Таблица мантиссы десятичных логарифмов: Таблица Брадиса — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Содержание

Таблица Брадиса — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Мантиссы десятичных логарифмов  (Таблица Брадиса 13)

Мантисса десятичного логарифма любого трехзначного числа отыскивается по таблица брадиса 13 на строке, номер которой образуют две первые значащие цифры этого чис­ла, в столбце, номер которого сонпадает с третьей его цифрой. Интерполяция на чет­вертую цифру дает поправку, помещенную на той же строке в соответствующем столбце справа (курсив). Поправка прибавляется к табличной мантиссе. Например, мантисса логарифма числа 3174 равна 5011 + 6 = 5017. Подобным же образом по таблица брадиса 14 определяется число по данной мантиссе его логарифма. Например, имея мантис­су 8352, получаем число 6839 + 3 = 6842. в котором положение знака дробности уста­навливается по характеристике.

 

n 0 1 2
3
4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0000 0043                 4 9 13 17 22 26 30 35 39
      0086 0128 0170           4 9 13 17 21 25 30 34 38
            0212 0253       4 8 12 16 21 25 29 33 37
   
 
          0294 0334 0374 4 8 12 16 20 24 28 32 36
                    
11 0414 0453 0492               4 8 12 16 20 24 27 31 35
 
      0531 0569 0607         4 8 11 15 19 23 27 30 34
              0645 0682 0719 0755 4 7 11 15 18 22 26 29 33
                  
  
12 0792 0828 0864 0899 0934           3 7 11 14 18 21 25 28 32
            0969         4 7 11 14 17 21 24 28 31
              1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 20 24 27 30
                    
13 1139 1173                 3 7 10 13 17 20 23 27 30
 
 
  1206 1239 1271 1303 1335       3 6 10 13 16 19 23 26 28
                1367 1399 1430 3 6 9 13 16 19 22 25 28
                    
14 1461 1492                 3 6 9 13 16 19 22 25 28
      1523 1553 1584 1614 1644 1673     3 6 9 12 15 18 21 24 27
         
 
      1703 1732 3 6 9 11 14 17 20 23 26
                    
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931       3 6 9 11 14 17 20 23 26
   
 
          1959 1987 2014 3 5 8 11 14 16 19 22 25
                    
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227     3 5 8 11 13 16 19 21 24
                  2253 2279 3 5 8 10 13 15 18 20 23
                    
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430         3 5 8 10 13 15 18 20 23
              2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 19 22
                    
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718     2 5 7 9 12 14 16 19 21
                  2742 2765 2 5 7 9 11 13 16 18 20
                    
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900         2 4 7 9 11 13 16 18 20
              2923 2945 2967 2989 2 4 6 8 11 13 15 17 19
                    
20 3010 3032 3054 3075 3096           2 4 6 8 11 13 15 17 19
            3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 10 12 14 17 19
                    
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 17
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 17
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16
                    
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 15
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 13 15
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 14
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 14
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 11
                    
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 11
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 9 10
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 10
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 10
                    
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
                    
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
                    
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 4 6 6 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 4 6 6 7
                    
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
                    
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
                    
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
                    
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
                    
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
                    
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
                    
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
                    
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 99/8 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

_______________

Источник информации: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.

Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.


ГОСТы, СНиПы

Карта сайта TehTab.ru

Поиск по сайту TehTab.ru

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни. / / Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

Таблица десятичных логарифмов. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

Десятичный логарифм
 Вспомним как число представляется в стандартной (научной) форме.

Если: а = b · 10 n

То: lg a = lg b + n

Кроме того: 10 x = 10 { x } · 10 [ x ] , где { x } — дробная часть x , а [ x ] — целая часть x .

Пример: lg( 1,124 )= 0,0492 + 0,0016 =0,0508

Таблица десятичных логарифмов. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0 43   4 9 13 17 22 26 30 35 39
  86 128 170   4 9 13 17 21 25 30 34 38
  212 253   4 8 12 16 21 25 29 33 37
  294 334 374 4 8 12 16 20 24 28 32 36
11 414 453 492   4 8 12 16 20 24 27 31 35
  531 569 607   4 8 11 15 19 23 27 30 34
  645 682 719 755 4 7 11 15 18 22 26 29 33
12 792 898 864 899 934   3 7 11 14 18 21 25 28 32
  969   4 7 11 14 17 21 24 28 31
  1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 20 24 27 30
13 1139 1173   3 7 10 13 17 20 23 27 30
  1206 1239 1271 1303 1335   3 6 10 13 16 19 23 26 29
  1367 1399 1430 3 6 9 13 16 19 22 25 28
14 1461 1492   3 6 9 13 16 19 22 25 28
  1523 1553 1584 1614 1644 1673   3 6 9 12 15 18 21 24 27
  1703 1732 3 6 9 11 14 17 20 23 26
 
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931   3 6 9 11 14 17 20 23 26
  1959 1987 2014 3 5 8 11 14 16 19 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227   3 5 8 11 13 16 19 21 24
  2253 2279 3 5 8 10 13 15 18 20 23
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430   3 5 8 10 13 15 18 20 23
  2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 19 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718   2 5 7 9 12 14 16 19 21
  2742 2765 2 5 7 9 11 13 16 18 20
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900   2 4 7 9 11 13 16 18 20
  2923 2945 2967 2989 2 4 6 8 11 13 15 17 19
 
20 3010 3032 3054 3075 3096   2 4 6 8 11 13 15 17 19
  3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 10 12 14 17 19
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 17
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 17
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 15
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 13 15
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 14
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 14
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 13
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 11
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11
36 563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 11
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 9 10
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 10
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 10
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 4 6 6 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 4 6 6 7
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 4 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8843 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Дополнительная информация от TehTab. ru:


Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.

TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Мантисса десятичного логарифма — Таблица Брадиса №13

ГЛАВНАЯ МАТЕМАТИКА Таблица Брадиса №13 — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Мантиссы десятичных логарифмов (Таблица Брадиса 13)

Мантисса десятичного логарифма любого трехзначного числа отыскивается по таблица брадиса 13 на строке, номер которой образуют две первые значащие цифры этого чис­ла, в столбце, номер которого сонпадает с третьей его цифрой. Интерполяция на чет­вертую цифру дает поправку, помещенную на той же строке в соответствующем столбце справа (курсив). Поправка прибавляется к табличной мантиссе. Например, мантисса логарифма числа 3174 равна 5011 + 6 = 5017. Подобным же образом по таблица Брадиса 14 определяется число по данной мантиссе его логарифма. Например, имея мантис­су 8352, получаем число 6839 + 3 = 6842. в котором положение знака дробности уста­навливается по характеристике.

Читайте также — как пользоваться таблицами Брадиса
Смотрите — все таблицы Брадиса

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
0000 0043 4 9 13 17 22 26 30 35 39
0086 0128 0170 4 9 13 17 21 25 30 34 38
0212 0253 4 8 12 16 21 25 29 33 37
0294 0334 0374 4 8 12 16 20 24 28 32 36
11 0414 0453 0492 4 8 12 16 20 24 27 31 35
0531 0569 0607 4 8 11 15 19 23 27 30 34
0645 0682 0719 0755 4 7 11 15 18 22 26 29 33
12 0792 0828 0864 0899 0934 3 7 11 14 18 21 25 28 32
0969 4 7 11 14 17 21 24 28 31
1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 20 24 27 30
13 1139 1173 3 7 10 13 17 20 23 27 30
1206 1239 1271 1303 1335 3 6 10 13 16 19 23 26 28
1367 1399 1430 3 6 9 13 16 19 22 25 28
14 1461 1492 3 6 9 13 16 19 22 25 28
1523 1553 1584 1614 1644 1673 3 6 9 12 15 18 21 24 27
1703 1732 3 6 9 11 14 17 20 23 26
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 3 6 9 11 14 17 20 23 26
1959 1987 2014 3 5 8 11 14 16 19 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 3 5 8 11 13 16 19 21 24
2253 2279 3 5 8 10 13 15 18 20 23
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 3 5 8 10 13 15 18 20 23
2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 19 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2 5 7 9 12 14 16 19 21
2742 2765 2 5 7 9 11 13 16 18 20
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2 4 7 9 11 13 16 18 20
2923 2945 2967 2989 2 4 6 8 11 13 15 17 19
20 3010 3032 3054 3075 3096 2 4 6 8 11 13 15 17 19
3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 10 12 14 17 19
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 17
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 17
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 15
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 13 15
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 14
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 14
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 11
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 11
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 9 10
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 10
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 10
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 4 6 6 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 4 6 6 7
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 99/8 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

_______________

Источник информации: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.

САМОЕ ПОПУЛЯРНОЕ

ПОПУЛЯРНЫЕ КАТЕГОРИИ

  • ИСТОРИЯ131
  • ХИМИЯ127
  • БИОЛОГИЯ73
  • МАТЕМАТИКА66
  • ФИЗИКА49
  • МЕДИЦИНА27
  • ПРОДУКТЫ ПИТАНИЯ25
  • ГЕОГРАФИЯ23
  • ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ17
Adblock
detector

Логарифмические таблицы | Small encyvlopedia

Логарифмические таблицы,таблицы логарифмов чисел; используются для упрощения вычислений. Самый распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10kN (при k целом) различаются лишь чертями и имеют однообразные мантиссы (lg10kN = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Для отыскания чёрта помогают правила: 1) черта числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) черта десятичной дроби, меньшей 1, равна забранному со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, хорошей от нуля (так, lg 0,0002 = — 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы хорошей отрицательной характеристики и мантиссы).

Существуют таблицы десятичных логарифмов с разным числом знаков мантисс. Самый распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Время от времени употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, разрешающие без громадного труда вычислять логарифмы с солидным числом знаков.

В Л. т. довольно часто приводятся таблицы антилогарифмов — чисел, логарифмы которых сущность эти числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы либо разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Не считая логарифмов чисел, Л. т. содержат в большинстве случаев логарифмы тригонометрических размеров.

Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера Описание необычной таблицы логарифмов (1614) и Устройство необычной таблицы логарифмов (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, тангенсов и косинусов для углов от 0° до 90°, следующих через одну 60 секунд.

Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него довольно часто приходилось умножать, то Непер выяснил собственные Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 107, у него хороши. Непер не ввёл понятия об основании совокупности логарифмов.

Его логарифм числа N в современных обозначениях примерно равен . Свойства логарифмов Непера пара сложнее простых, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

Арифметические и геометрические таблицы прогрессий (1620) Бюрги являются первую таблицу антилогарифмов (тёмные числа) и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам (красным числам). Красные числа Бюрги сущность логарифмы поделенных на 108 тёмных чисел при основании, равном . Таблицы Бюрги и особенно Непера срочно привлекли интерес математиков к вычислению и теории логарифмов. По совету Непера британский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и после этого 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы время от времени именуют бриговыми).

10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в базу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли большое количество трансформаций в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 неточности, у австрийского математика Г. Вега в 1783 — пять; первые точные таблицы выпустил в 1857 германский математик К. Бремикер). В Российской Федерации таблицы логарифмов в первый раз были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого.

Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были размещены в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в неспециализированное потребление.

Лит.: Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. — Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических размеров, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г. , Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. — Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел…, М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1—2, М., 1971.

Две случайные статьи:
  • Культурно — просветительное образование
  • Коммунистические субботники

Десятичные и натуральные логарифмы ➽ Алгебра 10 — 11 класс


Похожие статьи, которые вам понравятся:
  • Логарифмическая бумага

    Логарифмическая бумага,особым образом разграфленная бумага; в большинстве случаев изготовляется типографским методом. Она строится следующим образом…

  • Логарифм

    Логарифм числа N по основанию а, показатель степени m, в которую направляться возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN….

  • Логарифмическая функция

    Логарифмическая функция,функция, обратная к показательной функции. {x}=b.}

    Вещественный десятичный логарифм числа b{\displaystyle b} существует, если b>0{\displaystyle b>0} (комплексный десятичный логарифм существует для всех b≠0{\displaystyle b\neq 0}). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его lgb{\displaystyle \lg \,b}. Примеры:

    lg1=0;lg10=1;lg100=2{\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}
    lg1000000=6;lg0,1=−1;lg0,001=−3{\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}

    В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log,Log,Log10{\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

    Содержание

    • 1 Алгебраические свойства
    • 2 Функция десятичного логарифма
    • 3 Применение
    • 4 История
    • 5 Литература
    • 6 Ссылки
    • 7 Примечания

    Алгебраические свойства

    В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:

    Формула Пример
    Произведение lg⁡(xy)=lg⁡(x)+lg⁡(y){\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)} lg⁡(10000)=lg⁡(100⋅100)=lg⁡(100)+lg⁡(100)=2+2=4{\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}
    Частное от деления lg(xy)=lg⁡(x)−lg⁡(y){\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)} lg⁡(11000)=lg⁡(1)−lg⁡(1000)=0−3=−3{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}
    Степень lg⁡(xp)=plg⁡(x){\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)} lg⁡(10000000)=lg⁡(107)=7lg⁡(10)=7{\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}
    Корень lg⁡xp=lg⁡(x)p{\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}} lg⁡1000=12lg⁡1000=32=1,5{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}

    Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

    lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}
    lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

    Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

    lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

    Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц[⇨] производилось по следующему алгоритму:

    1. Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
    2. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
    3. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

    Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

    Связь десятичного и натурального логарифмов[2]:

    ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

    Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

    lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

    Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

    lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

    Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

    Функция десятичного логарифма

    Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>0.{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой[3].

    Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

    ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

    Ось ординат (x=0){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

    limx→0+0lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

    Применение

    Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x{\displaystyle x} (характеристику логарифма) [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} легко определить.

    • Если x⩾1{\displaystyle x\geqslant 1}, то [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} на 1 меньше числа цифр в целой части числа x{\displaystyle x}. Например, сразу очевидно, что lg⁡345{\displaystyle \lg 345} находится в промежутке (2,3){\displaystyle (2,3)}.
    • Если 0<x<1{\displaystyle 0<x<1}, то ближайшее к lg⁡x{\displaystyle \lg x} целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x{\displaystyle x} перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg⁡0,0014{\displaystyle \lg 0{,}0014} находится в интервале (−3,−2){\displaystyle (-3,-2)}.

    Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n{\displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n.{\displaystyle n.} Например:

    lg⁡8314,63=lg⁡8,31463+3{\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}

    Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1{\displaystyle 1} до 10{\displaystyle 10}[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

    Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

    Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10C
    Число Логарифм Характеристика Мантисса Запись
    n lg(n) C M = lg(n) − C
    5 000 000 6.698 970… 6 0.698 970… 6.698 970…
    50 1.698 970… 1 0.698 970… 1. {C}\right)=\lg(x)+C},

    где 1<x<10{\displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n{\displaystyle n}.

    Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

    История

    Основная статья: История логарифмов

    Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)[6].

    В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[8]:

    1. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
    2. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

    Литература

    Теория логарифмов
    • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
    • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
    • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
    История логарифмов
    • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
    • Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
    • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
    • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
    • Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

    Ссылки

    • Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)

    Примечания

    1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
    2. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
    3. ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
    4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
    5. ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
    6. ↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
    7. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
    8. ↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

    Найти log 0 1 по основанию 10. Логарифм. Десятичный логарифм

    Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

    Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

    Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

    Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

    Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

    Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

    Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

    Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

    Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

    Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

    Обобщенно, если

    То а = 10 n , из чего получаем

    lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

    Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен — п , где п — численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

    Рассмотрим, lg 0,001 = — 3, lg 0,000001 =-6.

    Обобщенно, если

    ,

    То a = 10 -n и получается

    lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

    Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

    Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

    И правда, 10

    lg 10

    1 .

    Отсюда следует,

    lg 75,631 = 1 +б,

    Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

    Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

    В дальнейшем десятичный логарифм именуется просто логарифмом.

    Логарифм единицы равен нулю.

    Логарифмы чисел 10 , 100 , 1000 и т.д. равны 1 ,2 ,3 и т.д., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит после единицы.

    Логарифмы чисел 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д. равны -1 , -2 , -3 и т.д., т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит перед единицей (считая и нуль целых).

    Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, именуемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой .

    Числа, большие единицы, имеют положительные логарифмы. Положительные числа, меньшие единицы 1 , имеют отрицательные логарифмы.

    Например 2 , lg0,5=-0,30103, lg0,005=-2,30103 .

    Отрицательные логарифмы для большего удобства нахождения логарифма по числу и числа по логарифму представляются не в вышеприведенной «естественной » форме, а в «искусственной «. Отрицательный логарифм в искусственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику .

    Например, lg0,005=3,69897 . Эта запись означает, что lg0,005=-3+0,69897=-2,30103 .

    Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искусственную, нужно:

    1 . На единицу увеличить абсолютную величину его характеристики;
    2 . Полученное число снабдить знаком минус сверху;
    3 . Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр, не равных нулю, вычитать из девяти; последнюю, не равную нулю цифру вычитать из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

    Пример 1 . lg0,05=-1,30103 привести к искусственной форме:
    1 . Абсолютную величину характеристики 1 увеличиваем на 1 ; получаем 2 ;
    2 . Пишем характеристику искусственной формы в виде 2 и отделяем ее запятой;
    3 . Вычитаем первую цифру мантиссы 3 из 9 ; получаем 6 ; записываем 6 на первом месте после запятой. Таким же образом на следующих местах появляются цифры 9(=9-0) , 8(=9-1) , 9(=9-0) и 7(=10-3) .
    В результате получаем:

    -1,30103=2,69897 .

    Пример 2 . -0,18350 представить в искусственной форме:
    1 . Увеличиваем 0 на 1 , получаем 1 ;
    2 . Имеем 1 ;
    3 . Вычитаем цифры 1 ,8 ,3 из 9 ; цифру 5 из 10 ; нуль на конце остается не тронутым.
    В результате получаем:

    -0,18350=1,81650 .

    Чтобы перевести отрицательный логарифм из искусственной формы в естественную, нужно:
    1 . На единицу уменьшить абсолютную величину его характеристики;
    2 . Полученное число снабдить знаком минус слева;
    3 . С цифрами мантиссы поступать, как в случае перехода от естественной формы к искусственной.

    Пример 3 . 4,689 00 представить в естественной форме:
    1 . 4-1=3 ;
    2 . Имеем -3 ;
    3 . Вычитаем цифры из мантиссы 6 ,8 и 9 ; цифру 9 из 10 ; два нуля остаются не тронутыми.
    В результате получаем:

    4,689 00=-3,311 00 .

    1 Отрицательные числа вовсе не имеют действительных логарифмов .
    2 Все дальнейшие равенства — приближенные с точностью до половины единицы последнего выписанного знака .

    ОТДЕЛЕНИЕ XIII.

    ЛОГАРИФМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.

    § 2. Дecятичныe логарифмы.

    Десятичyый логарифм числа 1 есть 0. Десятичные логарифмы положительных степеней 10-ти, т. e. чисел 10, 100, 1000,…. суть, положительные числа 1, 2, 3,…., так что вообщe логарифм числа, обозначенного единицей с нулями, равен числу нулей. Десятичные логарифмы отрицательных степeнeй 10-ти, т.-e. дробей 0,1, 0,01, 0,001,…. суть отрицательныя числа -1,-2, -3….., так что вообщe логарифм десятичной дроби с числитeлeм единицeй равен отрицательному числу нулeй знаменателя.

    Логарифмы всех остальных соизмеримых чисел несоизмеримы. Такиe логарифмы вычисляются приближeнно, обыкновенно с точностью до одной стотысячной, и потому выражаются пятизначными десятичными дробями; напр. , lg 3 = 0,47712.

    При изложении тeории десятичных логарифмов все числа прeдполагаются составленными по дeсятичной системе их eдиниц и долей, а все логарифмы выражаются чрeз дeсятичную дробь, содержащую 0 целых, с целым прибавком или убавком. Дробная часть логарифма называeтся eго мантиссой , а целый прибавок или убавок-его характеристикой. Логарифмы чисeл, больших eдиницы, всегда положитeльны и потому имеють и положитeльную характеристику; логарифмы чисел, меньших eдиницы, всeгда отрицатeльны, но их прeдставляют так, что мантисса их оказываeтся положительной, а одна характeристика отрицательна: напр., lg 500=0,69897+2 или короче 2,69897, а lg 0,05 =0,69897-2, что для краткости обозначают в виде 2 ,69897, ставя характеристику на место целых чисeл, но со знаком — над ней. Таким образом, логарифм числа, большего единицы, прeдставляет арифметическую сумму положитeльного целого и положительной дроби, а логарифм числа, мeньшего единицы, алгeбраичeскую сумму отрицатeльного целого с положитeльной дробью.

    Всякий отрицательный логарифм можно привести к указанной искусствeнной форме. Напр., имеем lg 3 / 5 = lg 3 — lg 5= 0,47712-0,69897=-0,22185. Чтобы прeобразовать этот истинный логарифм в искусственную форму, прибавим к нeму 1 и после алгебраичeского сложeния укажем для поправки вычитаниe eдиницы.

    Получим lg 3 / 5 = lg 0,6 =(1-0,22185)-1=0,77815-1. При этом окажется, что мантисса 0,77815 есть та самая, которая соответствуeт числителю 6 данного числа, представленного по дeсятичной системе в форме дроби 0,6.

    IIра указанном представлении десятичных логарифмов их мантиссы и характеристики обладают важными свойствами в связи с обозначениeм по десятичной систeме соответствующих им чисел. Для разъяснeния этих свойств заметим следующеe. Примeм за основной вид числа некотороe произвольноe число, содержащeеся между 1 и 10, и, выражая eго по десятичной систeме, представим в виде а,b,c,d,e, f …., где а есть одна из значащих цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а десятичные знаки, b,c,d,e, f . …… суть какие угодно цифры, между которыми могут быть и нули. Вследствиe того, что взятоe число содeржится мeжду 1 п 10, логарифм его содержится между 0 и 1 и потому этот логарифм состоит из одной мантиссы без характеристики или с характеристикой 0. Обозначим этот логарифм в форме 0 ,α β γ δ ε …., где α, β ,δ, ε суть некоторые цифры. Помножим теперь данное число с одной стороны на числа 10, 100, 1000,…. и с другой стороны на числа 0,1, 0,01, 0,001,… и применим теоремы о логарифмах произведения и частного. Тогда получим ряд чисел больших единицы и ряд чисел меньших единицы с их логарифмами:

    lg а ,bcde f ….= 0 ,α β γ δ ε ….

    lg аb,cde f ….= 1 ,α β γ δ ε . … lg 0,аbcde f ….= 1 ,α β γ δ ε ….

    lg аbc,de f ….= 2 ,α β γ δ ε …. lg 0,0аbcde f ….= 2 ,α β γ δ ε ….

    lg аbcd,e f ….= 3 ,α β γ δ ε …. lg 0,00аbcde f ….= 3 ,α β γ δ ε ….

    При рассматривании этих равенств обнаружаваются следующие свойства мантиссы и характеристики:

    Свойство мантиссы. Мантисса зависит от расположения и вида зиачащих цифр числа, но совсем не зависит от места запятой в обозначении этого числа. Мантиссы логарифмов чисел, имеющих десятичное отношение, т.-е. таких, кратное отношение которых равно какой бы то ни было положительной или отрицательной степени десяти, одинаковы.

    Свойство характеристики. Характеристика зависит от разряда наивысших единиц или десятичных долей числа, но совсем не зависит от вида цифр в обозначении этого числа.

    Если назовем числа а ,bcde f …., аb,cde f …., аbc,de f …. числами положительных разрядов- первого, второго, третьего и т.д., разряд числа 0,аbcde f …. будем считать нулевым, а разряды чисел 0,0аbcde f …., 0,00аbcde f …., 0,000аbcde f …. выразим отрицательными числами минус одна, минус два, минус три и т. д., то можно будет сказать вообще, что характерастика логарифма всякого десятичного числа на единицу меньше числа, указывающего разряд

    101. Зная, что lg 2 =0,30103, найти логарифмы чисел 20,2000, 0,2 и 0,00002.

    101. Зная, что lg 3=0,47712, найти логарифмы чисел 300, 3000, 0,03 и 0,0003.

    102. Зная, что lg 5=0,69897, найти логарифмы чисел 2,5, 500, 0,25 и 0,005.

    102. Зная, что lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 0,7, 4,9, 0,049 и 0,0007.

    103. Зная lg 3=0,47712 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 210, 0,021, 3 / 7 , 7 / 9 и 3 / 49 .

    103. Зная lg 2=0,30103 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 140, 0,14, 2 / 7 , 7 / 8 и 2 / 49 .

    104. Зная lg 3=0,47712 и lg 5=О,69897, найти логарифмы чисел 1,5, 3 / 5 , 0,12, 5 / 9 и 0,36.

    104. Зная lg 5=0,69897 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 3,5, 5 / 7 , 0,28, 5 / 49 и 1,96.

    Десятичные логарифмы чисел, выраженных не более, как четырьмя цифрами, подыскиваются прямо по таблицам, причем из таблиц находится мантисса искомого логарифма, а характеристика ставится, сообразуясь с разрядом данного числа.

    Еели же число содержит более четырех цифр, то подыскивание логарифма сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти логарифм числа, содержащего более четырех цифр, нужно подыскать в таблицах число, обозначенное четырьмя первыми цифрами, и выписать соответствующую этим четырем цифрам мантиссу; затем умножить табличную разность мантисс на число, составленное из отброшенных цифр, в произведении откинуть справа столько цифр, сколько их было откинуто в данном числе, и результат придать к последним цифрам подысканной мантпсеы; характеристику же поставить, сообразуясь с разрядом данного числа.

    Когда ищется число по данному логарифму и логарифм этот содержится в таблицах, то цифры искомого числа находятся прямо из таблиц, а разряд числа определяется сообразно с характеристикой данного логарифма.

    Если же данный логарифм не содержится в таблицах, то подыскивание числа сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти число, соответствующее данному логарифму, мантисса которого не содержится в таблицах, нужно подыскать ближайшую меньшую мантиссу и выписать соответствующие ей цифры числа; потом умножить разность между данной мантиссой и подысканной на 10 и разделить произведение на табличную разность; полученную цифру частного приписать справа к выписанным цифрам числа, отчего и получится искомая совокупность цифр; разряд же числа нужно определить сообразно характериетике данного логарифма.

    105. Найти логарифмы чисел 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

    105. Найти логариекй чисел 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

    106. Найти логарифмы чисел 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893В, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428, 0,00237158.

    106. Найти логарифмы чисел 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

    107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,16227 , 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756.86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

    107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1 ,31952, 4 ,30814, 3 ,00087, 2 ,69949, 6 ,57978.

    108. Найти число, соответствующия логарифмам 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2 ,83882, 1 ,50060, 3 ,30056, 1 ,17112, 4 ,25100.

    108. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1 ,41509, 2 ,32649, 4 ,14631, 3 ,01290, 5 ,39003.

    Положительные логарифмы чисел, больших единицы, суть арифметические суммы их характеристики и мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по обыкновенным арифметическим правилам.

    Отрацательные логарифмы чисел, меньших единицы, суть алгебраические суммы отрицательной характеристики и положительной мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по алгебраическим правилам, которые дополняются особыми указаниями, относящимися к приведению отрицательных логарифмов в их нормальную форму. Нормальная форма отрицательнаго логарифма та, в которой характеристика есть отрицательное целое количество, а мантисса положительная правильная дробь.

    Для преобразования истинного отрацательного логарифма в его нормальную искусственную форму, нужно увеличить абсолютную величину его целого слагаемого на единицу и сделать результат отрицательной характеристикой; затем дополнить все цифры дробного слагаемого до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат положительной мантиссой. Напр., -2,57928 = 3 ,42072.

    Для преобразования нормальной искусственной формы логарифма в его истинное отрицательное значение, нужно уменьшить на единицу отрицательную характеристику и сделать результат целым слагаемым отрицательной суммы; затем дополнить все цифры мантиссы до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат дробным слагаемым той же отрицательной суммы. Напр.: 4 ,57406= -3,42594.

    109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

    109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

    110. Найти истинные значения логарифмов 1 ,33278, 3 ,52793, 2 ,95426, 4 ,32725, 1 ,39420, 5 ,67990.

    110. Найти иетинные значения логарифмов 2 ,45438, 1 ,73977, 3 ,91243, 5 ,12912, 2 ,83770, 4 ,28990.

    Правила алгебраических действий с отрицательными логарифмами выражаются так:

    Чтобы приложить отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно приложить мантиссу и вычесть абсолютную величину характеристики. Если от сложения мантисс выделится целое положительное число, то нужно отнести его к характеристике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

    3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

    1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

    Чтобы вычесть отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно вычесть мантиссу и приложить абсолютную величину характеристики. Если вычитаемая мантисса есть большая, то нужно сделать поправку в характеристике уменьшаемого так, чтобы отделить к уменьшаемой мантиссе положительную единицу. Напр.,

    2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

    2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

    Чтобы умножить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно умножить отдельно его характеристику и мантиссу. Если при умножении мантиссы выделится целое положительное чясло, то нужно отнести его к характерастике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

    2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

    При умножении отрицательнаго логарифма на отрицательное количество нужно заменять множимое его истинным значением.

    Чтобы разделить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно разделить отдельно его характерастику и мантиссу. Если характеристика дeлимого нe дeлится нацeло на дeлитeль, то нужно сдeлать в ней поправку так, чтобы отнести к мантиссe нeсколько положительных единиц, а характеристику сдeлать кратной дeлителя. Напр.,

    3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

    При дeлении отрицательного логарифма на отрицатeльноe количество, нужно замeнять дeлимоe его истинным значением.

    Выполнить при помощп логарифмичeских таблиц нижепоказанные вычисления и провeрить в простeйших случаях рeзультаты обыкновенными способами дeйствий:

    174. Определить обем конуса, образующая которого 0,9134 фута, а радиус основания 0,04278 фута.

    175. Вычислить 15-й член кратной прогреесии, первый член которой 2 3 / 5 , а знаменатель 1,75.

    175. Вычислить первый член кратной прогрессии, 11-й член которой равен 649,5, а знаменатель 1,58.

    176. Определить число множителей а , а 3 , а 5 р . Подыскать такое а , при котором произведееие 10-ти множителей равно 100.

    176. Определить чйедо множителей. а 2 , а 6 , а 10 ,…. так, чтобы их произведение равнялось данному числу р . Подыскать такое а , при котором произведение 5-ти множителей равно 10.

    177. Знаменатель кратной прогрессии равен 1,075, сумма 10-ти ее членов 2017,8. Найти первый член.

    177. Знаменатель кратной прогрессии 1,029, сумма 20-ти ее членов 8743,7. Найти двадцатый член.

    178 . Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q , а затем, выбрав произвольно числовыe значения a и u , подобрать q так, чтобы п

    178. Выразить чbсло члеyов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q и и q , подобрать а так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

    179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равно р . Каково должно быть р для того, чтобы при а =0,5 и b =0,9 число множителей было 10.

    179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равдо р . Каково должно быть р для того чтобы при а =0,2 и b =2 число множителей было 10.

    180. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последеему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения а и р , подобрать и и вслед за ним знаменатель q так, чтобы и было какое-нибудь целое число.

    160. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения и и р , подобрать а и вслед за ним знаменатель q так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

    Решить нижеследующие уравнения, где можно — без помощи таблиц, а где нельзя-с таблицами:

    Использование предлога in в английском языке

    Употребление и произношение in

    логарифмов Бриггса

    Логарифм Бриггса положительного числа a — это логарифм a по основанию 10, т. е. log10⁡a, в настоящее время обозначаемый lg⁡a (вероятно, от латинского «logarithmus generalis (http://planetmath.org/TermsFromForeignLanguagesUsedInMathematics)». ). Это связано с Генри Бриггсом (1561–1630). До появления электронных калькуляторов и компьютеров табличные значения логарифмов использовались для выполнения трудоемких числовых вычислений (умножения, деления, степени, корня). Например. в средних школах Финляндии пользованию таблицами логарифмов обучали еще в начале 19 века.70-е годы.

    Было несколько широких таблиц логарифмов Бриггса, например. знаменитые пятиместные столы Hoüel и Voellmy. Поскольку логарифмы рациональных чисел в большинстве своем иррациональны, логарифмы в таблицах, как правило, являются приблизительными значениями.

    Потому что

    lg⁡10⁢a=lg⁡a+lg⁡10=lg⁡a+1,lg⁡a10=lg⁡a-lg⁡10=lg⁡a-1,

    перемещение десятичной точки на один шаг вправо соотв. влево увеличивается соотв. уменьшает логарифм Бриггса на целое значение 1; десятичные дроби логарифма не меняются. Таким образом, таблицы дают только десятичные дроби логарифмов положительных целых чисел. Например, таблица дает для логарифма 8322 только пять десятичных знаков

    .  Поскольку  lg⁡1=0,  lg⁡10=1  и функция логарифма возрастает, мы можем сделать вывод, что

    лг⁡8322≈0,

    +3
    лг⁡832,2≈0,

    +2
    лг⁡83,22≈0,

    +1
    лг⁡8,322≈0,

    лг⁡0,8322≈0,

    -1
    лг⁡0,08322≈0,

    -2
    лг⁡0,008322≈0,

    -3

    При выражении логарифмов чисел в виде суммы и разности, как указано выше, десятичная часть называется мантиссою, а целая часть — характеристикой логарифма. К мантиссе присоединяется положительная характеристика (например, 3,

    ), а отрицательная характеристика отделяется (например, 0,

    -3).

    Понятно, что мантисса логарифма числа не зависит от положения десятичной точки в числе. Для получения логарифма числа из таблицы можно отбросить десятичную точку и найти полученное целое число в мантиссе его логарифма. Затем выводится характеристика логарифма исходного числа.

    Пример. Определите 63,8733 как можно точнее, используя десятичные логарифмы с пятью знаками. Мы используем

    log⁡a3=log⁡(a13)=13⁢log⁡a.

    Мы не находим в таблице такого большого числа, как 63873; поэтому сначала возьмем мантиссу, соответствующую числу 6387, это 0,80530. Следующая мантисса, соответствующая 6388, равна 0,80536. Таким образом, разница между обеими мантиссами составляет 6 единиц последнего десятичного знака , и мы могли бы интерполировать для получения последнего десятичного знака мантиссы, соответствующего числу 63873.  Для таких интерполяций на той же странице таблицы есть вспомогательная таблица P.P. («partes пропорциональные») под названием «6»; это дает для 3 значение 2, которое нужно добавить к последнему десятичному знаку. Итак, у нас есть

    лг⁡63,873≈1,80532, (1)

    , где характеристика 1 получается из того факта, что 63,873 находится между 10 и 100.  Тогда логарифм кубического корня получается путем деления (1) на 3:

    лг⁡63,873≈0,60177

    Цифры мантиссы 60177 в таблице не найдены, наиболее близкими являются 60173 и 60184, которые соответствуют числам 3997 и 3998. таблица под названием «11» говорит, что мы должны присоединить 4 к концу 3997 (с 60177-60173=4). Таким образом мы получили результат

    63,8733≈3,9974.

    Это самое точное значение с пятью разрядами.

    • 1 К. Вяйсяля: Алгебранные оппи- я esimerkkikirja II. Питемпи курси. Вернер Сёдерстрём osakeyhtiö, Порвоо и Хельсинки. Нельяс пайнос (1956).
    • 2 GJ Hoüel: «Таблицы логарифмов à cinq decimales pour les nombres et les lignes trigonométriques…». Готье-Виллар, Париж. Второе издание (1864 г.).
    • 3 E. Voellmy: «Fünfstellige Logarithmen und Zahlentafeln für die 90o-Teilung des rechten Winkels». Orell Füssli Verlag, Цюрих. Вирценте Ауфлаж (1962).
    Название Логарифмы Бриггса
    Каноническое имя Логарифмы Бриггса
    Дата создания 22.03.2013 16:39:37
    Последнее изменение 22.03.2013 16:39:37
    Владелец пахио (2872)
    Последнее изменение: пахио (2872)
    Числовой идентификатор 15
    Автор пахио (2872)
    Тип ввода Тема
    Классификация мск 26A09
    Классификация мск 26-00
    Классификация мск 65A05
    Классификация мск 01-08
    Синоним десятичных логарифмов
    Синоним десятичных логарифмов
    Синоним лг
    Связанная тема RationalBriggsianLogarithmsOfIntegers
    Связанная тема LimitOfRealNumberSequence
    Определяет мантисса
    Определяет характеристика
    Определяет число

    Компоненты логарифмов


    Заявление о конфиденциальности — Информация об авторских правах. — Свяжитесь с нами


    Двойные логарифмы

    Введение в математику и алгебру

    Логарифмическая линейка

    КОМПОНЕНТЫ ЛОГАРИФМОВ

    Дробная часть логарифма обычно записывается как

    как десятичная. Целая числовая часть логарифм и десятичная часть были даны отдельные имена, потому что каждое играет особое часть по отношению к числу, которое логарифм представляет собой. Целая числовая часть логарифм называется ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. Этот часть логарифма показывает положение десятичная точка в связанном числе. десятичная часть логарифма называется МАНТИССА.

    Для определенной последовательности цифр, составляющих

    до числа, мантисса десятичного логарифма всегда одинакова независимо от положение десятичной точки в этом количество. Например, log 5270 = 3,72181; в мантисса равна 0,72181, а характеристика 3.

    ХАРАКТЕРИСТИКА

    Характеристика десятичного логарифма

    показывает положение десятичной точки в соответствующем количество. Характеристика для данного числа можно определить осмотром. Это будет вспомнил, что десятичный логарифм это просто показатель основания 10. Это мощность из 10, когда число написано научным обозначение.

    Когда мы пишем log 360 = 2,55630, мы понимаем, что это означает 10 2,55630 = 360. Мы знаем

    , что это число 360, а не 36 или 3600, потому что характеристика равна 2. Мы знаем, что 10 равно 10, 10 2 равно 100, а 10 2 равно 1000. Следовательно число, значение которого равно 10 2,55630 , должно лежать между 100 и 1000 и, конечно же, любое число в этом диапазоне состоит из 3 цифр.

    Предположим, что характеристика была равна 1: где

    было бы десятичная точка в числе ставиться? С 10 1 равно 10 и 10 2 равно 100, любое число логарифм которого находится между 1 и 2, должен лежать между 10 и 100 и будет иметь 2 цифры. Обратите внимание, как положение десятичной точки меняется со значением признака в следующих примерах:

    log 36 000 = 4,55630
    логарифм 3600 = 3,55630
    журнал 360 = 2,55630
    журнал 36 = 1,55630
    журнал 3,6 = 0,55630

    Обратите внимание, что изменяется только характеристика при перемещении десятичной точки. Преимущество использования базы 10, таким образом, раскрывается: если характеристика известна, десятичная точка май легко разместиться. Если число известно,

    характеристика может быть определена осмотром; то есть, наблюдая за расположение десятичной точки.

    Хотя понимание отношения

    из характеристика в степени 10 необходима для полного понимания логарифмов можно определить характеристику механически, применяя следующие правила:

    1. Для числа больше 1 характеристика положительна и равна единице меньше, чем

    количество цифр слева от десятичная точка в числе.

    2. Для положительного числа меньше 1 характеристика

    является отрицательным и имеет абсолютное значение один больше, чем количество нулей между десятичной точкой и первым ненулевым цифра номера.

    Таблица 8-5 содержит примеры каждого типа характеристики

    .

    Практические задачи. В задачах с 1 по

    4, напишите характеристику логарифма для каждого количество. В числах с 5 по 8 поставьте запятую

    Таблица 8-5.-Положительные и отрицательные характеристики.

    балла в каждом числе, как указано в характеристике (с), данной для каждый.

    1. 4 321
    2. 1.23
    3. 0,05 
    4. 12
    5. 123; с = 4
    6. 8 210; с = 0
    7. 8; с = -1
    8. 321; с = -2

    Ответы:

    1. 3 
    2. 0 
    3. -2
    4. 1
    5. 12 300 
    6. 8.210 
    7. 0,8
    8. 0,0321

    Отрицательные характеристики

    Если характеристика отрицательная, например

    -2, вычитание не проводим, так как это будет включать отрицательную мантиссу. Есть несколько способов обозначения отрицательной характеристики. Мантиссы, представленные в таблица в приложении всегда положительна а знак характеристики указывается отдельно. Например, где журнал 0,023 = 2,36173, черта над цифрой 2 указывает что только характеристика отрицательна-то есть логарифм равен -2 + 0,36173.

    Еще один способ показать отрицательную характеристику — поместить ее после мантисса. В этом случае

    мы пишем 0,36173-2.

    Третий метод, который по возможности используется в этой главе, заключается в добавить в характеристику определенное количество

    и вычесть такое же количество из справа от мантиссы. В случае например, мы можем написать:

    Таким образом, значение логарифма остается

    то же самое, но теперь у нас есть положительная характеристика, а также положительная мантисса.

    МАНТИССА

    Мантисса — это десятичная часть логарифма. Таблицы логарифмов обычно содержат

    только мантиссы, так как характеристика может быть легко определена как объяснялось ранее. Таблица 8-8 показывает характеристика, мантисса и логарифм для несколько позиций десятичной точки, используя последовательность цифр 4, 5, 6. Следует отметить, что мантисса остается то же самое для этой конкретной последовательности цифр, независимо от положения десятичной точки.

    Таблица 8-6.-Влияние изменения местоположения десятичной точки.

    Приложением I данного учебного курса является таблица

    , которая включает логарифмы чисел от 1 до 100. Для нашей нынешней цели использования этой таблицы нас интересуют только первый и шестой столбцы.

    Первый столбец содержит номер и шестой столбец содержит его логарифм. Например, если нужно найти логарифм числа 45, мы бы нашли число 45 в первом столбце, смотреть горизонтально по странице до столбца 6 и прочтите логарифм, 1,65321. Взгляд вниз по столбцу логарифмов покажет, что логарифмы увеличиваются по мере увеличения числа увеличение стоимости.

    Следует отметить в этой конкретной таблице, что оба даны мантисса и характеристика для числа в первом столбце. Это просто дополнительная помощь, так как характеристика может быть легко определена осмотр. Предположим, что мы хотим использовать таблицу Приложения I, чтобы найти логарифм номер не отображается в столбце «число». Вспоминая, что мантисса не измениться при перемещении десятичной точки, мы можем уметь определять искомый логарифм. Например, число 450 не отображается в числовом столбце таблицы. Однако число 45 имеет ту же мантиссу, что и 450; единственный разница между двумя журналами в их .характеристики. Таким образом, логарифм 450 2,65321.

    Практические задачи. Найдите логарифмы следующие номера:

    1. 64 
    2. 98 
    3. 6400 
    4. 9,8

    Ответы:

    1. 1.80618 
    2. 1.99123
    3. 3.80618 
    4. 0,99123

    47.

    47.

    Стол логарифмов

    По сравнению с другими основаниями Логарифмы Бригга имели преимущества которые были следствием соглашение базы с наша система счисления . Поэтому здесь мы будем рассматривать только Логарифмы Бригга. Некоторые из этих преимуществ:

    журнал 1 =0   с   10 0 =1       с    
    журнал 10 =1   »   10 1 =10   log0.1=-1   »   10 -1 =1/10=0,1
    логарифм 100 =2   »   10 2 =100   log0. 01=-2   »   10 -2 =1/10 -2 =0,01
    log1000=3   »   10 3 =1000   log0.001=- 3   «   10 -3 =1/10 -3 =0,001

    Все остальные логарифмы иррациональные числа . Например, 0 < log 7 < 1. Если вы предполагаете, что log 7 является дробью, скажем, p / q ( p , q не имеющие общих делителей и q > 1), тогда у вас должно быть

    10 р/к = 7 или 7 = , что иррациональные (ср. иррациональные числа )

    Очевидно, целое число 7 не может равно иррациональному числу, откуда исходное предположение было ложным . Если иррациональные числа логарифмов имеют четыре десятичные дроби, вы говорите о четырехзначном логарифмы .

    Задачи : Учитывая, что log 7,21 = 0,8597, найти лог 72.1, лог 721 и т.д.! Применить Правило I для логарифмов:

    log72.1=log(7.2110)=
    log7,21+log10 = =0,8597+1
      log0,721=log(7,21/10)=
    l= log7,21-log10= =0,8597 — 1
    log721=log(7.21100) =
    log7,21 + log100 = 0,8597 + 2 
      log0.072.1=log(7.21/100) =
    = log7,21-log100 = 0,8597-2

    Вам все еще нужно совместить числа на правые стороны. Вы делаете это в том, что касается добавления и записать log72,1 = 1,8597 и т. д. В отличие от вычитаний, для пример в log0.721 = 0.8597-1, не проводится, но вы вычислить с разницей.

    Число после запятой называется мантисса , другое число характеристика , то есть каждый логарифм имеет мантиссу и характеристику . Поскольку вычитание не выполняется, у вас есть Правило :

    Номера с одинаковой последовательностью цифр имеют одинаковую мантисса.

    В таблицах вы только найти мантисса , характеристика легко определяется. Для чисел> 1 у вас есть

    лог 1 = 0, лог 10 = 1, лог 100 = 2, журнал 3000 = 3,

    так, что логарифм числа с одним знаком перед запятой (например, 2,4) лежит между 0 и 1, то есть начинается с 0, что из числа с двумя цифрами перед запятой (например, 24,6) начинается с 1 и т. д., откуда

    Если число > 1 содержит n цифры до десятичной точки,
    его
    характеристика есть n -1.

    Задача : Найти журнал 125!

    Таблица логарифмов, часть которых показана, организована в таком таким образом, что журнал N данного номера N, для пример 125, находится путем поиска для начала с первых двух цифры, в данном случае 12, в первом вертикальном столбце, а затем третья цифра в обозначенной горизонтальной строке, в данном случае 5. Таким образом, вы найдете мантиссу 0969 и определить характеристику 2 по приведенным выше правилам, откуда log 125 = 2,0969.

    Примеры : Найти 1. журнал 16. 2. По приведенной выше таблице мантисса равна 2095, характеристика , потому что число состоит из двух цифр в перед запятой, равно 1, откуда

    1: журнал 16,2 = 1,2095   2: журнал 2,09 = 0,3201   3: log 1400= 3,1461

    Далее рассмотрим числа < 1. Отсюда следует, что логарифм a число, которое имеет 0 перед десятичной точкой (то есть 0. -n), должен лежать между 0 и -1 и, следовательно, имеет характеристику n =-1, характеристику числа с один 0 после запятой имеет характеристика n = -2 и т. д., откуда

    log 0,721 = 0,9785 — 1   log 0,0721 = 0,9785 — 2

    Отсюда следует для числа от 0 до 1 Правило :

    Логарифмы чисел, которые начинаются с 0. …, также логарифм начинается с нуль. Характеристика минус количество нулей до
    первая ненулевая цифра.

    Примеры : Журнал поиска 0,172. соответствующая мантисса (см. таблицу выше) равна 2355, количество нулей равно 1, откуда

    1: журнал 0,172=0,2355 — 1   2: log 0,00191=0,2810 — 3   3. log 0,014=0,1461 — 2.

    Так как таблица логарифмов выше относится к числам с тремя цифрами, вы сначала округляете до трех мест, например а = 43,6458 до 43,6. Точно так же, если заданный логарифм не находится точно в таблице, вы используйте запись, ближайшую к заданному значению.

    Примеры :

    1: журнал 14. 694
    = log14,7 = 1,1673
      2: журнал а = 1,2331   и =17,1   3: журнал a = 0,2879 — 1   а=0,194

    последний следующий

    Онлайн-репетиторство | Репетиторство по математике, английскому языку, естественным наукам

    Использование логарифмических значений

    Логарифмические значения чрезвычайно полезны при нахождении произведений, частных и извлечении корней более высокого порядка, чем 3.

    Например, найдите числовые значения

    значения также могут быть использованы для изменения основания логарифма.

    Логарифмические таблицы

    Логарифмические таблицы имеют форму, приведенную ниже.

     

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    Разность средних

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    0000

    0043

    0086

    0128

    0170

    0212

    0253

    0294

    0334

    0374

    4

    8

    12

    17

    21

    25

    29

    33

    37

    11

    0414

    0453

    0492

    0531

    0569

    0607

    0645

    0682

    0719

    0755

    4

    8

    11

    15

    19

    23

    26

    30

    34

    12

    0792

    0828

    0864

    0899

    0934

    0969

    1004

    1038

    1072

    1106

    3

    7

    10

    14

    17

    21

    24

    28

    31

    13

    1139

    1173

    1206

    1239

    1271

    1303

    1335

    1367

    1399

    1430

    3

    6

    10

    13

    16

    19

    23

    26

    29

    14

    1461

    1492

    1523

    1553

    1584

    1614

    1644

    1673

    1703

    1732

    3

    6

    9

    12

    15

    18

    21

    24

    27

    15

    1761

    1790

    1818

    1847

    1875

    1903

    1931

    1959

    1987

    2014

    3

    6

    8

    11

    14

    17

    20

    22

    25

    16

    2041

    2068

    2095

    2122

    2148

    2175

    2201

    2227

    2253

    2279

    3

    5

    8

    11

    13

    16

    18

    21

    24

    17

    2304

    2330

    2355

    2380

    2405

    2430

    2455

    2480

    2504

    2529

    2

    5

    7

    10

    12

    15

    17

    20

    22

    18

    2553

    2577

    2601

    2625

    2648

    2672

    2695

    2718

    2742

    2765

    2

    5

    7

    9

    12

    14

    16

    19

    21

    19

    2788

    2810

    2833

    2856

    2878

    2900

    2923

    2945

    2967

    2989

    2

    4

    7

    9

    11

    13

    16

    18

    20

    20

    8010

    3032

    3054

    3075

    3096

    3118

    3139

    3160

    3181

    3201

    2

    4

    6

    8

    11

    13

    15

    17

    19

    21

    3222

    3243

    3263

    3284

    3304

    3324

    3345

    3365

    3385

    3404

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    22

    3424

    3444

    3464

    3483

    3502

    3522

    3541

    3560

    3579

    3598

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    15

    17

    23

    3617

    3636

    3655

    3674

    3692

    3711

    3729

    3747

    3766

    3784

    2

    4

    6

    7

    9

    11

    13

    15

    17

    24

    3802

    3820

    3838

    3856

    3874

    3892

    3909

    3927

    3945

    3962

    2

    4

    5

    7

    9

    11

    12

    14

    16

    25

    3979

    3997

    4014

    4031

    4048

    4065

    4082

    4099

    4166

    4133

    2

    3

    5

    7

    9

    10

    12

    14

    15

    26

    4150

    4166

    4183

    4200

    4216

    4232

    4249

    4265

    4281

    4298

    2

    3

    5

    7

    8

    10

    11

    13

    15

    27

    4314

    4330

    4346

    4362

    4378

    4393

    4409

    4425

    4440

    4456

    2

    3

    5

    6

    8

    9

    11

    13

    14

    28

    4472

    4481

    4502

    4518

    4533

    4548

    4564

    4879

    4594

    4609

    2

    3

    5

    6

    8

    9

    11

    12

    14

    В приведенной выше таблице первый столбец обозначает первые две значащие цифры данного числа, логарифм которого необходимо найти. Следующий набор столбцов с 0,1….9 в начале столбцов обозначает третьи значащие цифры чисел.

    Числа, указанные под заголовками первых одиннадцати столбцов, представляют собой мантиссу логарифмов с опущенной десятичной точкой.

    Числа, приведенные под заголовком «Разность средних», представляют собой приблизительные приращения мантиссы за счет четвертой значащей цифры в данном числе.

    Пример 1

    Найдите логарифм числа 24.

    Решение:

    Число состоит из двух цифр до запятой, так как 24 = 24,0000.

    Характеристика журнала 24 = 2-1 = 1.

    Так как третья и четвертая значащие цифры данного числа — нули, мантисса этого числа — это число в строке, содержащей 24, и в столбце, возглавляемом 0. Итак, из таблицы

    log 24 = 1,3802

    Пример 2

    Найдите логарифм числа 193.

    Решение:

    Число состоит из трех цифр.

    Характеристика бревна 193 = 3-1 = 2,

    Третьей значащей цифрой числа является 3, а четвертой — 0, мантисса числа 193 указана в строке, содержащей 19, и в столбце, возглавляемом цифрой 3. Из таблицы это равно 2856.

    log 193 = 2,2856

    Пример 3

    Найдите логарифм числа 2147

    Число состоит из четырех цифр.

    Характеристика бревна 2147 = 4-1 = 3

    Третья значащая цифра 4

    Четвертая значащая цифра 7

    Мантисса числа, указанная в строке, содержащей 21, и в столбце, заглавном 4, увеличивается на число, указанное под заголовком 7 средней разности, где 7 является четвертой значащей цифрой.

    Итак, мантисса равна 3304 + 14 = 3318

    log 2147 = 3,3318

    Характеристика журнала 2,356 = 1-1 = 0,

    Числа 2,356 и 2356 имеют одинаковые значащие цифры и, следовательно, их мантиссы одинаковы.

    Таким образом, мантисса находится в строке, содержащей 23, под столбцом, заголовком которого является 5 для третьей значащей цифры, и увеличивается на число, указанное под заголовком 6 средней разности, где 6 является четвертой значащей цифрой.

    Таким образом, мантисса равна 3711 + 11 = 3722

    или log 2,356 = 0,3722

    Пример 5

    Пример 6

    Найдите логарифм числа 240562

    Для получения логарифма нам нужны четыре значащие цифры. Если число имеет более четырех значащих цифр, мы округляем четвертую цифру до ближайшего целого числа. Поэтому, когда нам нужно найти мантиссу, 240562 становится 2406.

    Число состоит из шести цифр.

    Характеристика логарифма 240562 = 6-1 = 5.

    Мантисса получается в строке, содержащей 24, под столбцом, заголовком которого является 0, и увеличивается на число, указанное под заголовком 6 средней разности.

    Мантисса равна 3802 + 11 = 3813.

    log 240562 = 5,3813

    Попробуйте ответить на эти вопросы

    Найдите логарифмы следующих чисел

    1. 6,183
    2. 786,24
    3. 21,978
    4. 0,6432
    5. 0,0000787
    Ответы
    1. Пусть х = 6,183
      лог х = лог 6,183
      = 0,7912

    2. Пусть х = 786,24
      лог х = лог 786,24 = лог 786,2
      = 2,8955

    3. Пусть х = 21,978
      лог х = лог 21,978 = лог 21,98
      = 1,3404 + 16        (средняя разница)
      log x = 1,3420


    как научить вашего ребенка арифметике с числами математике — запись логарифмов

    как научить вашего ребенка детская арифметика чисел математика — запись логарифмы являются частью серия документов о фундаментальном образовании на abelard.org. Эти страницы представляют собой подмножество сумм, которые будут освободить тебя

    вводные замечания
    вспомогательные инструменты журналы разработки
    логарифмические линейки

    логарифмы и экспоненты — та.с.  

    концевые примечания

     
    таблицы журналов
    преобразование число в десятичном логарифме
    разрешение логарифм с основанием десять в число
    логов числа между нулем и единицей: характеристика бара
    умножений включая отрицательные числа
    делений используя журналы
    как научить человека числу, арифметике, математике по обучению чтению
    • введение
    • подсчет и сложение
    • вычитание и больше счет
    • умножение
    • отделение
    • записывать суммы

    • одновременных уравнений с модельными ответами
    • квадратных уравнений с модельными ответами
    • простое числа и множители, сито Эратосфена
    • дроби, десятичные знаки и проценты 1
    • дроби, десятичные знаки и проценты 2
    • ‘равенство’ или ‘такой же, как’
    • равенство и уравнения
    • понимание графиков и диаграмм
      по статистике:
    • расчет скользящих средних
    • запись статистики — с использованием стандартной таблицы нормального распределения
    • Абеляра учебный счетчик по математике
    • минус и ноль, дело ни с чем и меньше чем с ничего!
    • понимание, расчет и изменение базы
    • понимание наборы и набор логики
    • запись наборов и набор логических уравнений
    • заказов величин, индексов (степеней) и логарифмов
    • письмо логарифмы вниз
    • как научить ребенка читать с помощью фонетики
    • фонетическая таблица для британского английского
    • тест чтения и соответствующая информация
    • списки для чтения книг
    • люси на бумаге
    • Реальность, закладывающая основу качественного образования
    • Логика Аристотеля — почему аристотелевская логика не работает
    • Программа обучения гражданству
    • Обратная связь и скопление людей
    • Франшиза по экзаменам, образованию и интеллекту
    • Введение в документы для обсуждения франшизы
    • Власть, собственность и свобода
    • Логика этики

    Логарифмы (или логарифмы) по основанию 10 обычно пишется как лог. Логи в другие базы пишутся как log 2 для журналов по основанию 2 или log 5 для журналов по основанию 5 и так далее. Важно, чтобы число, указывающее основание логарифма, явно пишется меньше и ниже слова «бревно», в противном случае войдите 2 можно спутать с журналом 2, совсем другое животное.

    инструментов помочь в разработке журналов

    В 1600-х годах Нейпир изобрел бревна. Бриггс создал полезные таблицы журналов (мы рассмотрим их чуть позже).

    С самого начала были разработаны логарифмические линейки. широко использовались для научных и инженерных расчетов, пока появление компьютеров и карманных калькуляторов.

    логарифмические линейки

    Ниже представлена ​​научная логарифмическая линейка.
    В закрытом состоянии он имеет длину 337 ​​мм и глубину 46 мм. Курсор Блок имеет глубину 59 мм.


    отказ от ответственности за рекламу

    Эта линейная направляющая установлено правило простого вычисления — 3 x 2.

    Центральный ползунок перемещается так, чтобы его номер 1 был выровнен с 3 на верхней половине кадра. Левый оранжевый ромб на увеличенном изображении ниже подчеркивает это.

    Отметка 2 на центральном ползунке совпадает с отметкой 6 на внешней раме. Таким образом, ответ этой суммы равен 6 (выделено правым оранжевым ромбом), но Почему?

    Помните, что логарифмическая линейка — это физическая версия выполнения вычисления с использованием показателей, или журналы. С нашей суммой 3 x 2 мы берем длину, эквивалентную log 3 на внешней раме и прибавьте к нему длину, эквивалентную к журналу 2. Полученная общая длина эквивалентна до log 6. Таким образом, хотя мы сложили вместе две длины, результат эквивалентен умножению двух чисел.

    При установке ползуна в это положение можно делать дальше вычисления, такие как 3 x 3 или 3 x 2·5 (= 7·5).

    Как а также линейные логарифмические линейки есть (или были, если вы считают эти инструменты излишним антиквариатом) правила слайдов.

    Вот фото одного, красиво, не правда ли?

    Вместо рамки и бегунка есть внутренний и внешний кольца, которые могут двигаться отдельно. Вы можете видеть только прозрачное блок курсора, который может вращаться вокруг логарифмической линейки центральная точка. Эта логарифмическая линейка имеет диаметр 12,3 см.

    Как и в случае с логарифмической линейкой, показанной чуть выше, это логарифмическая линейка настроена на показ простого умножения сумма, снова 2 х 3 = 6,

    На этой круглой логарифмической линейке отправные точки для разная длина бревна отмечена треугольником.

    • Треугольник на внешнем кольце (выделен внутри оранжевый ромб) указывает на начало логарифмическая шкала для первого числа, 2,
    • Треугольник для внутреннего кольца (выделен внутри голубой ромб) устанавливается на длину, эквивалентную в журнал 2.
    • Курсор, отмеченный оранжевой стрелкой (две внешние стрелки показывают степень прозрачного курсора блок), помещается на длину, эквивалентную логарифму 3 на внутреннем кольце (выделено зеленым ромбом). Как видите, курсор указывает, как 3 также совпадает с 6 на внешнем кольце.

    При установке ползуна в это положение можно делать дальше 2-кратный расчет: 2 х 4 = 8, 2 х 5 = 1 (!). Для этого последняя сумма, вы должны использовать свой интеллект и понять что ноль не отображается, так как 2 умножить на 5 равно 10.


    отказ от ответственности за рекламу

    таблицы журналов и как их использовать

    Таблицы журналов обычно поставляются в небольших книгах, в том числе в виде а также таблицы журналов, таблицы для расчета других переменных такие как косинусы, косексы, котангенсы и антилогарифмы — используются чтобы преобразовать номер журнала обратно в целое число. ,

    Чуть ниже на этой странице указаны четырехзначные (четырехместные) журнальные таблицы. Они используются для выполнения умножения и суммы деления с использованием десятичных чисел до четырех цифры после запятой.

    Прежде чем пользоваться таблицами, необходимо понять некоторые вещи о них. Прежде всего знайте, что хотя нет десятичной точки в таблицах журналов, группы по четыре числа — десятичные дроби.

    Далее, таблицы журналов предназначены для экономии места, поэтому размер числа отделяется от его значения. Что значит все это значит? Ну, вместо того, чтобы иметь отдельные таблицы для скажем, от 1 до 100, от 100 до 1000 и от 1000 до 10 000, есть один набор таблиц, а пользователь — вы — указываете потом размер номера.

    Так номер журнала разбивается на две части: слева и справа от точки. Левая часть называется характеристикой. и указывает на заказ журнала

    число в степени 10 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4
    характеристика/порядок журнала -1 0 1 2 3 4
    номер разрешен 1 / 10 1 10 100 1000 10 000

    , если число находится в диапазоне от 0 до 10, скажем, 1·2, его лог должен лежать между 0 и 1: лог будет 0. что-то ;
    если число находится между 10 и 100, скажем, 12, его log должен лежать между 1 и 2: log будет 1. что-то ;
    если число находится между 100 и 1000, скажем, 120, его лог должен лежать между 2 и 3: лог будет 2. something ;
    если число находится между 1 000 и 10 000, скажем, 1 200, его журнал должен лежать между 3 и 4: журнал будет 3. нечто .

    Обратите внимание, что в каждом случае характеристика совпадает с индексом (или показателем степени), когда число Заинтересованное выражается (записывается) как число в степени из десяти: 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 .

    И что-то , часть справа от смысл?
    Это всегда одно и то же число для одних и тех же цифр, независимо от того, где может падать десятичная точка. Называется «мантисса». и обрабатывается с использованием таблиц журналов, подобных показанным ниже. [Числа в прямоугольниках являются частью рабочего для преобразования числа в десятичный логарифм, который описано чуть ниже.].

    Нажмите, чтобы распечатать полные, неотмеченные четырехзначные таблицы журналов. [Открывается в новой вкладке/окне.]

    Нажмите, чтобы распечатать полные четырехзначные таблицы журналов в формате .pdf.

    преобразование число в десятичном логарифме

    Теперь, чтобы сделать сумму, используя таблицы журналов. Предположим, вы хотите умножьте 24·78 x 33·16. Мы начинаем с работы из мантиссы, часть справа от десятичной точка в журнале,
    [На странице таблиц журналов выше числа в прямоугольниках являются частью работы на эту сумму.]

      Для 24·78,
    • сначала найдите 24 в столбце N, затем запустите пальцем до 7 столбца. Отметьте (пальцем, или памяти) что число там 3927.
    • Продолжайте перемещать палец по той же строке, пока не дойти до 8 столбца «пропорциональных частей». Обратите внимание на число 14.
    • Сложите 3927 и 14 для получения мантиссы журнала от 24.78: 3941.

    Эта мантисса добавляется к характеристике 24·78 отдать лог.

    • Поскольку 24·78 находится между 10 и 100, его характеристика 1.
    • Таким образом, логарифм 24·78 равен 1,3941. Лог 24·78 = 1,3941.
      Для 33·16,
    • сначала найдите 33 в столбце N, затем запустите палец поперек к 1 столбцу. Отметьте (пальцем, или памяти) что число там 5198.
    • Продолжайте перемещать палец по той же строке, пока не дойти до 6 столбца «Пропорциональные части». Обратите внимание на номер 8.
    • Сложите 5198 и 8 для мантиссы журнала из 33·16: 5206.

    Эта мантисса добавляется к характеристике 33·16 отдать лог.

    • Поскольку 33·16 находится между 10 и 100, его характеристика 1,
    • Таким образом, логарифм 33·16 равен 1,5206. Лог 33·16 = 1,5206.

    Итак, 24·78 x 33·16 является умножением сумма, два журнала добавлены вместе.
    1,3941 +
    1,5206
    2,9147

    2,9147 — это логарифм по основанию десяти, то есть это 10 2,9147 .
    Этот журнал необходимо преобразовать обратно в число, чтобы найти результат нашей суммы умножения.

     решение логарифм по основанию десяти до числа

    Это можно сделать с помощью другого набора таблиц, который называется антилогарифмы, но здесь мы будем жесткими и нумеровать и использовать сами таблицы журналов!

    • Сначала разбираем бревно на его характеристику и мантисса: 2 и 9147.
      Характеристика 2 «отложим» использовать позже.

      Теперь к мантиссе, 9147!

    • Глядя на таблицу логов ниже, мы находим номер что равно или немного меньше 9147.
      На строке 82 в столбце 1 стоит 9143.
    • Так идем вдоль линии, вправо, пока не найдем a 4 в разделе пропорциональных частей (9143 + 4 = 9147).

      Чтобы добавить веселья, на этот раз мы находим 4 дважды, в 7 и в 8 колонках. Это потому, что таблицы только для четырех знаков логарифмов, а так иногда округление ошибки. В нашем случае мы теперь знаем, что четвертое место в нашем разрешенном числе где-то около 7 и 8, поэтому мы возьмем среднее значение 75. (Обратите внимание, что мы игнорируем любые десятичные знаки, пока не применим характеристику к завершенной/разрешенной мантиссе.)

    Итак, мантисса разрешается в 82175.

    • Но помните характеристику 2, которую мы бы ‘отложить в сторону’?
      Характеристика 2 означает, что число, от которого получен лог. составляет от 100 до 1000.
    • Итак, исходный номер (с логарифмом 2,9147) составляет от 100 до 1000. Таким образом, разрешенное число должно быть 821·75 или 24·78 х 33·16 = 821·75 .

    Проверка калькулятором, результат 24·78 х 33·16 = 821·7048. Помните, что у нас есть использовал четырехзначный логарифм, поэтому небольшие неточности будут вползать.

    Так вот как в старину делали, с бревнами в качестве короткого пути (конечно, становишься много быстрее с практикой) или гораздо быстрее, но менее точно, правила слайдов. Есть логарифмы и другие таблицы. до десяти цифр и, возможно, больше, что может быть полезно для проверки компьютерных программ. И, конечно же, компьютер программы теперь могут генерировать такие таблицы с помощью различных итерации.

    Теперь у вас есть удобный карманный калькулятор, вы можете подумать что вычисление с помощью логарифмов немного утомительно. Но помните, понимание задействованных процессов очень полезно для создания основы для понимания того, как числа и работают индексы/степени.

    Вы заметили, что на логарифмических линейках есть разные шкалы. показано выше, что позволяет вам найти много других интересных соотношения и результаты. Подобные справочные таблицы обычно доступны в журнальных таблицах.

    логов числа между нулем и единицей: характеристика стержня

    Когда число от нуля до единицы преобразуется в логарифм по основанию 10, log 10 , характеристика журнала (например, мощность числа по основанию 10) будет быть отрицательным. То есть, в то время как мантисса журнала всегда положительна, его характеристика будет отрицательной для числа меньше 1,0.

    характеристика / заказ журнала -2 -1 0
    число в степени 10 10 -2 10 -1 10 0
    номер разрешен 1 / 100 или .01 1 / 10 , или .1 1

    При письме от руки легко написать отрицание характеристика как положено, чертой — полоса — над номером. К сожалению, обычные компьютерные клавиатуры (а также калькуляторы и современный набор текста) не могут сделать отметку, как это, так что отрицательная характеристика очень часто показывается как минус перед характеристикой. Поскольку мы также ограничены возможностями компьютерного набора текста, мы также поставим знак минус, чтобы указать на отрицательную характеристику — барный журнал. Вот что такое логарифм с отрицательным логарифмом выглядит, когда написано от руки.

    Когда вы записываете журналы, вы можете либо записывать их как этот пример, или вы можете написать их как калькулятор или компьютер делает — если вы уверены, что вы не станете смущенный. Запомните характеристику может быть отрицательной или положительной, но мантисса (до справа от точки или точки) всегда положительна.

    Теперь это может легко вызвать путаницу, потому что минус знак перед десятичным числом, например -1·234 (или в настоящее время часто пишется/печатается как -1,234) применяется ко всем десятичным числам: наш пример десятичного числа состоит из -1 и — ·234.

    Журнал, описанный в слова как бар одна точка два три четыре, и пишется как -1,234, состоит из характеристики -1 и мантиссы 0,234, а не -0,234.

    Вот пример суммы: 3 x ·09.

    Используя приведенные выше таблицы журналов,
    логарифм 3 равен 0,4771,
    а логарифм ·09 равен 2,9542, или 2 бара и 0,9542.

    Поскольку 3 x ·09 является суммой умножения, два журналы добавлены вместе.
    0,4771 +
    2,9542
    1,4313

    Разборка лога на его характеристику и мантиссу: бар 1 и 4313.
    Характеристика -1 мы будет «отложен» для последующего использования.
    Используя приведенные выше таблицы журналов, мантисса разрешается до 269.9.

    Теперь используем характеристику -1 определить размер разрешаемого числа. Характеристика -1 означает, что число должно быть между ·1 и ·9. Таким образом, разрешенное число должно быть ·2699.

    Опять в наш расчет закрались ошибки округления используя журналы. Делая эту сумму напрямую, ответ будет · 27.

    умножений включая отрицательные числа

    При умножении отрицательных чисел мы продолжали бы как если бы числа были положительными, а затем, в конце умножение, мы исправим окончательный результат используя обычный правила. То есть положительное время положительное или отрицательное раз отрицательное дает положительный результат, а отрицательное время положительное и положительное время отрицательное дает отрицательное результат; или, одинаковые знаки положительные, противоположные знаки отрицательные. Это может быть выражено в типичном двоичная таблица:

      +
    + +
    +

    отделов используя журналы

    Для подразделений, использующих бревна, применяются аналогичные процедуры. Для a — b (например, 3 — 2) логарифм 2 будет вычитается из журнала 3. В противном случае продолжайте как обычно. Вы также можете увидеть этот процесс на слайде правило выше, где 3 x 2 = 6 также можно прочитать в обратном порядке где 6 ÷ 2 = 3,

     

    логарифмов и экспонент

    — та.с.

    Логарифмическая зависимость – это обратная экспоненциальная зависимость. В экспоненциальной зависимости вещи становятся все быстрее и быстрее. В логарифмической зависимости вещи становятся все медленнее и медленнее.

    Например, следующее уравнение описывает простейшую экспоненциальную отношения:-

    у = 10 х (1)

    По мере того как x становится больше, y становится больше, а y растет все быстрее и быстрее. Любой положительный отзыв система, как и ядерный взрыв, может быть описана экспоненциальной отношение.

    х = журнал 10 у (2)

    Уравнение (2) означает то же самое, что и уравнение (1), за исключением этого времени. мы больше заботимся о том, что происходит с x. Чем больше у, тем больше х, но x становится все медленнее и медленнее. Уравнение (2) описывает логарифмическую отношение. Любой негатив система обратной связи, например, как ваше тело регулирует вашу температуру, можно описать логарифмической зависимостью.

    Каждое экспоненциальное отношение можно рассматривать как логарифмическое отношение, наоборот.

    Математики часто используют специальное число под названием «е» (~2,72), вместо 10:

    у = е х (3)
    x = логарифм e y = ln x (4)

    e используется потому, что оно обладает некоторыми особыми свойствами, благодаря которым суммы в исчисление — математика для вычисления наклонов кривых и площадей под кривые — проще. Основание логарифма e иногда называют «натуральной логарифм» и записывается как «ln». Когда основание логарифм не указывается явно, например, «y = log x», это предполагается, что это логарифм по основанию 10, как в уравнении (2).

    концевые примечания

    1. Точка, похожая на точку, которая отделяет характеристику логарифма от мантисса справа называется «точкой». Она похожа на десятичную точку, но не точно такой же. Помните, что десятичная точка должна стоять на середина числа, но, как и точка, логарифмическая точка лежит на базовой линии числа.

    Логарифмы | Encyclopedia.com

    gale

    просмотров обновлено 11 мая 2018

    Ресурсы

    Нахождение логарифма числа является обратным действием возведения числа в степень (возведение в степень). В общем, логарифм по основанию b любого числа x — это число L такое, что x = b L . Например, логарифм 100 по основанию 10 равен 2, потому что 100 = 10 2 . Это может быть сокращено журнал 10 100 = 2.

    Поскольку логарифмы определяются в терминах показателей, они тесно связаны с экспоненциальными функциями и законами показателей.

    Основное соотношение: b x = y тогда и только тогда, когда x = log b y. Так как 2 3 = 8, log 2 8 = 3. Так как согласно таблице логарифмов log 10 2 = 0,301, 10 .301 = 2.

    Основные законы логарифмов и экспоненциальные законы, из которых они выводятся, показаны в таблице 1.

    Таблица 1. Основные законы логарифмов . ( Томсон Гейл ).
    Major laws of logarithms
    I log b (xy) =log b x + log b y b n b m = b n +m
    II log b (x/y) = log b x –log b y b n /b m b =0311 n+m
    III log b x y = y log b x (b n ) m = b( nm )
    IV log b x = (log b a)(log a x) Если x = b r ; b = A P , затем x = A PR
    V LOG B B N = N , если B N = B M , тогда B N = B M , тогда N = M 111111 2 . 0014
    VI log 1 = 0 (любое основание) b 0 = 1

    Во всех этих правилах основания a и b и аргументы x и y ограничены положительными числами. Показатели m, n, p и r и логарифмы могут быть положительными, отрицательными или нулевыми.

    Поскольку логарифмы зависят от используемого основания, оно должно быть четко указано. Обычно он отображается в виде нижнего индекса. Есть два исключения. Если основание равно 10, логарифм можно записать без нижнего индекса. Таким образом, журнал 1000 означает журнал 9.2863 10 1000. Логарифмы с основанием 10 называются «обычными» или «бриггсовскими». Другим исключением является случай, когда основанием является число e (которое равно 2,718282…). Такие логарифмы записываются через x и называются «натуральными» или «напьеровыми» логарифмами.

    Чтобы использовать логарифмы, нужно уметь их вычислять. Самый простой способ сделать это — воспользоваться «научным» калькулятором. Такой калькулятор обычно имеет две клавиши, одну с пометкой «LOG», которая дает десятичный логарифм введенного числа, и другую «LN», которая дает натуральный логарифм.

    За неимением такого калькулятора можно обратиться к таблицам десятичных логарифмов, которые можно найти в различных справочниках или приложениях различных статистических и математических текстов. При использовании таких таблиц необходимо знать, что они содержат логарифмы только в диапазоне от 0 до 1. Это логарифмы чисел в диапазоне от 1 до 10. Если кто-то ищет логарифм числа, скажем, 112 или 0,0035, за пределами этого диапазона, необходимо сделать некоторые приспособления.

    Проще всего это сделать, записав число в экспоненциальном представлении:

    112 = 1,12 × 10 2
    .0035 = 3,5 × 10 3

    Затем, используя закон I

    log 112 = log 1.5 + log 10 2
    log .0035 = log 3.5 + log 10 2
    10 3

    Журнал 1.12 и 3. 5 можно найти в таблице. Они равны 0,0492 и 0,5441 соответственно. Log 10 2 и log 10 -3 просто 2 и -3 по закону V: поэтому

    log 112 = 0,0492 + 2 = 2,0492
    log 0,0035 = 0,5442 — 3 = -2,4559

    Две части полученных логарифмов называются «мантисса» и «характеристика». Мантисса — это десятичная часть, а характеристика — целая часть. Поскольку таблицы логарифмов показывают только положительные мантиссы, логарифм, такой как -5,8111, должен быть преобразован в 0,1889-6, прежде чем таблицу можно будет использовать для нахождения «антилогарифма», который является именем, данным числу, логарифмом которого оно является. Калькулятор покажет антилогарифм без такого преобразования.

    Также существуют таблицы натуральных логарифмов. Поскольку для натуральных логарифмов не существует простого способа определения характеристики, в таблице будут указаны и характеристика, и мантисса. Он также будет охватывать более широкий диапазон чисел, возможно, от 0 до 1000 или более. Альтернативой является таблица десятичных логарифмов, преобразующая их в натуральные логарифмы по формуле (из закона IV) ln x = 2,30285 × log x. Логарифмы используются для различных целей. Одно существенное применение — использование, для которого они были впервые изобретены — это упрощение вычислений. Законы I и II позволяют умножать или делить числа путем сложения или вычитания их логарифмов. Когда числа состоят из большого количества цифр, обычно проще складывать или вычитать. Закон III позволяет возводить число в степень, умножая его на логарифм. Это гораздо более простая операция, чем возведение в степень, особенно если показатель степени не равен 0, 1 или 2.

    Когда-то для вычислений широко использовались логарифмы. Астрономы полагались на них для обширных вычислений, необходимых для их работы. Инженеры выполняли большинство своих вычислений с помощью логарифмических линеек, которые представляют собой механические устройства для сложения и вычитания логарифмов или, используя логарифмические шкалы, для их умножения. Современные электронные калькуляторы заменили логарифмические линейки и таблицы для вычислительных целей — они быстрее и точнее, — но понимание свойств логарифмов остается ценным инструментом для всех, кто широко использует числа.

    Если нарисовать шкалу, на которой логарифмы возрастают одинаковыми шагами, антилогарифмы будут тесниться все ближе и ближе друг к другу по мере увеличения их размера. Делается это очень системно. В так называемой логарифмической шкале равные интервалы соответствуют равным отношениям. Например, интервал между 1 и 2 такой же длины, как интервал между 4 и 8.

    Логарифмические шкалы используются для многих целей. Шкала pH, используемая для измерения кислотности, и шкала децибел, используемая для измерения громкости, являются логарифмическими шкалами (то есть они являются логарифмами кислотности и громкости). Таким образом, они растягивают шкалу там, где кислотность или громкость слабы (и заметны небольшие вариации), и сжимают ее там, где они сильны (где для заметного эффекта необходимы большие вариации). Другой пример преимущества логарифмической шкалы можно увидеть в шкале, которую может построить социолог. Если бы он нарисовал обычный график семейных доходов, увеличение минимальной заработной платы на доллар в час имело бы такое же значение, как увеличение на доллар в час дохода руководителя корпорации, зарабатывающего полмиллиона долларов. долларов в год. Однако такое увеличение имело бы гораздо большее значение для семьи, чей добытчик или добытчики работали на уровне минимальной заработной платы. Логарифмическая шкала, где равные интервалы отражают равные отношения, а не равные различия, покажет это.

    Логарифмические функции также проявляются как обратные экспоненциальные функции. Если P = ke t , где k — константа, представляет население как функцию времени, то t = k + ln P, где K = —ln k, также является константой, представляет время как функцию населения. Демограф, желающий узнать, сколько времени потребуется, чтобы население выросло до определенного размера, нашел бы логарифмическую форму зависимости более полезной.

    Из-за этого отношения логарифмы также используются для решения экспоненциальных уравнений, таких как 3 — = 2x as или 4e k = 15,

    Изобретение логарифмов приписывается Джону Нейпиру, шотландскому математику, жившему с 1550 по 1617 год. Однако изобретенные им логарифмы не были простыми логарифмами, которые мы используем сегодня (его логарифмы не были теми, что сейчас называют «напировскими») . Вскоре после того, как Нейпир опубликовал свою работу, Бриггс, английский математик, встретился с ним, и вместе они разработали логарифмы, которые гораздо больше напоминают десятичные логарифмы, которыми мы пользуемся сегодня. Однако ни Нейпир, ни Бриггс не связывали логарифмы с показателями степени. Они были изобретены до того, как стали использоваться экспоненты.

    КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

    Характеристика — Целая часть логарифма.

    Логарифм —Показатель степени. Если a = b c , c является логарифмом по основанию b числа a.

    Логарифмическая функция — Функция вида y = K + log b x.

    Логарифмическая шкала — Шкала, в которой логарифмы чисел расположены через равные промежутки.

    Мантисса —десятичная часть логарифма.

    КНИГИ

    Бичер, Максим и Гейлорд, Гарри Дэвис. Тригонометрия с теорией и использованием логарифмов. Научное издательство, Библиотека Мичиганского университета, 2005 г.

    Лиал, Маргарет Л. и др. Предварительный расчет. Индианаполис, Иллинойс: Addison Wesley, 2004.

    Stewart, James, et al. Precalculus: Математика для исчисления. Бельмонт, Калифорния: Брукс Коул, 2005.

    Дж. Пол Моултон

    Научная энциклопедия Гейла

    буря

    просмотров обновлено 11 июня 2018

    Логарифм — это показатель степени . Логарифм (по основанию 10) числа 100 равен 2, потому что 102 = 100. Это может быть сокращено log10100 = 2.

    Поскольку логарифмы являются показателями степени, они тесно связаны с показательными функциями и с законами показателей.

    Основное соотношение: bx = y тогда и только тогда, когда x = logb y. Так как 23 = 8, log2 8 = 3. Так как согласно таблице логарифмов log10 2 = 0,301, 10,301 = 2,

    Основные законы логарифмов и экспоненциальные законы, из которых они получены, показаны в таблице 1.

    Во всех этих правилах основания a и b и аргументы x и y ограничены положительными числами. Показатели m, n, p и r и логарифмы могут быть положительными, отрицательными или нулевыми .

    Поскольку логарифмы зависят от используемого основания, оно должно быть четко указано. Обычно это

    ТАБЛИЦА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛОГАРИФМОВ
    I logb (xy) = logb x + logb y bn•bm = bn+m
    II log (x/y) = logb x — logb y bn/bm = bn+m m
    III logb xy = y•logb x (bn)m = b(nm)
    IV logb x = (logb a)(logax) Если x = br ; b = ap, то x = apr
    V logb bn = n Если bn = bm, то n = m
    VI log 1 = 0 (любое основание) b0 = 1

    отображается в виде нижнего индекса. Есть два исключения. Если основание равно 10, логарифм можно записать без нижнего индекса. Таким образом, log 1000 означает log10 1000. Логарифмы с основанием 10 называются «обычными» или «бриггсовскими». Другим исключением является случай, когда основанием является число e (равное 2,718282…). Такие логарифмы записываются через x и называются «натуральными» или «напьеровыми» логарифмами.

    Чтобы использовать логарифмы, нужно уметь их вычислять. Самый простой способ сделать это — использовать «научный» калькулятор . Такой калькулятор обычно имеет две клавиши, одну с пометкой «LOG», которая дает десятичный логарифм введенного числа, а другую «LN», которая дает натуральный логарифм.

    За неимением такого калькулятора можно обратиться к таблицам десятичных логарифмов, которые можно найти в различных справочниках или приложениях различных статистических и математических текстов. При использовании таких таблиц необходимо знать, что они содержат логарифмы только в диапазоне от 0 до 1. Это логарифмы чисел в диапазоне от 1 до 10. Если кто-то ищет логарифм числа, скажем, 112 или 0,0035, за пределами этого диапазона, необходимо сделать некоторые приспособления.

    Проще всего это сделать, записав число в экспоненциальной записи:

    Тогда по закону I

    Лог 1.12 и лог 3.5 можно найти в таблице. Они равны 0,0492 и 0,5441 соответственно. Лог 102 и логарифм 10-3 просто 2 и -3 по закону V: поэтому

    Две части полученных логарифмов называются «мантисса» и «характеристика». Мантисса — это десятичная часть, а характеристика — целая часть . Поскольку таблицы логарифмов показывают только положительные мантиссы, такой логарифм, как -5,8111, необходимо преобразовать в 0,1889.-6, прежде чем таблицу можно будет использовать для нахождения «антилогарифма», который является именем, данным числу, логарифмом которого оно является. Калькулятор покажет антилогарифм без такого преобразования.

    Также существуют таблицы натуральных логарифмов. Поскольку для натуральных логарифмов не существует простого способа определения характеристики, в таблице будут указаны и характеристика, и мантисса. Он также будет охватывать более широкий диапазон чисел, возможно, от 0 до 1000 или более. Альтернативой является таблица десятичных логарифмов, преобразующая их в натуральные логарифмы по формуле (из закона IV) ln x = 2,30285 × log x. Логарифмы используются для различных целей. Одно существенное применение — использование, для которого они были впервые изобретены — это упрощение вычислений. Законы I и II позволяют умножать или делить числа путем сложения или вычитания их логарифмов. Когда числа состоят из большого количества цифр, обычно проще складывать или вычитать. Закон III позволяет возводить число в степень, умножая его на логарифм. Это гораздо более простая операция, чем возведение в степень, особенно если показатель степени не равен 0, 1 или 2.

    Когда-то для вычислений широко использовались логарифмы. Астрономы полагались на них для обширных вычислений, необходимых для их работы. Инженеры выполняли большинство своих вычислений с помощью логарифмических линеек, которые представляют собой механические устройства для сложения и вычитания логарифмов или, используя логарифмические шкалы, для их умножения. Современные электронные калькуляторы заменили логарифмические линейки и таблицы для вычислительных целей — они быстрее и точнее, — но понимание свойств логарифмов остается ценным инструментом для всех, кто широко использует числа.

    Если нарисовать шкалу, на которой логарифмы возрастают одинаковыми шагами, антилогарифмы будут тесниться все ближе и ближе друг к другу по мере увеличения их размера. Они делают это очень систематически. В так называемой логарифмической шкале равные интервалы соответствуют равным отношениям. Например, интервал между 1 и 2 имеет ту же длину, что и интервал между 4 и 8.

    Логарифмические шкалы используются для многих целей. Шкала pH , используемая для измерения кислотности, и шкала децибел, используемая для измерения громкости, являются логарифмическими шкалами (то есть они являются логарифмами кислотности и громкости).

    Таким образом, они растягивают шкалу там, где кислотность или громкость слабы (и заметны небольшие вариации), и сжимают ее там, где они сильны (где для заметного эффекта необходимы большие вариации). Другой пример преимущества логарифмической шкалы можно увидеть в шкале, которую может построить социолог. Если бы он нарисовал обычный график семейных доходов, увеличение минимальной заработной платы на доллар в час имело бы такое же значение, как увеличение на доллар в час дохода руководителя корпорации, зарабатывающего полмиллиона долларов. долларов в год. Однако такое увеличение имело бы гораздо большее значение для семьи, чей добытчик или добытчики работали на уровне минимальной заработной платы. Логарифмическая шкала, где равные интервалы отражают равные отношения, а не равные различия, покажет это.

    Логарифмические функции также проявляются как обратные экспоненциальные функции. Если P = ket, где k — константа, представляет население как функцию времени, то t = K + ln P, где K = —ln k, также является константой, представляет время как функцию населения. Демограф, желающий узнать, сколько времени потребуется, чтобы население выросло до определенного размера, нашел бы логарифмическую форму зависимости более полезной.

    Из-за этого отношения логарифмы также используются для решения экспоненциальных уравнений, таких как 3 — = 2x as или 4e k = 15,

    Изобретение логарифмов приписывается Джону Нейпиру, шотландскому математику, жившему с 1550 по 1617 год. Однако изобретенные им логарифмы не были простыми логарифмами, которые мы используем сегодня (его логарифмы не были тем, что сейчас называют «напировскими») . Вскоре после того, как Нейпир опубликовал свою работу, Бриггс, английский математик, встретился с ним, и вместе они разработали логарифмы, которые гораздо больше напоминают десятичные логарифмы, которыми мы пользуемся сегодня. Однако ни Нейпир, ни Бриггс не связывали логарифмы с показателями степени. Они были изобретены до того, как стали использоваться экспоненты.


    Ресурсы

    книги

    Финни, Томас, Демана и Уэйтс. Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое. Рединг, Массачусетс: Addison Wesley Publishing Co., 1994.

    Галлберг, Ян и Питер Хилтон. Математика: от рождения чисел. В.В. Norton & Company, 1997.

    Ходжман, Чарльз Д., изд. C.R.C. Стандартные математические таблицы. Кливленд: Chemical Rubber Publishing Co, 1959.

    Тернбулл, Герберт Вестрен. «Великие математики». в Мир математики. Под редакцией Джеймса Р. Ньюмана. Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1956.

    Дж. Пол Моултон

    КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Коническое сечение

    — Коническое сечение — это фигура, полученная в результате пересечения прямого кругового конуса с плоскостью. Коническими сечениями являются окружность, эллипс, парабола и гипербола.

    Линия

    —Линия представляет собой набор точек. У линии есть длина, но нет ширины или толщины.

    Плоскость

    —Плоскость также является набором точек. У него есть длина и ширина, но нет толщины.

    Точка

    —Геометрически точка — это местоположение. С ним не связан ни размер, ни длина, ни ширина, ни толщина.

    Правый круглый конус

    — Поверхность, образующаяся в результате вращения двух пересекающихся линий по окружности вокруг оси, расположенной под прямым углом к ​​окружности вращения.

    The Gale Encyclopedia of Science

    gale

    views updated May 21 2018


    The logarithm of a positive real number x to the base- a is the number y that satisfies уравнение a y = х. In symbols, the logarithm of x to the base- a is log a x, and, if a y = x, then y = log a х.

    По существу, логарифм по основанию a является функцией: Каждому положительному вещественному числу x логарифм по основанию a ставит в соответствие x число y 1 1 a 3357 г = х. Например, 10 2 = 100; следовательно, log 10 100 = 2. Логарифм от 100 до по основанию 10 равен 2, что является сложным названием степени 10, равной 100.

    Любое положительное вещественное число, кроме 1, может быть использовано в качестве база. Тем не менее, два самых полезных целочисленных основания — это 10 и 2. Основание-2 , также известная как двоичная система, используется в информатике, потому что почти все компьютеры и калькуляторы используют основание 2 для своих внутренних вычислений. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Если основание не указано, то предполагается основание 10, и в этом случае запись упрощается до log 9.3357 х.

    Далее приведены некоторые примеры логарифмов.

    log 1 = 0 Потому что 10 0 = 1

    log 10 = 1 Потому что 10 1 = 10

    log 100 = 2 Потому что 10 2 = 100

    log 2 8 = 3 Потому что 2

    3 = 8

    log 2 2 = 1 Потому что 2 1 = 2

    log 5 25 = 2 Потому что 5 2 = 25

    log 3 = −2 Потому что 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3 — 3

    — 3 — 3

    — 3 — 3

    — 3 — 3

    — Log 3 . 2 =

    Логарифм кратного 10 следует простой схеме: логарифм 1000, 10000 и т. д. по основанию 10 равен 3, 4 и т. д. Кроме того, логарифм числа a по основанию a всегда равен 1; то есть log a a = 1, потому что a 1 = a.

    Логарифмы обладают некоторыми интересными и полезными свойствами. Пусть x, y, и a — положительные действительные числа, причем a не равны 1. Ниже приведены пять полезных свойств логарифмов.

    1. log A ( XY ) = log A x + log A Y , SO log 10 (15) = log 10 9288 8. 3 + 312868 3 + 31868 31864 31864 31864 31864 31864 31864 31864.

    2. log A = log A x — log A Y , SO log (⅔) = log 2 — log 3

    3. log A . 3333337.

    7

    7

    7

    7

    7

    .

    .

    .

    .

    . = r log a x , где r — любое действительное число, поэтому log 3 5 = 5 log 3

    4. log a = −log a x , поэтому log (¼) = (−1) log 4, потому что ¼ = (4) -1 2

    5. log a a r = r , поэтому log 10 10 3 = 3

    9000 свойств полезны при логарифмическом вычислении этих свойств.

    История логарифмов

    Начало логарифмов обычно приписывают Джону Нейпиру (1550–1617), шотландскому математику-любителю. Интерес Нейпира к астрономии требовал от него утомительных вычислений. Используя логарифмы, он разработал идеи, которые сокращали время на выполнение длинных и сложных вычислений. Однако его подход к логарифмам отличался от формы, используемой сегодня.

    К счастью, лондонский профессор Генри Бриггс (1561–1630) заинтересовался таблицами логарифмов, составленными Нейпиром. Бриггс отправился в Шотландию, чтобы навестить Нейпира и обсудить его подход. Они работали вместе, чтобы внести улучшения, такие как введение логарифмов по основанию 10. Позже Бриггс разработал таблицу логарифмов, которая широко использовалась до появления калькуляторов и компьютеров. Двоичные логарифмы иногда также называют логарифмами Бриггса.

    см. также Степени и экспоненты.

    Рафик Ладхани

    Библиография

    Джеймс, Роберт С. и Гленн Джеймс. Математический словарь, 5-е изд. Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, 1992.

    Янг, Робин В., изд. Известные математики с древних времен до наших дней. Detroit: Gale Research, 1998.

    Mathematics Ladhani, Rafiq

    gale

    просмотров обновлено 21 мая 2018

    понимать таблицу умножения. Математики, астрономы, мореплаватели и ученые были вынуждены тратить много времени на выполнение вычислений, так что на работу над экспериментами и новыми открытиями оставалось мало времени. Наконец, около 1594 Шотландский математик Джон Нейпир (1550–1617) составил таблицу логарифмических, или пропорциональных, чисел.

    Как работают логарифмы

    В общеизвестной системе счисления с основанием 10 вычисления, включающие очень большие числа, могут стать трудными, если не непонятными. Нейпир понял, что числа легче выразить в терминах мощностей. Таким образом, 100 равно 10, умноженному на 10, записанному как 10 2 . Это читается как «10 в квадрате» и означает «10 в степени два».

    Для выполнения умножения числа преобразуются в логарифмы, степени складываются, а результат преобразуется обратно в основание 10. Аналогичным образом, для выполнения деления два логарифмических показателя степени вычитаются, и результат преобразуется обратно в число 10.

    Этот инновационный способ умножения и деления больших чисел был знаковым событием для математиков того времени. Таблицы Непера были опубликованы в 1614 г. и сразу же стали использоваться, став неотъемлемой частью математических, научных и навигационных процессов.

    Логарифмические таблицы оставались популярными в течение следующих нескольких столетий и использовались в качестве основы для многих механических вычислительных устройств. Избавившись от большей части своей умственной работы, ученые и математики получили новую свободу в своей работе, что позволило им сосредоточить свое внимание на новых научных открытиях.

    UXL Энциклопедия науки

    Оксфорд

    просмотров обновлено 11 июня 2018 г.

    логарифм Помощь в вычислениях, разработанная Джоном Нейпиром в 1614 году и разработанная английским математиком Генри. Логарифм числа — это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы оно равнялось числу, т. е. если b x = n, тогда log b n = x, где n — число, b — основание, а x — логарифм. Двоичные логарифмы имеют основание 10, а так называемые натуральные логарифмы имеют основание e (2,71828…). Логарифмы по основанию 2 используются в информатике и теории информации.

    Всемирная энциклопедия

    Оксфорд

    просмотров обновлено 29 мая 2018 г.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.