Таблица неравенства: Неравенства. Решение неравенств таблицы купить

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств.  В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Определение 1

Каждый числовой промежуток характеризуется:

• названием;
• наличием обычного или двойного неравенства;
• обозначением;
• геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

Определение 2

• Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x<a или x>a, где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — (x<a) или больше a — (x>a).

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x<a обозначается  виде промежутка (−∞, a), а для x>a, как (a, +∞).

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой  и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной.  Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее.  Тогда неравенство вида x<a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x>a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a. Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

При заданном строгом неравенстве x>−3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат (−3, ∞) . То есть это все точки, лежащие правее, чем -3.

Пример 2

Если имеем неравенство вида x<2,3, то запись (−∞, 2,3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Определение 3

• Числовой луч. Геометрический смысл  в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x≤a или x≥a. Для такого вида приняты специальные обозначения вида (−∞, a] и [a, +∞), причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Пример 3

Неравенство вида x≥5 соответствует записи [5, +∞), тогда получаем луч такого вида:

Определение 4

• Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a<x<b, где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b, а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a, но меньше b. Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a, b). Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример 4

Пример интервала −1<x<3,5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (−1, 3,5). Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Определение 5

• Числовой отрезок.
  Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a≤x≤b. Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [a, b], значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Пример 5

Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2≤x≤3, которое изображаем  в виде 2, 3. На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

Определение 6

• Полуинтервалы. Это промежуточные интервалы с включением приграничных точек. Они записываются при помощи двойных неравенств вида a<x≤b или a≤b<c, где (a, b] и [a, b). Изобразим на координатной прямой.

Пример 6

Если имеется полуинтервал (1, 3], тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1<x≤3, при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3, где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Таблица числовых промежутков

Определение 7

Промежутки могут быть изображены в виде:

• открытого числового луча;
• числового луча;
• интервала;
• числового отрезка;
• полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Таблица числовых промежутков
Название	Неравнство	Обозначение	Изображение
Открытый числовой луч	x<a	-∞, a
	x>a	a, +∞
Числовой луч	x≤a	(-∞, a]
	x≥a	[a, +∞)
Интервал	a<x<b	a, b
Числовой отрезок	a≤x≤b	a, b
Полуинтервал	a<x≤b	(a, b]
	a≤x<b	[a, b)

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Неравенство в доходах: Кривая Лоренца

 

В прошлом материале мы обсудили тему доходов населения. Сегодняшняя тема: Неравенство в доходах. Всемирный банк и Международный валютный фонд очень обеспокоены данным явлением.

Что такое неравенство в доходах? Александр зарабатывает 90 тыс. тенге в месяц, а Искандер получает 100 тыс. Можно ли это назвать неравенством в доходах? Ответ очевиден – да.

Причин для того, чтобы один человек зарабатывал больше другого масса: кто-то получил высшее образование по востребованной профессии, а кто-то окончил девять классов; кто-то работает более усердно, кто-то лентяй; кому-то просто повезло, а другому наоборот, и так далее. Справедливо сказать, что неравенство в доходах — это результат в том числе естественных рыночных процессов.

Но почему борьбу с неравенством считают одной из самых важных задач?

«Неравенство в доходах – это ситуация, в которой доходы страны распределены неравномерно среди населения»

Проблемы начинаются, когда маленькая доля населения получает колоссальную долю от общих доходов, тогда как остальные вынужденно делят между собой остатки.

Разберем ситуацию на примере с уже знакомым читателям Ekonomist.kz Казыстаном, при этом условно разделим население этой страны на следующие группы.

Таблица 1. Структура населения Казыстана и распределение доходов между группами

	% от населения	% от общих доходов
Бедные люди	20%	2%
Люди с доходом ниже среднего	20%	4%
Люди со средним доходом	20%	14%
Люди с доходом выше среднего	20%	20%
Богатые люди	20%	60%

Из таблицы можно увидеть, что бедные слои составляют 20% от населения и зарабатывают 2% в совокупности от общих доходов, в то же время, на самые богатые 20% населения – приходится 60% от общих доходов.

Построим график на основании этой таблицы: на горизонтальной оси у нас будет население, соответственно на вертикальной оси доходы.

 

График начинается из точки (0%,0%) – 0% доходов зарабатывает 0% населения, логично.

20% самых бедных в совокупности зарабатывает 2% доходов – это точка (20%, 2%). 0% населения + 20% бедных зарабатывают 0%+ 2% от общего дохода в стране.

Следующие 20% населения – люди, получающие доход, ниже среднего уровня, они зарабатывают 4% доходов. Добавляем их к бедным– это точка (40%, 6%). Иными словами, 20% бедных + 20% людей с доходом ниже среднего зарабатывают 2% + 4% = 6% от совокупных доходов населения.

Следующие 20% населения – люди, получающие средний доход. Они зарабатывают 14% дохода. Добавим их – это у нас точка (60%, 20%). По аналогии: 20% бедных + 20% людей с доходом ниже среднего + 20% людей со средним достатком в совокупности зарабатывают 2% + 4% + 14% = 20%

Следующие 20% населения – люди со средним достатком… и так далее до самых богатых 20% населения.

Кривая, которую мы построили называется кривой распределения доходов среди слоев населения. Эту кривую придумал американский математик и экономист Макс Отто Лоренц (1876-1959), как инструмент, отображающий распределение экономических благ среди населения.

«Кривая Лоренца – это графическая репрезентация распределения благ среди населения»

О чем нам говорит кривая Лоренца? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, давайте предположим, как должна выглядеть эта кривая в Утопии, в стране, где доходы распределены равномерно. В такой стране не должно быть богатых и бедных, ведь жители получают одинаковый доход.

Как в таком случае распределяются доходы?

0% населения будет зарабатывать 0% от доходов. 20% населения будет зарабатывать 20%; 40% населения будет получать 40%; 60% населения будет получать 60%; 80% населения будет получать 80%; 100% населения будет получать 100%.

Построим кривую Лоренца для Утопии. Обратите внимание на синюю линию на графике справа. Если мы с вами прогуляемся по этой линии, мы можем заметить, что на всех точках этой линии % доходов = % населения. Так и должна выглядеть кривая Лоренца в мире, где доходы распределены равномерно. Эту кривую, которая в Утопии превращается в прямую, чаще всего называют линией абсолютного равенства.

 

 

«Линия абсолютного равенства – это кривая Лоренца в мире, где все получают одинаковый доход»

 

Хорошо, если есть кривая абсолютного равенства, должна быть и кривая абсолютного неравенства, не так ли? Тогда, как выглядит кривая абсолютного неравенства и что это такое? Это, когда доходы распределены абсолютно неравномерно. А это как? Это когда один человек забирает все доходы, а остальные питаются воздухом.

 

«Линия абсолютного неравенства – это кривая Лоренца в мире, где один человек получает все 100% доходов страны, а остальные получают 0%»

 

Тогда все население страны будет получать 0% дохода и будут бедными и только один человек получает 100% доходов и является самым богатым, соответственно, вместе с этим самым богатым человеком все население получает 100% дохода. И кривая абсолютного неравенства тогда будет выглядеть как красная кривая на графике слева.

Также, как и кривая абсолютного равенства, кривая абсолютного неравенства имеет сугубо теоретический смысл, пока что история не знает реальных примеров стран, где было бы абсолютное равенство или абсолютное неравенство. Эти линии мы построили только для того, чтобы ориентироваться, к какой из этих крайностей ближе кривая Лоренца для страны Казыстан.

Теперь, когда у нас есть с чем сравнивать, становится понятно: чем дальше от красной линии (или чем ближе к синей линии) находится кривая Лоренца – тем более неравномерно распределены доходы.

Возникает вполне логичный вопрос: а нет ли какого-то количественного показателя, который бы показывал уровень неравенства?

Такой показатель есть, в 1912 году его вывел итальянский статистик Коррадо Джини (1884-1965), в честь которого и назван коэффициент.

«Коэффициент Джини – это показатель степени неравенства в доходах, который принимает значения от 0 до 1, где 0 – абсолютное равенство и 1 – абсолютное неравенство»

Если внимательно присмотреться к графику 3, можно увидеть треугольник АBC, где A – точка начала координат, B – вершина, а C – точка на оси абсцисс. Если мы представим себе, что площадь этого треугольника изображает совершенно неравномерное распределение доходов населения, то площадь фигуры между кривой Лоренца для Казыстана и кривой абсолютного равенства изображает неравенство в Казыстане. Тогда, если мы разделим неравенство Казыстана на абсолютное неравенство (площадь треугольника АBC), то узнаем, какую долю неравенство в Казыстане составляет от абсолютного неравенства. Это и будет коэффициентом Джини для Казыстана, а метод расчета коэффициента называется геометрическим методом расчета.

Но как посчитать площадь заштрихованной фигуры? Это просто: можно разделить эту фигуру на два треугольника и 3 трапеции, вывести площади всех этих фигур и сложить их. Геометрический способ был представлен для того, чтобы было понятно, в чем суть этого коэффициента.

Мы же воспользуемся универсальной формулой расчета коэффициента (алгебраически):

Для самых искушенных читателей предлагаю вывести коэффициент Джини геометрическим методом, и сравнить с показателем, который мы сейчас выведем алгебраическим методом.

Даже если обычно при виде формул у читателя начинается паническая атака, в этот раз можно не бояться: в этой формуле нет ничего страшного.

Итак:

G – коэффициент Джини;

Xi – доля i-ой группы в составе населения (у нас всего 5 групп: бедные, ниже среднего, средние, выше среднего и богатые). Мы помним, что мы начинаем считать от бедных к богатым, соответственно X1 – бедные, X2 – люди с доходом ниже среднего, X3 – люди со средним доходом и так далее до X5 – богатые люди;

Yi – доля i-ой группы в объеме доходов или сколько процентов от общих доходов зарабатывает i-ая группа;

cumYi – кумулированная (накопленная) доля дохода i-ой группы в составе населения. Чтобы узнать cumY3, нам просто необходимо посмотреть, какую долю доходов зарабатывают бедные, люди с достатком ниже среднего и со средним достатком вместе;

“Ʃ” – это специальный символ, который по договоренности на языке математики означает сумму; если вы увидите что-то подобное: Ʃ Xi * Yi, это просто значит, что нужно высчитать сумму всех X*Y. В нашем случае это значит:

 (X1 * Y1) + (X2*Y2) + (X3*Y3) + (X4*Y4) + (X5*Y5).

Вернемся к таблице распределения дохода и рассчитаем коэффициент Джини.

Таблица 2. Структура населения Казыстана и данные для расчета индекса Джини

i	% от населения — Xi	% от общих доходов — Yi	Xi * Yi	Xi * cumYi
Бедные люди	20%	2%	20%*2%= 0,2*0,02 = 0,004	20%*2%= 0,2*0,02 = 0,004
Люди с доходом ниже среднего	20%	4%	20%*4%= 0,2*0,04 = 0,008	20%*(2%+4%) = 0,2*0,06 = 0,012
Люди со средним доходом	20%	14%	20%*14%= 0,2*0,14 = 0,028	20%*(2%+4%+14%) = 0,2*0,2= 0,04
Люди с доходом выше среднего	20%	20%	20%*20%= 0,2*0,2 = 0,04	20%*(2%+4%+14%+20%) = 0,2*0,4= 0,08
Богатые люди	20%	60%	20%*60%= 0,2*0,6 = 0,12	20%*(2%+4%+14%+20%+60%) = 0,2*1= 0,2
Ʃ (сумма)	100%	100%	0,2	0,336

 

С помощью этой таблицы, мы уже рассчитали Ʃ XiYi = 0,2 и Ʃ Xi cumYi= 0,336. Давайте теперь просто подставим все в нашу формулу:

G = 1 – 2* (Ʃ Xi cumYi= 0,336) + (Ʃ XiYi = 0,2)

G = 1 – 2* 0,336 + 0,2

G = 1 – 0,672 + 0,2 = 0,528.

Мы только что рассчитали коэффициент Джини для нашей выдуманной страны Казыстан. Тем самым мы рассчитали, какую часть от абсолютного неравенства составляет неравенство в Казыстане.

Мы выяснили, что в Казыстане доля неравентсва от абсолютного неравенства составляет 0,528 или неравенство в Казыстане составляет 52,8% от абсолютного неравенства.

Ниже, вы можете посмотреть на коэффициент Джини в динамике для реальной страны – Республики Казахстан.

 

Неравенство — Неравенство доходов — Данные ОЭСР

Доход определяется как располагаемый доход домохозяйства в конкретном году. Он состоит из доходов, самозанятости, доходов от капитала и государственных денежных переводов; подоходный налог и взносы на социальное обеспечение, уплачиваемые домохозяйствами, вычитаются.

Доход домохозяйства приписывается каждому из его членов с корректировкой, отражающей различия в потребностях домохозяйств разного размера. Неравенство доходов между людьми измеряется здесь пятью показателями. Коэффициент Джини основан на сравнении совокупной доли населения с совокупной долей дохода, который они получают, и колеблется от 0 в случае совершенного равенства до 1 в случае совершенного неравенства. S80/S20 — отношение среднего дохода 20% самых богатых к 20% самых бедных; Р90/P10 — отношение верхней границы девятого дециля (т. е. 10% людей с самым высоким доходом) к первому децилю; P90/P50 верхней границы значения девятого дециля к среднему доходу; и P50/P10 медианного дохода к верхней границе первого дециля. Коэффициент Пальмы представляет собой долю всего дохода, полученного 10% людей с самым высоким располагаемым доходом, деленную на долю всего дохода, полученного 40% людей с самым низким располагаемым доходом.

Последняя публикация

В этом вместе: почему меньшее неравенство приносит пользу AllPublication (2015)

Индикаторы

• Неравенство доходов
• Уровень бедности
• Глубина бедности
• Дискриминационный семейный код
• Насилие над женщинами
• Женщины в политике
• Социальные институты и гендер
• Перенаселенность жилья

Показать:

• Диаграмма
• Стол

• полноэкранный режим
• доля

• скачать

  • Только выбранные данные (. csv)
  • Полные данные индикатора (.csv)

• Моя доска объявлений

  • Добавить это представление
  • Перейти к пинборду

Определение

Дифференциация доходов

Доход определяется как располагаемый доход домохозяйства в конкретном году. Он состоит из доходов, самозанятости, доходов от капитала и государственных денежных переводов; подоходный налог и взносы на социальное обеспечение, уплачиваемые домохозяйствами, вычитаются. Доход домохозяйства приписывается каждому из его членов с корректировкой, отражающей различия в потребностях домохозяйств разного размера. Неравенство доходов между людьми измеряется здесь пятью показателями. Коэффициент Джини основан на сравнении совокупной доли населения с совокупной долей дохода, который они получают, и колеблется от 0 в случае совершенного равенства до 1 в случае совершенного неравенства.

S80/S20 — отношение среднего дохода 20% самых богатых к 20% самых бедных; Р90/P10 — отношение верхней границы девятого дециля (т. е. 10% людей с самым высоким доходом) к первому децилю; P90/P50 верхней границы значения девятого дециля к среднему доходу; и P50/P10 медианного дохода к верхней границе первого дециля. Коэффициент Пальмы представляет собой долю всего дохода, полученного 10% людей с самым высоким располагаемым доходом, деленную на долю всего дохода, полученного 40% людей с самым низким располагаемым доходом.

Цитата

Укажите этот показатель следующим образом:

ОЭСР (2023), Неравенство доходов (показатель). doi: 10.1787/459aa7f1-en

Исходная база данных

Распределение доходов База данных ОЭСР Социальная статистика и статистика благосостояния

Хранилище данныхБаза данных OECD.Stat

Дополнительные показатели, относящиеся к неравенству

Валовой национальный доход Показатель

Располагаемый доход домохозяйства Показатель

Уровень образования взрослых Индикатор

Уровень занятости Индикатор

Дальнейшие публикации, связанные с неравенством

How’s Life? Публикация (2020)

Взгляд на общество (2019)

Публикация Closeing the Gender Gap (2012)

Решение квадратного неравенства с помощью диаграммы со знаками — Концепция

Как и при решении квадратных уравнений, мы можем решать квадратные неравенства несколькими способами. Решение квадратного неравенства можно выполнить двумя способами: изобразив квадратное неравенство в виде графика или используя таблицу знаков. Одно из преимуществ использования диаграммы знаков для графического отображения квадратного неравенства заключается в том, что нам не требуется изображать параболу, чтобы решить неравенство, что экономит время.

знак номер строки диаграмма знаков меньше, чем больше чем квадратное неравенство

Когда мы рассматриваем квадратные неравенства, одна из вещей, которую вы должны иметь в виду, это то, что вы знаете о графиках квадратичных уравнений. Я придумал пример здесь. Подумайте об уравнении y, равном количеству x-3, умноженному на x+2. Это уже в факторизованной форме, верно? Посмотрите график здесь. Это имеет точки пересечения -2 и +3 по оси x, а затем форма параболы открывается вверх. То, на что вы собираетесь смотреть, это уравнения, которые очень похожи на это, только вместо y равно у вас будет какое-то дело с неравенством. Что-то вроде этого. Позвольте мне переписать это маркером получше, вот так, ладно.
Итак, мы ищем, где этот график меньше нуля, и если вы посмотрите на этот рисунок, глядя на этот рисунок, вы можете довольно легко определить места, где график меньше нуля, это вся эта область здесь или для значения x между -2 и +3. Обратите внимание, что я использую строгие знаки «меньше чем», я не использую «равно» или «равно» из-за этого парня. Так что это один из способов сделать это, если у вас есть график. Но много раз вы, ребята, я знаю, что построение графика квадратичных чисел — это настоящее бремя. Вы не хотите, чтобы нарисовать картину. Итак, над чем мы будем работать, а вы, ребята, будете делать домашнюю работу, как решить эти задачи без графика. Как бы вы это сделали, если бы все, что у вас было, было исходной постановкой задачи?
Что ж, первое, что вы собираетесь искать, это места, где у вас есть x перехватов. Мы уже знаем, что точки пересечения x будут равны -2 и +3. Я поставлю этих парней на числовую линию. -2 и +3. Хорошо, что происходит вокруг них, вот что будет важно. Мне придется подумать о открытых и закрытых кругах, а также о том, как заштриховать мою область решения. Что ж, я собираюсь продолжить и наклеить на этих парней открытые круги, основываясь на этом знаке неравенства. Затем я собираюсь выбрать контрольные точки, очень похоже на то, что вы делаете, когда рисуете линейные неравенства на плоскости xy, это та же идея. Например, что произойдет, если я выберу здесь значение x? Например, допустим, я выбрал x равно -10. Я не знаю. Я просто выбрал это. Любое значение меньше -2, я собираюсь протестировать этот регион.
Что ж, если бы мое число x было равно -10 и я подставил туда, я хочу посмотреть, получу ли я истинное неравенство. -13 раз -8 — это положительный ответ, верно? Так что нет, это не будет частью моей области решения. Я не собираюсь там затеняться. Но мне нужно проверить и эту область между двумя открытыми кругами. Мои два перехвата. Что произойдет, если я выберу x равным нулю. Я просто выбрал ноль, потому что с нулями мне довольно легко работать.
Когда я подставляю здесь ноль, я хочу проверить, получается ли истинное неравенство. Верно ли, что ноль больше -6. Да, это означает, что эта средняя часть является решением. Я собираюсь заштриховать по крайней мере эту часть и, возможно, даже больше, я должен проверить этот последний кусок моего линейного графика.
Я выберу здесь другое число x. Я не знаю, я выберу x=5. Если 5 работает, то и каждое число больше 3 должно работать. Я собираюсь использовать любое значение, которое захочу, и если есть решение, то каждое значение здесь будет решением. Посмотрим, если я втыкаю 5, правда ли, что ноль больше, чем 2 умножить на 7? Нет. Это означает, что это не решение. Ни один из этих пунктов не работает. Не затенять.
Так что это только мой последний график представления. Это моя числовая линия, которая показывает возможные значения x, которые были бы решениями этого утверждения о неравенстве.