Теорема гаусса онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Содержание

Электричество и магнетизм

Теорема установлена М.В. Остроградским (рис. 1.33) в виде общей математической теоремы для любого векторного поля и К. Гауссом — применительно к электростатическому полю.

Рис. 1.33. М. Острогра́дский (1801–1861) — российский математик и механик

Закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют вычислить потенциал поля любого распределения заряда

Используя связь или непосредственно с помощью закона Кулона и принципа суперпозиции, можно вычислить и напряженность поля

Однако, практическое вычисление написанных выше сумм и интегралов далеко не всегда так просто, как просто выглядят сами суммы и интегралы. Они вычисляются достаточно непринужденно, когда зарядов два, три, может быть, десяток. Если же речь идет о макроскопических заряженных телах, когда число точечных зарядов (протонов, электронов и т. п.) макроскопически велико, прямое вычисление подобных выражений становится очень сложной задачей.

В первую очередь это касается написанных выше сумм, а не интегралов.

Мы хотим подчеркнуть, что при решении макроскопических задач, в подавляющем большинстве случаев, можно считать, что заряд распределён непрерывно, соответственно, вычислять надо не суммы, а интегралы. Поэтому встает задача: на базе закона Кулона и принципа суперпозиции, написать интегральные и/или дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет напряженность поля произвольного распределения зарядов. Эту задачу в ряде случаев успешно решает обсуждаемая в этом параграфе теорема Гаусса для вектора .

Рассмотрим некоторую поверхность и на ней бесконечно малый участок (бесконечно малую площадку) площадью (рис. 1.34).

Рис. 1.34. Бесконечно малый участок поверхности

Показанный на рисунке «вектор площадки» имеет следующий смысл: 1) он направлен по нормали к поверхности в той её точке, в окрестности которой находится площадка; 2) его модуль равен площади площадки .

Вектор , а вместе с ним и вектор всегда направлены по перпендикуляру к поверхности в данном её месте, а вот в какую сторону: налево вверх, как на рисунке выше, или в противоположную сторону (направо вниз, «под» поверхность), — в общем случае это дело произвольного выбора. Однако в ряде случаев, по умолчанию, действуют определенные правила. Например, если поверхность замкнутая, то есть представляет собой некоторую замкнутую «оболочку», то по умолчанию берется «внешняя» нормаль, направленная наружу. Выбор «внутренней» нормали ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен. Если поверхность не замкнутая и опирается на некоторый контур, а, кроме того, задано направление обхода этого контура, то направление нормали общепринято связывать с направлением обхода правилом правого винта. С той же оговоркой, что и выше: направление обхода контура и направление нормали к поверхности, которая на него опирается, можно связать, используя левый, а не правый винт, такой выбор ничему не противоречит, но должен быть специально оговорен.

Здесь и ниже, если иное специально не оговорено, будут использоваться указанные выше общепринятые правила: внешняя нормаль и правый винт.

Введём в рассмотрение поток произвольного вектора через выбранную площадку. По определению:

Поток вектора через бесконечно малую площадку есть скалярное произведение вектора на вектор площадки :

Формально рассматривается бесконечно малая площадка, фактически (например, при численном суммировании) она должна быть настолько мала, чтобы в её пределах вектор можно было считать неизменным (однородным), а саму площадку плоской, тогда не возникает проблемы, в какой точке внутри площадки проводить нормаль к ней.

Для общности определения (в физике рассматриваются потоки и других векторов) выше был рассмотрен произвольный вектор , применительно к вектору напряженности электрического поля , с учетом замечания о размерах площадки, определение потока иллюстрирует рис. 1.35.

Рис. 1.35. Поток вектора напряженности электрического поля через бесконечно малую площадку

Согласно определению, поток вектора напряженности через площадку равен (здесь и в дальнейшем, для краткости, когда это будет удобным, будем писать: «площадка» и указывать при этом вектор этой площадки, которым полностью определены и её площадь и ориентация):

(1.43)

где α — угол между векторами и , — нормальная к поверхности составляющая вектора . Подчеркнем, что изменение направления нормали как и изменение направления вектора напряженности на обратное меняет знак потока на противоположный, таким образом, поток вектора — величина алгебраическая.

Поток вектора через произвольную поверхность S равен сумме потоков через все площадки, на которые разбита поверхность S, то есть интегралу по этой поверхности вида:

(1.

32)

Если векторное поле однородно, то есть , а поверхность плоская, то

Здесь S — площадь этой поверхности. Для обозначения интеграла по замкнутой поверхности используется специальный значок интеграла, а именно: с кружком в середине (S — замкнутая поверхность) (рис. 1.36):

Рис. 1.36. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность

Для уяснения смысла такой величины как поток вектора весьма полезно, в силу наглядности, рассмотрение потока жидкости, например, в реке или в трубе.

Пусть, для простоты несжимаемая жидкость, с плотностью течет со скоростью . Указание зависимости вектора скорости от координат точки и времени означает задание векторного поля, в данном случае: поля вектора скорости . Как и всякое векторное поле, поле скоростей удобно изобразить с помощью линий поля, которые в данном случае принято называть «линиями тока».

По определению, в любой точке вектор скорости жидкости направлен по касательной к линии тока. Выделим внутри жидкости площадку (см. рис. 1.37) настолько малую, что скорость во всех точках этой площадки можно считать одной и той же. Возьмем временной интервал настолько малый, что скорость за это время сколько-нибудь заметно измениться не успевает и поставим такой вопрос: «Какая масса жидкости протекает сквозь площадку за время ?». Очевидно, что за указанное время сквозь площадку пройдут те частицы жидкости, которые были от неё не дальше (вдоль потока), чем на расстоянии . Более дальние, имея скорость , просто не успеют «добраться» до площадки за интересующее нас время .

Рис. 1.37. К выводу соотношения для потока вектора

На рисунке выше жидкость, которая успеет за время пересечь площадку , занимает заштрихованный объём ^{, величина которого, как видно из рисунка равна . Соответственно, масса жидкости проходящей сквозь площадку за время равна}

, где

В написанной выше формуле вектор есть характеристика именно потока жидкости, определяемая её плотностью и скоростью течения. Величины и являются параметрами «постановки эксперимента». При том же потоке жидкости можно рассмотреть другую площадку и выбрать другое время регистрации массы. Вектор называется вектором плотности потока массы. Единица его измерения наглядно демонстрирует его физический смысл: величина вектора показывает, сколько килограмм жидкости протекает за секунду через квадратный метр площадки перпендикулярной потоку. Такой же смысл имеют его проекции на оси, с тем отличием, что численно равно массе жидкости протекающей за секунду сквозь квадратный метр площадки перпендикулярной оси

ОХ, – … оси ОУ и так далее.

Если разделить на плотность получится — вектор плотности потока объёма, измеряемый в . Модуль этого вектора численно равен числу кубометров жидкости проходящих за секунду сквозь квадратный метр площадки перпендикулярной потоку жидкости. Знание этого вектора требуется, например, при расчете пропускной способности газо- или нефтепровода, как впрочем, и водопровода.

Доказанная ниже теорема Гаусса для вектора (см. соотношение ) показывает, что источниками электростатического поля являются электрические заряды.

Рассмотрим для начала частный, но очень простой, пример прямого вычисления потока вектора через поверхность.

Пример 6. Полусфера радиусом R с плоским основанием помещена в постоянное однородное электрическое поле E, перпендикулярное основанию полусферы (рис. 1.38). Найти поток вектора напряженности через основание полусферы, саму полусферу и через всю замкнутую поверхность этого тела.

Рис. 1.38. Пример расчета потока вектора напряженности электрического поля

Решение. Проще всего рассчитать поток через основание полусферы. Направим ось z вдоль поля. Направление вектора внешней нормали к основанию обратно направлению вектора E. При этом вектор E одинаков во всех точках основания. Поток через основание получается равным взятому с обратным знаком произведению

E на площадь основания

Найдем теперь поток напряженности через поверхность полусферы. Используя сферические координаты — углы и — для определения положения точки на полусфере, мы видим, что

Поэтому поток через элементарную площадку на полусфере равен

Учитывая, что

записываем поток в виде

откуда находим полный поток через поверхность полусферы

Мы получили, что поток через поверхность полусферы равен по абсолютной величине потоку через ее основание, так что с учетом знаков полный поток через замкнутую поверхность равен нулю

Теорема Гаусса для вектора позволяет связать поток вектора напряженности через некоторую замкнутую поверхность с величиной зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Рассмотрим для начала частный случай, а именно: определим поток вектора напряженности через произвольную воображаемую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд.

Линии напряжённости векторного поля точечного заряда представляют собой радиальные прямые, направленные от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (см. рис. 1.12). Поток вектора напряженности поля точечного заряда через сферическую поверхность радиусом r, центр которой совпадает с положением заряда и началом координат, равен

(1.33)

Здесь , где — элемент телесного угла, мы воспользовались значением полного телесного угла

Можно показать, что поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, не зависит от формы поверхности и равен так же, как и для сферы. Физический смысл этого утверждения опять-таки заключается в том, что силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Поэтому непрерывная (без разрывов) деформация поверхности (показана на рис. 1.39-1 пунктиром) не изменит полного числа линий напряженности, выходящих наружу. Как следствие, поток через произвольную поверхность, охватывающую заряд, будет таким же, как и для сферы (см. рис. 1.39-1).

Рис. 1.39. Поток вектора Е через замкнутую поверхность:
1 — заряд находится внутри поверхности; 2 — заряд находится вне поверхности

Если же заряд находится вне ограниченного замкнутой поверхностью пространства, то линии напряжённости пронизывают поверхность чётное число раз (снаружи внутрь и изнутри наружу), в результате полный поток через поверхность, не охватывающую заряд, равен нулю (рис. 1.39-2).

Вывод теоремы Гаусса для точечного заряда, расположенного в произвольной точке, приведен в Дополнении 5.

Пусть теперь внутри и вне данной замкнутой поверхности имеется произвольное число точечных зарядов любого знака. В силу принципа суперпозиции суммарная напряженность поля будет представлять собой векторную сумму напряженностей полей каждого из зарядов

Полный поток напряженности поля через эту поверхность есть

Используя , получаем соотношение, известное как теорема Гаусса для вектора :

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду внутри этой поверхности делённому на

(1.34)

Подчеркнем еще раз тривиальное, но важное обстоятельство: если внутри поверхности нет зарядов, то поток вектора через эту поверхность равен нулю (рис. 1.40). Источниками электростатического поля являются электрические заряды и суммарная мощность источников электростатического поля внутри поверхности равна . Присутствие в последней формуле электрической постоянной есть результат выбора системы единиц (СИ) и физического смысла не имеет.

Рис. 1.40. Если внутри поверхности нет зарядов, то поток вектора через эту поверхность равен нулю

При непрерывном распределении заряда по объёму теорему Гаусса естественно записать в следующем виде

(1.35)

В правой части этого соотношения интеграл берется по объёму ограниченному поверхностью , поток через которую вычисляется в левой его части. При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности справа будет стоять интеграл вида только по той части несущей заряд поверхности, которая оказалась внутри поверхности , стоящей слева. При непрерывном распределении заряда вдоль некоторой линии справа будет стоять интеграл вида также только по той части несущей заряд линии, которая оказалась внутри поверхности . Короче, необходимо любым приемлемым способом вычислить заряд внутри той замкнутой поверхности, по которой вычисляется поток вектора напряженности электрического поля.

Примеры расчёта полей, в которых главным инструментом является теорема Гаусса, даны в следующем разделе 1.5.

5/7

Теорема Гаусса | Электрикам

Произведение напряженности электрического поля E и такой плоской площадки S, во всех точках которой напряженность поля одинакова и перпендикулярная к ней, составляет поток N вектора напряженности через площадку S;

N = ES (6)

Если вектор напряженности не перпендикулярен к площадке, то необходимо определять составляющую вектора напряженности перпендикулярную к площадке, которую называют нормальной составляющей (рис. 1):

N = E_nS = (E*cosβ)S

При вычислении потока через произвольную поверхность площадью S в неоднородном поле эту поверхность следует разбить на малые плоские элементы dS в пределах каждого из которых напряженность поля можно считать одинаковой; поток через отдельную элементарную площадку

dN = E_ndS

Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность находится суммированием (интегрированием) элементарных потоков:

Единицу измерения потока вектора напряженности найдем из формулы (6):

[N] = [ES] = В/м *м²= В*м (8)

Рис. 1 Нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля, Рис.2 электрический заряд внутри сферической поверхности

В качестве примера найдем поток вектора напряженности поля точечного заряда Q, помещенного в центре сферической (шаровой) поверхности радиуса R (рис. 2).
Напряженность поля заряда Q одинакова во всех точках этой поверхности и согласно (2)

Так как векторы напряженности перпендикулярны к сферической поверхности, то E_n = E и проходящий через поверхность поток вектора напряженности поля

так как — площадь сферы

Подставив в написанную формулу выражение E, получим

Как видно из (9), полученное для частного случая сферической поверхности выражение потока не зависит ни от формы поверхности, ни от места расположения заряда внутри нее. Поэтому формула (9) справедлива для замкнутой поверхности любой формы и произвольно расположенных внутри нее зарядов, суммарное значение которых равно Q.

Итак, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен отношению сумм зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости среды. Получена соотношение называют теоремой Гаусса.

Наглядно поток изображают электрическими линиями, так чтобы вектор напряженности поля в любой точке был касательным к электрической линии, проведенной через
эту точку. Электрические линия поля неподвижных зарядов начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Число линий, пересекающих данную площадку, выбирают пропорциональным значению потока N через эту площадку. На рис. 4.1 показан электрические линии точечного заряда + Q₁.

Электрическое поле неподвижных зарядов называют электростатическим.

08.12.2015

Основы тоэ

Электрическое поле

Калькулятор закона Гаусса — расчет электрического потока закон Гаусса?

Использование калькулятора закона Гаусса

Проблемы закона Гаусса и смежные темы

Наш калькулятор закона Гаусса позволяет вычислить величину электрического потока, создаваемого электрическим полем электрического заряда.

В следующих разделах мы сначала объясним вам концепцию электрического потока, затем вы узнаете об уравнении закона Гаусса и увидите, как общий электрический поток вокруг электрического заряда соотносится с величиной этого заряда.

Мы закончим тем, что покажем вам, как пользоваться нашим калькулятором закона Гаусса, и предложим другие подобные калькуляторы.

Электрический поток

Электрический поток обычно рассчитывается для данной поверхности. Это зависит от силы электрического поля, проходящего через поверхность, площади этой поверхности и ориентации линий электрического поля относительно поверхности.

В общем случае, когда поверхность не обязательно плоская и электрическое поле неоднородно, электрический поток рассчитывается в интегральной форме , где поверхность разделена на очень маленькие плоские поверхности, а линии электрического поля проецируются ортогонально через эти поверхности.

Когда электрический заряд окружает замкнутая поверхность, уравнение закона Гаусса становится очень удобным для расчета полного электрического потока через эту поверхность и обхода всех расчетов интегральной формы.

Что такое закон Гаусса?

Закон Гаусса гласит, что когда мы рассматриваем полностью замкнутую поверхность вокруг электрического заряда, общий электрический поток через эту поверхность пропорционален только силе этого заряда; оно не зависит от формы и размера поверхности, точного положения и распределения электрического заряда внутри этой поверхности.

Эта пропорциональность выражается уравнением закона Гаусса:

ϕ=Qε0\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}ϕ=ε0Q 9{-12}\ \mathrm{Ф/м}8,854×10−12 Ф/м.

И наоборот, если мы знаем электрический поток через замкнутую поверхность, мы также можем использовать закон Гаусса для расчета полного электрического заряда внутри этой поверхности: Q=ϕ⋅ε0Q =\phi\cdot\varepsilon_0Q=ϕ⋅ε0.

Использование калькулятора закона Гаусса

При использовании калькулятора закона Гаусса вы можете либо ввести значение электрического заряда QQQ для получения электрического потока ϕ\phiϕ, либо ввести электрический поток ϕ\phiϕ, и калькулятор дать вам соответствующий электрический заряд QQQ. 92/Кл}Н⋅м2/Кл. Единицей электрического заряда по умолчанию является nC\mathrm{nC}nC ( нанокулон ), чтобы получить значения потоков и зарядов примерно одного порядка. Однако вы можете выбрать другую единицу измерения электрического заряда.

Предположим, вы хотите рассчитать величину электрического потока через замкнутую поверхность вокруг электрического заряда 10 нКл10\ \mathrm{нКл}10 нКл. Вы можете сделать это с помощью нашего калькулятора закона Гаусса, выполнив два очень простых шага:

Введите значение 10 nC10\ \mathrm{nC}10 nC** в поле 9.0074 «Электрический заряд Q» .
Калькулятор закона Гаусса дает значение электрического потока в поле «Электрический поток ϕ». В⋅м**.

Обязательно ознакомьтесь с другими нашими калькуляторами, если, например, вам нужно узнать величину электрического поля или электрического потенциала, обусловленного точечным зарядом: калькулятор электрического потенциала и калькулятор электрического поля

. Вы также можете решить более элементарные задачи, такие как расчет электростатической силы между двумя заряженными частицами с помощью нашего калькулятора закона Кулона или выяснить, как магнитное поле влияет на эти частицы с помощью нашего удобного калькулятора силы Лоренца.

Salam Moubarak, PhD

Электрический заряд (Q)

Электрический поток (ϕ)

Ознакомьтесь с 86 похожими калькуляторами электромагнетизма | Как закон Гаусса рассчитывает электрическое поле?

Вы можете использовать наш калькулятор закона Гаусса для расчета величины электрического потока, создаваемого электрическим полем электрического заряда. Мы начнем с изучения того, что такое электрический поток, следуя закону Гаусса, а также величине электрического заряда по отношению ко всему электрическому потоку.

Электрический заряд (Q)

кулон(C) пикокулон (pC) нанокулон (nPC) милликулон (mPC) микрокулон (µC) Элементарный заряд (e) ампер-час (Ah) миллиампер-час (mAh)

Вакуумная диэлектрическая проницаемость (ε₀)

x10⁻¹²

Электрический поток (ϕ)

Вольтметры (Вм) Ньютон-метр в квадрате на кулон (Нм²/Кл)

Согласно общим принципам, общий электрический поток, излучаемый замкнутой поверхностью, равен заряду внутри поверхности, деленному на диэлектрическую проницаемость. Умножение электрического поля на перпендикулярную площадь, перпендикулярную полю, вычисляет электрический поток в данной области. Наконец, мы научим вас пользоваться нашим калькулятором закона Гаусса и предложим несколько новых вариантов.
Квадратная поверхность, окружающая электрический заряд определенной силы, имеет общий электрический поток, который зависит исключительно от силы электрического заряда; на него не могут повлиять ни форма или размер поверхности, ни точное положение и распределение электрического заряда внутри этой поверхности.
Уравнение закона Гаусса
Уравнение закона Гаусса утверждает, что: ϕ = Q/ε₀
Где Φ = электрический поток через замкнутую поверхность
Q = общий электрический заряд внутри поверхности
ε0 = электрическая постоянная, также называемая диэлектрической проницаемостью вакуума или диэлектрической проницаемостью свободного пространства. ε0 = 8,854·10-12 Ф/м.
Как использовать закон Гаусса для расчета электрического поля?
Обычно закон Гаусса используется для расчета электрического поля симметричного распределения заряда. При использовании этого закона для решения проблемы электрического поля задействовано несколько процессов.
В первую очередь мы должны определить, насколько пространственно симметрично распределение заряда.
После выбора гауссовой поверхности, имеющей ту же симметрию, что и распределение заряда, следующим шагом является определение ее кинематики. Его последствия также должны быть определены.
Рассчитайте поток через поверхность, оценив интеграл ΦsE по поверхности Гаусса.
Зарядите поверхность Гаусса, рассчитав ее заряд.
Рассчитайте электрическое поле распределения заряда.
Чтобы определить электрическое поле, учащиеся должны помнить о трех типах симметрии. Ниже приведены некоторые симметрии
Сферическая симметрия
Цилиндрическая симметрия
Плоская симметрия
Неправильные системы координат должны быть рассчитаны с правильной гауссовой поверхностью для обеспечения симметрии.
Как использовать калькулятор закона Гаусса?
Чтобы рассчитать электрический потенциал, выполните следующие шаги вручную, если нет калькулятора.
Вы можете использовать калькулятор закона Гаусса, чтобы получить электрический поток, введя значение электрического заряда Q, или вы можете ввести электрический поток, и калькулятор даст вам соответствующий электрический заряд Q.
Вы также можете просмотреть точное значение диэлектрической проницаемости вакуума 0 в расширенном режиме. Помните, что оно является постоянным и должно изменяться только в исключительных обстоятельствах.
Чтобы получить величины потока и заряда одинакового порядка, в качестве единицы измерения электрического заряда по умолчанию используется нКл (нанокулон). Электрический заряд может быть выражен в других единицах.
Для получения дополнительных концепций посетите веб-сайт Physicscalculatorpro.Com, чтобы получить быстрые ответы с помощью доступных бесплатных инструментов.
No related posts.