Правило Лопиталя — Бернулли | это… Что такое Правило Лопиталя — Бернулли?
В математическом анализе правилом Лопита́ля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Содержание
|
Точная формулировка
Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий:
- или ;
- ;
- в проколотой окрестности a;
- Если g(x) и f(x) — дифференцируемы в проколотой окрестности a,
тогда существует . При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство).
История
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида ).
Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0.
Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:
- ,
но f(a) = g(a) = 0, поэтому .
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:
- для конечного предела и
- для бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем теорему для неопределённостей вида .
Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:
- .
Зафиксируем t из отрезка и применим теорему Коши ко всем x из отрезка :
- , что можно привести к следующему виду:
- .
Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности).
Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для α:
- .
Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен A.
Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
- .
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Можно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае x3).
В этом примере получается:- ;
- при a > 0.
В этом примере получается:(Только если числитель и знаменатель ОБА стремятся или к 0; или к ; или к .)
как применять для раскрытия неопределенностей, примеры с решениями
В задачах на пределы можно столкнуться с ситуациями, разрешить которые достаточно просто, используя правило Лопиталя. Относительно простая закономерность является очень полезной, когда требуется найти ответ к заданию по математике или математическому анализу. При этом важно владеть навыками дифференцирования.
Правило Лопиталя — в чем суть, понятие
Название этой закономерности не совсем соответствует действительности. Было бы правильнее говорить «правило Лопиталя — Бернулли». Первая подробная формулировка была представлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Французский ученый Гийом Лопиталь впервые опубликовал это правило в издании собственного учебника в 1696 году.
youtube.com/embed/0IiDCeioekE»> Правило Лопиталя позволяет существенно упростить некоторые расчеты предела отношения \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) при \(x\rightarrow a\) в том случае, когда \(f\) и \(g\) одновременно представляют собой бесконечно малые, либо бесконечно большие величины. С помощью выведенной закономерности допустимо осуществлять замену предела отношения функции, используя предел отношения их производных.
Источник: image1.slideserve.comДоказательство 1 и 2 правила Лопиталя, вывод теоремы
Теорема 1
Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются на промежутке \((a,b)\):
\(\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=0\)
\(\lim_{x\rightarrow a+0}g(x)=0\)
\(g'(x)\neq 0\ \) для всех \(\ x\in(a,b)\)
Тогда имеет место конечный и бесконечный:
\(lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)
Таким образом, также существует и равен A:
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}\)
Можно сделать вывод:
\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Докажем данную теорию.
Допустим, что \(x\in(a,b)\)
Следует доопределить функции \(f(x)\) и \(g(x)\) в точке a, имея в виду, что:
\(f(a)=g(a)=0\)
Таким образом, из условий функций следует, что \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке [a,x]. По теореме Коши имеется точка \(\xi\in (a,x)\), такая, что:
\(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)
В том случае, когда \(x\rightarrow a+0\), можно определить, что \(\xi\rightarrow a+0\). Зная, что существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A\), можно сделать вывод о справедливости утверждения \(\eqref\).
Теорема, доказательства которой представлены путем соответствующих изменений ее условий, работает, когда \(x\rightarrow a-0\) и \(x\rightarrow a\). Точка a в данном случае является конечной.
Теорема 1 остается справедливой в таких ситуациях, когда \(a=+\infty\) или \(a=-\infty\), а также:
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=0\)
\(\ g'(x)\neq 0\) при \(x > x_0\)и существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)
В этом случае \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)
Доказательство данного утверждения выполнено с помощью замены переменного \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) и Теоремы 1.
Теорема 2
Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются при \(x > \alpha\) и \(g'(x)\neq 0\) при \(x > \alpha\)
\(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\infty\)
и существует конечный:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)
В таком случае, существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\), равный A.
Таким образом:
\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)
Доказательство
Зная, что:
\(\exists\alpha_{1} > \alpha:\ \forall x > \alpha_{1}\rightarrow\ |f(x)| > 1\)
\(\ |g(x)| > 1\)
Исходя из записанного выражения, получим, что \(f(x)\neq 0\) и \(\ g(x)\neq 0\) при \(x > \alpha_1\).
Согласно определению, для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно вычислить \(\delta=\delta_1(\varepsilon)\geq \alpha_1\) такое, что для всех \(t > \delta_{1}\) выполняется неравенство:
\(A-\frac{\varepsilon}{2} < \frac{f'(t)}{g'(t)} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)
Источник: univerlib.
{-1} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)Когда \(x > \delta\), получаем \(\phi(x) > 0.\)
Таким образом, выведенное неравенство равносильно следующему:
\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x)) < \frac{f(x)}{g(x)} < (A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))\)
Исходя из этого утверждения, можно записать:
\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))=A-\frac{\varepsilon}{2}+\left(A-\frac{\varepsilon}{2}\right)\beta(x)\geq A-\frac{\varepsilon}{2}-\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| > A-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=A-\varepsilon\)
Аналогичным способом можно определить:
\(\left(A+\frac{\varepsilon}{2}\right)(1+\beta(x)) \leq A+\frac{\varepsilon}{2}+\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| < A+\varepsilon\)
Получим, что для всех \(x > \delta\) справедливо выведенное в теореме неравенство.
Теорема 2 работает при условии, что \(A=+\infty\) или \(A=-\infty\).
Теорема справедлива и в тех случаях, когда \(x\rightarrow a\ (x\rightarrow a-0,\ x\rightarrow a+0)\), где a является конечной точкой.
{\infty}\) нередко удается преобразить в неопределенности типа \(\displaystyle \frac{0}{0}\) или \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\), используя при этом различные преобразования.
Правило Лопиталя для вычисления пределов
Решить пределы можно различными методами и формулами. Наиболее быстрый и простой способ, а также универсальный — это правило Лопиталя. Умение искать производные разных функций позволит использовать данную закономерность наиболее эффективно. Можно сформулировать правило Лопиталя при следующих условиях:
- \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty\)
- имеются \(f'(a) \text{ и } g'(a)\)
- \(g'(x)\neq0\)
- присутствует \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)
В таком случае:
\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)
Последовательность решения:
- нужно подставить точку x в предел;
- в том случае, когда получается \(\frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty}\), можно определить производную числителя и знаменателя;
- далее следует подставить точку x в записанный предел и рассчитать его. {5x}+1}{x-\cos x+1} = -3\)
Источник: fbto.psuti.ru
Правилом Лопиталя допустимо пользоваться при решении задач с односторонними пределами. Можно сказать, что эта методика является наиболее эффективной для раскрытия неопределенностей вида \(\frac{0}{0}\) и \(\frac{\infty}{\infty}\) в том случае, когда необходимо вычислить предел. Смысл правила заключается в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций. Если в процессе освоения этой и других подобных тем возникли сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.
4.4: Правило Лопиталя — Mathematics LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 49116
- Lafferriere, Lafferriere, and Nguyen
- Portland State University via PDXOpen: Open Educational Resources
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Лафферьер, Лафферриер и Нгуен
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Программа OER или Publisher
- PDXOpen
- Показать страницу TOC
- нет
- Теги
- Правило Лопиталя
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- В этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Компаньоны
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Британника объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы. - Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Студенческий портал
Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
{5x}+1}{x-\cos x+1} = -3\)
Источник: fbto.psuti.ru Теперь мы докажем результат, который позволяет нам вычислять различные пределы путем вычисления родственного предела, включающего производные.
{\prime}(z) \neq 0\), если \(x < z < \alpha\), теорема Ролля ( Теорема 4.2.2) гарантирует, что \(g(x) \neq g(\alpha)\). Следовательно, для всех \(x \in B_{+}\left(\bar{x} ; \delta_{2} \справа)\) мы можем написать, 9{2}}}}=0 . \номер\]
Замечание \(\PageIndex{3}\)
Доказательства теорем 4.4.1 и 4.4.2 показывают, что результаты этих теорем применимы для левых и правых пределов. Кроме того, результаты также могут быть изменены, чтобы включить случай, когда \(\bar{x}\) является концом области определения функций \(f\) и \(g\).
Следуя методу доказательства теоремы 4.4.1, можно доказать следующую теорему.
Теорема \(\PageIndex{4}\)
9{\ prime} (x)} = \ ell , \], затем \[\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ ell . \]Пример \(\PageIndex{6}\)
Рассмотрим предел \[\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x\left(\frac{\pi}{2}- \арктан х\справа)} . \nonumber\]
Solution
Записав частное в виде \(\frac{1 / x}{\frac{\pi}{2}-\arctan x}\), мы можем применить теорему 4.
{-x}=0 . \номер\] 9{n}(\mathbb{R})\) для каждого \(n \in \mathbb{N}\).
Эта страница под названием 4.4: Правило Л’Опиталя распространяется по лицензии CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована Лафферриером, Лафферриером и Нгуеном (PDXOpen: открытые образовательные ресурсы).
