Таблица умножения квадрат: «Таблица умножения (квадрат Пифагора)» — Математика — Страна детей

Степени таблицы умножения

Таблицы умножения восходят к вавилонянам более 4000 лет назад. Самые ранние десятичные примеры появились в Китае примерно в 300 г. до н.э., они были построены с использованием бамбуковых полосок и могли использоваться для умножения целых и полуцелых чисел до 99,5. Одним из самых ранних известных нам примеров является Таблица Пифагора , включенная Никомахом в его Введение в арифметику примерно в 100 г. н.э.

Один из самых ранних примеров десятичной таблицы умножения, построенной из бамбуковых полосок, примерно 300 г. до н.э. в Китае

Сегодня в школе таблица умножения — это устройство, которое учащиеся используют для обучения умножению с помощью зубрежки и быстрых упражнений на запоминание. Хотя некоторые считают овладение таблицей умножения само по себе достижением, на самом деле это дает учащимся прочную основу для кладки математического кирпичика. Давайте окунемся в более глубокие воды и исследуем некоторые удивительные закономерности, раскрывающие силы, скрытые в таблице умножения.

Треугольники и квадраты

В море целых чисел красные числа на главной (с северо-запада на юго-восток) диагонали таблицы умножения явно равны 9. 0138 квадратных чисел — счетные числа, возведенные в степень 2.

В статье Plus Треугольные числа авторы показали, что таблица умножения также дает нам треугольных чисел (числа, которые могут быть представлены набором точек, расположенных в виде равностороннего треугольника). Суммируя числа в каждой квадратной решетке, начиная с строки 1 и столбца 1, мы получаем треугольные числа в квадрате.

Суммируя числа в квадратных решетках, начиная с строки 1 и столбца 1, получаем треугольные числа в квадрате.

В таблице умножения можно найти не только треугольные числа, но и квадратные числа. В той же статье Plus мы видели, что когда кратные числа окрашены в синий цвет (см. ниже), сумма чисел в квадратной решетке, заключенной в эти синие кратные, также включает треугольное число. Сумма чисел в квадратной решетке равна , где и идентифицируют квадратную решетку, считая сверху и слева соответственно, и — треугольное число.

Мы видим, что суммы квадратных решеток, заключенных в синие кратные на главной (с северо-запада на юго-восток) диагонали (выделены желтым цветом внизу), также являются квадратными числами. В этом легко убедиться, взяв исходную формулу суммы из статьи и изменив ее. Мы будем использовать в формуле только потому, что вертикальное и горизонтальное положение одинаковы.

Разделение квадратов

Если мы углубимся в другие образования квадратной решетки другого размера и географии в таблице умножения, мы сможем найти больше квадратных чисел. Квадратная решетка, которая опирается на главную (с северо-запада на юго-восток) диагональ, кажется, всегда генерирует соответствующее квадратное число на основе суммы общих меток столбца и строки. Сумма квадратной решетки, состоящей из одного квадрата из строки 2, столбца 2, равна . Числа в квадратной решетке на пересечении строк и столбцов 3 и 4 в сумме дают , а сумма чисел на пересечении строк и столбцов 5, 6 и 7 равна .

Таблица умножения с метками для строк, записанными слева, и метками для столбцов, написанными сверху.

Кажется, это справедливо даже в том случае, когда квадратная решетка строится путем пересечения непоследовательных строк и столбцов. Если мы возьмем пересечение строк и столбцов 1, 4 и 8, сумма (расщепленной) квадратной решетки равна .

Есть некоторое математическое понимание того, почему это работает с тремя целыми числами, выбранными из таблицы умножения для определения решетки, и мы можем придумать общую формулу, которая работает для любых трех чисел. В нашем примере выше сумма чисел в квадратной решетке:

И вообще

Сумма чисел в квадратной решетке, созданной путем пересечения одного и того же набора строк (, и ) с соответствующим набором столбцов (, и ), дает квадрат суммы меток строки/столбца . Может ли это распространяться на четыре числа, пять чисел и далее?

Квадраты из квадратов и квадраты из кубов

Благодаря этому знанию мы можем обнаружить некоторые необычные закономерности. Например, вы можете быстро показать (возможно, с помощью лего!), что сумма последовательных нечетных чисел (начиная с 1) равна квадрату. Давайте посмотрим на пересекающиеся строки, помеченные последовательными нечетными числами с соответствующими столбцами.

Сумма меток строк/столбцов будет квадратным числом, так как это сумма последовательных нечетных чисел, которые, как мы знаем, являются квадратами. И квадрат суммы меток строки/столбца будет квадратом квадрата числа: это число, возведенное в четвертую степень. Таким образом, мы можем собирать положительные целые числа, возведенные в 4-ю степень, из таблицы умножения, используя эту конкретную структуру решетки.

Сумма синих квадратов на пересечении последовательно пронумерованных строк и столбцов дает числа, возведенные в 4-ю степень.

Мы можем использовать еще один интересный результат: кубическое число (число, возведенное в степень 3) можно записать в виде суммы последовательных нечетных чисел. Например, , и . Итак, если мы выберем квадратные решетки, которые являются пересечением этих последовательных нечетных строк и столбцов, сумма чисел в этих квадратных решетках будет квадратом кубического числа, то есть числа, возведенного в степень 6. Зеленый квадраты ниже являются пересечением строк и столбцов 3 и 5, а их сумма равна . А желтые квадраты — это пересечения строк и столбцов 7, 9и 11, поэтому их сумма равна .

Учителя математики всегда ищут новые способы введения понятий умножения, показателей и алгебры. Если мы мыслим нестандартно, то обнаружим, что таблица умножения — это больше, чем просто средство для запоминания таблицы умножения. Если мы решим погрузиться глубоко в кристально голубые воды, мы обнаружим множество математических сокровищ на ее морском дне.

Дальнейшее чтение

Узнайте больше о Plus о треугольных числах и о том, где их можно найти в таблице умножения.