529919 sin(329°) = -0.515038 sin(330°) = -0.5 sin(331°) = -0.48481 sin(332°) = -0.469472 sin(333°) = -0.45399 sin(334°) = -0.438371 sin(335°) = -0.422618 sin(336°) = -0.406737 sin(337°) = -0.390731 sin(338°) = -0.374607 sin(339°) = -0.358368 sin(340°) = -0.34202 sin(341°) = -0.325568 sin(342°) = -0.309017 sin(343°) = -0.292372 sin(344°) = -0.275637 sin(345°) = -0.258819 sin(346°) = -0.241922 sin(347°) = -0.224951 sin(348°) = -0.207912 sin(349°) = -0.190809 sin(350°) = -0.173648 sin(351°) = -0.156434 sin(352°) = -0.139173 sin(353°) = -0.121869 sin(354°) = -0.104528 sin(355°) = -0.087156 sin(356°) = -0.069756 sin(357°) = -0.052336 sin(358°) = -0.034899 sin(359°) = -0.017452 sin(360°) = 0

Скачать таблицы синусов (правой кнопкой — сохранить изображение)

Таблица косинусов 30 45 60

В математике выделяют шесть тригонометрических функций, из которых четыре (синус, косинус, тангенс и котангенс) являются основными и еще две (секанс и косеканс) применяются довольно редко. Исходя из данного положения, косинус можно определить как одну из основных тригонометрических функций, выражающих отношение прилежащего катета в прямоугольном треугольнике к гипотенузе этого треугольника. Косинус угла x обозначается как cos x. Величина косинуса угла зависит от длины отрезков, образующих стороны прямоугольного треугольника и от его размера.

Как использовать калькулятор, чтобы найти тривиальные отношения и углы?

Отношение сторон треугольника равно. Из треугольника получаем соотношения следующим образом. Сочетая две таблицы, мы получаем. Поиск коэффициентов триггера и углов с помощью вашего калькулятора. Используйте калькулятор, чтобы найти значение функции. Определите θ в десятичных градусах, 0 ° ≤ θ ≤ 90 °.

Определение значений тригонометрических функций в калькуляторе. Мы также можем инвертировать тригонометрические функции для решения правого треугольника. Попробуйте приведенные примеры или введите свою собственную проблему и проверьте свой ответ с пошаговыми объяснениями. Синус, косинус и касательные значения для определенных значительных углов. Геометрический смысл тригонометрических отношений в гониометрической сфере. Отношения между тригонометрическими отношениями.

Чему равен косинус и синус 30 градусов

Косинус угла в 30 градусов получится, если корень из трех разделить на два. Вычисляя данное отношение, получаем значение косинуса равное 0,866. Синус угла в 30 градусов равен одной второй или 0,5.

Чему равен косинус и синус 60 градусов

Косинус угла в 60 градусов равен синусу угла 30 градусов, то есть одной второй (1111/2) или 0,5. Синус того же угла косинусу угла в 30 градусов, то есть корень из трех делим на 2 и получаем число 0,866.

Разрешение треугольников: теоремы синуса и косинуса. Тригонометрическими отношениями правого треугольника являются следующие функции: функция синус, косинус, касательная, косекантная, секущая и котангенс. Все они могут пониматься как отношения между сторонами правого треугольника.

Гониометрическая окружность — это единица, которая имеет единицу в качестве радиуса. Для гониометрической окружности можно дать очень интуитивный смысл всем тригонометрическим отношениям. Посмотрим на следующий рисунок. Тригонометрические упражнения решены.

Чему равен косинус и синус 45 градусов

Косинус 45 градусов получается путем деления корня из двух на два или единицы на корень из двух. Следовательно, косинус угла в 45 градусов равен 0,7071. Синус угла в 45 градусов равен косинусу угла в 45 градусов и также выражается как корень из двух, разделенный на два, или единица, разделенная на корень из двух. Числовое значение также 0,7071.

Разрешение треугольника: теоремы синуса и косинуса. Будьте следующим треугольником. Он не должен быть прямоугольником! Проверяются следующие два выражения, известные как теорема синуса и теорема о косинусах. Расчет тригонометрических соотношений. Прямыми тригонометрическими отношениями являются синус, косинус и касательная, а также обратный косекант, секущий и котангенс.

Мы собираемся связать все их с грудью, которые они дают нам. Секант является обратным косинусу. Вычислите прямые отношения α и β Решение. Прямыми тригонометрическими отношениями являются синус, косинус и касательная. Найти тригонометрические отношения следующих углов.

Чему равен косинус и синус 90 градусов

Косинус угла в 90 градусов равен нулю (0), а синус того же угла равен 1.

Чему равен косинус и синус 120 градусов

Косинус 120 градусов равен -0,5 (минус пять десятых), синус того же угла равен 0,866.

Чему равен косинус и синус 0 градусов

Косинус 0 градусов равен 1, а синус 0 градусов равен 0 (нулю).

135º Решение: угол 135º находится во втором квадранте. Угол, который мы должны обрабатывать, составляет -200º. Решение. Мы выведем его, используя фундаментальное соотношение. Остальные тригонометрические отношения получены немедленно. Поскольку α находится в третьем квадранте, сигнал отрицательный.

Демонстрация тригонометрических равенств. Как мы только что видели, выполняется равенство. Мы пришли, чтобы получить сторону В данного выражения, тогда было показано, что равенство истинно. Наконец, мы изучаем каждый из этих двух случаев. Мы будем использовать следующие отношения.

Чему равен косинус и синус 135 градусов

Косинус 135 градусов равен -0,7071 (отрицательное значение), а синус того же угла равен 0,7071 (положительное значение).

Чему равен косинус и синус 150 градусов

Косинус угла в 150 градусов равен -0,866 (отрицательное значение), а синус того же угла равен 0,5 (пять десятых).

Теорема косинусов

Теорема косинусов для общего случая формулируется следующим образом: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника, минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (х) между ними, что эквивалентно выражению: a 2 = b 2 + c 2 х 2 b c cos х, где а, b, с – это стороны треугольника. Для вычисления стороны прямоугольного треугольника достаточно воспользоваться теоремой Пифагора, из которой вытекает теорема косинусов. Для гипотенузы прямоугольного треугольника теорема формулируется следующим образом: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Мы пытаемся выразить косинус как функцию синуса, возведя квадрат в два члена уравнения: 2. Мы используем формулу синуса суммы двух углов в левой части уравнения. Вычислите высоту дерева, которое на расстоянии 10 м просматривается под углом 30 °. Из каждого из них мы получим тригонометрическое уравнение.

Найти высоту горы 45º. В дальнейшем мы рассматриваем тригонометрические функции, определяемые с помощью степени как меры углов. Следовательно, р будет общим простым множителем а и Ь, противоречием. Они становятся сколь угодно большими. О нерациональности некоторых тригонометрических функций. Математическая ассоциация Америки, математические монографии Каруса.

Производная косинуса

Производная косинуса равна синусу с противоположным знаком (то есть производная cos x равна -sin x).

Вводный урок по тригонометрии был представлен в предыдущей презентации. Школьники ознакомились с понятиями синус, косинус и тангенс, как они обозначаются, как их находить. Рассматривался острый угол некоторого прямоугольного треугольника. Также, они ознакомились с основным тригонометрическим тождеством, что составляет основу для многочисленных формул, с которыми ученики ознакомятся несколько позже.

Тригонометрия — это отрасль математики, которая состоит из изучения прямоугольных треугольников — в частности, соотношений сторон прямоугольных треугольников. Триг-функции просто возвращают отношение некоторых двух сторон треугольника, заданного одним углом; или угол, заданный отношением двух сторон. Точка тригонометрии должна быть способна быстро связывать углы с длинами сторон и наоборот, иначе выполнять сложные вычисления. Например, выяснение нового положения спрайта после того, как он переместился на некоторое расстояние, если его направление невозможно без тригонометрии.

Данный урок предлагает рассмотреть определенные углы: 45, 30 и 60 градусов. Необходимо найти их синус, косинус и тангенс. Все эти три угла являются острыми. Подразумевается, что мы работаем с прямоугольными треугольниками, как и в предыдущем уроке.

В принципе, тригонометрия является ярлыком для нахождения отношений, которые могут быть теоретически измерены. Это мощный инструмент и имеет приложения во всех видах полей. Тригонометрия имеет дело с углами и направлениями. Чем шире угол, тем больше его измерение. Ниже приведено описание всех углов до 360 °. Углы, превышающие 360 градусов, являются котерминальными для меньших, то есть они лежат в одном направлении относительно начала координат и имеют тот же результат.

Обратите внимание, как угол увеличивается при вращении влево. Вращение угла вправо уменьшает его. Угол 180 °, 0 ° и любой из их котерминальных углов изображают геометрическую фигуру, прямую линию. Направления скреста инициируют аналог вместо тригонометрического стиля, поэтому он несовместим с тригонометрией. Вот функции быстрого преобразования между ними.

слайды 1-2 (Тема презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов», пример)

Первый слайд презентации «Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов» продемонстрирует учащимся некоторый прямоугольный треугольник, острый угол которого равен 30 градусов. Зная о том, что один из углов является прямым, можем легко вычислить значение третьего угла. Сумма всех углов любого треугольника составляет 180 градусов. Об этом свойстве ученики восьмого класса уже должны знать. Итак, для того, чтобы найти третий неизвестный угол, необходимо отнять от 180и градусов 120 градусов, что составляет сумму остальных двух сторон. Третий неизвестный угол равен 60 градусов. Это отмечено на чертеже.

В тригонометрии угол образуется между двумя линиями: начальным лучом и терминальным лучом. Это потому, что математики предпочитают это так — это стандарт, который используется для определения тригонометрических значений. Другая линия называется терминальным лучом, который может вращаться вокруг начала координат. Тригонометрия имеет дело с отношениями между начальной и конечной линиями. Пример этого показан на следующем изображении.

Сначала это может показаться запутанным, но концепция очень проста. Угол формируется как поворот между двумя линиями или сегментами. На следующем рисунке показано увеличение угла. Обратите внимание на приведенные ниже изображения, терминальная линия останавливается и не продолжается вечно. Это относится к сценарию расстояния между двумя точками. Например, предположим, что начало координатной плоскости является объектом. В этом случае конец стороны терминала является другим объектом, а линия представляет собой расстояние между этими двумя объектами или математически «точками».

Автор отмечает, что отношение катетов прямоугольного треугольника ABС равно одной второй. Откуда автор получил такое число? Дело в том, что катет, который лежит напротив угла 30 градусов, что можно увидеть на рисунке, равняется половине гипотенузы данного треугольника. Это является одним из важных свойств прямоугольных треугольников. Данное отношение является синусом угла 30 градусов. Таким образом, синус угла 30 градусов найден.

Терминальная сторона всегда будет известна как гипотенуза с точки зрения геометрии и тригонометрии. Где задействованы треугольники? Учитывайте двумерную координатную плоскость. Пара значений х и у, используемых для определения положения точки, называется упорядоченной парой.

Тригонометрия касается отношения упорядоченных пар. Если любые две упорядоченные пары имеют три связанные линии, которые образуют треугольник, если этот треугольник состоит из прямого угла, то отношение сторон треугольника зависит и зависит от угла, образованного между начальной стороной и гипотенузой.

слайды 3-4 (пример, таблица синусов, косинусов, тангенсов)

Данное отношение является также и косинусом для угла прилежащего к катету, то есть для угла 60 градусов. Далее, исходя из информации, которая была получена на предыдущем уроке, можно посчитать оставшийся тангенс, поделив найденный синус определенного угла на найденный косинус того же угла.

Существуют три основные триггерные функции. Чтобы определить их, мы используем следующие имена для сторон. Имена изменяются в зависимости от угла, который вы считаете.

• Синус — это противоположный ÷ гипотенуза.
• Косинус — это смежный œ гипотенуза.
• Тангенс — противоположный ÷ смежный.

Существуют также три незначительные триггерные функции.

Использование тригонометрических функций: пример

• Секант является обратным косинусом.
• Косакант — это обратная сторона синуса.
• Котангенс является обратным касательной.

Взаимная величина любого значения просто равна 1, деленной на значение. Чтобы моделировать параболический путь скалы, нам нужно разбить наклонную скорость на горизонтальную и вертикальную скорость, а затем переместить спрайт по этим значениям в соответствующих направлениях повторно. Чтобы разделить значения, мы используем тригонометрию. Теперь противоположная сторона должна быть вертикальной, а смежная сторона должна быть горизонтальной.

Следующий слайд аналогичным образом исследует синус, косинус и тангенс угла 45 градусов. Для начала находится третий неизвестный угол. Выясняется, что углы при гипотенузе равны, то есть треугольник, помимо того, что является прямоугольным, еще и равнобедренный. По теореме Пифагора выразим гипотенузу через катеты. Так как они равны, как выяснилось, то можно заменить один катет другим и получить простое произведение числа 2 на квадрат одного из катетов. Далее, автор избавляется от иррациональности и выражает катет. Таким образом, находятся два катета. Далее, пользуясь изученными формулами можно найти и синус, и косинус, и тангенс угла 45 градусов.

Затем мы умножим его на гипотенузу. Вам рекомендуется попытаться каждый из них узнать больше о тригонометрии. Одна из великих особенностей тригонометрических функций состоит в том, что они все циклические, что означает, что они продолжают повторяться. Таким образом, вы можете получить сложные движения, которые повторяются бесконечно без особых проблем.

Предсказание положения спрайта после того, как он перемещается на некоторое расстояние в определенном направлении — это простое применение синуса и косинуса. Одно интересное использование этого состоит в том, чтобы заставить спрайт двигаться перпендикулярно направлению, в котором он находится, или перемещаться по кругу, не меняя его направления. Перемещенное расстояние можно рассчитать с помощью более сложной тригонометрии. . Углы более 90 градусов также имеют триггерные функции.

На последнем слайде приводятся данные значения в виде таблицы. Желательно, чтобы школьники записали таблицу себе с тетради. Можно сказать, она является аналогом таблицы умножения, только тригонометрическая. Желательно, чтобы школьники знали о том, откуда появились данные значения и запомнили таблицы.

Синусы, косинусы и их родственники | Тригонометрия: очень краткое введение

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicТригонометрия: очень краткое введениеОчень краткое введениеЧистая математикаКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicТригонометрия: очень краткое введениеОчень краткое введениеЧистая математикаКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте

Расширенный поиск

• Иконка Цитировать Цитировать

• Разрешения

• Делиться
  • Твиттер
  • Подробнее

CITE

Van Brummelen, Glen,

‘Sines, Cosines и их родственников’

,

Тригонометрия: очень короткое введение

, очень короткие вступления

(

Oxford,

202020;

онлайн-издание,

Oxford Academic

, 23 января 2020 г.

), https://doi.org/10.1093/actrade/9780198814313.003.0002,

, по состоянию на 30 сентября 2022 г.

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicТригонометрия: очень краткое введениеОчень краткое введениеЧистая математикаКнигиЖурналы Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Oxford AcademicТригонометрия: очень краткое введениеОчень краткое введениеЧистая математикаКнигиЖурналы Термин поиска на микросайте

Advanced Search

Abstract

Раздел «Синусы, косинусы и их родственники» начинается с определения основных тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса — и объяснения их использования. Эти функции представляют собой геометрические величины, определяемые с помощью отношений противоположной, смежной и гипотенузной сторон прямоугольного треугольника. Менее распространенными функциями являются функции косеканса, секанса и котангенса. Обсуждается история именования тригонометрических функций наряду с объяснением еще более малоизвестных функций: аверсного синуса, аверсного косинуса, экссеканса и экссеканса. Развернутый синус часто использовался в практических приложениях, таких как астрономия, навигация и геодезия. Наконец, рассматриваются обратные тригонометрические функции и графики тригонометрических функций.

Ключевые слова: аналитическая геометрия, угол, Архимед, Декарт, окружность, координаты, циклоида, Рене Декарт, Региомонтан, касательная

Предмет

Чистая математика

Серия

Очень краткое введение

В настоящее время у вас нет доступа к этой главе.

Войти

Получить помощь с доступом

Получить помощь с доступом

Доступ для учреждений

Доступ к контенту в Oxford Academic часто предоставляется посредством институциональных подписок и покупок. Если вы являетесь членом учреждения с активной учетной записью, вы можете получить доступ к контенту одним из следующих способов:

Доступ на основе IP

Как правило, доступ предоставляется через институциональную сеть к диапазону IP-адресов. Эта аутентификация происходит автоматически, и невозможно выйти из учетной записи с IP-аутентификацией.

Войдите через свое учреждение

Выберите этот вариант, чтобы получить удаленный доступ за пределами вашего учреждения. Технология Shibboleth/Open Athens используется для обеспечения единого входа между веб-сайтом вашего учебного заведения и Oxford Academic.

1. Нажмите Войти через свое учреждение.
2. Выберите свое учреждение из предоставленного списка, после чего вы перейдете на веб-сайт вашего учреждения для входа.
3. При посещении сайта учреждения используйте учетные данные, предоставленные вашим учреждением. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
4. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если вашего учреждения нет в списке или вы не можете войти на веб-сайт своего учреждения, обратитесь к своему библиотекарю или администратору.

Войти с помощью читательского билета

Введите номер своего читательского билета, чтобы войти в систему. Если вы не можете войти в систему, обратитесь к своему библиотекарю.

Члены общества

Доступ члена общества к журналу достигается одним из следующих способов:

Войти через сайт сообщества

Многие общества предлагают единый вход между веб-сайтом общества и Oxford Academic. Если вы видите «Войти через сайт сообщества» на панели входа в журнале:

1. Щелкните Войти через сайт сообщества.
2. При посещении сайта общества используйте учетные данные, предоставленные этим обществом. Не используйте личную учетную запись Oxford Academic.
3. После успешного входа вы вернетесь в Oxford Academic.

Если у вас нет учетной записи сообщества или вы забыли свое имя пользователя или пароль, обратитесь в свое общество.

Войти через личный кабинет

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам. Смотри ниже.

Личный кабинет

Личную учетную запись можно использовать для получения оповещений по электронной почте, сохранения результатов поиска, покупки контента и активации подписок.

Некоторые общества используют личные аккаунты Oxford Academic для предоставления доступа своим членам.

Просмотр учетных записей, вошедших в систему

Щелкните значок учетной записи в правом верхнем углу, чтобы:

• Просмотр вашей личной учетной записи и доступ к функциям управления учетной записью.
• Просмотр институциональных учетных записей, предоставляющих доступ.

Выполнен вход, но нет доступа к содержимому

Oxford Academic предлагает широкий ассортимент продукции. Подписка учреждения может не распространяться на контент, к которому вы пытаетесь получить доступ. Если вы считаете, что у вас должен быть доступ к этому контенту, обратитесь к своему библиотекарю.

Ведение счетов организаций

Для библиотекарей и администраторов ваша личная учетная запись также предоставляет доступ к управлению институциональной учетной записью. Здесь вы найдете параметры для просмотра и активации подписок, управления институциональными настройками и параметрами доступа, доступа к статистике использования и т. д.

Покупка

Наши книги можно приобрести по подписке или приобрести в библиотеках и учреждениях.

Информация о покупке

таблиц синус-косинусоидальных триггеров

таблиц синус-косинусоидальных триггеров

Таблицы синуса и косинуса

для углов в градусах

Для синуса прочтите первые 6 столбцов.
Для косинуса прочтите последние 6 столбцов.

0103

01850184 14

5

0,3746 5 10188

4 0,70185

4 40 90.0185

4 0.01854 52 1

0.0185

0,8

Угол	Угол +.0	Угол +.2	Угол +.4	Угол +.6	Угол +0,8	Угол +1,185	+0,8	Угол +1,10185	+0,8	+1,10185	+0,8	+1,0185		.0184 0.0000	0.0035	0.0070	0.0105	0.0140	0.0175	89
1	0.0175	0.0209	0.0244	0.0279	0.0314	0. 0349	88
2	0,0349	0,0384	0,0419	0,0454	0,0488	0,0523	871
3	0.0523	0.0558	0.0593	0.0628	0.0663	0.0698	86
4	0.0698	0.0732	0.0767	0.0802	0.0837	0.0872	85
5	0,0872	0,0906	0,0941	0,0976	0,1814 0,1840185	0.1045	84
6	0.1045	0.1080	0.1115	0.1149	0.1184	0.1219	83
7	0.1219	0.1253	0.1288	0.1323	0,1357	0,1392	82
8	0,1392	0,1426	0,1484 0,14840184 0. 1495	0.1530	0.1564	81
9	0.1564	0.1599	0.1633	0.1668	0.1702	0.1736	80
10	0.1736	0.1771	0,1805	0,1840	0,1874	0,1908	79
11	0,1908	0.1942	0.1977	0.2011	0.2045	0.2079	78
12	0.2079	0.2113	0.2147	0.2181	0.2215	0.2250	77
13	0,2250	0,2284	0,2317	0,2351	0,2385	0,2419	79	0.2419	0.2453	0.2487	0.2521	0. 2554	0.2588	75
15	0.2588	0.2622	0.2656	0.2689	0.2723	0.2756	74
16	0,2756	0,2790	0,2823	0,2857	0,2890	0,219824	73
17	0.2924	0.2957	0.2990	0.3024	0.3057	0.3090	72
18	0.3090	0.3123	0.3156	0.3190	0.3223	0,3256	71
19	0,3256	0,3289	0,3352	0.3387	0.3420	70
20	0.3420	0.3453	0.3486	0.3518	0.3551	0.3584	69
21	0. 3584	0.3616	0.3649	0,3681	0,3714	0,3746	68
22	0,3746	0.3811	0.3843	0.3875	0.3907	67
23	0.3907	0.3939	0.3971	0.4003	0.4035	0.4067	66
24	0.4067	0,4099	0,4131	0,4163	0,4195	0,4226	65
251980185	0.4226	0.4258	0.4289	0.4321	0.4352	0.4384	64
26	0.4384	0.4415	0.4446	0.4478	0.4509	0.4540	63
27	0,4540	0,4571	0,4602	0,4633	0,4664	0,4869584 62
28	0. 4695	0.4726	0.4756	0.4787	0.4818	0.4848	61
29	0.4848	0.4879	0.4909	0.4939	0.4970	0,5000	60
30	0,5000	0,5030	0,5060	0,51090	0.5120	0.5150	59
31	0.5150	0.5180	0.5210	0.5240	0.5270	0.5299	58
32	0.5299	0.5329	0.5358	0,5388	0,5417	0,5446	57
33	0,5446	0,51859	0.5505	0.5534	0.5563	0.5592	56
34	0.5592	0. 5621	0.5650	0.5678	0.5707	0.5736	55
35	0.5736	0,5764	0,5793	0,5821	0,5850	0,5878	54
89	0.5878	0.5906	0.5934	0.5962	0.5990	0.6018	53
37	0.6018	0.6046	0.6074	0.6101	0.6129	0.6157	52
38	0,6157	0,6184	0,6211	0,6239	0,6266	0,6293
39	0.6293	0.6320	0.6347	0.6374	0.6401	0.6428	50
40	0.6428	0.6455	0. 6481	0.6508	0.6534	0.6561	49
41	0,6561	0,6587	0,6613	0,6639	0,6639	0,65870185	0.6691	48
42	0.6691	0.6717	0.6743	0.6769	0.6794	0.6820	47
43	0.6820	0.6845	0.6871	0.6896	0,6921	0,6947	46
44	0,6947	0,6972	0,6972	0,69720185	0.7022	0.7046	0.7071	45
45	0.7071	0.7096	0.7120	0.7145	0.7169	0.7193	44
46	0.7193	0. 7218	0,7242	0,7266	0,7290	0,7314	43
47	0.7337	0.7361	0.7385	0.7408	0.7431	42
48	0.7431	0.7455	0.7478	0.7501	0.7524	0.7547	41
49	0,7547	0,7570	0,7593	0,7615	0,7638	0,7660	40
0183	50	0.7660	0.7683	0.7705	0.7727	0.7749	0.7771	39
51	0.7771	0.7793	0.7815	0.7837	0.7859	0.7880	38
52	0,7880	0,7902	0,7923	0,7944	0,7965	6	37
53	0. 7986	0.8007	0.8028	0.8049	0.8070	0.8090	36
54	0.8090	0.8111	0.8131	0.8151	0.8171	0,8192	35
55	0,8192	0,8211	0,8231	0.8271	0.8290	34
56	0.8290	0.8310	0.8329	0.8348	0.8368	0.8387	33
57	0.8387	0.8406	0.8425	0,8443	0,8462	0,8480	32
58	0,8480	0.8517	0.8536	0.8554	0.8572	31
59	0.8572	0.8590	0. 8607	0.8625	0.8643	0.8660	30
60	0.8660	0,8678	0,8695	0,8712	0,8729	0,8746	29
6 185	0.8746	0.8763	0.8780	0.8796	0.8813	0.8829	28
62	0.8829	0.8846	0.8862	0.8878	0.8894	0.8910	27
63	0,8910	0,8926	0,8942	0,8957	0,8973	0,88985	80184 26
64	0.8988	0.9003	0.9018	0.9033	0.9048	0.9063	25
65	0.9063	0.9078	0.9092	0. 9107	0.9121	0,9135	24
66	0,9135	0,9150	0,9164	0,	0.9191	0.9205	23
67	0.9205	0.9219	0.9232	0.9245	0.9259	0.9272	22
68	0.9272	0.9285	0.9298	0,9311	0,9323	0,9336	21
69	0,9336	0,	0.9361	0.9373	0.9385	0.9397	20
70	0.9397	0.9409	0.9421	0.9432	0.9444	0.9455	19
71	0.9455	0,9466	0,9478	0,9489	0,9500	0,9511	18
0. 9511	0.9521	0.9532	0.9542	0.9553	0.9563	17
73	0.9563	0.9573	0.9583	0.9593	0.9603	0.9613	16
74	0,9613	0,9622	0,9632	0,9641	0,9650	0,9659
75	0.9659	0.9668	0.9677	0.9686	0.9694	0.9703	14
76	0.9703	0.9711	0.9720	0.9728	0.9736	0.9744	13
77	0,9744	0,9751	0,9759 ​​	0,9767	0.9781	12
78	0.9781	0. 9789	0.9796	0.9803	0.9810	0.9816	11
79	0.9816	0.9823	0.9829	0.9836	0,9842	0,9848	10
80	0,9848	0,9854	0 9.0185	0.9866	0.9871	0.9877	9
81	0.9877	0.9882	0.9888	0.9893	0.9898	0.9903	8
82	0.9903	0.9907	0,9912	0,9917	0,9921	0,9925	7
83	0,9925	70184 0.9930	0.9934	0.9938	0.9942	0.9945	6
84	0.9945	0.9949	0. 9952	0.9956	0.9959	0.9962	5
85	0,9962	0,9965	0,9968	0,9971	0,9973	0,9976	4	300184 86	0.9976	0.9978	0.9980	0.9982	0.9984	0.9986	3
87	0.9986	0.9988	0.9990	0.9991	0.9993	0.9994	2
88	0,9994	0,9995	0,9996	0,9997	0,9998	1
89	0.9998	0.9999	0.9999	1.0000	1.0000	1.0000	0
90	1.0000	1.0000	1.0000
	Угол+1	Угол+. 8	Угол+.6	Угол+.4	Угол+.2	угол+.0	косинус

---

© 2006, Агнес Аццолино www.mathnstuff.com/math/spoken/here/2class/330/sincost.htm

16. Тригонометрическая таблица｜Chip One Stop

• TOP
• Инженерные ссылки
• Тригонометрическая таблица

Он показывает значение от 0 до 90 градусов для синуса (синуса и синуса), косинус(cos и косинус), тангенс(tan и тангенс), косеканс(cos и косеканс), секанс(сек и секанс) и котангенс(котангенс и котангенс).

г.

θ゜	θрад	sinθ	г. , потому что	tanθ	косекθ	сек	детская кроваткаθ
0	0,0000	0	1.0000	0	∞	1.0000	∞
1	0,0175	0,0175	0,9998	0,0175	57. 3066	1.0002	57.3008
2	0,0349	0,0349	0,9994	0,0349	28.6533	1.0006	28. 6334
3	0,0524	0,0523	0,9986	0,0524	19.1058	1.0014	19.0811
4	0,0698	0,0698	0,9976	0,0699	14. 3349	1.0024	14.3013
5	0,0873	0,0872	0,9962	0,0875	11.4732	1.0038	11. 4296
6	0,1047	0,1045	0,9945	0,1051	9,5666	1.0055	9.5143
7	0,1222	0,1219	0,9925	0,1228	8. 2055	1,0075	8.1446
8	0,1396	0,1392	0,9903	0,1405	7.1855	1.0098	7. 1152
9	0,1571	0,1564	0,9877	0,1584	6.3926	1.0125	6.3137
10	0,1745	0,1737	0,9848	0,1763	5. 7587	1.0154	5.6714
11	0,1920	0,1908	0,9816	0,1944	5.2408	1.0187	5. 1445
12	0,2094	0,2079	0,9781	0,2126	4.8098	1.0223	4.7046
13	0,2269	0,2250	0,9744	0,2309	4. 4454	1.0263	4.3315
14	0,2444	0,2419	0,9703	0,2493	4.1336	1.0306	4. 0107
15	0,2618	0,2588	0,9659	0,2679	3,8637	1.0353	3,7320
16	0,2793	0,2756	0,9613	0,2867	3,6279	1. 0403	3.4874
17	0,2967	0,2924	0,9563	0,3057	3.4203	1.0457	3.2708
18	0,3142	0,3090	0,9511	0,3249	3. 2360	1.0515	3.0777
19	0,3316	0,3256	0,9455	0,3443	3.0715	1.0576	2. 9042
20	0,3491	0,3420	0,9397	0,3640	2,9238	1.0642	2,7474
21	0,3665	0,3584	0,9336	0,3839	2. 7904	1.0711	2,6051
22	0,3840	0,3746	0,9272	0,4040	2,6694	1.0785	2. 4751
23	0,4014	0,3907	0,9205	0,4245	2,5593	1.0864	2,3558
24	0,4189	0,4067	0,9135	0,4452	2,4586	1. 0946	2.2460
25	0,4363	0,4226	0,9063	0,4663	2,3662	1.1034	2.1445
26	0,4538	0,4384	0,8988	0,4877	2. 2812	1.1126	2.0503
27	0,4712	0,4540	0,8910	0,5095	2.2027	1.1223	1,9626
28	0,4887	0,4695	0,8829	0,5317	2. 1301	1.1326	1.8807
29	0,5062	0,4848	0,8746	0,5543	2,0627	1.1434	1. 8040
30	0,5236	0,5000	0,8660	0,5774	2.0000	1.1547	1.7320
31	0,5411	0,5150	0,8572	0,6009	1. 9416	1.1666	1,6643
32	0,5585	0,5299	0,8480	0,6249	1.8871	1.1792	1. 6003
33	0,5760	0,5446	0,8387	0,6494	1,8361	1.1924	1,5399
34	0,5934	0,5592	0,8290	0,6745	1,7883	1. 2062	1.4826
35	0,6109	0,5736	0,8191	0,7002	1,7434	1.2208	1.4281
36	0,6283	0,5878	0,8090	0,7265	1. 7013	1.2361	1.3764
37	0,6458	0,6018	0,7986	0,7536	1,6616	1.2521	1. 3270
38	0,6632	0,6157	0,7880	0,7813	1,6243	1.2690	1.2799
39	0,6807	0,6293	0,7771	0,8098	1,5890	1,2868	1. 2349
40	0,6981	0,6428	0,7660	0,8391	1,5557	1.3054	1.1918
41	0,7156	0,6561	0,7547	0,8693	1,5243	1. 3250	1.1504
42	0,7330	0,6691	0,7431	0,9004	1.4945	1.3456	1.1106
43	0,7505	0,6820	0,7314	0,9325	1. 4663	1,3673	1.0724
44	0,7679	0,6947	0,7193	0,9657	1.4396	1.3902	1. 0355
45	0,7854	0,7071	0,7071	1.0000	1.4142	1.4142	1.0000
46	0,8029	0,7193	0,6947	1. 0355	1.3902	1.4396	0,9657
47	0,8203	0,7314	0,6820	1.0724	1,3673	1. 4663	0,9325
48	0,8378	0,7431	0,6691	1.1106	1.3456	1.4945	0,9004
49	0,8552	0,7547	0,6561	1. 1504	1.3250	1,5243	0,8693
50	0,8727	0,7660	0,6428	1.1917	1.3054	1,5557	0,8391
51	0,8901	0,7771	0,6293	1. 2349	1,2868	1,5890	0,8098
52	0,9076	0,7880	0,6156	1.2800	1.2690	1,6243	0,7812
53	0,9250	0,7986	0,6018	1. 3270	1.2521	1,6616	0,7536
54	0,9245	0,8090	0,5878	1.3764	1.2361	1. 7013	0,7265
55	0,9599	0,8192	0,5736	1.4281	1.2208	1,7434	0,7002
56	0,9774	0,8290	0,5592	1. 4825	1.2062	1,7883	0,6745
57	0,9948	0,8387	0,5446	1,5399	1.1924	1,8361	0,6494
58	1. 0123	0,8480	0,5299	1.6003	1.1792	1.8871	0,6249
59	1.0297	0,8572	0,5150	1,6643	1. 1666	1.9416	0,6009
60	1.0472	0,8660	0,5000	1.7321	1.1547	2.0000	0,5773
61	1,0647	0,8746	0,4848	1. 8040	1.1434	2,0627	0,5543
62	1.0821	0,8829	0,4695	1.8807	1.1326	2. 1300	0,5317
63	1.0996	0,8910	0,4540	1,9626	1.1223	2.2027	0,5095
64	1. 1170	0,8988	0,4384	2.0503	1.1126	2.2812	0,4877
65	1.1345	0,9063	0,4226	2. 1447	1.1034	2,3664	0,4663
66	1.1519	0,9135	0,4067	2.2461	1.0946	2,4586	0,4452
67	1. 1694	0,9205	0,3907	2,3560	1.0863	2,5595	0,4244
68	1.1868	0,9272	0,3746	2. 4751	1.0785	2,6694	0,4040
69	1.2043	0,9336	0,3584	2,6051	1.0711	2. 7904	0,3839
70	1.2217	0,9397	0,3420	2,7475	1.0642	2,9238	0,3640
71	1. 2392	0,9455	0,3256	2.9042	1.0576	3.0715	0,3443
72	1,2566	0,9511	0,3090	3. 0777	1.0515	3.2361	0,3249
73	1.2741	0,9563	0,2924	3.2710	1.0457	3. 4204	0,3057
74	1.2915	0,9613	0,2756	3.4874	1.0403	3,6279	0,2867
75	1. 3090	0,9659	0,2588	3,7321	1.0353	3,8637	0,2679
76	1.3265	0,9703	0,2419	4. 0108	1.0306	4.1336	0,2493
77	1,3439	0,9744	0,2250	4.3314	1.0263	4. 4453	0,2309
78	1.3614	0,9781	0,2079	4.7047	1.0223	4.8098	0,2126
79	1,3788	0,9816	0,1908	5. 1446	1.0187	5.2408	0,1944
80	1,3963	0,9848	0,1737	5.6712	1.0154	5. 7587	0,1763
81	1.4137	0,9877	0,1564	6.3139	1.0125	6.3926	0,1584
82	1. 4312	0,9903	0,1392	7.1154	1.0098	7.1853	0,1405
83	1.4486	0,9925	0,1219	8. 1441	1.0075	8.2053	0,1228
84	1.4661	0,9945	0,1045	9.5147	1,0055	9,5671	0,1051
85	1,4835	0,9962	0,0872	11. 4301	1.0038	11.4737	0,0875
86	1.5010	0,9976	0,0698	14.3000	1.0024	14. 3349	0,0699
87	1,5184	0,9986	0,0523	19.0824	1.0014	19.1086	0,0524
88	1,5359	0,9994	0,0349	28. 6365	1.0006	28.6539	0,0349
89	1,5533	0,9998	0,0175	57.2800	1.0002	57. 2887	0,0175
90	1.5708	1.0000	0	∞	1.0000	∞	0

Таблица синусов и косинусов в радианах.

Тригонометрические функции

Тригонометрия как наука зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были разработаны астрономами для создания точного календаря и ориентирования по звездам. Эти расчеты относятся к сферической тригонометрии, а в школьном курсе изучают отношения сторон и углов плоского треугольника.

Тригонометрия — раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций и отношения между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки в I тысячелетии нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но главные открытия тригонометрии — заслуга мужчин Арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса ввели индийские ученые. Много внимания уделено тригонометрии в трудах таких великих деятелей древности, как Евклид, Архимед и Эратосфен.

Основные тригонометрические величины

Основными тригонометрическими функциями числового аргумента являются синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулы для расчета значений этих величин основаны на теореме Пифагора. Школьникам оно более известно в формулировке: «Пифагорейские штаны, равные во всех направлениях», так как доказательство приведено на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы расчета этих величин для угла А и проследим связь тригонометрических функций:

Как видите, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы c, а катет b как cos A*c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

тригонометрическая окружность

Графически соотношение указанных величин можно представить следующим образом:

Окружность в данном случае представляет все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четвертям окружности, то есть находится в диапазоне от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательной величиной.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и выяснить значение величин.

Значения α, равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее, называются частными случаями. Значения тригонометрических функций для них рассчитываются и представляются в виде специальных таблиц.

Эти ракурсы выбраны не случайно. Обозначение π в таблицах относится к радианам. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Это значение было введено для того, чтобы установить универсальное отношение; при расчете в радианах фактическая длина радиуса в см значения не имеет.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям в радианах:

Итак, нетрудно догадаться, что 2π — это полный круг или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо нарисовать их функции. Это можно сделать в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотрим сравнительную таблицу свойств синусоиды и косинуса:

синусоида	косинусоид
y = sin x	y = cos x
ОДЗ[-1; один]	ОДЗ [-1; один]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z	cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z	cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т.е. нечетная функция	cos (-x) = cos x, т.е. функция четная
	функция периодическая, наименьший период 2π
sin x › 0, где x принадлежит четвертям I и II или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, где x принадлежит четвертям I и IV или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, где x принадлежит четвертям III и IV или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, где x принадлежит четвертям II и III или из 90 ° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на интервале [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	возрастает на интервале [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x	производная (cos x)’ = — sin x

Определить, является функция четной или нет, очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси ОХ. Если знаки одинаковые, функция четная; в противном случае это странно.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинуса позволяют вывести следующую закономерность:

Проверить правильность формулы очень легко. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно выполнить, просмотрев таблицы или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса существенно отличаются от синусоиды и косинуса. Значения tg и ctg обратны друг другу.

1. Y = tgx.
2. Тангенс стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда их не достигает.
3. Наименьший положительный период тангеноида равен π.
4. Tg(-x)=-tgx, т. е. функция нечетная.
5. Tg x = 0, для x = πk.
6. Функция увеличивается.
7. Tg x › 0, для x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, для x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоида ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоида:

1. Y = ctgx.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангеноиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоид стремится к значениям y при x = πk, но никогда их не достигает.
4. Наименьший положительный период котангенсоида равен π.
5. Ctg(-x)=-ctgx, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, для x = π/2 + πk.
7. Функция уменьшается.
8. Ctg x › 0, для x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, для x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Fix

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составляется для углов 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им углов в радианах. Из тригонометрических функций в таблице указаны синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записываются в виде дроби с сохранением знаков извлечения квадратного корня из чисел, что очень часто помогает сократить сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов определить невозможно. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций ставится прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равны бесконечности. На отдельной странице приведены формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений тригонометрической функции синуса приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусная мера, которая соответствует sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для функции тригонометрического косинуса в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусах, что соответствует cos 0 pi, cos pi к 6, cos pi к 4, cos pi к 3, cos pi к 2, cos pi, cos 3 pi к 2, cos 2 pi в радианах углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тангенса тригонометрической функции дает значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены тг 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 и считаются равными бесконечности.

Для котангенса тригонометрической функции в тригонометрической таблице даны следующие углы: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусах, что соответствует ctg pi/6, ctg pi/4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанса и косеканса даны для тех же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градуса и в радианы пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражаются через дроби и квадратные корни для упрощения приведения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 с половиной градуса, или число пи, деленное на 120. Второе — это косинус числа пи, деленное на 240, пи/240. Самый длинный — это косинус числа пи, деленного на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синуса и косинуса наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зеленой черточкой, чтобы меньше путаться. Также очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражаются через число пи.

В этой тригонометрической таблице представлены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 ноль до 90 девяносто градусов с интервалом в один градус. Для первых сорока пяти степеней названия тригонометрических функций надо смотреть вверху таблицы. Первый столбец содержит градусы, в следующих четырех столбцах записываются значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записываются внизу таблицы. Последний столбец содержит градусы, в предыдущих четырех столбцах записываются значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов. Следует быть осторожным, так как названия тригонометрических функций в нижней части тригонометрической таблицы отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, как тангенс и котангенс. Это связано с симметрией значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций показаны на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синуса от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов, или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательный тангенс и котангенс равны 9От 0 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов, или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синуса, тангенса и котангенса являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус — четная тригонометрическая функция — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

1. В таблице значений тригонометрической функции синуса приведены значения для следующих углов

   Документ

   На отдельной странице приведены формулы приведения тригонометрических функций . В Таблица Значения для Тригонометрический .0003

2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

   Документ

   … функций равно функций изображений. Из этой теоремы следует , что за нахождением координат U, V, достаточно вычислить функцию … геометрии; полинар функции (многомерные аналоги двумерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; . ..

3. Внимание!
   В Спецразделе 555 есть дополнительные
   материалы.
   Для тех, кто сильно «не очень…»
   И для тех, кто «очень…»)

   Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

   Вот этот вывод:

   Синус, косинус, тангенс и котангенс тесно связаны со своими углами. Мы знаем одно, значит, знаем другое.

   Другими словами, каждый угол имеет свои фиксированные синус и косинус. И почти у каждого свой тангенс и котангенс. Почему почти? Подробнее об этом ниже.

   Эти знания вам очень помогут! Есть много задач, где нужно перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого есть таблица синусов. Аналогично для заданий с косинусом — таблица косинусов . И, как вы уже догадались, есть таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

   Таблицы разные. Длинные, где видно, чему равен, скажем, sin37°6′. Открываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Конечно, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не обязательно.

   На самом деле в наше время длинные таблицы косинусов, синусов, тангенсов и котангенсов не особо нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не помешает. Для общей эрудиции.)

   Зачем тогда этот урок? — ты спрашиваешь.

   Но почему. Среди бесконечного множества углов есть особенных, о которых стоит знать всего . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это своеобразная «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен sin50°, например, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, готовьтесь получить заслуженную двойку…

   Такие специальные уголки тоже прилично набраны. Школьные учебники обычно любезно предлагаются для заучивания. Таблица синусов и таблица косинусов для семнадцати углов. И, конечно же, таблица тангенсов и таблица котангенсов для тех же семнадцати углов… Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, кстати, очень похожи друг на друга, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та еще задача…)

   Мы пойдем другим путем. Заменим механическое заучивание логикой и сообразительностью. Затем нам предстоит запомнить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. Вот и все. Шесть значений легче запомнить, чем 68, я думаю…)

   Мы получим все остальные необходимые значения из этих шести, используя мощную юридическую шпаргалку. — тригонометрический круг. Если вы не изучали эту тему, перейдите по ссылке, не поленитесь. Этот кружок не только для этого урока. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не использовать такой инструмент просто грех! Ты не хочешь? Дело ваше. запомнить таблицу синусов. Таблица косинусов. Касательная таблица. Таблица котангенсов. Все 68 значений для разных ракурсов.)

   Итак, приступим. Для начала разобьем все эти особые углы на три группы.

   Первая группа уголков.

   Рассмотрим первую группу уголки семнадцать специальные . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

   Вот так выглядит таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для этих углов:

   Угол x (в градусах)	0	90	180	270	360
   Угол x (в радианах)	0
   sin x	0	1	0	-1	0
   cos х	1	0	-1	0	1
   тг х	0	не существительное	0	не существительное	0
   контроль x	не существительное	0	не существительное	0	не существительное

   Кто хочет помнить — помните. Но сразу скажу, что все эти единицы и нули очень сильно путаются в голове. Гораздо сильнее, чем вы хотите.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

   Рисуем окружность и отмечаем на ней такие же углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Эти углы я отметил красными точками:

   Сразу видно, в чем особенность этих уголков. Да! Это углы, которые падают точно на ось координат! Собственно, поэтому люди и путаются… Но мы не будем путаться. Разберемся, как без особого заучивания найти тригонометрические функции этих углов.

   Кстати, положение угла 0 градусов полностью совпадает с с углом 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы этих углов совершенно одинаковы. Я отметил угол 360 градусов, чтобы завершить круг.

   Допустим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А если единица?! Механическая память такая вещь. В суровых условиях начинают грызть сомнения…)

   Спокойствие, только спокойствие!) Я расскажу вам практический прием, который даст вам 100% правильный ответ и полностью развеет все сомнения.

   В качестве примера разберемся, как четко и достоверно определить, скажем, синус 0 градусов. И при этом косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, люди часто путаются.

   Для этого начертите на окружности произвольный угол X . В первой четверти, чтобы было недалеко от 0 градусов. Отметьте на осях синус и косинус этого угла X, все чинар. Вот так:

   А теперь — внимание! Уменьшить угол X , привести подвижную сторону к оси ОН. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и все увидите.

   А теперь включи элементарную логику!. Смотрите и думайте: Как ведет себя sinx при уменьшении угла x? Как угол приближается к нулю? Он сжимается! И cosx — увеличивается! Осталось разобраться, что будет с синусом, когда угол разрушится полностью? Когда подвижная сторона угла (точка А) ляжет на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, что синус угла также будет стремиться к нулю. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрической окружности)? Единство!

   Вот ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Абсолютно железно и без всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

   Точно так же можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисуйте окружность, произвольный угол в четверти рядом с интересующей нас координатной осью, мысленно переместите сторону угла и поймайте, какими станут синус и косинус, когда сторона угла осядет на ось. Это все.

   Как видите, для этой группы углов запоминать ничего не нужно. не нужна тут таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запоминаются сами собой. А если забыли, за 5 секунд нарисовал круг и уточнил. Гораздо проще, чем звонить другу из туалета с риском сертификата, правда?)

   Насчет тангенса и котангенса все то же самое. Проводим на окружности линию касательной (котангенса) — и сразу все видно. Где они равны нулю, а где их нет. Что, ты не знаешь о линиях тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетил Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности — и никаких проблем!

   Если вы понимаете, как четко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — поздравляем! На всякий случай сообщаю, что теперь вы можете определять функциями любые углы, падающие на ось. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и еще бесконечное количество…) Посчитал (правильно!) угол на окружности — и проблем с функциями нет.

   Но, как раз с подсчетом углов случаются проблемы и ошибки… Как их избежать написано в уроке: Как начертить (посчитать) любой угол на тригонометрической окружности в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

   А вот и урок: Как начертить (посчитать) любой угол на тригонометрической окружности в радианах — покруче будет. С точки зрения возможностей. Скажем, определить, на какую из четырех полуосей падает угол

   можно за пару секунд. Я не шучу! Всего за пару секунд. Ну конечно не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целочисленный коэффициент хорош для мгновенного ответа.

   Что делать, если угол

   Думай! Правильный ответ получается через 10 секунд. Для любого дробного значения радиан со знаменателем два.

   Собственно, для этого и годится тригонометрический круг. Дело в том, что возможность работы с некоторыми углами автоматически расширяется до бесконечных углов.

   Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрался.

   Вторая группа уголков.

   Следующая группа углов – это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, например, 20, 50 и 80? Да, как-то так сложилось… Исторически.) Дальше будет видно, насколько хороши эти ракурсы.

   Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов для этих углов выглядит так:

   Угол x (в градусах)	0	30	45	60	90
   Угол x (в радианах)	0
   sin x	0				1
   cos х	1				0
   тг х	0		1		не существительное
   контроль x	не существительное		1		0

   Значения 0° и 90° я оставил из предыдущей таблицы для полноты картины. ) Чтобы было понятно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это нам пригодится в дальнейшем.

   Необходимо запомнить табличные значения углов 30°, 45° и 60°. Поцарапай, если хочешь. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значение таблицы синусов этих углов. И сравните с значением таблицы косинусов…

   Да! Они одинаковые! Только в обратном порядке. Углы увеличиваются (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синусов увеличиваются от 0 до 1. Можно проверить с помощью калькулятора. А значения косинуса — уменьшить с 1 до нуля. Тем более, что сами значения одинаковые. Для углов 20, 50, 80 этого бы не произошло…

   Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помните, что по синусу они возрастают, а по косинусу убывают. К синусу.) На полпути (45°) они встречаются, т.е. синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А потом опять расходятся… Три значения можно выучить, да?

   С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же. Один к одному. Только значения разные. Эти значения (еще три!) тоже нужно выучить.

   Ну, почти все заучивание закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определить значения пяти углов, падающих на ось, и узнали значения углов 30, 45, 60 градусов. Итого 8.

   Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

   Это углы:
   120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов нужно знать железную таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

   Кошмар, да?)

   А если сюда добавить углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много таких же красивых?)

   Или углы в радианах? Например, про углы:

   и многое другое вы должны знать все .

   Самое смешное знать все — невозможно в принципе. Если вы используете механическую память.

   А это очень просто, даже элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите тригонометрический круг, все эти ужасные углы в градусах можно легко и элегантно свести к старым добрым:

   .

   Кстати, у меня для вас есть еще парочка интересных сайтов.)

   Вы можете попрактиковаться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

   вы можете ознакомиться с функциями и производными.

   В статье мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических величин, синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов . Рассмотрим базовое значение тригонометрических функций под углом 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И давайте посмотрим, как использовать эти таблицы при вычислении значения тригонометрических функций.
   Сначала рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса под углом 0, 30, 45, 60, 90,.. градусов. Определение этих величин позволяет определить значение функций углов 0 и 90 градусов:

   sin 0 0 = 0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс 00 будет неопределенным
   sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, тангенс 90 0 будет неопределенным

   Если взять прямоугольные треугольники, углы которых от 30 до 90 градусов. Получаем:

   sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
   sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/ 2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
   sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

   Все полученные значения представляем в виде тригонометрической таблицы :

   Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

   Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Это будет выглядеть так:

   Также, исходя из свойства периодичности, таблицу можно увеличить, если заменить углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, где z — целое число. В этой таблице можно вычислить значение всех углов, соответствующих точкам одной окружности.

   Давайте ясно посмотрим, как использовать таблицу в решении.
   Все очень просто. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. Для примера возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть так:

   В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций поступаем так же. Но по этой таблице можно узнать сколько будет тангенс от угла 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем стол.

   Стол Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

   Таблицы Брадиса разделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — который делится на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

   Синус и косинус

   угол tg от 00 до 760, угол ctg от 140 до 900.

   тг до 900 и тг малые углы.

   
   

   Давайте разберемся, как использовать таблицы Брадиса при решении задач.

   Найдем обозначение sin (обозначение в столбце от левого края) 42 минуты (обозначение в верхней строке). Скрещиванием ищем обозначение, оно = 0,3040.

   Значения минут указаны с интервалом в шесть минут, что делать, если нужное нам значение попадает в этот интервал. Возьмем 44 минуты, а в таблице всего 42. Берем за основу 42 и используем дополнительные столбцы с правой стороны, берем 2-ю поправку и прибавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

   При sin 47 мин берем за основу 48 мин и вычитаем из него 1 поправку, т.е. 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

   При расчете cos работаем аналогично sin, только в качестве основа. Например, cos 20 0 = 0,9397

   Значения tg угла до 90 0 и ctg малого угла правильные и поправок в них нет. Например, найдите tg 78 0 37 мин = 4,967

   
   и ctg 20 0 13 мин = 25,83

   .

   Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Мы надеемся, что эта информация была чрезвычайно полезной для вас. Ваши вопросы по таблицам, если есть, обязательно пишите в комментариях!

   Примечание: Настенные отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке безрамные бескаркасные кранцы (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте больше.

   В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как это звучит:

   Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее черепахи и отстает от нее на тысячу шагов. За время, которое потребуется Ахиллесу, чтобы пробежать это расстояние, черепаха проползет сто шагов в том же направлении. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов и так далее. Процесс будет продолжаться бесконечно, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

   Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они, так или иначе, считали апории Зенона. Потрясение было настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, научное сообщество еще не успело прийти к единому мнению о сущности парадоксов. .. математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы занимались изучением вопроса, ни одно из них не стало общепринятым решением проблемы… » [Википедия, «Апории Зенона»]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем состоит обман.

   С точки зрения математики Зенон в своих апориях наглядно продемонстрировал переход от значения к «Этот переход подразумевает применение вместо констант. Насколько я понимаю, математический аппарат для применения переменных единиц измерения либо еще не разработан, либо он не применялся к апориям Зенона. Применение нашей обычной логики приводит нас к ловушка. Мы по инерции мышления применяем постоянные единицы времени к обратным. С физической точки зрения это выглядит как замедление времени до полной остановки в тот момент, когда Ахиллес догоняет черепаху. Если время останавливается, Ахиллес уже не может догнать черепаху.0003

   Если включить привычную нам логику, все встанет на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно время, затраченное на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применить к этой ситуации понятие «бесконечность», то правильно будет сказать «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

   Как избежать этой логической ловушки? Оставайтесь в постоянных единицах времени и не переходите на обратные величины. На языке Зенона это выглядит так:

   За время, необходимое Ахиллесу, чтобы пробежать тысячу шагов, черепаха проползет сто шагов в том же направлении. За следующий промежуток времени, равный первому, Ахиллес пробежит еще тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес опережает черепаху на восемьсот шагов.

   Такой подход адекватно описывает реальность без каких-либо логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. Утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света очень похоже на апорию Зенона «Ахиллес и черепаха». Нам еще предстоит изучить, переосмыслить и решить эту проблему. И решение надо искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

   Еще одна интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

   Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а так как она покоится в каждый момент времени, то она всегда покоится .

   В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и есть движение. Здесь следует отметить еще один момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но их нельзя использовать для определения расстояния. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в одно и то же время, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, для расчетов еще нужны дополнительные данные, в этом вам поможет тригонометрия). В частности, я хочу отметить, что две точки во времени и две точки в пространстве — это две разные вещи, которые не следует путать, поскольку они предоставляют разные возможности для исследования.

   Среда, 4 июля 2018 г.

   Очень хорошо различия между набором и мультимножеством описаны в Википедии. Мы смотрим.

   Как видите, «в множестве не может быть двух одинаковых элементов», но если в множестве есть одинаковые элементы, такое множество называется «мультимножеством». Разумные существа никогда не поймут такой логики абсурда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных тренеров, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

   Когда-то инженеры, строившие мост, находились в лодке под мостом во время испытаний моста. Если мост рухнул, бездарный инженер погиб под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

   Как бы математики ни прикрывались фразой «заметьте, я в доме», а точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Эта пуповина — деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

   Мы очень хорошо изучили математику и сейчас сидим за кассой, платим зарплату. Вот математик приходит к нам за своими деньгами. Пересчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе в разные стопки, в которые кладем купюры одного номинала. Затем берем по одной банкноте из каждой стопки и отдаем математику его «математический набор зарплаты». Объясняем математикой, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что набор без одинаковых элементов не равен набору с одинаковыми элементами. Здесь начинается самое интересное.

   Во-первых, сработает депутатская логика: «Вы можете применить это к другим, но не ко мне!» Далее начнутся заверения, что на банкнотах одного достоинства разные номера банкнот, а значит, их нельзя считать идентичными элементами. Что ж, считаем зарплату в монетах — цифр на монетах нет. Тут математик судорожно вспомнит физику: разные монеты имеют разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально. ..

   А теперь у меня самый интересный вопрос: где та граница, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой линии не существует — все решают шаманы, наука здесь и близко не стоит.

   Смотри сюда. Мы подбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинаковая, значит у нас мультисет. Но если рассматривать названия одних и тех же стадионов, то получается много, потому что названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов является одновременно и набором, и мультимножеством. Как правильно? И тут математик-шаман-шуллер достает из рукава козырного туза и начинает нам рассказывать то ли о множестве, то ли о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

   Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая ее к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимых как не единое целое» или «не мыслимых как единое целое».

   Воскресенье, 18 марта 2018 г.

   Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, к математике отношения не имеющая. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться ею, но они для этого и шаманы, чтобы учить потомков своим навыкам и мудрости, иначе шаманы просто вымрут.

   Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Она не существует. В математике нет формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь числа — это графические символы, которыми мы пишем числа, а на языке математики задача звучит так: «Найди сумму графических символов, представляющих какое-либо число». Математики не могут решить эту задачу, а вот шаманы элементарно могут.

   Давайте разберемся, что и как мы делаем, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, допустим, у нас есть число 12345. Что нужно сделать, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

   1. Запишите номер на листе бумаги. Что мы наделали? Мы преобразовали число в числовой графический символ. Это не математическая операция.

   2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные номера. Вырезание изображения — это не математическая операция.

   3. Преобразование отдельных графических символов в числа. Это не математическая операция.

   4. Сложите полученные числа. Теперь это математика.

   Сумма цифр числа 12345 равна 15. Это «курсы кройки и шитья» от шаманов, используемые математиками. Но это не все.

   С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы пишем число. Так, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления обозначается индексом справа от числа. С большим числом 12345 голову морочить не хочется, считайте число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, мы это уже сделали. Посмотрим на результат.

   Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа разная. Этот результат не имеет ничего общего с математикой. Это все равно, как если бы вы получили совсем другие результаты при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах.

   Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и не имеет суммы цифр. Это еще один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего кроме чисел не существует? Для шаманов я могу это допустить, а для ученых — нет. Реальность — это не только цифры.

   Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, то это не имеет никакого отношения к математике.

   Что такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от значения числа, используемой единицы измерения и от того, кто выполняет это действие.
   

   Табличка на дверь Открывает дверь и говорит:

   Ой! Это не женский туалет?
   — Молодая женщина! Это лаборатория для изучения беспредельной святости душ при вознесении на небо! Нимб сверху и стрелка вверх. Какой еще туалет?

   Женщина… Ореол сверху и стрелка вниз — мужчина.

   Если у вас такое произведение дизайнерского искусства мелькает перед глазами несколько раз в день,

   Тогда неудивительно, что вы вдруг обнаруживаете странный значок в своей машине:

   Лично я делаю над собой усилие, чтобы увидеть у какающего человека минус четыре градуса (одна картинка) (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физики. Просто у нее дуговой стереотип восприятия графических образов. И математики учат нас этому все время. Вот пример.

   1А не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человечек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Таблица синусов | Кубенс

Таблица синусов приведена в таблице ниже — это подсчитанные значения синусов углов от 0° до 360°. С помощью таблицы синусов можно производить расчеты, даже если под рукой не окажется научного калькулятора. Чтобы узнать значение синуса от нужного ракурса, достаточно найти его в таблице.

Используя таблицу синусов, можно произвести расчет, даже если под рукой не окажется научного калькулятора.

Чтобы найти синус угла достаточно воспользоваться этой таблицей.

Таблица синусов в радианах

α	0	№6	№4	№3	№2	№	3π2	2π
sin α

Таблица синусов вместе с таблицей косинусов изучается в начале тригонометрии. Без понимания таблицы синусов было бы очень трудно изучать тригонометрию и применять тригонометрические формулы.

Тригонометрические функции имеют большое практическое значение в геометрии. По сути это только показатели отношения различных сторон прямоугольного треугольника друг к другу, они могут помочь в решении большинства задач, результат которых сводится к решениям прямоугольных треугольников.

Одна из основных тригонометрических функций синуса. Поэтому в этой таблице синусов можно найти значение любого синуса.

Таблица синусов углов от 0° до 180°

sin(12°) = 0,207912
sin(13°) = 0,224951
sin(14°) = 0,241922
sin(15°) = 0,258819
sin(16°) = 37 0,2975 (17°) = 0,2
sin(24°) = 0,406737
sin(25°) = 0,422618
sin(26°) = 0,438371
sin(27°) = 0,45399
sin(28°) = 0,469472
= 0,48481
sin(30°) = 0,5
sin(31°) = 0,515038
sin(32°) = 0,529919
sin(33°) = 0,544639
sin(34°) = 0,559193
sin(35°) = 0,573576
sin(368) sin(37°) = 0,601815
sin(38°) = 0,615661
sin(39°) = 0,62932
sin(40°) = 0,642788
sin(41°) = 0,656059
sin(42°) = 0,66 9 43°) = 0,681998
sin(44°) = 0,6
sin(45°) = 0,707107
sin(64°) = 0,898794
sin(65°) = 0,3
sin(71°) = 0,9
sin(72°) = 0,
sin(85°) = 0,9

sin(86°) = 0,997564
sin(84°) 16 0,998 (88°) = 0,999391
sin(89°) = 0,999848
sin(90°) = 1 9
sin(110°) = 0,3
sin(111°) = 0,7 sin(112°)01 = 8 8,92°01 (113°) = 0,
sin(11917 0182) = 4917 0,8 0,8 0,8 °) = 0,87462
sin(120°) = 0,866025
sin(121°) = 0,857167
sin(122°) = 0,848048
sin(123°) = 0,838671
sin(124°) = 0,38 = 0,819152
sin(126°) = 0,809017
sin(127°) = 0,798636
sin(128°) = 0,788011
sin(129°) = 0,777146
sin(130°) = 0,766047 7(103177)07 sin(132°) = 0,743145
sin(133°) = 0,731354
sin(134°) = 0,71934
sin(135°) = 0,707107
sin(137°) = 0,681998
sin(138°) = 0,669131
sin(139°) = 0,656059
sin(140°) = 0,642788 7° 17
sin(14162) (142°) = 0,615661
sin(143°) = 0,601815
sin(144°) = 0,587785
sin(145°) = 0,573576
sin(146°) = 0,559193
sin(147°) = 0,544639
sin(148°) = 0,529919
sin(1451°) (150°) = 0,5
sin(151°) = 0,48481
sin(152°) = 0,469472
sin(153°) = 0,45399
sin(154°) = 0,438371
sin(155°) = 0,421717 sin 15

5 6 °) = 0,406737
sin(157°) = 0,3
sin(158°) = 0,374607
sin(159°) = 0,358368
sin(160°) = 0,34202
sin(161°) = 0,8 6(8) = 0,309017
sin(163°) = 0,2
sin(170°) = 0,173648
sin(171°) = 0,156434
sin(172°) = 0,139173
sin(173°) = 0,121869
sin(77 7014) = 28,1005 °) = 0,087156
sin(176°) = 0,069756
sin(177°) = 0,052336
sin(178°) = 0,034899
sin(179°) = 0,017452
sin(189°)1 = 3 0 908 03

sin(0°) = 0 sin(1°) = 0,017452 sin(2°) = 0,034897 sin 301897 = 0,052336 sin(4°) = 0,069756 sin(5°) = 0,087156 sin(6°) = 0,104528 sin(7°) = 0,121869 sin(8°) = 0,139173 sin(9°4) 3 sin(10°) = 0,173648 sin(11°) = 0,1	sin(18°) = 0,309017 sin(19°) = 0,325568 sin(20°) = 0,34202 sin(21°) = 0,358368 sin(22°) = 0,37177 sin(203) °) = 0,3
sin(46°) = 0,71934 sin(47°) = 0,731354 sin(48°) = 0,743145 sin(49°) = 0,75471 sin(50°) = 0,766044 sin(51°) = 0,777146 sin(52°) = 0,788011 sin(53°) = 0,798636 sin(54°) = 0,809017 sin(55°) 7 7 91 2,901 0,801 (56°) = 0,829038 sin(57°) = 0,838671 sin(58°) = 0,848048 sin(59°) = 0,857167 sin(60°) = 0,866025 sin(61°) = 0,81467 sin(61°) 602 °) = 0,882948 sin(63°) = 0,8	8 sin(66°) = 0,	5 sin(67°) = 0,	5 sin(681777) = 0, 4 sin(69°) = 0,	sin(70°) = 0,	7 sin(73°) = 0,	5 sin(74°) = 0, 2 sin(75177) = 0,6 sin(76°) = 0,6 sin(77°) = 0,97437 sin(78°) = 0,978148 sin(79°) = 0,981627 sin(80°) = 0,9848078 = 0,9848078 0 sin sin(82°) = 0,9	sin(83°) = 0,9	sin(84°) = 0,9
sin(91°) = 0,999848 sin(92°) = 0,999391 sin(93°) = 0,99863 sin(94°) = 0,997564 sin(95°) = 0,9 sin(96°) 17 7 20,994 (97°) = 0,9	sin(98°) = 0,9	sin(99°) = 0,987688 sin(100°) = 0,984808 sin(101°) = 0,981627 sin(102°) = 0, 34 °) = 0,97437 sin(104°) = 0,6 sin(105°) = 0,6 sin(106°) = 0, 2 sin(107°) = 0,	5 sin(108°) = 0,	7 sin(109°) = 0,
5 sin(114°) = 0,	5 sin(115°) = 0,	8 sin(116°) = 0,898794 sin(117°) = 0,8
sin(136°) = 0,6
sin(164°) = 0,275637 sin(165°) = 0,258819 sin(166°) = 0,241922 sin(167°) = 0,224951 sin(1020°) (169°) = 0,1

Синус 0 (синус нуля)

Равные (равны нулю)

Сине 90 синус (синус 90 градусов)

= (равно единице)

Синус 30 (синус 30 градусов)

равен

Синус 45 (синус 45 градусов)

равен

3 Синус

60 (синус 60 градусов)

равно

 

Таблица синусов углов от 181° до 360° °) = -0,069756

sin(185°) = -0,087156
sin(186°) = -0,104528
sin(187°) = -0,121869
sin(188°) = -0,139173
sin(189°) = -0,156434
sin(190°) = -0,173648
sin(191°) = -0,1
sin(192°) = -0,207912
sin(193°) = -0,224951
sin(194°) = -0,241922
sin(195° ) = -0,258819
sin(196°) = -0,275637
sin(197°) = -0,2
sin(198°) = -0,309017
sin(199°) = -0,325568
sin(200°) = -0,34202
sin(201°) ) = -0,358368
sin(202°) = -0,374607
sin(203°) = -0,3
sin(204°) = -0,406737
sin(205°) = -0,422618
sin(206°) = -0,438371 sin(207°) = -0,45399
sin(208°) = -0,469472
sin(209°) = -0,48481
sin(210°) = -0,5
sin(211°) = -0,515038
sin(212 °) = -0,529919
sin(213°) = -0,544639
sin(214°) = -0,559193
sin(215°) = -0,573576
sin(216°) = -0,587785
sin(217°) = -0,601815
sin(218°) = -0,615661
sin(219° ) = -0,62932
sin(220°) = -0,642788
sin(221°) = -0,656059
sin(222°) = -0,669131
sin(223°) = -0,681998
sin(224°) = -0,6 7 sin(225°) = -0,707107 sin(226°) = -0,71934
sin(227°) ​​= -0,731354
sin(228°) = -0,743145
sin(229°) = -0,75471
sin(230°) = -0,766044
sin(231°) ) = -0,777146
sin(232°) = -0,788011
sin(233°) = -0,798636
sin(234°) = -0,809017
sin(235°) = -0,819152
sin(236°) = -0,829038
sin(237° ) = -0,838671
sin(238°) = -0,848048
sin(239°) = -0,857167
sin(240°) = -0,866025
sin(241°) = -0,87462
sin(242°) = -0,802947 sin(243°) = -0,8
sin(244°) = -0,898794
sin(245°) = -0,8
sin(246°) = -0,5
sin(247°) = -0,5
sin(248°) = -0,

4
sin(249°) = -0,
sin(250°) = -0,3
sin(251°) = -0,9
sin(252°) = -0,7
sin(253°) = -0,5
sin(254°) = -0,
2
sin(255° ) = -0,6
sin(256°) = -0,6
sin(257°) = -0,97437
sin(258°) = -0,978148
sin(259°) = -0,981627
sin(260°) = -0,7 sin(261°) = -0,987688
sin(262°) = -0,9
sin(263°) = -0,9
sin(264°) = -0,9
sin(265°) = -0,9

sin(266°) = -0,997564
sin(267°) = -0,99863
sin(268°) = -0,999391
sin(269°) = -0,999848
sin(270°) = -1 sin(271°) = -0,999848
sin(272°) = -0,999391
sin(273°) = -0,99863
sin(274°) = -0,997564
sin(275°) = -0,9

sin(276° ) = -0,9
sin(277°) = -0,9
sin(278°) = -0,9
sin(279°) = -0,987688
sin(280°) = -0,984808
sin(281°) = -0,9

7 sin(282°) = -0,978148
sin(283°) = -0,97437
sin(284°) = -0,6
sin(285°) = -0,6
sin(286°) = -0,
2
sin(287°) = -0,5
sin(288°) = -0,7
sin(289°) = -0,9
sin(290°) = -0,3 sin(2917 °) = -0,
sin(292°) = -0,

4
sin(293°) = -0,5
sin(294°) = -0,5
sin(295°) = -0,8
sin(296°) = -0,898794
sin(297°) = -0,8
sin(298°) = -0,882948
sin(299°) = -0,87462
sin(300°) = -0,866025
sin(301°) = -0,857167
sin(302° ) = -0,848048
sin(303°) = -0,838671
sin(304°) = -0,829038
sin(305°) = -0,819152
sin(306°) = -0,809017
sin(307°) = -0,798636
sin(308°) = -0,788011
sin(309° ) = -0,777146
sin(310°) = -0,766044
sin(311°) = -0,75471
sin(312°) = -0,743145
sin(313°) = -0,731354
sin(314°) = -0,719734
sin(315°) = -0,707107 sin(316°) = -0,6
sin(317°) = -0,681998
sin(318°) = -0,669131
sin(319°) = -0,656059
sin(320°) = -0,642788
sin(321° ) = -0,62932
sin(322°) = -0,615661
sin(323°) = -0,601815
sin(324°) = -0,587785
sin(325°) = -0,573576
sin(326°) = -0,559193
sin(32177 °) = -0,544639
sin(328°) = -0,529919
sin(329°) = -0,515038
sin(330°) = -0,5
sin(331°) = -0,48481
sin(332°) = -0,469472
sin(333°) = -0,45399
sin(334°) = -0,438371
sin(335°) = -0,422618
sin(336°) = -0,406737
sin(337°) = -0,3
sin(338° ) = -0,374607
sin(339°) = -0,358368
sin(340°) = -0,34202
sin(341°) = -0,325568
sin(342°) = -0,309017
sin(343°) = -0,2
sin(344°) = -0,275637
sin(345°) ) = -0,258819
sin(346°) = -0,241922
sin(347°) = -0,224951
sin(348°) = -0,207912
sin(349°) = -0,1
sin(350°) = -0,18 sin(351°) = -0,156434
sin(352°) = -0,139173
sin(353°) = -0,121869
sin(354°) = -0,104528
sin(355°) = -0,087156
sin(356°) = -0,069756
sin(357°) = -0,052336
sin(358°) = -0,034899
sin(359°) = -0,017452
sin(360°) = 0

 

Помимо таблица синусов , на нашем сайте вы можете просмотреть таблицу косинусов, таблицу тангенсов, таблицу котангенсов.

Закон косинусов. Темы по тригонометрии

Темы | Дом

 

11

Доказательство закона косинусов

МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ ЗАКОН КОСИНУСОВ И ЗАКОН СИНУСОВ для решения треугольников, которые не являются прямоугольными. Такие треугольники называются косоугольными. Закон косинусов используется гораздо шире, чем закон синусов. В частности, , когда мы знаем две стороны треугольника и угол между ними , тогда закон косинусов позволяет нам найти третью сторону.

Таким образом, если мы знаем стороны a и b и их угол θ, то закон косинусов гласит:

c ² = a ² + b ² − 2 ab cos θ

(Закон косинусов является расширением теоремы Пифагора, потому что, если бы θ был прямым углом, мы имели бы c ² = a ² + b ² 3.)

Пример 1.   В треугольнике DEF сторона e = 8 см, f = 10 см, а угол при D равен 60°. Найдите сторону д .

Раствор. . Мы знаем две стороны и угол между ними. Следовательно, по закону косинусов:

d ²  = e ² + f ² − 2 ef cos 60°

d ²  = 8 ² + 10 ² − 2 · 8 · 10 · = 0° 0, 3 ½,  

г ²  = 164 − 80

д ²  = 84.

d  = .

Задача 1.   В косоугольном треугольнике ABC найдите сторону b , если сторона a = 5 см, c  =  см, и они включают и угол 45°. Нет таблиц .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).

b ²  = a ² + c ² − 2 ac cos 45°

= 5 ² + () ² − 2 · 5 · · cos 45°

= 25 + 2 − 10 · · ½,  , так как cos 45° = ½,

= 25 + 2 − 10,   ( · = 2)

= 17.

б = см.

Задача 2.   В косоугольном треугольнике PQR найдите сторону r , если сторона p = 5 дюймов, q  = 10 дюймов, и они включают и угол 14°. (стол)

r ²  = 5 ² + 10 ² − 2 · 5 · 10 cos 14°

= 25 + 100 − 100(0,970),  из табл.

  = 125 − 97

  = 28,

r  =

дюймов

Пример 2.   В примере 1 мы обнаружили, что d = , что приблизительно равно 9,17.

Используйте закон синусов, чтобы завершить решение треугольника DEF. То есть найти углы E и F.

Решение.  Чтобы найти угол F, у нас есть эта версия

Неизвестно Известно

:

sin F sin D	=	е   г
sin F sin 60°	=	10  9,17
sin F	=	(0,866)	10  9,17	из Таблицы,
		. 944	с помощью калькулятора.

Таким образом, просмотрев таблицу для угла, синус которого ближе всего к 0,944,

Угол F 71°.

Итак,

Угол Е	=	180° − (71° + 60°)
	=	180° − 131°
	=	49°.

Итак, используя законы синусов и косинусов, мы полностью решили треугольник.

Закон косинусов также действителен, когда прилежащий угол тупой. Но в этом случае косинус отрицательный. См. Тему 16.

Доказательство закона косинусов

Пусть ABC — треугольник со сторонами a, b, c . Мы покажем

c ² = a ² + b ² − 2 ab cos C.

(Тригонометрические функции определяются в терминах прямоугольного треугольника. Следовательно, только с помощью прямоугольных треугольников мы можем что-либо доказать)

Проведите BD перпендикулярно CA, разделив треугольник ABC на два прямоугольных треугольника BDC, BDA. BD — высота h треугольника ABC.

Вызов CD x . Тогда DA — это все b минус отрезок x : b − x .

Также с

x и

= cos C,

затем

x   =   a cos C . . . . . . . (1)

Теперь в прямоугольном треугольнике BDC по теореме Пифагора

ч ² + х ² = a ² ,

так что

ч ² = a ² − x ² . . . . . . (2)

В прямоугольном треугольнике BDA,

с ² = ч ² + ( б − х ) ²

c ² = h ² + b ² − 2 bx + x ^{2 .}

No related posts.