Таблица мантиссы десятичных логарифмов: Таблица Брадиса — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Содержание

Таблица Брадиса — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Мантиссы десятичных логарифмов (Таблица Брадиса 13)

Мантисса десятичного логарифма любого трехзначного числа отыскивается по таблица брадиса 13 на строке, номер которой образуют две первые значащие цифры этого числа, в столбце, номер которого сонпадает с третьей его цифрой. Интерполяция на четвертую цифру дает поправку, помещенную на той же строке в соответствующем столбце справа (курсив). Поправка прибавляется к табличной мантиссе. Например, мантисса логарифма числа 3174 равна 5011 + 6 = 5017. Подобным же образом по таблица брадиса 14 определяется число по данной мантиссе его логарифма. Например, имея мантиссу 8352, получаем число 6839 + 3 = 6842. в котором положение знака дробности устанавливается по характеристике.

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043									4	9	13	17	22	26	30	35	39
			0086	0128	0170						4	9	13	17	21	25	30	34	38
						0212	0253				4	8	12	16	21	25	29	33	37
								0294	0334	0374	4	8	12	16	20	24	28	32	36

11	0414	0453	0492								4	8	12	16	20	24	27	31	35
				0531	0569	0607					4	8	11	15	19	23	27	30	34
							0645	0682	0719	0755	4	7	11	15	18	22	26	29	33

12	0792	0828	0864	0899	0934						3	7	11	14	18	21	25	28	32
						0969					4	7	11	14	17	21	24	28	31
							1004	1038	1072	1106	3	7	10	14	17	20	24	27	30

13	1139	1173									3	7	10	13	17	20	23	27	30
			1206	1239	1271	1303	1335				3	6	10	13	16	19	23	26	28
								1367	1399	1430	3	6	9	13	16	19	22	25	28

14	1461	1492									3	6	9	13	16	19	22	25	28
			1523	1553	1584	1614	1644	1673			3	6	9	12	15	18	21	24	27
									1703	1732	3	6	9	11	14	17	20	23	26

15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931				3	6	9	11	14	17	20	23	26
								1959	1987	2014	3	5	8	11	14	16	19	22	25

16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227			3	5	8	11	13	16	19	21	24
									2253	2279	3	5	8	10	13	15	18	20	23

17	2304	2330	2355	2380	2405	2430					3	5	8	10	13	15	18	20	23
							2455	2480	2504	2529	2	5	7	10	12	15	17	19	22

18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718			2	5	7	9	12	14	16	19	21
									2742	2765	2	5	7	9	11	13	16	18	20

19	2788	2810	2833	2856	2878	2900					2	4	7	9	11	13	16	18	20
							2923	2945	2967	2989	2	4	6	8	11	13	15	17	19

20	3010	3032	3054	3075	3096						2	4	6	8	11	13	15	17	19
						3118	3139	3160	3181	3201	2	4	6	8	10	12	14	17	19

21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404	2	4	6	8	10	12	14	16	18
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598	2	4	6	8	10	12	14	15	17
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784	2	4	6	7	9	11	13	15	17
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962	2	4	5	7	9	11	12	14	16

25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133	2	3	5	7	9	10	12	14	15
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298	2	3	5	7	8	10	11	13	15
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456	2	3	5	6	8	9	11	13	14
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609	2	3	5	6	8	9	11	12	14
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757	1	3	4	6	7	9	10	12	13
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900	1	3	4	6	7	9	10	11	13
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038	1	3	4	6	7	8	10	11	12
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172	1	3	4	5	7	8	9	11	12
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302	1	3	4	5	6	8	9	10	12
34	5315	5328	5340	5353	5366	5378	5391	5403	5416	5428	1	3	4	5	6	8	9	10	11

35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551	1	2	4	5	6	7	9	10	11
36	5563	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670	1	2	4	5	6	7	8	10	11
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5752	5763	5775	5786	1	2	3	5	6	7	8	9	10
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899	1	2	3	5	6	7	8	9	10
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5988	5999	6010	1	2	3	4	5	7	8	9	10

40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6096	6107	6117	1	2	3	4	5	6	8	9	10
41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6201	6212	6222	1	2	3	4	5	6	7	8	9
42	6232	6243	6253	6263	6274	6284	6294	6304	6314	6325	1	2	3	4	5	6	7	8	9
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425	1	2	3	4	5	6	7	8	9
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522	1	2	3	4	5	6	7	8	9

45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618	1	2	3	4	5	6	7	8	9
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	6702	6712	1	2	3	4	5	6	7	7	8
47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	6803	1	2	3	4	5	5	6	7	8
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893	1	2	3	4	4	5	6	7	8
49	6902	6911	6920	6928	6937	6946	6955	6964	6972	6981	1	2	3	4	4	5	6	7	8

50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067	1	2	3	3	4	5	6	7	8
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152	1	2	3	3	4	5	6	7	8
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235	1	2	2	3	4	5	6	7	7
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316	1	2	2	3	4	4	6	6	7
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396	1	2	2	3	4	4	6	6	7

55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7474	1	2	2	3	4	5	5	6	7
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551	1	2	2	3	4	5	5	6	7
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627	1	2	2	3	4	5	5	6	7
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701	1	1	2	3	4	4	5	6	7
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774	1	1	2	3	4	4	5	6	7

60	7782	7789	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846	1	1	2	3	4	4	5	6	6
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917	1	1	2	3	4	4	5	6	6
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987	1	1	2	3	3	4	5	6	6
63	7993	8000	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055	1	1	2	3	3	4	5	5	6
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122	1	1	2	3	3	4	5	5	6
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
65	8129	8136	8142	8149	8156	8162	8169	8176	8182	8189	1	1	2	3	3	4	5	5	6
66	8195	8202	8209	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254	1	1	2	3	3	4	5	5	6
67	8261	8267	8274	8280	8287	8293	8299	8306	8312	8319	1	1	2	3	3	4	5	5	6
68	8325	8331	8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382	1	1	2	3	3	4	4	5	6
69	8388	8395	8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445	1	1	2	2	3	4	4	5	6

70	8451	8457	8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506	1	1	2	2	3	4	4	5	6
71	8513	8519	8525	8531	8537	8543	8549	8555	8561	8567	1	1	2	2	3	4	4	5	5
72	8573	8579	8585	8591	8597	8603	8609	8615	8621	8627	1	1	2	2	3	4	4	5	5
73	8633	8639	8645	8651	8657	8663	8669	8675	8681	8686	1	1	2	2	3	4	4	5	5
74	8692	8698	8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745	1	1	2	2	3	4	4	5	5

75	8751	8756	8762	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802	1	1	2	2	3	3	4	5	5
76	8808	8814	8820	8825	8831	8837	8842	8848	8854	8859	1	1	2	2	3	3	4	5	5
77	8865	8871	8876	8882	8887	8893	8899	8904	8910	8915	1	1	2	2	3	3	4	4	5
78	8921	8927	8932	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971	1	1	2	2	3	3	4	4	5
79	8976	8982	8987	8993	8998	9004	9009	9015	9020	9025	1	1	2	2	3	3	4	4	5

80	9031	9036	9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079	1	1	2	2	3	3	4	4	5
81	9085	9090	9096	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133	1	1	2	2	3	3	4	4	5
82	9138	9143	9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186	1	1	2	2	3	3	4	4	5
83	9191	9196	9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238	1	1	2	2	3	3	4	4	5
84	9243	9248	9253	9258	9263	9269	9274	9279	9284	9289	1	1	2	2	3	3	4	4	5

85	9294	9299	9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340	1	1	2	2	3	3	4	4	5
86	9345	9350	9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390	1	1	2	2	3	3	4	4	5
87	9395	9400	9405	9410	9415	9420	9425	9430	9435	9440	0	1	1	2	2	3	3	4	4
88	9445	9450	9455	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489	0	1	1	2	2	3	3	4	4
89	9494	9499	9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538	0	1	1	2	2	3	3	4	4

90	9542	9547	9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586	0	1	1	2	2	3	3	4	4
91	9590	9595	9600	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633	0	1	1	2	2	3	3	4	4
92	9638	9643	9647	9652	9657	9661	9666	9671	9675	9680	0	1	1	2	2	3	3	4	4
93	9685	9689	9694	9699	9703	9708	9713	9717	9722	9727	0	1	1	2	2	3	3	4	4
94	9731	9736	9741	9745	9750	9754	9759	9763	9768	9773	0	1	1	2	2	3	3	4	4

95	9777	9782	9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818	0	1	1	2	2	3	3	4	4
96	9823	9827	9832	9836	9841	9845	9850	9854	9859	9863	0	1	1	2	2	3	3	4	4
97	9868	9872	9877	9881	9886	9890	9894	9899	9903	9908	0	1	1	2	2	3	3	4	4
98	9912	9917	9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952	0	1	1	2	2	3	3	4	4
99	9956	9961	9965	9969	9974	99/8	9983	9987	9991	9996	0	1	1	2	2	3	3	3	4
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

_______________

Источник информации: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.

Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

ГОСТы, СНиПы

Карта сайта TehTab.ru

Поиск по сайту TehTab.ru

Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Таблицы логарифмов и основные формулы. Десятичные и натуральные логарифмы. Степени, корни. / / Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

Таблица десятичных логарифмов. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

Десятичный логарифм

Вспомним как число представляется в стандартной (научной) форме.

Если: а = b · 10 ⁿ

То: lg a = lg b + n

Кроме того: 10 ^x = 10 ^{{ x }} · 10 ^{[ x ]} , где { x } — дробная часть x , а [ x ] — целая часть x .

Пример: lg( 1,124 )= 0,0492 + 0,0016 =0,0508

Таблица десятичных логарифмов. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0	43									4	9	13	17	22	26	30	35	39
			86	128	170						4	9	13	17	21	25	30	34	38
						212	253				4	8	12	16	21	25	29	33	37
								294	334	374	4	8	12	16	20	24	28	32	36
11	414	453	492								4	8	12	16	20	24	27	31	35
				531	569	607					4	8	11	15	19	23	27	30	34
							645	682	719	755	4	7	11	15	18	22	26	29	33
12	792	898	864	899	934						3	7	11	14	18	21	25	28	32
						969					4	7	11	14	17	21	24	28	31
							1004	1038	1072	1106	3	7	10	14	17	20	24	27	30
13	1139	1173									3	7	10	13	17	20	23	27	30
			1206	1239	1271	1303	1335				3	6	10	13	16	19	23	26	29
								1367	1399	1430	3	6	9	13	16	19	22	25	28
14	1461	1492									3	6	9	13	16	19	22	25	28
			1523	1553	1584	1614	1644	1673			3	6	9	12	15	18	21	24	27
									1703	1732	3	6	9	11	14	17	20	23	26

15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931				3	6	9	11	14	17	20	23	26
								1959	1987	2014	3	5	8	11	14	16	19	22	25
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227			3	5	8	11	13	16	19	21	24
									2253	2279	3	5	8	10	13	15	18	20	23
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430					3	5	8	10	13	15	18	20	23
							2455	2480	2504	2529	2	5	7	10	12	15	17	19	22
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718			2	5	7	9	12	14	16	19	21
									2742	2765	2	5	7	9	11	13	16	18	20
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900					2	4	7	9	11	13	16	18	20
							2923	2945	2967	2989	2	4	6	8	11	13	15	17	19

20	3010	3032	3054	3075	3096						2	4	6	8	11	13	15	17	19
						3118	3139	3160	3181	3201	2	4	6	8	10	12	14	17	19
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404	2	4	6	8	10	12	14	16	18
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598	2	4	6	8	10	12	14	15	17
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784	2	4	6	7	9	11	13	15	17
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962	2	4	5	7	9	11	12	14	16
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133	2	3	5	7	9	10	12	14	15
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298	2	3	5	7	8	10	11	13	15
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456	2	3	5	6	8	9	11	13	14
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609	2	3	5	6	8	9	11	12	14
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757	1	3	4	6	7	9	10	12	13
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900	1	3	4	6	7	9	10	11	13
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038	1	3	4	6	7	8	10	11	13
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172	1	3	4	5	7	8	9	11	12
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302	1	3	4	5	6	8	9	10	12
34	5315	5328	5340	5353	5366	5378	5391	5403	5416	5428	1	3	4	5	6	8	9	10	11
35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551	1	2	4	5	6	7	9	10	11
36	563	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670	1	2	4	5	6	7	8	10	11
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5752	5763	5775	5786	1	2	3	5	6	7	8	9	10
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899	1	2	3	5	6	7	8	9	10
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5988	5999	6010	1	2	3	4	5	7	8	9	10
40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6096	6107	6117	1	2	3	4	5	6	8	9	10
41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6201	6212	6222	1	2	3	4	5	6	7	8	9
42	6232	6243	6253	6263	6274	6284	6294	6304	6314	6325	1	2	3	4	5	6	7	8	9
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425	1	2	3	4	5	6	7	8	9
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522	1	2	3	4	5	6	7	8	9
45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618	1	2	3	4	5	6	7	8	9
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	6702	6712	1	2	3	4	5	6	7	7	8
47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	6803	1	2	3	4	5	5	6	7	8
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893	1	2	3	4	4	5	6	7	8
49	6902	6911	6920	6928	6937	6946	6955	6964	6972	6981	1	2	3	4	4	5	6	7	8
50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067	1	2	3	3	4	5	6	7	8
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152	1	2	3	3	4	5	6	7	8
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235	1	2	2	3	4	5	6	7	7
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316	1	2	2	3	4	4	6	6	7
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396	1	2	2	3	4	4	6	6	7
55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7474	1	2	2	3	4	5	5	6	7
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551	1	2	2	3	4	5	5	6	7
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627	1	2	2	3	4	5	5	6	7
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701	1	1	2	3	4	4	5	6	7
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774	1	1	2	3	4	4	5	6	7
60	7782	7789	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846	1	1	2	3	4	4	5	6	6
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917	1	1	2	3	4	4	5	6	6
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987	1	1	2	3	4	4	5	6	6
63	7993	8000	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055	1	1	2	3	3	4	5	5	6
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122	1	1	2	3	3	4	5	5	6
65	8129	8136	8142	8149	8156	8162	8169	8176	8182	8189	1	1	2	3	3	4	5	5	6
66	8195	8202	8209	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254	1	1	2	3	3	4	5	5	6
67	8261	8267	8274	8280	8287	8293	8299	8306	8312	8319	1	1	2	3	3	4	5	5	6
68	8325	8331	8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382	1	1	2	3	3	4	4	5	6
69	8388	8395	8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445	1	1	2	2	3	4	4	5	6
70	8451	8457	8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506	1	1	2	2	3	4	4	5	6
71	8513	8519	8525	8531	8537	8543	8549	8555	8561	8567	1	1	2	2	3	4	4	5	5
72	8573	8579	8585	8591	8597	8603	8609	8615	8621	8627	1	1	2	2	3	4	4	5	5
73	8633	8639	8645	8651	8657	8663	8669	8675	8681	8686	1	1	2	2	3	4	4	5	5
74	8692	8698	8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745	1	1	2	2	3	4	4	5	5
75	8751	8756	8762	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802	1	1	2	2	3	3	4	5	5
76	8808	8814	8820	8825	8831	8837	8843	8848	8854	8859	1	1	2	2	3	3	4	5	5
77	8865	8871	8876	8882	8887	8893	8899	8904	8910	8915	1	1	2	2	3	3	4	4	5
78	8921	8927	8932	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971	1	1	2	2	3	3	4	4	5
79	8976	8982	8987	8993	8998	9004	9009	9015	9020	9025	1	1	2	2	3	3	4	4	5
80	9031	9036	9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079	1	1	2	2	3	3	4	4	5
81	9085	9090	9096	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133	1	1	2	2	3	3	4	4	5
82	9138	9143	9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186	1	1	2	2	3	3	4	4	5
83	9191	9196	9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238	1	1	2	2	3	3	4	4	5
84	9243	9248	9253	9258	9263	9269	9274	9279	9284	9289	1	1	2	2	3	3	4	4	5
85	9294	9299	9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340	1	1	2	2	3	3	4	4	5
86	9345	9350	9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390	1	1	2	2	3	3	4	4	5
87	9395	9400	9405	9410	9415	9420	9425	9430	9435	9440	0	1	1	2	2	3	3	4	4
88	9445	9450	9455	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489	0	1	1	2	2	3	3	4	4
89	9494	9499	9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538	0	1	1	2	2	3	3	4	4
90	9542	9547	9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586	0	1	1	2	2	3	3	4	4
91	9590	9595	9600	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633	0	1	1	2	2	3	3	4	4
92	9638	9643	9647	9652	9657	9661	9666	9671	9675	9680	0	1	1	2	2	3	3	4	4
93	9685	9689	9694	9699	9703	9708	9713	9717	9722	9727	0	1	1	2	2	3	3	4	4
94	9731	9736	9741	9745	9750	9754	9759	9763	9768	9773	0	1	1	2	2	3	3	4	4
95	9777	9782	9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818	0	1	1	2	2	3	3	4	4
96	9823	9827	9832	9836	9841	9845	9850	9854	9859	9863	0	1	1	2	2	3	3	4	4
97	9868	9872	9877	9881	9886	9890	9894	9899	9903	9908	0	1	1	2	2	3	3	4	4
98	9912	9917	9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952	0	1	1	2	2	3	3	4	4
99	9956	9961	9965	9969	9974	9978	9983	9987	9991	9996	0	1	1	2	2	3	3	3	4
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

Дополнительная информация от TehTab. ru:

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.

TehTab.ru

Реклама, сотрудничество: [email protected]

Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.

Мантисса десятичного логарифма — Таблица Брадиса №13

ГЛАВНАЯ МАТЕМАТИКА Таблица Брадиса №13 — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Мантиссы десятичных логарифмов (Таблица Брадиса 13)

Мантисса десятичного логарифма любого трехзначного числа отыскивается по таблица брадиса 13 на строке, номер которой образуют две первые значащие цифры этого числа, в столбце, номер которого сонпадает с третьей его цифрой. Интерполяция на четвертую цифру дает поправку, помещенную на той же строке в соответствующем столбце справа (курсив). Поправка прибавляется к табличной мантиссе. Например, мантисса логарифма числа 3174 равна 5011 + 6 = 5017. Подобным же образом по таблица Брадиса 14 определяется число по данной мантиссе его логарифма. Например, имея мантиссу 8352, получаем число 6839 + 3 = 6842. в котором положение знака дробности устанавливается по характеристике.

Читайте также — как пользоваться таблицами Брадиса
Смотрите — все таблицы Брадиса

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043									4	9	13	17	22	26	30	35	39
			0086	0128	0170						4	9	13	17	21	25	30	34	38
						0212	0253				4	8	12	16	21	25	29	33	37
								0294	0334	0374	4	8	12	16	20	24	28	32	36

11	0414	0453	0492								4	8	12	16	20	24	27	31	35
				0531	0569	0607					4	8	11	15	19	23	27	30	34
							0645	0682	0719	0755	4	7	11	15	18	22	26	29	33

12	0792	0828	0864	0899	0934						3	7	11	14	18	21	25	28	32
						0969					4	7	11	14	17	21	24	28	31
							1004	1038	1072	1106	3	7	10	14	17	20	24	27	30

13	1139	1173									3	7	10	13	17	20	23	27	30
			1206	1239	1271	1303	1335				3	6	10	13	16	19	23	26	28
								1367	1399	1430	3	6	9	13	16	19	22	25	28

14	1461	1492									3	6	9	13	16	19	22	25	28
			1523	1553	1584	1614	1644	1673			3	6	9	12	15	18	21	24	27
									1703	1732	3	6	9	11	14	17	20	23	26

15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931				3	6	9	11	14	17	20	23	26
								1959	1987	2014	3	5	8	11	14	16	19	22	25

16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227			3	5	8	11	13	16	19	21	24
									2253	2279	3	5	8	10	13	15	18	20	23

17	2304	2330	2355	2380	2405	2430					3	5	8	10	13	15	18	20	23
							2455	2480	2504	2529	2	5	7	10	12	15	17	19	22

18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718			2	5	7	9	12	14	16	19	21
									2742	2765	2	5	7	9	11	13	16	18	20

19	2788	2810	2833	2856	2878	2900					2	4	7	9	11	13	16	18	20
							2923	2945	2967	2989	2	4	6	8	11	13	15	17	19

20	3010	3032	3054	3075	3096						2	4	6	8	11	13	15	17	19
						3118	3139	3160	3181	3201	2	4	6	8	10	12	14	17	19

21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404	2	4	6	8	10	12	14	16	18
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598	2	4	6	8	10	12	14	15	17
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784	2	4	6	7	9	11	13	15	17
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962	2	4	5	7	9	11	12	14	16

25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133	2	3	5	7	9	10	12	14	15
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298	2	3	5	7	8	10	11	13	15
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456	2	3	5	6	8	9	11	13	14
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609	2	3	5	6	8	9	11	12	14
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757	1	3	4	6	7	9	10	12	13
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900	1	3	4	6	7	9	10	11	13
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038	1	3	4	6	7	8	10	11	12
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172	1	3	4	5	7	8	9	11	12
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302	1	3	4	5	6	8	9	10	12
34	5315	5328	5340	5353	5366	5378	5391	5403	5416	5428	1	3	4	5	6	8	9	10	11

35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551	1	2	4	5	6	7	9	10	11
36	5563	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670	1	2	4	5	6	7	8	10	11
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5752	5763	5775	5786	1	2	3	5	6	7	8	9	10
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899	1	2	3	5	6	7	8	9	10
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5988	5999	6010	1	2	3	4	5	7	8	9	10

40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6096	6107	6117	1	2	3	4	5	6	8	9	10
41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6201	6212	6222	1	2	3	4	5	6	7	8	9
42	6232	6243	6253	6263	6274	6284	6294	6304	6314	6325	1	2	3	4	5	6	7	8	9
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425	1	2	3	4	5	6	7	8	9
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522	1	2	3	4	5	6	7	8	9

45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618	1	2	3	4	5	6	7	8	9
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	6702	6712	1	2	3	4	5	6	7	7	8
47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	6803	1	2	3	4	5	5	6	7	8
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893	1	2	3	4	4	5	6	7	8
49	6902	6911	6920	6928	6937	6946	6955	6964	6972	6981	1	2	3	4	4	5	6	7	8

50	6990	6998	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067	1	2	3	3	4	5	6	7	8
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152	1	2	3	3	4	5	6	7	8
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235	1	2	2	3	4	5	6	7	7
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316	1	2	2	3	4	4	6	6	7
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396	1	2	2	3	4	4	6	6	7

55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7474	1	2	2	3	4	5	5	6	7
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551	1	2	2	3	4	5	5	6	7
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627	1	2	2	3	4	5	5	6	7
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701	1	1	2	3	4	4	5	6	7
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774	1	1	2	3	4	4	5	6	7

60	7782	7789	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846	1	1	2	3	4	4	5	6	6
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917	1	1	2	3	4	4	5	6	6
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987	1	1	2	3	3	4	5	6	6
63	7993	8000	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055	1	1	2	3	3	4	5	5	6
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122	1	1	2	3	3	4	5	5	6
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
65	8129	8136	8142	8149	8156	8162	8169	8176	8182	8189	1	1	2	3	3	4	5	5	6
66	8195	8202	8209	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254	1	1	2	3	3	4	5	5	6
67	8261	8267	8274	8280	8287	8293	8299	8306	8312	8319	1	1	2	3	3	4	5	5	6
68	8325	8331	8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382	1	1	2	3	3	4	4	5	6
69	8388	8395	8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445	1	1	2	2	3	4	4	5	6

70	8451	8457	8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506	1	1	2	2	3	4	4	5	6
71	8513	8519	8525	8531	8537	8543	8549	8555	8561	8567	1	1	2	2	3	4	4	5	5
72	8573	8579	8585	8591	8597	8603	8609	8615	8621	8627	1	1	2	2	3	4	4	5	5
73	8633	8639	8645	8651	8657	8663	8669	8675	8681	8686	1	1	2	2	3	4	4	5	5
74	8692	8698	8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745	1	1	2	2	3	4	4	5	5

75	8751	8756	8762	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802	1	1	2	2	3	3	4	5	5
76	8808	8814	8820	8825	8831	8837	8842	8848	8854	8859	1	1	2	2	3	3	4	5	5
77	8865	8871	8876	8882	8887	8893	8899	8904	8910	8915	1	1	2	2	3	3	4	4	5
78	8921	8927	8932	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971	1	1	2	2	3	3	4	4	5
79	8976	8982	8987	8993	8998	9004	9009	9015	9020	9025	1	1	2	2	3	3	4	4	5

80	9031	9036	9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079	1	1	2	2	3	3	4	4	5
81	9085	9090	9096	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133	1	1	2	2	3	3	4	4	5
82	9138	9143	9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186	1	1	2	2	3	3	4	4	5
83	9191	9196	9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238	1	1	2	2	3	3	4	4	5
84	9243	9248	9253	9258	9263	9269	9274	9279	9284	9289	1	1	2	2	3	3	4	4	5

85	9294	9299	9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340	1	1	2	2	3	3	4	4	5
86	9345	9350	9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390	1	1	2	2	3	3	4	4	5
87	9395	9400	9405	9410	9415	9420	9425	9430	9435	9440	0	1	1	2	2	3	3	4	4
88	9445	9450	9455	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489	0	1	1	2	2	3	3	4	4
89	9494	9499	9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538	0	1	1	2	2	3	3	4	4

90	9542	9547	9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586	0	1	1	2	2	3	3	4	4
91	9590	9595	9600	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633	0	1	1	2	2	3	3	4	4
92	9638	9643	9647	9652	9657	9661	9666	9671	9675	9680	0	1	1	2	2	3	3	4	4
93	9685	9689	9694	9699	9703	9708	9713	9717	9722	9727	0	1	1	2	2	3	3	4	4
94	9731	9736	9741	9745	9750	9754	9759	9763	9768	9773	0	1	1	2	2	3	3	4	4

95	9777	9782	9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818	0	1	1	2	2	3	3	4	4
96	9823	9827	9832	9836	9841	9845	9850	9854	9859	9863	0	1	1	2	2	3	3	4	4
97	9868	9872	9877	9881	9886	9890	9894	9899	9903	9908	0	1	1	2	2	3	3	4	4
98	9912	9917	9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952	0	1	1	2	2	3	3	4	4
99	9956	9961	9965	9969	9974	99/8	9983	9987	9991	9996	0	1	1	2	2	3	3	3	4
n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9

_______________

САМОЕ ПОПУЛЯРНОЕ

Логарифмические таблицы | Small encyvlopedia

Логарифмические таблицы,таблицы логарифмов чисел; используются для упрощения вычислений. Самый распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к. десятичные логарифмы чисел N и 10kN (при k целом) различаются лишь чертями и имеют однообразные мантиссы (lg10kN = k + lg N), то в таблицах десятичных логарифмов приводятся лишь мантиссы логарифмов целых чисел.

Для отыскания чёрта помогают правила: 1) черта числа, большего 1, на единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2) черта десятичной дроби, меньшей 1, равна забранному со знаком минус числу нулей, предшествующих первой в дроби цифре, хорошей от нуля (так, lg 0,0002 = — 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы хорошей отрицательной характеристики и мантиссы).

Существуют таблицы десятичных логарифмов с разным числом знаков мантисс. Самый распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Время от времени употребляют 7-значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, разрешающие без громадного труда вычислять логарифмы с солидным числом знаков.

В Л. т. довольно часто приводятся таблицы антилогарифмов — чисел, логарифмы которых сущность эти числа, и таблицы так называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы либо разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного нахождения самих чисел). Не считая логарифмов чисел, Л. т. содержат в большинстве случаев логарифмы тригонометрических размеров.

Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским математиком И. Бюрги. Таблицы Непера Описание необычной таблицы логарифмов (1614) и Устройство необычной таблицы логарифмов (1619) содержали 8-значные логарифмы синусов, тангенсов и косинусов для углов от 0° до 90°, следующих через одну 60 секунд.

Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него довольно часто приходилось умножать, то Непер выяснил собственные Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. Логарифмы остальных синусов, меньших 107, у него хороши. Непер не ввёл понятия об основании совокупности логарифмов.

Его логарифм числа N в современных обозначениях примерно равен . Свойства логарифмов Непера пара сложнее простых, т. к. у него логарифм единицы отличен от нуля.

Арифметические и геометрические таблицы прогрессий (1620) Бюрги являются первую таблицу антилогарифмов (тёмные числа) и дают значения чисел, соответствующих равноотстоящим логарифмам (красным числам). Красные числа Бюрги сущность логарифмы поделенных на 108 тёмных чисел при основании, равном . Таблицы Бюрги и особенно Непера срочно привлекли интерес математиков к вычислению и теории логарифмов. По совету Непера британский математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и после этого 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные логарифмы время от времени именуют бриговыми).

10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в базу большинства последующих таблиц, причём их авторы внесли большое количество трансформаций в структуру Л. т. и поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 неточности, у австрийского математика Г. Вега в 1783 — пять; первые точные таблицы выпустил в 1857 германский математик К. Бремикер). В Российской Федерации таблицы логарифмов в первый раз были изданы в 1703 при участии Л. Ф. Магницкого.

Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были размещены в 1802 итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в неспециализированное потребление.

Лит.: Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, М. — Л., 1928, посл., 44 изд., М., 1973; Милн-Томсон Л.-М., Комри Л.-Дж., Четырехзначные математические таблицы, пер. с англ., М., 1961; Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических размеров, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М., 1972; Вега Г. , Таблицы семизначных логарифмов, 4 изд., М., 1971; Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, М. — Л., 1940; Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел…, М., 1952; Таблицы натуральных логарифмов, 2 изд., т. 1—2, М., 1971.

Две случайные статьи:

Культурно — просветительное образование
Коммунистические субботники

Десятичные и натуральные логарифмы ➽ Алгебра 10 — 11 класс

Содержание

1 Алгебраические свойства
2 Функция десятичного логарифма
3 Применение
4 История
5 Литература
6 Ссылки
7 Примечания

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

	Формула	Пример
Произведение	lg⁡(xy)=lg⁡(x)+lg⁡(y){\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)}	lg⁡(10000)=lg⁡(100⋅100)=lg⁡(100)+lg⁡(100)=2+2=4{\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}
Частное от деления	lg(xy)=lg⁡(x)−lg⁡(y){\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)}	lg⁡(11000)=lg⁡(1)−lg⁡(1000)=0−3=−3{\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}
Степень	lg⁡(xp)=plg⁡(x){\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)}	lg⁡(10000000)=lg⁡(107)=7lg⁡(10)=7{\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}
Корень	lg⁡xp=lg⁡(x)p{\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}}	lg⁡1000=12lg⁡1000=32=1,5{\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

lg⁡|xy|=lg⁡(|x|)+lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}

lg|xy|=lg⁡(|x|)−lg⁡(|y|),{\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

lg⁡(x1x2…xn)=lg⁡(x1)+lg⁡(x2)+⋯+lg⁡(xn){\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y{\displaystyle x,y} с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

Найти в таблицах логарифмы чисел x,y{\displaystyle x,y}.
Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения x⋅y{\displaystyle x\cdot y}.
По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.

Связь десятичного и натурального логарифмов^[2]:

ln⁡x≈2,30259 lg⁡x;lg⁡x≈0,43429 ln⁡x{\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}

Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:

lg0,012=lg(10−2×1,2)=−2+lg1,2≈−2+0,079181=−1,920819{\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}

Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:

lg0,012≈−2+0,079181=2¯,079181{\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}

Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.

Функция десятичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: y=lgx.{\displaystyle y=\lg \,x.} Она определена при всех x>0.{\displaystyle x>0.} Область значений: E(y)=(−∞;+∞){\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}. График этой кривой часто называется логарифмикой^[3].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

ddxlgx=lgex{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}

Ось ординат (x=0){\displaystyle (x=0)} является вертикальной асимптотой, поскольку:

limx→0+0lgx=−∞{\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }

Применение

Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа x{\displaystyle x} (характеристику логарифма) [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} легко определить.

Если x⩾1{\displaystyle x\geqslant 1}, то [lg⁡x]{\displaystyle [\lg x]} на 1 меньше числа цифр в целой части числа x{\displaystyle x}. Например, сразу очевидно, что lg⁡345{\displaystyle \lg 345} находится в промежутке (2,3){\displaystyle (2,3)}.
Если 0<x<1{\displaystyle 0<x<1}, то ближайшее к lg⁡x{\displaystyle \lg x} целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в x{\displaystyle x} перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, lg⁡0,0014{\displaystyle \lg 0{,}0014} находится в интервале (−3,−2){\displaystyle (-3,-2)}.

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на n{\displaystyle n} разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n.{\displaystyle n.} Например:

lg⁡8314,63=lg⁡8,31463+3{\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}

Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от 1{\displaystyle 1} до 10{\displaystyle 10}^[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Десятичные логарифмы для чисел вида 5 × 10^C

Число

Логарифм

Характеристика

Мантисса

Запись

lg(n)

M = lg(n) − C

5 000 000

6.698 970…

0.698 970…

6.698 970…

1.698 970…

0.698 970…

{C}\right)=\lg(x)+C},

где 1<x<10{\displaystyle 1<x<10} — значащая часть числа n{\displaystyle n}.

Десятичная логарифмическая шкала на логарифмической линейке

История

Основная статья: История логарифмов

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)^[6].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[8]:

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.

Литература

Теория логарифмов

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Ссылки

Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)

Примечания

↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Найти log 0 1 по основанию 10. Логарифм. Десятичный логарифм

Нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными . При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg , а не log ; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log 10 105 на упрощенное lg105 ; а log 10 2 на lg2 .

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой , а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как , а мантисса как {lg а }.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно, = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Первый признак десятичного логарифма. целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а = 10 n , из чего получаем

lg a = lg 10 n = n lg 10 = п .

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби , показанный единицей с предыдущими нулями, равен — п , где п — численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = — 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

То a = 10 -n и получается

lga= lg 10 n =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10

lg 10

1 .

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.

В дальнейшем десятичный логарифм именуется просто логарифмом.

Логарифм единицы равен нулю.

Логарифмы чисел 10 , 100 , 1000 и т.д. равны 1 ,2 ,3 и т.д., т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит после единицы.

Логарифмы чисел 0,1 ; 0,01 ; 0,001 и т.д. равны -1 , -2 , -3 и т.д., т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит перед единицей (считая и нуль целых).

Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, именуемую мантиссой . Целая часть логарифма называется характеристикой .

Числа, большие единицы, имеют положительные логарифмы. Положительные числа, меньшие единицы 1 , имеют отрицательные логарифмы.

Например 2 , lg0,5=-0,30103, lg0,005=-2,30103 .

Отрицательные логарифмы для большего удобства нахождения логарифма по числу и числа по логарифму представляются не в вышеприведенной «естественной » форме, а в «искусственной «. Отрицательный логарифм в искусственной форме имеет положительную мантиссу и отрицательную характеристику .

Например, lg0,005=3,69897 . Эта запись означает, что lg0,005=-3+0,69897=-2,30103 .

Чтобы перевести отрицательный логарифм из естественной формы в искусственную, нужно:

1 . На единицу увеличить абсолютную величину его характеристики;
2 . Полученное число снабдить знаком минус сверху;
3 . Все цифры мантиссы, кроме последней из цифр, не равных нулю, вычитать из девяти; последнюю, не равную нулю цифру вычитать из десяти. Получаемые разности записываются на тех же местах мантиссы, где стояли вычитаемые цифры. Нули на конце остаются нетронутыми.

Пример 1 . lg0,05=-1,30103 привести к искусственной форме:
1 . Абсолютную величину характеристики 1 увеличиваем на 1 ; получаем 2 ;
2 . Пишем характеристику искусственной формы в виде 2 и отделяем ее запятой;
3 . Вычитаем первую цифру мантиссы 3 из 9 ; получаем 6 ; записываем 6 на первом месте после запятой. Таким же образом на следующих местах появляются цифры 9(=9-0) , 8(=9-1) , 9(=9-0) и 7(=10-3) .
В результате получаем:

-1,30103=2,69897 .

Пример 2 . -0,18350 представить в искусственной форме:
1 . Увеличиваем 0 на 1 , получаем 1 ;
2 . Имеем 1 ;
3 . Вычитаем цифры 1 ,8 ,3 из 9 ; цифру 5 из 10 ; нуль на конце остается не тронутым.
В результате получаем:

-0,18350=1,81650 .

Чтобы перевести отрицательный логарифм из искусственной формы в естественную, нужно:
1 . На единицу уменьшить абсолютную величину его характеристики;
2 . Полученное число снабдить знаком минус слева;
3 . С цифрами мантиссы поступать, как в случае перехода от естественной формы к искусственной.

Пример 3 . 4,689 00 представить в естественной форме:
1 . 4-1=3 ;
2 . Имеем -3 ;
3 . Вычитаем цифры из мантиссы 6 ,8 и 9 ; цифру 9 из 10 ; два нуля остаются не тронутыми.
В результате получаем:

4,689 00=-3,311 00 .

1 Отрицательные числа вовсе не имеют действительных логарифмов .
2 Все дальнейшие равенства — приближенные с точностью до половины единицы последнего выписанного знака .

ОТДЕЛЕНИЕ XIII.

ЛОГАРИФМЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ.

§ 2. Дecятичныe логарифмы.

Десятичyый логарифм числа 1 есть 0. Десятичные логарифмы положительных степеней 10-ти, т. e. чисел 10, 100, 1000,…. суть, положительные числа 1, 2, 3,…., так что вообщe логарифм числа, обозначенного единицей с нулями, равен числу нулей. Десятичные логарифмы отрицательных степeнeй 10-ти, т.-e. дробей 0,1, 0,01, 0,001,…. суть отрицательныя числа -1,-2, -3….., так что вообщe логарифм десятичной дроби с числитeлeм единицeй равен отрицательному числу нулeй знаменателя.

Логарифмы всех остальных соизмеримых чисел несоизмеримы. Такиe логарифмы вычисляются приближeнно, обыкновенно с точностью до одной стотысячной, и потому выражаются пятизначными десятичными дробями; напр. , lg 3 = 0,47712.

При изложении тeории десятичных логарифмов все числа прeдполагаются составленными по дeсятичной системе их eдиниц и долей, а все логарифмы выражаются чрeз дeсятичную дробь, содержащую 0 целых, с целым прибавком или убавком. Дробная часть логарифма называeтся eго мантиссой , а целый прибавок или убавок-его характеристикой. Логарифмы чисeл, больших eдиницы, всегда положитeльны и потому имеють и положитeльную характеристику; логарифмы чисел, меньших eдиницы, всeгда отрицатeльны, но их прeдставляют так, что мантисса их оказываeтся положительной, а одна характeристика отрицательна: напр., lg 500=0,69897+2 или короче 2,69897, а lg 0,05 =0,69897-2, что для краткости обозначают в виде 2 ,69897, ставя характеристику на место целых чисeл, но со знаком — над ней. Таким образом, логарифм числа, большего единицы, прeдставляет арифметическую сумму положитeльного целого и положительной дроби, а логарифм числа, мeньшего единицы, алгeбраичeскую сумму отрицатeльного целого с положитeльной дробью.

Всякий отрицательный логарифм можно привести к указанной искусствeнной форме. Напр., имеем lg 3 / 5 = lg 3 — lg 5= 0,47712-0,69897=-0,22185. Чтобы прeобразовать этот истинный логарифм в искусственную форму, прибавим к нeму 1 и после алгебраичeского сложeния укажем для поправки вычитаниe eдиницы.

Получим lg 3 / 5 = lg 0,6 =(1-0,22185)-1=0,77815-1. При этом окажется, что мантисса 0,77815 есть та самая, которая соответствуeт числителю 6 данного числа, представленного по дeсятичной системе в форме дроби 0,6.

IIра указанном представлении десятичных логарифмов их мантиссы и характеристики обладают важными свойствами в связи с обозначениeм по десятичной систeме соответствующих им чисел. Для разъяснeния этих свойств заметим следующеe. Примeм за основной вид числа некотороe произвольноe число, содержащeеся между 1 и 10, и, выражая eго по десятичной систeме, представим в виде а,b,c,d,e, f …., где а есть одна из значащих цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а десятичные знаки, b,c,d,e, f . …… суть какие угодно цифры, между которыми могут быть и нули. Вследствиe того, что взятоe число содeржится мeжду 1 п 10, логарифм его содержится между 0 и 1 и потому этот логарифм состоит из одной мантиссы без характеристики или с характеристикой 0. Обозначим этот логарифм в форме 0 ,α β γ δ ε …., где α, β ,γ ,δ, ε суть некоторые цифры. Помножим теперь данное число с одной стороны на числа 10, 100, 1000,…. и с другой стороны на числа 0,1, 0,01, 0,001,… и применим теоремы о логарифмах произведения и частного. Тогда получим ряд чисел больших единицы и ряд чисел меньших единицы с их логарифмами:

lg а ,bcde f ….= 0 ,α β γ δ ε ….

lg аb,cde f ….= 1 ,α β γ δ ε . … lg 0,аbcde f ….= 1 ,α β γ δ ε ….

lg аbc,de f ….= 2 ,α β γ δ ε …. lg 0,0аbcde f ….= 2 ,α β γ δ ε ….

lg аbcd,e f ….= 3 ,α β γ δ ε …. lg 0,00аbcde f ….= 3 ,α β γ δ ε ….

При рассматривании этих равенств обнаружаваются следующие свойства мантиссы и характеристики:

Свойство мантиссы. Мантисса зависит от расположения и вида зиачащих цифр числа, но совсем не зависит от места запятой в обозначении этого числа. Мантиссы логарифмов чисел, имеющих десятичное отношение, т.-е. таких, кратное отношение которых равно какой бы то ни было положительной или отрицательной степени десяти, одинаковы.

Свойство характеристики. Характеристика зависит от разряда наивысших единиц или десятичных долей числа, но совсем не зависит от вида цифр в обозначении этого числа.

Если назовем числа а ,bcde f …., аb,cde f …., аbc,de f …. числами положительных разрядов- первого, второго, третьего и т.д., разряд числа 0,аbcde f …. будем считать нулевым, а разряды чисел 0,0аbcde f …., 0,00аbcde f …., 0,000аbcde f …. выразим отрицательными числами минус одна, минус два, минус три и т. д., то можно будет сказать вообще, что характерастика логарифма всякого десятичного числа на единицу меньше числа, указывающего разряд

101. Зная, что lg 2 =0,30103, найти логарифмы чисел 20,2000, 0,2 и 0,00002.

101. Зная, что lg 3=0,47712, найти логарифмы чисел 300, 3000, 0,03 и 0,0003.

102. Зная, что lg 5=0,69897, найти логарифмы чисел 2,5, 500, 0,25 и 0,005.

102. Зная, что lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 0,7, 4,9, 0,049 и 0,0007.

103. Зная lg 3=0,47712 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 210, 0,021, 3 / 7 , 7 / 9 и 3 / 49 .

103. Зная lg 2=0,30103 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 140, 0,14, 2 / 7 , 7 / 8 и 2 / 49 .

104. Зная lg 3=0,47712 и lg 5=О,69897, найти логарифмы чисел 1,5, 3 / 5 , 0,12, 5 / 9 и 0,36.

104. Зная lg 5=0,69897 и lg 7=0,84510, найти логарифмы чисел 3,5, 5 / 7 , 0,28, 5 / 49 и 1,96.

Десятичные логарифмы чисел, выраженных не более, как четырьмя цифрами, подыскиваются прямо по таблицам, причем из таблиц находится мантисса искомого логарифма, а характеристика ставится, сообразуясь с разрядом данного числа.

Еели же число содержит более четырех цифр, то подыскивание логарифма сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти логарифм числа, содержащего более четырех цифр, нужно подыскать в таблицах число, обозначенное четырьмя первыми цифрами, и выписать соответствующую этим четырем цифрам мантиссу; затем умножить табличную разность мантисс на число, составленное из отброшенных цифр, в произведении откинуть справа столько цифр, сколько их было откинуто в данном числе, и результат придать к последним цифрам подысканной мантпсеы; характеристику же поставить, сообразуясь с разрядом данного числа.

Когда ищется число по данному логарифму и логарифм этот содержится в таблицах, то цифры искомого числа находятся прямо из таблиц, а разряд числа определяется сообразно с характеристикой данного логарифма.

Если же данный логарифм не содержится в таблицах, то подыскивание числа сопровождается дополнительным вычислением. Правило такое: чтобы найти число, соответствующее данному логарифму, мантисса которого не содержится в таблицах, нужно подыскать ближайшую меньшую мантиссу и выписать соответствующие ей цифры числа; потом умножить разность между данной мантиссой и подысканной на 10 и разделить произведение на табличную разность; полученную цифру частного приписать справа к выписанным цифрам числа, отчего и получится искомая совокупность цифр; разряд же числа нужно определить сообразно характериетике данного логарифма.

105. Найти логарифмы чисел 8, 141, 954, 420, 640, 1235, 3907, 3010, 18,43, 2,05, 900,1, 0,73, 0,0028, 0,1008, 0,00005.

105. Найти логариекй чисел 15,154, 837, 510, 5002,1309-, 8900, 8,315, 790,7, 0,09, 0,6745, 0,000745, 0,04257, 0,00071.

106. Найти логарифмы чисел 2174,6, 1445,7, 2169,5, 8437,2, 46,472, 6,2853, 0,7893В, 0,054294, 631,074, 2,79556, 0,747428, 0,00237158.

106. Найти логарифмы чисел 2578,4, 1323,6, 8170,5, 6245,3, 437,65, 87,268, 0,059372, 0,84938, 62,5475, 131,037, 0,593946, 0,00234261.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,16227 , 3,59207, 2,93318, 0,41078, 1,60065, 2,756.86, 3,23528, 1,79692. 4,87800 5,14613.

107. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,07372, 3,69205, 1,64904, 2,16107, 0,70364, 1 ,31952, 4 ,30814, 3 ,00087, 2 ,69949, 6 ,57978.

108. Найти число, соответствующия логарифмам 3,57686, 3,16340, 2,40359, 1,09817, 4,49823, 2 ,83882, 1 ,50060, 3 ,30056, 1 ,17112, 4 ,25100.

108. Найти числа, соответствующие логарифмам 3,33720, 3,09875, 0,70093, 4,04640, 2,94004, 1 ,41509, 2 ,32649, 4 ,14631, 3 ,01290, 5 ,39003.

Положительные логарифмы чисел, больших единицы, суть арифметические суммы их характеристики и мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по обыкновенным арифметическим правилам.

Отрацательные логарифмы чисел, меньших единицы, суть алгебраические суммы отрицательной характеристики и положительной мантиссы. Поэтому действия с ними производятся по алгебраическим правилам, которые дополняются особыми указаниями, относящимися к приведению отрицательных логарифмов в их нормальную форму. Нормальная форма отрицательнаго логарифма та, в которой характеристика есть отрицательное целое количество, а мантисса положительная правильная дробь.

Для преобразования истинного отрацательного логарифма в его нормальную искусственную форму, нужно увеличить абсолютную величину его целого слагаемого на единицу и сделать результат отрицательной характеристикой; затем дополнить все цифры дробного слагаемого до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат положительной мантиссой. Напр., -2,57928 = 3 ,42072.

Для преобразования нормальной искусственной формы логарифма в его истинное отрицательное значение, нужно уменьшить на единицу отрицательную характеристику и сделать результат целым слагаемым отрицательной суммы; затем дополнить все цифры мантиссы до 9, а последнюю из них до 10 и сделать результат дробным слагаемым той же отрицательной суммы. Напр.: 4 ,57406= -3,42594.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-2,69537, -4, 21283, -0,54225, -1,68307, -3,53820, -5,89990.

109. Преобразовать в искусственную форму логарифмы-3,21729, -1,73273, -5,42936, -0,51395, -2,43780, -4,22990.

110. Найти истинные значения логарифмов 1 ,33278, 3 ,52793, 2 ,95426, 4 ,32725, 1 ,39420, 5 ,67990.

110. Найти иетинные значения логарифмов 2 ,45438, 1 ,73977, 3 ,91243, 5 ,12912, 2 ,83770, 4 ,28990.

Правила алгебраических действий с отрицательными логарифмами выражаются так:

Чтобы приложить отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно приложить мантиссу и вычесть абсолютную величину характеристики. Если от сложения мантисс выделится целое положительное число, то нужно отнести его к характеристике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

3,89573 + 2 ,78452 = 1 1 ,68025 = 2,68025

1 ,54978 + 2 ,94963=3 1 ,49941=2 ,49941.

Чтобы вычесть отрицательный логарифм в его искусственной форме, нужно вычесть мантиссу и приложить абсолютную величину характеристики. Если вычитаемая мантисса есть большая, то нужно сделать поправку в характеристике уменьшаемого так, чтобы отделить к уменьшаемой мантиссе положительную единицу. Напр.,

2,53798-3 ,84582=1 1 ,53798-3 ,84582 = 4,69216,

2 ,22689-1 ,64853=3 1 ,22689-1 ,64853=2 ,57836.

Чтобы умножить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно умножить отдельно его характеристику и мантиссу. Если при умножении мантиссы выделится целое положительное чясло, то нужно отнести его к характерастике результата, сделав в ней соответствующую поправку. Напр.,

2 ,53729 5=10 2 ,68645=8 ,68645.

При умножении отрицательнаго логарифма на отрицательное количество нужно заменять множимое его истинным значением.

Чтобы разделить отрицательный логарифм на положительное целое число, нужно разделить отдельно его характерастику и мантиссу. Если характеристика дeлимого нe дeлится нацeло на дeлитeль, то нужно сдeлать в ней поправку так, чтобы отнести к мантиссe нeсколько положительных единиц, а характеристику сдeлать кратной дeлителя. Напр.,

3 ,79432: 5=5 2 ,79432: 5=1 ,55886.

При дeлении отрицательного логарифма на отрицатeльноe количество, нужно замeнять дeлимоe его истинным значением.

Выполнить при помощп логарифмичeских таблиц нижепоказанные вычисления и провeрить в простeйших случаях рeзультаты обыкновенными способами дeйствий:

174. Определить обем конуса, образующая которого 0,9134 фута, а радиус основания 0,04278 фута.

175. Вычислить 15-й член кратной прогреесии, первый член которой 2 3 / 5 , а знаменатель 1,75.

175. Вычислить первый член кратной прогрессии, 11-й член которой равен 649,5, а знаменатель 1,58.

176. Определить число множителей а , а 3 , а 5 р . Подыскать такое а , при котором произведееие 10-ти множителей равно 100.

176. Определить чйедо множителей. а 2 , а 6 , а 10 ,…. так, чтобы их произведение равнялось данному числу р . Подыскать такое а , при котором произведение 5-ти множителей равно 10.

177. Знаменатель кратной прогрессии равен 1,075, сумма 10-ти ее членов 2017,8. Найти первый член.

177. Знаменатель кратной прогрессии 1,029, сумма 20-ти ее членов 8743,7. Найти двадцатый член.

178 . Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q , а затем, выбрав произвольно числовыe значения a и u , подобрать q так, чтобы п

178. Выразить чbсло члеyов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и знаменателю q и и q , подобрать а так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равно р . Каково должно быть р для того, чтобы при а =0,5 и b =0,9 число множителей было 10.

179. Определить число множителей так, чтобы их произведение было равдо р . Каково должно быть р для того чтобы при а =0,2 и b =2 число множителей было 10.

180. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последеему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения а и р , подобрать и и вслед за ним знаменатель q так, чтобы и было какое-нибудь целое число.

160. Выразить число членов кратной прогрессии по данным первому члену а , последнему и и произведению всех членов р , а затем, выбрав произвольно числовые значения и и р , подобрать а и вслед за ним знаменатель q так, чтобы п было какое-нибудь целое число.

Решить нижеследующие уравнения, где можно — без помощи таблиц, а где нельзя-с таблицами:

Использование предлога in в английском языке

Употребление и произношение in

логарифмов Бриггса

Логарифм Бриггса положительного числа a — это логарифм a по основанию 10, т. е. log10⁡a, в настоящее время обозначаемый lg⁡a (вероятно, от латинского «logarithmus generalis (http://planetmath.org/TermsFromForeignLanguagesUsedInMathematics)». ). Это связано с Генри Бриггсом (1561–1630). До появления электронных калькуляторов и компьютеров табличные значения логарифмов использовались для выполнения трудоемких числовых вычислений (умножения, деления, степени, корня). Например. в средних школах Финляндии пользованию таблицами логарифмов обучали еще в начале 19 века.70-е годы.

Было несколько широких таблиц логарифмов Бриггса, например. знаменитые пятиместные столы Hoüel и Voellmy. Поскольку логарифмы рациональных чисел в большинстве своем иррациональны, логарифмы в таблицах, как правило, являются приблизительными значениями.

Потому что

lg⁡10⁢a=lg⁡a+lg⁡10=lg⁡a+1,lg⁡a10=lg⁡a-lg⁡10=lg⁡a-1,

перемещение десятичной точки на один шаг вправо соотв. влево увеличивается соотв. уменьшает логарифм Бриггса на целое значение 1; десятичные дроби логарифма не меняются. Таким образом, таблицы дают только десятичные дроби логарифмов положительных целых чисел. Например, таблица дает для логарифма 8322 только пять десятичных знаков

. Поскольку lg⁡1=0, lg⁡10=1 и функция логарифма возрастает, мы можем сделать вывод, что

лг⁡8322≈0,

лг⁡832,2≈0,

лг⁡83,22≈0,

лг⁡8,322≈0,

лг⁡0,8322≈0,

-1

лг⁡0,08322≈0,

-2

лг⁡0,008322≈0,

-3

При выражении логарифмов чисел в виде суммы и разности, как указано выше, десятичная часть называется мантиссою, а целая часть — характеристикой логарифма. К мантиссе присоединяется положительная характеристика (например, 3,

), а отрицательная характеристика отделяется (например, 0,

-3).

Понятно, что мантисса логарифма числа не зависит от положения десятичной точки в числе. Для получения логарифма числа из таблицы можно отбросить десятичную точку и найти полученное целое число в мантиссе его логарифма. Затем выводится характеристика логарифма исходного числа.

Пример. Определите 63,8733 как можно точнее, используя десятичные логарифмы с пятью знаками. Мы используем

log⁡a3=log⁡(a13)=13⁢log⁡a.

Мы не находим в таблице такого большого числа, как 63873; поэтому сначала возьмем мантиссу, соответствующую числу 6387, это 0,80530. Следующая мантисса, соответствующая 6388, равна 0,80536. Таким образом, разница между обеими мантиссами составляет 6 единиц последнего десятичного знака , и мы могли бы интерполировать для получения последнего десятичного знака мантиссы, соответствующего числу 63873. Для таких интерполяций на той же странице таблицы есть вспомогательная таблица P.P. («partes пропорциональные») под названием «6»; это дает для 3 значение 2, которое нужно добавить к последнему десятичному знаку. Итак, у нас есть

лг⁡63,873≈1,80532,

(1)

, где характеристика 1 получается из того факта, что 63,873 находится между 10 и 100. Тогда логарифм кубического корня получается путем деления (1) на 3:

лг⁡63,873≈0,60177

Цифры мантиссы 60177 в таблице не найдены, наиболее близкими являются 60173 и 60184, которые соответствуют числам 3997 и 3998. таблица под названием «11» говорит, что мы должны присоединить 4 к концу 3997 (с 60177-60173=4). Таким образом мы получили результат

63,8733≈3,9974.

Это самое точное значение с пятью разрядами.

1 К. Вяйсяля: Алгебранные оппи- я esimerkkikirja II. Питемпи курси. Вернер Сёдерстрём osakeyhtiö, Порвоо и Хельсинки. Нельяс пайнос (1956).
2 GJ Hoüel: «Таблицы логарифмов à cinq decimales pour les nombres et les lignes trigonométriques…». Готье-Виллар, Париж. Второе издание (1864 г.).
3 E. Voellmy: «Fünfstellige Logarithmen und Zahlentafeln für die 90o-Teilung des rechten Winkels». Orell Füssli Verlag, Цюрих. Вирценте Ауфлаж (1962).

Название	Логарифмы Бриггса
Каноническое имя	Логарифмы Бриггса
Дата создания	22.03.2013 16:39:37
Последнее изменение	22.03.2013 16:39:37
Владелец	пахио (2872)
Последнее изменение:	пахио (2872)
Числовой идентификатор	15
Автор	пахио (2872)
Тип ввода	Тема
Классификация	мск 26A09
Классификация	мск 26-00
Классификация	мск 65A05
Классификация	мск 01-08
Синоним	десятичных логарифмов
Синоним	десятичных логарифмов
Синоним	лг
Связанная тема	RationalBriggsianLogarithmsOfIntegers
Связанная тема	LimitOfRealNumberSequence
Определяет	мантисса
Определяет	характеристика
Определяет	число

Компоненты логарифмов

Заявление о конфиденциальности — Информация об авторских правах. — Свяжитесь с нами

Двойные логарифмы

Введение в математику и алгебру

Логарифмическая линейка

КОМПОНЕНТЫ ЛОГАРИФМОВ

Дробная часть логарифма обычно записывается как

как десятичная.

Целая числовая часть логарифм и десятичная часть были даны отдельные имена, потому что каждое играет особое часть по отношению к числу, которое логарифм представляет собой. Целая числовая часть логарифм называется ХАРАКТЕРИСТИКОЙ. Этот часть логарифма показывает положение десятичная точка в связанном числе. десятичная часть логарифма называется МАНТИССА.

Для определенной последовательности цифр, составляющих

до числа, мантисса десятичного логарифма всегда одинакова независимо от положение десятичной точки в этом количество. Например, log 5270 = 3,72181; в мантисса равна 0,72181, а характеристика 3.

ХАРАКТЕРИСТИКА

Характеристика десятичного логарифма

показывает положение десятичной точки в соответствующем количество. Характеристика для данного числа можно определить осмотром. Это будет вспомнил, что десятичный логарифм это просто показатель основания 10. Это мощность из 10, когда число написано научным обозначение.

Когда мы пишем log 360 = 2,55630, мы понимаем, что это означает 10 2,55630 = 360. Мы знаем

, что это число 360, а не 36 или 3600, потому что характеристика равна 2. Мы знаем, что 10 равно 10, 10 ² равно 100, а 10 ² равно 1000. Следовательно число, значение которого равно 10 ^2,55630, должно лежать между 100 и 1000 и, конечно же, любое число в этом диапазоне состоит из 3 цифр.

Предположим, что характеристика была равна 1: где

было бы десятичная точка в числе ставиться? С 10 ¹ равно 10 и 10 ² равно 100, любое число логарифм которого находится между 1 и 2, должен лежать между 10 и 100 и будет иметь 2 цифры. Обратите внимание, как положение десятичной точки меняется со значением признака в следующих примерах:

log 36 000 = 4,55630
логарифм 3600 = 3,55630
журнал 360 = 2,55630
журнал 36 = 1,55630
журнал 3,6 = 0,55630

Обратите внимание, что изменяется только характеристика при перемещении десятичной точки. Преимущество использования базы 10, таким образом, раскрывается: если характеристика известна, десятичная точка май легко разместиться. Если число известно,

характеристика может быть определена осмотром; то есть, наблюдая за расположение десятичной точки.

Хотя понимание отношения

из характеристика в степени 10 необходима для полного понимания логарифмов можно определить характеристику механически, применяя следующие правила:

1. Для числа больше 1 характеристика положительна и равна единице меньше, чем

количество цифр слева от десятичная точка в числе.

2. Для положительного числа меньше 1 характеристика

является отрицательным и имеет абсолютное значение один больше, чем количество нулей между десятичной точкой и первым ненулевым цифра номера.

Таблица 8-5 содержит примеры каждого типа характеристики

Практические задачи. В задачах с 1 по

4, напишите характеристику логарифма для каждого количество. В числах с 5 по 8 поставьте запятую

Таблица 8-5.-Положительные и отрицательные характеристики.

балла в каждом числе, как указано в характеристике (с), данной для каждый.

1. 4 321
2. 1.23
3. 0,05
4. 12
5. 123; с = 4
6. 8 210; с = 0
7. 8; с = -1
8. 321; с = -2

Ответы:

1. 3
2. 0
3. -2
4. 1
5. 12 300
6. 8.210
7. 0,8
8. 0,0321

Отрицательные характеристики

Если характеристика отрицательная, например

-2, вычитание не проводим, так как это будет включать отрицательную мантиссу. Есть несколько способов обозначения отрицательной характеристики. Мантиссы, представленные в таблица в приложении всегда положительна а знак характеристики указывается отдельно. Например, где журнал 0,023 = 2,36173, черта над цифрой 2 указывает что только характеристика отрицательна-то есть логарифм равен -2 + 0,36173.

Еще один способ показать отрицательную характеристику — поместить ее после мантисса. В этом случае

мы пишем 0,36173-2.

Третий метод, который по возможности используется в этой главе, заключается в добавить в характеристику определенное количество

и вычесть такое же количество из справа от мантиссы. В случае например, мы можем написать:

Таким образом, значение логарифма остается

то же самое, но теперь у нас есть положительная характеристика, а также положительная мантисса.

МАНТИССА

Мантисса — это десятичная часть логарифма. Таблицы логарифмов обычно содержат

только мантиссы, так как характеристика может быть легко определена как объяснялось ранее. Таблица 8-8 показывает характеристика, мантисса и логарифм для несколько позиций десятичной точки, используя последовательность цифр 4, 5, 6. Следует отметить, что мантисса остается то же самое для этой конкретной последовательности цифр, независимо от положения десятичной точки.

Таблица 8-6.-Влияние изменения местоположения десятичной точки.

Приложением I данного учебного курса является таблица

, которая включает логарифмы чисел от 1 до 100. Для нашей нынешней цели использования этой таблицы нас интересуют только первый и шестой столбцы.

Первый столбец содержит номер и шестой столбец содержит его логарифм. Например, если нужно найти логарифм числа 45, мы бы нашли число 45 в первом столбце, смотреть горизонтально по странице до столбца 6 и прочтите логарифм, 1,65321. Взгляд вниз по столбцу логарифмов покажет, что логарифмы увеличиваются по мере увеличения числа увеличение стоимости.

Следует отметить в этой конкретной таблице, что оба даны мантисса и характеристика для числа в первом столбце. Это просто дополнительная помощь, так как характеристика может быть легко определена осмотр. Предположим, что мы хотим использовать таблицу Приложения I, чтобы найти логарифм номер не отображается в столбце «число». Вспоминая, что мантисса не измениться при перемещении десятичной точки, мы можем уметь определять искомый логарифм. Например, число 450 не отображается в числовом столбце таблицы. Однако число 45 имеет ту же мантиссу, что и 450; единственный разница между двумя журналами в их .характеристики. Таким образом, логарифм 450 2,65321.

Практические задачи. Найдите логарифмы следующие номера:

1. 64
2. 98
3. 6400
4. 9,8

Ответы:

1. 1.80618
2. 1.99123
3. 3.80618
4. 0,99123

47.

Стол логарифмов

По сравнению с другими основаниями Логарифмы Бригга имели преимущества которые были следствием соглашение базы с наша система счисления . Поэтому здесь мы будем рассматривать только Логарифмы Бригга. Некоторые из этих преимуществ:

журнал 1 =0	с	10 ⁰ =1		с
журнал 10 =1	»	10 ¹ =10	log0.1=-1	»	10 ^-1 =1/10=0,1
логарифм 100 =2	»	10 ² =100	log0. 01=-2	»	10 ^-2 =1/10 ^-2 =0,01
log1000=3	»	10 ³ =1000	log0.001=- 3	«	10 ^-3 =1/10 ^-3 =0,001

Все остальные логарифмы иррациональные числа . Например, 0 < log 7 < 1. Если вы предполагаете, что log 7 является дробью, скажем, p / q ( p , q не имеющие общих делителей и q > 1), тогда у вас должно быть

10 ^р/к = 7 или 7 = , что иррациональные (ср. иррациональные числа )

Очевидно, целое число 7 не может равно иррациональному числу, откуда исходное предположение было ложным . Если иррациональные числа логарифмов имеют четыре десятичные дроби, вы говорите о четырехзначном логарифмы .

Задачи : Учитывая, что log 7,21 = 0,8597, найти лог 72.1, лог 721 и т.д.! Применить Правило I для логарифмов:

log72.1=log(7.2110)= log7,21+log10 = =0,8597+1		log0,721=log(7,21/10)= l= log7,21-log10= =0,8597 — 1
log721=log(7.21100) = log7,21 + log100 = 0,8597 + 2		log0.072.1=log(7.21/100) = = log7,21-log100 = 0,8597-2

Вам все еще нужно совместить числа на правые стороны. Вы делаете это в том, что касается добавления и записать log72,1 = 1,8597 и т. д. В отличие от вычитаний, для пример в log0.721 = 0.8597-1, не проводится, но вы вычислить с разницей.

Число после запятой называется мантисса , другое число характеристика , то есть каждый логарифм имеет мантиссу и характеристику . Поскольку вычитание не выполняется, у вас есть Правило :

Номера с одинаковой последовательностью цифр имеют одинаковую мантисса.

В таблицах вы только найти мантисса , характеристика легко определяется. Для чисел> 1 у вас есть

лог 1 = 0, лог 10 = 1, лог 100 = 2, журнал 3000 = 3,

так, что логарифм числа с одним знаком перед запятой (например, 2,4) лежит между 0 и 1, то есть начинается с 0, что из числа с двумя цифрами перед запятой (например, 24,6) начинается с 1 и т. д., откуда

Если число > 1 содержит n цифры до десятичной точки,
его характеристика есть n -1.

Задача : Найти журнал 125!

Таблица логарифмов, часть которых показана, организована в таком таким образом, что журнал N данного номера N, для пример 125, находится путем поиска для начала с первых двух цифры, в данном случае 12, в первом вертикальном столбце, а затем третья цифра в обозначенной горизонтальной строке, в данном случае 5. Таким образом, вы найдете мантиссу 0969 и определить характеристику 2 по приведенным выше правилам, откуда log 125 = 2,0969.

Примеры : Найти 1. журнал 16. 2. По приведенной выше таблице мантисса равна 2095, характеристика , потому что число состоит из двух цифр в перед запятой, равно 1, откуда

1: журнал 16,2 = 1,2095

2: журнал 2,09 = 0,3201

3: log 1400= 3,1461

Далее рассмотрим числа < 1. Отсюда следует, что логарифм a число, которое имеет 0 перед десятичной точкой (то есть 0. -n), должен лежать между 0 и -1 и, следовательно, имеет характеристику n =-1, характеристику числа с один 0 после запятой имеет характеристика n = -2 и т. д., откуда

log 0,721 = 0,9785 — 1

log 0,0721 = 0,9785 — 2

Отсюда следует для числа от 0 до 1 Правило :

Логарифмы чисел, которые начинаются с 0. …, также логарифм начинается с нуль. Характеристика минус количество нулей до
первая ненулевая цифра.

Примеры : Журнал поиска 0,172. соответствующая мантисса (см. таблицу выше) равна 2355, количество нулей равно 1, откуда

1: журнал 0,172=0,2355 — 1

2: log 0,00191=0,2810 — 3

3. log 0,014=0,1461 — 2.

Так как таблица логарифмов выше относится к числам с тремя цифрами, вы сначала округляете до трех мест, например а = 43,6458 до 43,6. Точно так же, если заданный логарифм не находится точно в таблице, вы используйте запись, ближайшую к заданному значению.

Примеры :

1: журнал 14.

694
= log14,7 = 1,1673

2: журнал а = 1,2331

и =17,1

3: журнал a = 0,2879 — 1

а=0,194

последний следующий

Онлайн-репетиторство | Репетиторство по математике, английскому языку, естественным наукам

Использование логарифмических значений

Логарифмические значения чрезвычайно полезны при нахождении произведений, частных и извлечении корней более высокого порядка, чем 3.

Например, найдите числовые значения

значения также могут быть использованы для изменения основания логарифма.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы имеют форму, приведенную ниже.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Разность средних
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	0000	0043	0086	0128	0170	0212	0253	0294	0334	0374	4	8	12	17	21	25	29	33	37
11	0414	0453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755	4	8	11	15	19	23	26	30	34
12	0792	0828	0864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106	3	7	10	14	17	21	24	28	31
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1430	3	6	10	13	16	19	23	26	29
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732	3	6	9	12	15	18	21	24	27
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014	3	6	8	11	14	17	20	22	25
16	2041	2068	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279	3	5	8	11	13	16	18	21	24
17	2304	2330	2355	2380	2405	2430	2455	2480	2504	2529	2	5	7	10	12	15	17	20	22
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765	2	5	7	9	12	14	16	19	21
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989	2	4	7	9	11	13	16	18	20
20	8010	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201	2	4	6	8	11	13	15	17	19
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404	2	4	6	8	10	12	14	16	18
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598	2	4	6	8	10	12	14	15	17
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784	2	4	6	7	9	11	13	15	17
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962	2	4	5	7	9	11	12	14	16
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4166	4133	2	3	5	7	9	10	12	14	15
26	4150	4166	4183	4200	4216	4232	4249	4265	4281	4298	2	3	5	7	8	10	11	13	15
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456	2	3	5	6	8	9	11	13	14
28	4472	4481	4502	4518	4533	4548	4564	4879	4594	4609	2	3	5	6	8	9	11	12	14

В приведенной выше таблице первый столбец обозначает первые две значащие цифры данного числа, логарифм которого необходимо найти. Следующий набор столбцов с 0,1….9 в начале столбцов обозначает третьи значащие цифры чисел.

Числа, указанные под заголовками первых одиннадцати столбцов, представляют собой мантиссу логарифмов с опущенной десятичной точкой.

Числа, приведенные под заголовком «Разность средних», представляют собой приблизительные приращения мантиссы за счет четвертой значащей цифры в данном числе.

Пример 1

Найдите логарифм числа 24.

Решение:

Число состоит из двух цифр до запятой, так как 24 = 24,0000.

Характеристика журнала 24 = 2-1 = 1.

Так как третья и четвертая значащие цифры данного числа — нули, мантисса этого числа — это число в строке, содержащей 24, и в столбце, возглавляемом 0. Итак, из таблицы

log 24 = 1,3802

Пример 2

Найдите логарифм числа 193.

Решение:

Число состоит из трех цифр.

Характеристика бревна 193 = 3-1 = 2,

Третьей значащей цифрой числа является 3, а четвертой — 0, мантисса числа 193 указана в строке, содержащей 19, и в столбце, возглавляемом цифрой 3. Из таблицы это равно 2856.

log 193 = 2,2856

Пример 3

Найдите логарифм числа 2147

Число состоит из четырех цифр.

Характеристика бревна 2147 = 4-1 = 3

Третья значащая цифра 4

Четвертая значащая цифра 7

Мантисса числа, указанная в строке, содержащей 21, и в столбце, заглавном 4, увеличивается на число, указанное под заголовком 7 средней разности, где 7 является четвертой значащей цифрой.

Итак, мантисса равна 3304 + 14 = 3318

log 2147 = 3,3318

Характеристика журнала 2,356 = 1-1 = 0,

Числа 2,356 и 2356 имеют одинаковые значащие цифры и, следовательно, их мантиссы одинаковы.

Таким образом, мантисса находится в строке, содержащей 23, под столбцом, заголовком которого является 5 для третьей значащей цифры, и увеличивается на число, указанное под заголовком 6 средней разности, где 6 является четвертой значащей цифрой.

Таким образом, мантисса равна 3711 + 11 = 3722

или log 2,356 = 0,3722

Пример 5

Пример 6

Найдите логарифм числа 240562

Для получения логарифма нам нужны четыре значащие цифры. Если число имеет более четырех значащих цифр, мы округляем четвертую цифру до ближайшего целого числа. Поэтому, когда нам нужно найти мантиссу, 240562 становится 2406.

Число состоит из шести цифр.

Характеристика логарифма 240562 = 6-1 = 5.

Мантисса получается в строке, содержащей 24, под столбцом, заголовком которого является 0, и увеличивается на число, указанное под заголовком 6 средней разности.

Мантисса равна 3802 + 11 = 3813.

log 240562 = 5,3813

Попробуйте ответить на эти вопросы

Найдите логарифмы следующих чисел

6,183
786,24
21,978
0,6432
0,0000787

Ответы

Пусть х = 6,183
лог х = лог 6,183
= 0,7912

Пусть х = 786,24
лог х = лог 786,24 = лог 786,2
= 2,8955

Пусть х = 21,978
лог х = лог 21,978 = лог 21,98
= 1,3404 + 16 (средняя разница)
log x = 1,3420

как научить вашего ребенка арифметике с числами математике — запись логарифмов

org »>

как научить вашего ребенка детская арифметика чисел математика — запись логарифмы являются частью серия документов о фундаментальном образовании на abelard.org. Эти страницы представляют собой подмножество сумм, которые будут освободить тебя

вводные замечания
вспомогательные инструменты журналы разработки
логарифмические линейки

логарифмы и экспоненты — та.с.

концевые примечания

таблицы журналов: преобразование число в десятичном логарифме
разрешение логарифм с основанием десять в число
логов числа между нулем и единицей: характеристика бара
умножений включая отрицательные числа
делений используя журналы


как научить человека числу, арифметике, математике			по обучению чтению
введение подсчет и сложение вычитание и больше счет умножение отделение записывать суммы одновременных уравнений с модельными ответами квадратных уравнений с модельными ответами	простое числа и множители, сито Эратосфена дроби, десятичные знаки и проценты 1 дроби, десятичные знаки и проценты 2 ‘равенство’ или ‘такой же, как’ равенство и уравнения понимание графиков и диаграмм по статистике: расчет скользящих средних запись статистики — с использованием стандартной таблицы нормального распределения	Абеляра учебный счетчик по математике минус и ноль, дело ни с чем и меньше чем с ничего! понимание, расчет и изменение базы понимание наборы и набор логики запись наборов и набор логических уравнений заказов величин, индексов (степеней) и логарифмов письмо логарифмы вниз	как научить ребенка читать с помощью фонетики фонетическая таблица для британского английского тест чтения и соответствующая информация списки для чтения книг люси на бумаге

Реальность, закладывающая основу качественного образования Логика Аристотеля — почему аристотелевская логика не работает	Программа обучения гражданству Обратная связь и скопление людей	Франшиза по экзаменам, образованию и интеллекту Введение в документы для обсуждения франшизы	Власть, собственность и свобода Логика этики

Логарифмы (или логарифмы) по основанию 10 обычно пишется как лог. Логи в другие базы пишутся как log ₂ для журналов по основанию 2 или log ₅ для журналов по основанию 5 и так далее. Важно, чтобы число, указывающее основание логарифма, явно пишется меньше и ниже слова «бревно», в противном случае войдите ₂ можно спутать с журналом 2, совсем другое животное.

инструментов помочь в разработке журналов

В 1600-х годах Нейпир изобрел бревна. Бриггс создал полезные таблицы журналов (мы рассмотрим их чуть позже).

С самого начала были разработаны логарифмические линейки. широко использовались для научных и инженерных расчетов, пока появление компьютеров и карманных калькуляторов.

логарифмические линейки

Ниже представлена научная логарифмическая линейка.
В закрытом состоянии он имеет длину 337 мм и глубину 46 мм. Курсор Блок имеет глубину 59 мм.

отказ от ответственности за рекламу

Эта линейная направляющая установлено правило простого вычисления — 3 x 2.

Центральный ползунок перемещается так, чтобы его номер 1 был выровнен с 3 на верхней половине кадра. Левый оранжевый ромб на увеличенном изображении ниже подчеркивает это.

Отметка 2 на центральном ползунке совпадает с отметкой 6 на внешней раме. Таким образом, ответ этой суммы равен 6 (выделено правым оранжевым ромбом), но Почему?

Помните, что логарифмическая линейка — это физическая версия выполнения вычисления с использованием показателей, или журналы. С нашей суммой 3 x 2 мы берем длину, эквивалентную log 3 на внешней раме и прибавьте к нему длину, эквивалентную к журналу 2. Полученная общая длина эквивалентна до log 6. Таким образом, хотя мы сложили вместе две длины, результат эквивалентен умножению двух чисел.

При установке ползуна в это положение можно делать дальше вычисления, такие как 3 x 3 или 3 x 2·5 (= 7·5).

Как а также линейные логарифмические линейки есть (или были, если вы считают эти инструменты излишним антиквариатом) правила слайдов.

Вот фото одного, красиво, не правда ли?

Вместо рамки и бегунка есть внутренний и внешний кольца, которые могут двигаться отдельно. Вы можете видеть только прозрачное блок курсора, который может вращаться вокруг логарифмической линейки центральная точка. Эта логарифмическая линейка имеет диаметр 12,3 см.

Как и в случае с логарифмической линейкой, показанной чуть выше, это логарифмическая линейка настроена на показ простого умножения сумма, снова 2 х 3 = 6,

На этой круглой логарифмической линейке отправные точки для разная длина бревна отмечена треугольником.

Треугольник на внешнем кольце (выделен внутри оранжевый ромб) указывает на начало логарифмическая шкала для первого числа, 2,
Треугольник для внутреннего кольца (выделен внутри голубой ромб) устанавливается на длину, эквивалентную в журнал 2.
Курсор, отмеченный оранжевой стрелкой (две внешние стрелки показывают степень прозрачного курсора блок), помещается на длину, эквивалентную логарифму 3 на внутреннем кольце (выделено зеленым ромбом). Как видите, курсор указывает, как 3 также совпадает с 6 на внешнем кольце.

При установке ползуна в это положение можно делать дальше 2-кратный расчет: 2 х 4 = 8, 2 х 5 = 1 (!). Для этого последняя сумма, вы должны использовать свой интеллект и понять что ноль не отображается, так как 2 умножить на 5 равно 10.

отказ от ответственности за рекламу

таблицы журналов и как их использовать

Таблицы журналов обычно поставляются в небольших книгах, в том числе в виде а также таблицы журналов, таблицы для расчета других переменных такие как косинусы, косексы, котангенсы и антилогарифмы — используются чтобы преобразовать номер журнала обратно в целое число. ,

Чуть ниже на этой странице указаны четырехзначные (четырехместные) журнальные таблицы. Они используются для выполнения умножения и суммы деления с использованием десятичных чисел до четырех цифры после запятой.

Прежде чем пользоваться таблицами, необходимо понять некоторые вещи о них. Прежде всего знайте, что хотя нет десятичной точки в таблицах журналов, группы по четыре числа — десятичные дроби.

Далее, таблицы журналов предназначены для экономии места, поэтому размер числа отделяется от его значения. Что значит все это значит? Ну, вместо того, чтобы иметь отдельные таблицы для скажем, от 1 до 100, от 100 до 1000 и от 1000 до 10 000, есть один набор таблиц, а пользователь — вы — указываете потом размер номера.

Так номер журнала разбивается на две части: слева и справа от точки. Левая часть называется характеристикой. и указывает на заказ журнала

число в степени 10	10 ^-1	10 ⁰	10 ¹	10 ²	10 ³	10 ⁴
характеристика/порядок журнала	-1	0	1	2	3	4
номер разрешен	¹ / ₁₀	1	10	100	1000	10 000

, если число находится в диапазоне от 0 до 10, скажем, 1·2, его лог должен лежать между 0 и 1: лог будет 0. что-то ;
если число находится между 10 и 100, скажем, 12, его log должен лежать между 1 и 2: log будет 1. что-то ;
если число находится между 100 и 1000, скажем, 120, его лог должен лежать между 2 и 3: лог будет 2. something ;
если число находится между 1 000 и 10 000, скажем, 1 200, его журнал должен лежать между 3 и 4: журнал будет 3. нечто .

Обратите внимание, что в каждом случае характеристика совпадает с индексом (или показателем степени), когда число Заинтересованное выражается (записывается) как число в степени из десяти: 10 ⁰, 10 ¹, 10 ², 10 ³ .

И что-то , часть справа от смысл?
Это всегда одно и то же число для одних и тех же цифр, независимо от того, где может падать десятичная точка. Называется «мантисса». и обрабатывается с использованием таблиц журналов, подобных показанным ниже. [Числа в прямоугольниках являются частью рабочего для преобразования числа в десятичный логарифм, который описано чуть ниже.].

Нажмите, чтобы распечатать полные, неотмеченные четырехзначные таблицы журналов. [Открывается в новой вкладке/окне.]

Нажмите, чтобы распечатать полные четырехзначные таблицы журналов в формате .pdf.

преобразование число в десятичном логарифме

Теперь, чтобы сделать сумму, используя таблицы журналов. Предположим, вы хотите умножьте 24·78 x 33·16. Мы начинаем с работы из мантиссы, часть справа от десятичной точка в журнале,
[На странице таблиц журналов выше числа в прямоугольниках являются частью работы на эту сумму.]

сначала найдите 24 в столбце N, затем запустите пальцем до 7 столбца. Отметьте (пальцем, или памяти) что число там 3927.
Продолжайте перемещать палец по той же строке, пока не дойти до 8 столбца «пропорциональных частей». Обратите внимание на число 14.
Сложите 3927 и 14 для получения мантиссы журнала от 24.78: 3941.

Эта мантисса добавляется к характеристике 24·78 отдать лог.

Поскольку 24·78 находится между 10 и 100, его характеристика 1.
Таким образом, логарифм 24·78 равен 1,3941. Лог 24·78 = 1,3941.

сначала найдите 33 в столбце N, затем запустите палец поперек к 1 столбцу. Отметьте (пальцем, или памяти) что число там 5198.
Продолжайте перемещать палец по той же строке, пока не дойти до 6 столбца «Пропорциональные части». Обратите внимание на номер 8.
Сложите 5198 и 8 для мантиссы журнала из 33·16: 5206.

Эта мантисса добавляется к характеристике 33·16 отдать лог.

Поскольку 33·16 находится между 10 и 100, его характеристика 1,
Таким образом, логарифм 33·16 равен 1,5206. Лог 33·16 = 1,5206.

Итак, 24·78 x 33·16 является умножением сумма, два журнала добавлены вместе.
1,3941 +
1,5206
2,9147

2,9147 — это логарифм по основанию десяти, то есть это 10 ^2,9147 .
Этот журнал необходимо преобразовать обратно в число, чтобы найти результат нашей суммы умножения.

решение логарифм по основанию десяти до числа

Это можно сделать с помощью другого набора таблиц, который называется антилогарифмы, но здесь мы будем жесткими и нумеровать и использовать сами таблицы журналов!

Сначала разбираем бревно на его характеристику и мантисса: 2 и 9147.
Характеристика 2 «отложим» использовать позже.
Теперь к мантиссе, 9147!
Глядя на таблицу логов ниже, мы находим номер что равно или немного меньше 9147.
На строке 82 в столбце 1 стоит 9143.
Так идем вдоль линии, вправо, пока не найдем a 4 в разделе пропорциональных частей (9143 + 4 = 9147).
Чтобы добавить веселья, на этот раз мы находим 4 дважды, в 7 и в 8 колонках. Это потому, что таблицы только для четырех знаков логарифмов, а так иногда округление ошибки. В нашем случае мы теперь знаем, что четвертое место в нашем разрешенном числе где-то около 7 и 8, поэтому мы возьмем среднее значение 75. (Обратите внимание, что мы игнорируем любые десятичные знаки, пока не применим характеристику к завершенной/разрешенной мантиссе.)

Итак, мантисса разрешается в 82175.

Но помните характеристику 2, которую мы бы ‘отложить в сторону’?
Характеристика 2 означает, что число, от которого получен лог. составляет от 100 до 1000.
Итак, исходный номер (с логарифмом 2,9147) составляет от 100 до 1000. Таким образом, разрешенное число должно быть 821·75 или 24·78 х 33·16 = 821·75 .

Проверка калькулятором, результат 24·78 х 33·16 = 821·7048. Помните, что у нас есть использовал четырехзначный логарифм, поэтому небольшие неточности будут вползать.

Так вот как в старину делали, с бревнами в качестве короткого пути (конечно, становишься много быстрее с практикой) или гораздо быстрее, но менее точно, правила слайдов. Есть логарифмы и другие таблицы. до десяти цифр и, возможно, больше, что может быть полезно для проверки компьютерных программ. И, конечно же, компьютер программы теперь могут генерировать такие таблицы с помощью различных итерации.

Теперь у вас есть удобный карманный калькулятор, вы можете подумать что вычисление с помощью логарифмов немного утомительно. Но помните, понимание задействованных процессов очень полезно для создания основы для понимания того, как числа и работают индексы/степени.

Вы заметили, что на логарифмических линейках есть разные шкалы. показано выше, что позволяет вам найти много других интересных соотношения и результаты. Подобные справочные таблицы обычно доступны в журнальных таблицах.

логов числа между нулем и единицей: характеристика стержня

Когда число от нуля до единицы преобразуется в логарифм по основанию 10, log ₁₀ , характеристика журнала (например, мощность числа по основанию 10) будет быть отрицательным. То есть, в то время как мантисса журнала всегда положительна, его характеристика будет отрицательной для числа меньше 1,0.

характеристика / заказ журнала	-2	-1	0
число в степени 10	10 ^-2	10 ^-1	10 ⁰
номер разрешен	¹ / ₁₀₀ или .01	¹ / ₁₀ , или .1	1

При письме от руки легко написать отрицание характеристика как положено, чертой — полоса — над номером. К сожалению, обычные компьютерные клавиатуры (а также калькуляторы и современный набор текста) не могут сделать отметку, как это, так что отрицательная характеристика очень часто показывается как минус перед характеристикой. Поскольку мы также ограничены возможностями компьютерного набора текста, мы также поставим знак минус, чтобы указать на отрицательную характеристику — барный журнал. Вот что такое логарифм с отрицательным логарифмом выглядит, когда написано от руки.

Когда вы записываете журналы, вы можете либо записывать их как этот пример, или вы можете написать их как калькулятор или компьютер делает — если вы уверены, что вы не станете смущенный. Запомните характеристику может быть отрицательной или положительной, но мантисса (до справа от точки или точки) всегда положительна.

Теперь это может легко вызвать путаницу, потому что минус знак перед десятичным числом, например -1·234 (или в настоящее время часто пишется/печатается как -1,234) применяется ко всем десятичным числам: наш пример десятичного числа состоит из -1 и — ·234.

Журнал, описанный в слова как бар одна точка два три четыре, и пишется как -1,234, состоит из характеристики -1 и мантиссы 0,234, а не -0,234.

Вот пример суммы: 3 x ·09.

Используя приведенные выше таблицы журналов,
логарифм 3 равен 0,4771,
а логарифм ·09 равен — 2,9542, или 2 бара и 0,9542.

Поскольку 3 x ·09 является суммой умножения, два журналы добавлены вместе.
0,4771 +
— 2,9542
— 1,4313

Разборка лога на его характеристику и мантиссу: бар 1 и 4313.
Характеристика -1 мы будет «отложен» для последующего использования.
Используя приведенные выше таблицы журналов, мантисса разрешается до 269.9.

Теперь используем характеристику -1 определить размер разрешаемого числа. Характеристика -1 означает, что число должно быть между ·1 и ·9. Таким образом, разрешенное число должно быть ·2699.

Опять в наш расчет закрались ошибки округления используя журналы. Делая эту сумму напрямую, ответ будет · 27.

умножений включая отрицательные числа

При умножении отрицательных чисел мы продолжали бы как если бы числа были положительными, а затем, в конце умножение, мы исправим окончательный результат используя обычный правила. То есть положительное время положительное или отрицательное раз отрицательное дает положительный результат, а отрицательное время положительное и положительное время отрицательное дает отрицательное результат; или, одинаковые знаки положительные, противоположные знаки отрицательные. Это может быть выражено в типичном двоичная таблица:

	+	—
+	+	—
—	—	+

отделов используя журналы

Для подразделений, использующих бревна, применяются аналогичные процедуры. Для a — b (например, 3 — 2) логарифм 2 будет вычитается из журнала 3. В противном случае продолжайте как обычно. Вы также можете увидеть этот процесс на слайде правило выше, где 3 x 2 = 6 также можно прочитать в обратном порядке где 6 ÷ 2 = 3,

логарифмов и экспонент

— та.с.

Логарифмическая зависимость – это обратная экспоненциальная зависимость. В экспоненциальной зависимости вещи становятся все быстрее и быстрее. В логарифмической зависимости вещи становятся все медленнее и медленнее.

Например, следующее уравнение описывает простейшую экспоненциальную отношения:-

у = 10 ^х (1)

По мере того как x становится больше, y становится больше, а y растет все быстрее и быстрее. Любой положительный отзыв система, как и ядерный взрыв, может быть описана экспоненциальной отношение.

х = журнал ₁₀ у (2)

Уравнение (2) означает то же самое, что и уравнение (1), за исключением этого времени. мы больше заботимся о том, что происходит с x. Чем больше у, тем больше х, но x становится все медленнее и медленнее. Уравнение (2) описывает логарифмическую отношение. Любой негатив система обратной связи, например, как ваше тело регулирует вашу температуру, можно описать логарифмической зависимостью.

Каждое экспоненциальное отношение можно рассматривать как логарифмическое отношение, наоборот.

Математики часто используют специальное число под названием «е» (~2,72), вместо 10:

у = е ^х (3)
x = логарифм _e y = ln x (4)

e используется потому, что оно обладает некоторыми особыми свойствами, благодаря которым суммы в исчисление — математика для вычисления наклонов кривых и площадей под кривые — проще. Основание логарифма e иногда называют «натуральной логарифм» и записывается как «ln». Когда основание логарифм не указывается явно, например, «y = log x», это предполагается, что это логарифм по основанию 10, как в уравнении (2).

концевые примечания

Точка, похожая на точку, которая отделяет характеристику логарифма от мантисса справа называется «точкой». Она похожа на десятичную точку, но не точно такой же. Помните, что десятичная точка должна стоять на середина числа, но, как и точка, логарифмическая точка лежит на базовой линии числа.

Логарифмы | Encyclopedia.com

gale

просмотров обновлено 11 мая 2018

Ресурсы

Нахождение логарифма числа является обратным действием возведения числа в степень (возведение в степень). В общем, логарифм по основанию b любого числа x — это число L такое, что x = b ^L . Например, логарифм 100 по основанию 10 равен 2, потому что 100 = 10 ² . Это может быть сокращено журнал ₁₀ 100 = 2.

Поскольку логарифмы определяются в терминах показателей, они тесно связаны с экспоненциальными функциями и законами показателей.

Основное соотношение: b ^x = y тогда и только тогда, когда x = log _b y. Так как 2 ³ = 8, log ₂ 8 = 3. Так как согласно таблице логарифмов log ₁₀ 2 = 0,301, 10 ^.301 = 2.

Основные законы логарифмов и экспоненциальные законы, из которых они выводятся, показаны в таблице 1.

Таблица 1. Основные законы логарифмов . ( Томсон Гейл ).
Major laws of logarithms
I log _b (xy) =log _b x + log _b y	b ⁿ b ^m = b ^{n +m}
II log _b (x/y) = log _b x –log _b y	b ⁿ /b ^{m b} =0311 n+m
III log _b x ^y = y log _b x	(b ⁿ ) ^m = b( ^nm )
IV log _b x = (log _b a)(log _a x)	Если x = b ^r ; b = A ^P, затем x = A ^PR
V LOG _B B ^N = N	, если B ^N = B ^M, тогда B ^N = B ^M, тогда N = M	111111 2 ^{. 0014}
VI log 1 = 0 (любое основание)	b ⁰ = 1

Во всех этих правилах основания a и b и аргументы x и y ограничены положительными числами. Показатели m, n, p и r и логарифмы могут быть положительными, отрицательными или нулевыми.

Поскольку логарифмы зависят от используемого основания, оно должно быть четко указано. Обычно он отображается в виде нижнего индекса. Есть два исключения. Если основание равно 10, логарифм можно записать без нижнего индекса. Таким образом, журнал 1000 означает журнал 9.2863 10 1000. Логарифмы с основанием 10 называются «обычными» или «бриггсовскими». Другим исключением является случай, когда основанием является число e (которое равно 2,718282…). Такие логарифмы записываются через x и называются «натуральными» или «напьеровыми» логарифмами.

Чтобы использовать логарифмы, нужно уметь их вычислять. Самый простой способ сделать это — воспользоваться «научным» калькулятором. Такой калькулятор обычно имеет две клавиши, одну с пометкой «LOG», которая дает десятичный логарифм введенного числа, и другую «LN», которая дает натуральный логарифм.

За неимением такого калькулятора можно обратиться к таблицам десятичных логарифмов, которые можно найти в различных справочниках или приложениях различных статистических и математических текстов. При использовании таких таблиц необходимо знать, что они содержат логарифмы только в диапазоне от 0 до 1. Это логарифмы чисел в диапазоне от 1 до 10. Если кто-то ищет логарифм числа, скажем, 112 или 0,0035, за пределами этого диапазона, необходимо сделать некоторые приспособления.

Проще всего это сделать, записав число в экспоненциальном представлении:

112 = 1,12 × 10 ²
.0035 = 3,5 × 10 ^— 3

Затем, используя закон I

log 112 = log 1.5 + log 10 ²
log .0035 = log 3.5 + log 10 ²
10 ^— 3

Журнал 1.12 и 3. 5 можно найти в таблице. Они равны 0,0492 и 0,5441 соответственно. Log 10 ² и log 10 ^-3 просто 2 и -3 по закону V: поэтому

log 112 = 0,0492 + 2 = 2,0492
log 0,0035 = 0,5442 — 3 = -2,4559

Две части полученных логарифмов называются «мантисса» и «характеристика». Мантисса — это десятичная часть, а характеристика — целая часть. Поскольку таблицы логарифмов показывают только положительные мантиссы, логарифм, такой как -5,8111, должен быть преобразован в 0,1889-6, прежде чем таблицу можно будет использовать для нахождения «антилогарифма», который является именем, данным числу, логарифмом которого оно является. Калькулятор покажет антилогарифм без такого преобразования.

Также существуют таблицы натуральных логарифмов. Поскольку для натуральных логарифмов не существует простого способа определения характеристики, в таблице будут указаны и характеристика, и мантисса. Он также будет охватывать более широкий диапазон чисел, возможно, от 0 до 1000 или более. Альтернативой является таблица десятичных логарифмов, преобразующая их в натуральные логарифмы по формуле (из закона IV) ln x = 2,30285 × log x. Логарифмы используются для различных целей. Одно существенное применение — использование, для которого они были впервые изобретены — это упрощение вычислений. Законы I и II позволяют умножать или делить числа путем сложения или вычитания их логарифмов. Когда числа состоят из большого количества цифр, обычно проще складывать или вычитать. Закон III позволяет возводить число в степень, умножая его на логарифм. Это гораздо более простая операция, чем возведение в степень, особенно если показатель степени не равен 0, 1 или 2.

Когда-то для вычислений широко использовались логарифмы. Астрономы полагались на них для обширных вычислений, необходимых для их работы. Инженеры выполняли большинство своих вычислений с помощью логарифмических линеек, которые представляют собой механические устройства для сложения и вычитания логарифмов или, используя логарифмические шкалы, для их умножения. Современные электронные калькуляторы заменили логарифмические линейки и таблицы для вычислительных целей — они быстрее и точнее, — но понимание свойств логарифмов остается ценным инструментом для всех, кто широко использует числа.

Если нарисовать шкалу, на которой логарифмы возрастают одинаковыми шагами, антилогарифмы будут тесниться все ближе и ближе друг к другу по мере увеличения их размера. Делается это очень системно. В так называемой логарифмической шкале равные интервалы соответствуют равным отношениям. Например, интервал между 1 и 2 такой же длины, как интервал между 4 и 8.

Логарифмические шкалы используются для многих целей. Шкала pH, используемая для измерения кислотности, и шкала децибел, используемая для измерения громкости, являются логарифмическими шкалами (то есть они являются логарифмами кислотности и громкости). Таким образом, они растягивают шкалу там, где кислотность или громкость слабы (и заметны небольшие вариации), и сжимают ее там, где они сильны (где для заметного эффекта необходимы большие вариации). Другой пример преимущества логарифмической шкалы можно увидеть в шкале, которую может построить социолог. Если бы он нарисовал обычный график семейных доходов, увеличение минимальной заработной платы на доллар в час имело бы такое же значение, как увеличение на доллар в час дохода руководителя корпорации, зарабатывающего полмиллиона долларов. долларов в год. Однако такое увеличение имело бы гораздо большее значение для семьи, чей добытчик или добытчики работали на уровне минимальной заработной платы. Логарифмическая шкала, где равные интервалы отражают равные отношения, а не равные различия, покажет это.

Логарифмические функции также проявляются как обратные экспоненциальные функции. Если P = ke ^t , где k — константа, представляет население как функцию времени, то t = k + ln P, где K = —ln k, также является константой, представляет время как функцию населения. Демограф, желающий узнать, сколько времени потребуется, чтобы население выросло до определенного размера, нашел бы логарифмическую форму зависимости более полезной.

Из-за этого отношения логарифмы также используются для решения экспоненциальных уравнений, таких как 3 — = 2x as или 4e k = 15,

Изобретение логарифмов приписывается Джону Нейпиру, шотландскому математику, жившему с 1550 по 1617 год. Однако изобретенные им логарифмы не были простыми логарифмами, которые мы используем сегодня (его логарифмы не были теми, что сейчас называют «напировскими») . Вскоре после того, как Нейпир опубликовал свою работу, Бриггс, английский математик, встретился с ним, и вместе они разработали логарифмы, которые гораздо больше напоминают десятичные логарифмы, которыми мы пользуемся сегодня. Однако ни Нейпир, ни Бриггс не связывали логарифмы с показателями степени. Они были изобретены до того, как стали использоваться экспоненты.

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

Характеристика — Целая часть логарифма.

Логарифм —Показатель степени. Если a = b ^c , c является логарифмом по основанию b числа a.

Логарифмическая функция — Функция вида y = K + log _b x.

Логарифмическая шкала — Шкала, в которой логарифмы чисел расположены через равные промежутки.

Мантисса —десятичная часть логарифма.

КНИГИ

Бичер, Максим и Гейлорд, Гарри Дэвис. Тригонометрия с теорией и использованием логарифмов. Научное издательство, Библиотека Мичиганского университета, 2005 г.

Лиал, Маргарет Л. и др. Предварительный расчет. Индианаполис, Иллинойс: Addison Wesley, 2004.

Stewart, James, et al. Precalculus: Математика для исчисления. Бельмонт, Калифорния: Брукс Коул, 2005.

Дж. Пол Моултон

Научная энциклопедия Гейла

буря

просмотров обновлено 11 июня 2018

Логарифм — это показатель степени . Логарифм (по основанию 10) числа 100 равен 2, потому что 102 = 100. Это может быть сокращено log10100 = 2.

Поскольку логарифмы являются показателями степени, они тесно связаны с показательными функциями и с законами показателей.

Основное соотношение: bx = y тогда и только тогда, когда x = logb y. Так как 23 = 8, log2 8 = 3. Так как согласно таблице логарифмов log10 2 = 0,301, 10,301 = 2,

Основные законы логарифмов и экспоненциальные законы, из которых они получены, показаны в таблице 1.

Во всех этих правилах основания a и b и аргументы x и y ограничены положительными числами. Показатели m, n, p и r и логарифмы могут быть положительными, отрицательными или нулевыми .

Поскольку логарифмы зависят от используемого основания, оно должно быть четко указано. Обычно это

**ТАБЛИЦА 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛОГАРИФМОВ**
I logb (xy) = logb x + logb y	bn•bm = bn+m
II log (x/y) = logb x — logb y	bn/bm = bn+m m
III logb xy = y•logb x	(bn)m = b(nm)
IV logb x = (logb a)(logax)	Если x = br ; b = ap, то x = apr
V logb bn = n	Если bn = bm, то n = m
VI log 1 = 0 (любое основание)	b0 = 1

отображается в виде нижнего индекса. Есть два исключения. Если основание равно 10, логарифм можно записать без нижнего индекса. Таким образом, log 1000 означает log10 1000. Логарифмы с основанием 10 называются «обычными» или «бриггсовскими». Другим исключением является случай, когда основанием является число e (равное 2,718282…). Такие логарифмы записываются через x и называются «натуральными» или «напьеровыми» логарифмами.

Чтобы использовать логарифмы, нужно уметь их вычислять. Самый простой способ сделать это — использовать «научный» калькулятор . Такой калькулятор обычно имеет две клавиши, одну с пометкой «LOG», которая дает десятичный логарифм введенного числа, а другую «LN», которая дает натуральный логарифм.

Проще всего это сделать, записав число в экспоненциальной записи:

Тогда по закону I

Лог 1.12 и лог 3.5 можно найти в таблице. Они равны 0,0492 и 0,5441 соответственно. Лог 102 и логарифм 10-3 просто 2 и -3 по закону V: поэтому

Две части полученных логарифмов называются «мантисса» и «характеристика». Мантисса — это десятичная часть, а характеристика — целая часть . Поскольку таблицы логарифмов показывают только положительные мантиссы, такой логарифм, как -5,8111, необходимо преобразовать в 0,1889.-6, прежде чем таблицу можно будет использовать для нахождения «антилогарифма», который является именем, данным числу, логарифмом которого оно является. Калькулятор покажет антилогарифм без такого преобразования.

Если нарисовать шкалу, на которой логарифмы возрастают одинаковыми шагами, антилогарифмы будут тесниться все ближе и ближе друг к другу по мере увеличения их размера. Они делают это очень систематически. В так называемой логарифмической шкале равные интервалы соответствуют равным отношениям. Например, интервал между 1 и 2 имеет ту же длину, что и интервал между 4 и 8.

Таким образом, они растягивают шкалу там, где кислотность или громкость слабы (и заметны небольшие вариации), и сжимают ее там, где они сильны (где для заметного эффекта необходимы большие вариации). Другой пример преимущества логарифмической шкалы можно увидеть в шкале, которую может построить социолог. Если бы он нарисовал обычный график семейных доходов, увеличение минимальной заработной платы на доллар в час имело бы такое же значение, как увеличение на доллар в час дохода руководителя корпорации, зарабатывающего полмиллиона долларов. долларов в год. Однако такое увеличение имело бы гораздо большее значение для семьи, чей добытчик или добытчики работали на уровне минимальной заработной платы. Логарифмическая шкала, где равные интервалы отражают равные отношения, а не равные различия, покажет это.

Логарифмические функции также проявляются как обратные экспоненциальные функции. Если P = ket, где k — константа, представляет население как функцию времени, то t = K + ln P, где K = —ln k, также является константой, представляет время как функцию населения. Демограф, желающий узнать, сколько времени потребуется, чтобы население выросло до определенного размера, нашел бы логарифмическую форму зависимости более полезной.

Изобретение логарифмов приписывается Джону Нейпиру, шотландскому математику, жившему с 1550 по 1617 год. Однако изобретенные им логарифмы не были простыми логарифмами, которые мы используем сегодня (его логарифмы не были тем, что сейчас называют «напировскими») . Вскоре после того, как Нейпир опубликовал свою работу, Бриггс, английский математик, встретился с ним, и вместе они разработали логарифмы, которые гораздо больше напоминают десятичные логарифмы, которыми мы пользуемся сегодня. Однако ни Нейпир, ни Бриггс не связывали логарифмы с показателями степени. Они были изобретены до того, как стали использоваться экспоненты.

Ресурсы
книги
Финни, Томас, Демана и Уэйтс. Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое. Рединг, Массачусетс: Addison Wesley Publishing Co., 1994.
Галлберг, Ян и Питер Хилтон. Математика: от рождения чисел. В.В. Norton & Company, 1997.
Ходжман, Чарльз Д., изд. C.R.C. Стандартные математические таблицы. Кливленд: Chemical Rubber Publishing Co, 1959.
Тернбулл, Герберт Вестрен. «Великие математики». в Мир математики. Под редакцией Джеймса Р. Ньюмана. Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1956.
Дж. Пол Моултон
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Коническое сечение
— Коническое сечение — это фигура, полученная в результате пересечения прямого кругового конуса с плоскостью. Коническими сечениями являются окружность, эллипс, парабола и гипербола.
Линия
—Линия представляет собой набор точек. У линии есть длина, но нет ширины или толщины.
Плоскость
—Плоскость также является набором точек. У него есть длина и ширина, но нет толщины.
Точка
—Геометрически точка — это местоположение. С ним не связан ни размер, ни длина, ни ширина, ни толщина.
Правый круглый конус
— Поверхность, образующаяся в результате вращения двух пересекающихся линий по окружности вокруг оси, расположенной под прямым углом к окружности вращения.
The Gale Encyclopedia of Science
gale
views updated May 21 2018
The logarithm of a positive real number x to the base- a is the number y that satisfies уравнение a ^y = х. In symbols, the logarithm of x to the base- a is log _a x, and, if a ^y = x, then y = log _a х.
По существу, логарифм по основанию a является функцией: Каждому положительному вещественному числу x логарифм по основанию a ставит в соответствие x число y 1 1 a 3357 г = х. Например, 10 ² = 100; следовательно, log ₁₀ 100 = 2. Логарифм от 100 до по основанию 10 равен 2, что является сложным названием степени 10, равной 100.
Любое положительное вещественное число, кроме 1, может быть использовано в качестве база. Тем не менее, два самых полезных целочисленных основания — это 10 и 2. Основание-2 , также известная как двоичная система, используется в информатике, потому что почти все компьютеры и калькуляторы используют основание 2 для своих внутренних вычислений. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Если основание не указано, то предполагается основание 10, и в этом случае запись упрощается до log 9.3357 х.
Далее приведены некоторые примеры логарифмов.
log 1 = 0 Потому что 10 ⁰ = 1
log 10 = 1 Потому что 10 ¹ = 10
log 100 = 2 Потому что 10 ² = 100
log ₂ 8 = 3 Потому что 2
³ = 8
log ₂ 2 = 1 Потому что 2 ¹ = 2
log ₅ 25 = 2 Потому что 5 ² = 25
log ₃ = −2 Потому что 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3 ^{— 3}}}}}}}}}}
— 3 ^{— 3
— 3 ^{— 3
— 3 ^{— 3}
— Log ₃. 2 =
Логарифм кратного 10 следует простой схеме: логарифм 1000, 10000 и т. д. по основанию 10 равен 3, 4 и т. д. Кроме того, логарифм числа a по основанию a всегда равен 1; то есть log _a a = 1, потому что a ¹ = a.
Логарифмы обладают некоторыми интересными и полезными свойствами. Пусть x, y, и a — положительные действительные числа, причем a не равны 1. Ниже приведены пять полезных свойств логарифмов.
1. log _A ( XY ) = log _A x + log _A Y , SO log ₁₀ (15) = log _{10 9288 8. 3 + 312868 3 +} 31868 31864 31864 31864 31864 31864 31864 31864.
2. log _A = log _A x — log _A Y , SO log (⅔) = log 2 — log 3
3. log _A . 3333337.
7
7
7
7
7
.
.
.
.
. = r log _a x , где r — любое действительное число, поэтому log 3 ⁵ = 5 log 3
4. log _a = −log _a x , поэтому log (¼) = (−1) log 4, потому что ¼ = (4) ^-12
5. log _a a ^r = r , поэтому log ₁₀ 10 ³ = 3
9000 свойств полезны при логарифмическом вычислении этих свойств.
История логарифмов
Начало логарифмов обычно приписывают Джону Нейпиру (1550–1617), шотландскому математику-любителю. Интерес Нейпира к астрономии требовал от него утомительных вычислений. Используя логарифмы, он разработал идеи, которые сокращали время на выполнение длинных и сложных вычислений. Однако его подход к логарифмам отличался от формы, используемой сегодня.
К счастью, лондонский профессор Генри Бриггс (1561–1630) заинтересовался таблицами логарифмов, составленными Нейпиром. Бриггс отправился в Шотландию, чтобы навестить Нейпира и обсудить его подход. Они работали вместе, чтобы внести улучшения, такие как введение логарифмов по основанию 10. Позже Бриггс разработал таблицу логарифмов, которая широко использовалась до появления калькуляторов и компьютеров. Двоичные логарифмы иногда также называют логарифмами Бриггса.
см. также Степени и экспоненты.
Рафик Ладхани
Библиография
Джеймс, Роберт С. и Гленн Джеймс. Математический словарь, 5-е изд. Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, 1992.
Янг, Робин В., изд. Известные математики с древних времен до наших дней. Detroit: Gale Research, 1998.
Mathematics Ladhani, Rafiq
gale
просмотров обновлено 21 мая 2018
понимать таблицу умножения. Математики, астрономы, мореплаватели и ученые были вынуждены тратить много времени на выполнение вычислений, так что на работу над экспериментами и новыми открытиями оставалось мало времени. Наконец, около 1594 Шотландский математик Джон Нейпир (1550–1617) составил таблицу логарифмических, или пропорциональных, чисел.
Как работают логарифмы
В общеизвестной системе счисления с основанием 10 вычисления, включающие очень большие числа, могут стать трудными, если не непонятными. Нейпир понял, что числа легче выразить в терминах мощностей. Таким образом, 100 равно 10, умноженному на 10, записанному как 10 ² . Это читается как «10 в квадрате» и означает «10 в степени два».
Для выполнения умножения числа преобразуются в логарифмы, степени складываются, а результат преобразуется обратно в основание 10. Аналогичным образом, для выполнения деления два логарифмических показателя степени вычитаются, и результат преобразуется обратно в число 10.
Этот инновационный способ умножения и деления больших чисел был знаковым событием для математиков того времени. Таблицы Непера были опубликованы в 1614 г. и сразу же стали использоваться, став неотъемлемой частью математических, научных и навигационных процессов.
Логарифмические таблицы оставались популярными в течение следующих нескольких столетий и использовались в качестве основы для многих механических вычислительных устройств. Избавившись от большей части своей умственной работы, ученые и математики получили новую свободу в своей работе, что позволило им сосредоточить свое внимание на новых научных открытиях.
UXL Энциклопедия науки
Оксфорд
просмотров обновлено 11 июня 2018 г.
логарифм Помощь в вычислениях, разработанная Джоном Нейпиром в 1614 году и разработанная английским математиком Генри. Логарифм числа — это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы оно равнялось числу, т. е. если b ^x = n, тогда log _b n = x, где n — число, b — основание, а x — логарифм. Двоичные логарифмы имеют основание 10, а так называемые натуральные логарифмы имеют основание e (2,71828…). Логарифмы по основанию 2 используются в информатике и теории информации.
Всемирная энциклопедия
Оксфорд
просмотров обновлено 29 мая 2018 г.
No related posts.}}

Таблица Брадиса — МАНТИССЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ

Мантиссы десятичных логарифмов (Таблица Брадиса 13)

Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

Мантисса десятичного логарифма — Таблица Брадиса №13

Мантиссы десятичных логарифмов (Таблица Брадиса 13)

САМОЕ ПОПУЛЯРНОЕ

ПОПУЛЯРНЫЕ КАТЕГОРИИ

Логарифмические таблицы | Small encyvlopedia

Две случайные статьи:

Десятичные и натуральные логарифмы ➽ Алгебра 10 — 11 класс

Похожие статьи, которые вам понравятся:

Содержание

Алгебраические свойства

Функция десятичного логарифма

Применение

История

Литература

Ссылки

Примечания

Найти log 0 1 по основанию 10. Логарифм. Десятичный логарифм

логарифмов Бриггса

Компоненты логарифмов

47.

Онлайн-репетиторство | Репетиторство по математике, английскому языку, естественным наукам

Использование логарифмических значений

Логарифмические таблицы

Попробуйте ответить на эти вопросы

Ответы

как научить вашего ребенка арифметике с числами математике — запись логарифмов

инструментов помочь в разработке журналов

логарифмические линейки

таблицы журналов и как их использовать

преобразование число в десятичном логарифме

решение логарифм по основанию десяти до числа

логов числа между нулем и единицей: характеристика стержня

умножений включая отрицательные числа

отделов используя журналы

логарифмов и экспонент

Логарифмы | Encyclopedia.com

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

КНИГИ

Ресурсы

книги

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

История логарифмов

Библиография

Как работают логарифмы

Добавить комментарий Отменить ответ