Таблица производных
Таблица производныхВычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении.
Навигация по странице: Общие формулы дифференцирования функций Таблица производных основных элементарных функций Производные логарифмов Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций
Онлайн калькулятор: Решение производных
Общие формулы дифференцирования функций
В этих формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.
(c · u)′ = c · u ′
(u + v)′ = u ′ + v ′
(u · v)′ = u ′ · v + u · v ′
| ( | u | ) | ′ | = | u ′ · v — u · v ′ |
| v | v2 |
Таблица производных основных элементарных функций
Производная от константы
c ′ = 0, где c = constПроизводная степенной функции
(xn )′ = n · xn — 1Производная показательной функции
(ax )′ = ax · ln aПроизводная экспоненты
(ex )′ = exПроизводные логарифмов
| (loga x)′ = | 1 |
| x · ln a |
| (ln x)′ = | 1 |
| x |
Производные тригонометрических функций
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = -sin x
| (tg x)′ = | 1 |
| cos 2 x |
| (ctg x)′ = — | 1 |
| sin 2 x |
Производные обратных тригонометрических функций
| (arcsin x)′ = | 1 |
| √1 — x2 |
| (arccos x)′ = — | 1 |
| √1 — x2 |
| (arctg x)′ = | 1 |
| 1 + x2 |
| (arcctg x)′ = — | 1 |
| 1 + x2 |
Производные гиперболических функций
(sh x)′ = ch x
(ch x)′ = sh x
| (th x)′ = | 1 |
| ch2 x |
| (cth x)′ = — | 1 |
| sh2 x |
Формулы сокращенного умножения (a ± b)2
Формулы и свойства степеней an
Формулы и свойства корней n√a
Формулы и свойства логарифмов loga b
Формулы и свойства арифметической прогрессии an
Формулы и свойства геометрической прогрессии b
Всі таблиці та формули
16.
Означення похідної фунуції. Основні теореми про похідні. Таблиця похідних.1.Матрицы .Виды матриц
Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Для любого элемента aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.
Если число строк матрицы не равно числу столбцов то матрица называется квадратная. Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком.
Диагональ с лева на право — главная, а с право на лево — побочная.
Если только по главной диагонали матрицы стоят числа отличные от нуля, а все остальные элементы матрицы 0,то матрица называется диагональная.
Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны, то матрица называется скалярной.
Если это 1 матрица называется единичной.
Матрица в которой все элементы равны 0, то матрица называется нулевой.
Бывают матрицы
строки и матрицы столбцы — они называются
векторами.
Если у матриц одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны то матрицы равны.
Если переставить строки со столбцами — то матрица будет транспортированная.
2.Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение.
Для любой матрицы А существует матрицы -А, такая что А+(-А)=0.
Произведением матрицы А на число к называется такая матрицы кА, каждый элемент которой равен кij
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.
Что бы найти элемент с11 первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и полученное произведение сложить
Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:
1)умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;
2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк сколько в первой матрице, и столько столбцов, сколько во второй матрице
АВ не равно ВА, произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону
Произведение двух ненулевых матриц может равняться 0
3.
Определители
та их свойства
Определителем второго порядка, называется число а11а22 — а12а21
Равен разнице главной и побочной диагонали
Определителем третьего порядка , называется число а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а13а22а31-а12а21а33-а23а32а11
Свойства:
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами — свойство равноправности строк и столбцов;
2. При перестановки двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный;
3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя;
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю;
5. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю;
6. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины;
7.
4. Методы вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
Минором Мij элемента аij определителя D=|aij| , где i и j меняются от 1 до n , называется такой новый определитель, который получается из данного определителя путём вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент
Алгебраическим дополнением элемента aij определите Д называется минор Мij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j
Принято обозначать Аij = (-1)i+jMij
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя Д на их алгебраические дополнения равна этому определителю
Методы вычисления определителей:
1. Определитель
можно вычислить, используя непосредственное
его определение.
2. Определитель можно вычислить с помощью его разложения по элементам строки или столбца;
3 Определитель можно вычислить способом приведения к треугольному виду. Этот способ основан на том, что в силу свойства 7 треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали
Что бы получить треугольный определитель, нужно, используя свойство 6, к какой-либо строке (или столбцу) заданного определителя прибавлять соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, до тех пор пока не придем к определителю треугольного вида;
Понятие обратной матрицы и ее вычисление. Теорема существования обратной матрицы
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Если A — квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умножена на А(как справа, так и слева), дает единичную матрицу
А-1А =А А-1=Е
Если обратная
матрица А-1 существует, то матрица А называется
обратимой.
Операция вычисления обратной
матрицы при условии, что она существует,
называется обращением матрицы.
Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Нахождение обратной матрицы:
1)Находим определитель матрицы А;
2)Находим алгебраические дополнения всех элементов и записуем в новую матрицу;
3)Меняем местами столбцы полученной матрицы;
4)Умножаем полученную матрицу на 1/Д
6. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Нужно:
1) Найти обратную матрицу А-1;
2) Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу-столбец свободных членов В 3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ
Для решения линейных уравнений нужно записать уравнение в матричной форме АХ=В
Метод Крамера для решения систем линейных уравнений
Метод
Крамера (правило Крамера) —
способ решения квадратных систем
линейных алгебраических уравнений с
ненулевым определителем основной
матрицы (причём
для таких уравнений решение существует
и единственно).
Назван по имени Габриэля
Крамера (1704–1752),
придумавшего метод.
Пример:
Определители:
8. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и , соответственно:
Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :
В
результате мы привели исходную систему
к треугольному
виду,
тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные и .
9. Уравнение линии на плоскости. Виды уравнения прямой
Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0
Оно может быть записано в некоторых специальных видах:
а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k — угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох , а свободный член b — ордината точки пересечения графика и Оу.
-отрезок, отсекаемый графиком на оси оу
Общее уравнение прямой
на плоскости — рассмотрим
на плоскости Оху произвольную
прямую L.
Пусть дана некоторая ее точка М1(х1у1)
и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный
рассматриваемой прямой. Этот вектор
называется нормальным вектором прямой.
Точка М1 и
нормальный вектор N вполне
определяют положение прямой L на
плоскости Оху.
Каноническое уравнение — положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х1,у1) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид:
получим у-у1 = k(х – х1) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом. | ||||||||
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть
на плоскости даны М1(х1у1)
и М2(х2у2). 14.Понятие предела функции. Основные теоремы про пределы. Первая и вторая определенная граница Пусть величина х в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5:4,9;4,99;4,999; или 5,1;5,01;5,001 Число 5 называется пределом переменной величины х. Постоянная величина а называется пределом переменной х, если модуль разности |x-a| при изменении х становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа е. Свойства: 1) Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределом слагаемых; 2)Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов; 3)Постоянный множитель можно выносить за знак предела; 4)Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю; 5)Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной; 6)Если переменные
x,
y,
z
удовлетворяют неравенствам х<=y<=z
и z->a,
то y->a. Число б называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа б. 15. Непрерывность функции. Свойства функции непрерывной в точке и на промежутке Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х0,если: 1) эта функция определена в точке х=х0 (т.е. определенному значению аргумента х, равному х0, соответствует вполне определенное значение функции y,равное y0; 2) приращение функции в точке х0, стремится к нулю Функция f(x) называется непрерывной в данной точке х0, если ее предел в точке хо, существует и равен значению функции в этой точке Свойства: Если функция f1(x) и f2(x) непрерывны в точке a,то: 1)их сумма, разность, произведение является функциями, непрерывными в этой точке; 2) частное f1(x)/f2(x) есть непрерывная функция при условии f2(a) не равно 0. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке a,b, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка Похідна́ — основне поняття диференційного
числення, що характеризує швидкість
зміни функції. 17. Диференціювання неявної функції.Функція називається неявною, якщо вона задається рівнянням нерозв’язним щодо . Знайдемо частинні похідні і неявної функції , заданої рівнянням (2.11). Для цього, підставивши в рівняння замість функцію , отримаємо тотожність Частинні похідні по і по функції, тотожно рівній нулю, також рівні нулю: ( – вважаємо сталою) ( – вважаємо сталою) звідки і Зауваження. а)
Рівняння вигляду
не
завжди визначає одну змінну як неявну
функцію двох інших. Так, рівняння визначає функції або ,
визначені в крузі , визначену
в півколі
при і т. д., а рівняння не визначає ніякої функції. Має місце теорема існування неявної функції двох змінних: Якщо функція і її похідні визначені і безперервні в деякій околі точки , причому , a , то існує окіл точки , в якій рівняння (2.11) визначає єдину функцію , неперервну і диференційовану в околі точки і таку, що . б) Неявна функція однієї змінної задається рівнянням . Можна показати, що у випадку, якщо виконуються умови існування неявної функції однієї змінної (є теорема, аналогічна вищезгаданій), то похідна неявної функції знаходиться по формулі 18. Правило Лопіталя.Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности. Правило
Лопиталя можно также применять к
неопределенностям типа Первые
две неопределенности можно
свести к типу или с
помощью алгебраических преобразований.
А неопределенности сводятся
к типу с
помощью соотношения Правило
Лопиталя справедливо также и для
односторонних пределов. 19. Диференціал функції. Диференціал складної функції. Основні властивості диференціала.Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу (4) бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у’ = х’ =1, тому dy = dxx. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо записати так: dy = f’ (x) dx (5). Ланцюгове правило (правило диференціювання складної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних. Якщо функція f має похідну в точці , а функція g має похідну в точці , тоді складна функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці . Властивості диференціала. Властивість 1. Диференціал суми дорівнює сумі диференціалів. d (a + b) = da + db Дана властивість
застосовується незалежно від того, яка
функція дана — тригонометрична або
звичайна. . Означення функції багатьох змінних. Геометрична інтерпретація. Различные способы представления функций с помощью отображений, упорядоченных пар, таблиц и графиков
Согласно приведенной выше схеме сопоставления, если вы введете код C2 в торговом автомате, из него может выпасть либо пакетик чипсов, либо бутылка с водой. Давайте посмотрим на схему отображения, в которой используются числа. Допустим, наша функция принимает входное значение и умножает его на 3. Мы можем ввести несколько разных чисел в качестве входных значений и построить диаграмму сопоставления, чтобы показать соответствующие выходные значения. На этой схеме сопоставления показано, что если вы введете число 2, функция умножит его на 3 и выдаст 6 в качестве выходного значения. Если вы введете 5, вы получите 15 на выходе. Если вы введете 10, вы получите 30 в качестве выходного значения. Представление функций таблицами Вы также можете использовать таблицы для представления функций. Представление функций упорядоченными парамиДругим вариантом является представление функции в виде набора упорядоченных пар. Значения ввода/области всегда перечислены первыми в упорядоченной паре как значения x, а значения вывода/диапазона всегда указаны вторыми в упорядоченной паре как значения y. Представление функций с помощью графиковЕще один способ представления функции — с помощью графика. Если у вас есть функция, представленная в виде набора упорядоченных пар, вы можете построить график каждой упорядоченной пары и использовать график для представления функции. ВидеоХотите увидеть еще несколько примеров? Посмотрите короткое видео о функциях ниже. Практика
Хотите узнать больше о функциях? Обязательно ознакомьтесь с уроками по обозначению функций и тесту вертикальной линии. Blockpad — Таблицы и функцииТаблицыМини-таблицыBlockpad поддерживает таблицы, которые действуют как мини-таблицы внутри документа. Вы можете использовать обычные формулы Blockpad в таблице и ссылаться на значения между таблицей и отчетом. Вставка мини-таблицы:
Вы можете использовать все функции формул Blockpad внутри таблицы, включая единицы измерения, присвоение имен значениям и создание функций. Чтобы сослаться на значения в таблице, вы можете использовать щелчок, как в электронной таблице, или любой другой метод ссылки. Обратите внимание, что имя таблицы появляется перед значением. Это связано с тем, что таблица кадр, содержащий значения. Вы можете изменить имя таблицы, чтобы в формуле появилось полезное имя.
Ссылка работает в обе стороны. Вы также можете ссылаться на значения документа из таблицы. Многострочные ячейки Вы также можете иметь ячейку таблицы в стиле текстового процессора, называемую многострочной ячейкой. Преобразование ячейки в многострочную:
(Чтобы изменить ширину ячейки, вы можете использовать окно свойств или покажите линейки ( Вид > Показать линейки ) и перетащите границы линейки.) Многострочная ячейка считается рамкой, как и таблица. Вам не нужно указывать имя перед ссылками, потому что значения захвата по умолчанию установлены на нет. Таблицы текстового процессораВ отчете часто может потребоваться, чтобы все ячейки таблицы были многострочными. Сделайте это автоматически, выбрав режим обработки текста при вставке таблицы. Вставка таблицы стилей текстового процессора:
ПоляПоля действуют как ячейки электронной таблицы, но в документе. В них могут быть формулы, такие как динамическое уравнение, но форматирование больше похоже на ячейку электронной таблицы. Например, поля по умолчанию будут скрывать любую формулу внутри, как ячейка электронной таблицы. Встроенные поляПоля имеют заданную ширину по умолчанию. Хотя вы можете вручную изменить ширину в окне свойств, поле не будет подстраиваться под содержимое внутри. Однако вы можете изменить это поведение, изменив тип поля на «встроенный». При изменении на встроенное поле будет соответствовать размеру текста или значения внутри. Выпадающие списки Вы можете использовать поля для создания раскрывающегося списка, чтобы люди, использующие документ, могли выбирать только из предварительно заданного списка параметров. Создать раскрывающийся список в отчете:
Вы также можете выполнить описанные выше шаги, чтобы создать раскрывающийся список в ячейке электронной таблицы. Встроенные функцииВ Blockpad вы можете использовать функции внутри формул/динамических уравнений, как в электронной таблице. Есть много встроенных функций, но их также легко создавать собственные пользовательские функции, который закрыт дальше вниз. Ниже приведено основное введение во встроенные функции Blockpad. Для более подробного ознакомления см. раздел функций глубокого погружения. Функции Blockpad соответствуют обычным функциям электронных таблиц. Таким образом, Blockpad включает большинство основных математических функций, таких как Sum(), Sqrt(), Abs() и Average(). Однако, в отличие от обычных электронных таблиц, функции Blockpad созданы для работы с интеллектом единиц. Триггерные функции являются ярким примером этого. Вы можете указать входные данные в градусах или радианах, и результат будет отражать это. Blockpad также включает в себя большинство других функций, которые можно найти в электронных таблицах, и многое другое, в том числе
текстовые функции,
логические функции,
поисковые функции,
исчисление функций,
и функции численного решения. Пользовательские функцииПользовательские функции просты и доступны в Blockpad — вы можете создать их в обычной формуле и использовать во всем документе. Вы также можете сохранять функции в библиотеку и использовать их в разных файлах или делиться ими с коллегами. Определение пользовательских функцийЧтобы определить функцию, укажите имя функции, переменные функции и вычисление. Давайте посмотрим на образец ниже. 92) расчет. Теперь гипотенуза() определена как функция, и вы можете использовать ее в вычислениях. Во втором уравнении гипотенуза используется как функция и вычисляет входные данные 3 фута и 5 футов. Создайте собственную функцию
Вы также можете думать о создании функции с точки зрения вычисления значения. Сначала запишите формулу, как если бы вы вычисляли одно значение. Затем замените изменение значения или значений в формуле параметрами, переименовав их и поместив в круглые скобки после имени. Использование пользовательских функцийИспользование определенной функции очень похоже на обращение к значению: щелкнув, скопируйте ссылку или напечатайте имя во всей работе. Затем действуйте как обычная встроенная функция, используя скобки и значения для переменных функции. Именованные значения в определениях функций Вы можете использовать именованные значения и ячейки электронной таблицы в документе как часть определения функции,
просто убедитесь, что имена не конфликтуют с именами параметров. В приведенном ниже примере значение плотности является частью функции. Если вы измените плотность, это изменит функцию и, следовательно, выход. Многоуровневые пользовательские функцииВы также можете использовать свои собственные определенные функции внутри пользовательской функции. Это имеет смысл делать, если функция, которую вы пишете, начинает становиться слишком длинной. Вы можете написать часть этого в одной функции, а затем использовать эту функцию в финальной. Несколько вещей, которые нужно помнить:
Встроенные функцииЕсть еще один способ определить функцию, не давая ей имени. Для этого введите переменные функции в круглых скобках, знак равенства со знаком больше, а затем вычисление. Чтобы использовать эту функцию, вы можете использовать копию ссылки или щелкнуть, и Blockpad автоматически сгенерирует имя. Для функций с одной переменной скобки можно опустить. Вы можете определить такие функции в ячейке электронной таблицы, а затем ссылаться на ячейку, чтобы использовать функцию. Использование такой функции может показаться немного забавным. Это не особо рекомендуется, но упоминается здесь для понимания. Вы также можете называть функции, определяя их таким образом. Просто введите имя и знак равенства перед встроенной функцией, как если бы вы называли значение. Решение уравненийРазделы решателя Секции решателя упрощают решение систем уравнений. |
2=-2py
Визначається як границя
відношення приросту функції до приросту
її аргументу коли приріст аргументу
прямує до нуля (якщо така границя існує).
Функцію, що має скінченну похідну,
називають диференційовною.
2.
Набор всех входных значений называется доменом, а набор всех выходных значений называется диапазоном.
Что-то не так с этой машиной! Чтобы быть функцией, каждое входное значение может быть назначено только ОДНОМУ выходному значению. Если вы введете код C2 и получите пакет чипсов, вы должны получить пакет чипсов при следующем вводе кода C2. Если вы снова введете то же входное значение позже, вы должны получить точно такое же выходное значение, которое вы получили в прошлый раз.
Вместо двух овалов с кружками в таблице входные и выходные значения организованы в виде столбцов. Входные/доменные значения идут первыми слева как значения x, а соответствующие выходные/диапазонные значения перечислены вторыми в следующем столбце как значения y.
Убедитесь, что входные значения указаны первыми в качестве координат x, а соответствующие выходные значения — вторыми в качестве координат y.
Многострочные ячейки во многом похожи на документ, поэтому вы можете делать все то же самое, например, форматировать текст,
уравнения с математическими обозначениями и многое другое.
Таким образом, ссылки на значения и использование определенной функции очень похожи.