Теорема сложения: Теорема сложения вероятностей: формула и примеры решений

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
  – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

Бесконечных «хвостов» после запятых тут нет, и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.

По теореме сложения несовместных событий:
 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ: 0,55

Безусловно, задача разрешима и «чисто» через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта количества благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

Ещё один товар на соседнем стеллаже:

Задача 38
В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Аналогично – здесь можно использовать комбинаторное правило суммы, но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал, а то и вовсе проехал мимо с песнями. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий! Решение и ответ в конце книги (оформлено в «ускоренном» стиле).

Если у вас возникло хоть какое-то недопонимание по вышеизложенному материалу, то настоятельно рекомендую обратиться к предыдущим параграфам.

Ибо оставлять пробелы в комбинаторике или задачах на классическое определение – не есть хорошо =( В тяжёлом случае следует перечитать основы теории вероятностей.

Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:

1.6.2. Зависимые и независимые события

1.5. Геометрическое определение вероятности

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры решения задач



Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

• Главная
• Примеры
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
• Видео-уроки
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование. Методы оптимизации
• Готовые работы
  • Математический анализ
  • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
  • Линейная алгебра
  • Теория вероятностей и математическая статистика
  • Математическое программирование
    Методы оптимизации
  • Математика в экономике
    Экономическая статистика
  • Другое
• Контакты

Полезные материалы:

• Учебники
• Справочники
• Онлайн калькуляторы

• Помощь в решении
• Онлайн занятия в Zoom

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение.

Задача 5.
Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.



Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru



Теорема сложения о вероятности | Бесплатная помощь с домашним заданием

Теорема сложения о вероятности https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 19 сентября, 2012 2 декабря 2014

Вероятность наступления события легко найти, используя определение вероятности. Но просто определение не может быть использовано для нахождения вероятности наступления хотя бы одного из заданных событий. Теорема, известная как «теорема сложения», решает такие проблемы. Формулировка и доказательство «теоремы сложения» и ее использование в различных случаях таковы.

Взаимоисключающие события:

Два или более события называются взаимоисключающими, если у них нет общего элемента. т. е. если появление одного из событий предотвращает появление других, то эти события называются взаимоисключающими.

Пример:

Событие выпадения 2 орлов, A и событие выпадения 2 решек, B при подбрасывании двух монет являются взаимоисключающими.

Поскольку A = {ЧЧ}; Б = {ТТ}.

Взаимно исчерпывающие события:

Два события называются взаимно исчерпывающими, если существует уверенность в том, что хотя бы одно из этих двух событий произойдет. т. е. одно из этих событий обязательно произойдет.

Если A и B являются двумя взаимно исчерпывающими, то вероятность их объединения равна 1.

, т.е. P(AUB)=1.

Пример:

Событие выпадения орла и выпадение решки при подбрасывании монеты взаимно исчерпывают друг друга.

Теорема сложения о вероятности:

Если A и B любые два события, то вероятность наступления хотя бы одного из них определяется как P(AUB) = P(A ) + P(B)- P(A∩B).

Доказательство:

Поскольку события не что иное, как множества,

Из теории множеств мы имеем

n(AUB) = n(A) + n(B)- n(A∩B).

Разделив вышеприведенное уравнение на n(S), (где S — пространство выборки)

n(AUB)/ n(S) = n(A)/ n(S) + n(B) / n(S)- n(A∩B)/ n(S)

Тогда по определению вероятности

P(AUB) = P(A) + P(B)- P(A∩B).

Пример:

Если вероятность решения задачи двумя студентами Джорджем и Джеймсом равна 1/2 и 1/3 соответственно, то какова вероятность того, что задача будет решена.

Решение:

Пусть A и B будут вероятностями решения задачи Джорджем и Джеймсом соответственно.

Тогда P(A)=1/2 и P(B)=1/3.

Проблема будет решена, если она будет решена хотя бы одним из них.

Итак, нам нужно найти P(AUB).

По теореме сложения о вероятности имеем

P(AUB) = P(A) + P(B)- P(A∩B).

P(AUB) = 1/2 +.1/3 – 1/2 * 1/3 = 1/2 +1/3-1/6 = (3+2-1)/6 = 4/6 = 2/3

Примечание:

Если A и B любые два взаимоисключающих события, то P(A∩B)=0.

Тогда P(AUB) = P(A)+P(B).

Вам также нужна помощь по географии? Обратите внимание на наши услуги репетитора по географии.

SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Okotoks, посетите: Репетиторство в Okotoks.

Сформулируйте и докажите теорему сложения о вероятности.

Последняя обновленная дата: 12 апреля 2023

•

Общее представление: 257,1K

•

Просмотры сегодня: 3,28K

Ответ

Проверено

257,1K+ просмотры

HINT: . вопрос, связанный с вероятностью, поэтому есть возникновение событий, скажем, двух событий, и эта теорема включает в себя добавление к ним. Вероятность события – это количество способов, которыми могут произойти события, деленное на общее количество возможных исходов.

Полный пошаговый ответ:
Формулировка теоремы сложения о вероятности:
Если A и B — любые два события случайного эксперимента, а P — функция вероятности, то вероятность наступления хотя бы одного из события определяются как $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) — P\left( {A \cap B} \right )$.
Теперь нам нужно доказать теорему сложения вероятности.
Дано: А и В — любые два события случайного эксперимента.
Доказать: $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) — P\left( {A \cap B} \right) $.
Доказательство:
Из теории множеств мы знаем, что
$n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) — n\left( { A \cap B} \right)$.
Предположим, что $n\left( S \right)$ обозначает общее количество возможных событий случайного эксперимента, а затем, разделив левую и правую части приведенного выше уравнения, мы получим
\[\dfrac{{ P\left( {A \cup B} \right)}}{{n\left( S \right)}} = \dfrac{{P\left( A \right)}}{{n\left( S \ right)}} + \dfrac{{P\left( B \right)}}{{n\left( S \right)}} — \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)} }{{n\влево( S \вправо)}}\]
Теперь мы знаем, что формула для вероятности $P\left( x \right) = \dfrac{{n\left( x \right)}}{{n\left( S \right)}}$. Применяя это, мы можем записать
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) — P\left( {A \cap B } \верно)\].

Таким образом, приведенная выше теорема сложения вероятностей доказана.

Примечание:
Особый случай: если два события A и B являются взаимоисключающими, то $A \cap B$ является нулевым множеством. То есть $n\left( {A \cap B} \right) = 0$ Значит, вероятность наступления хотя бы одного из событий равна вероятности наступления события A и вероятности наступления события B Математически это записывается как $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$. \[\] Два события A и B являются независимыми событиями, если выполняется уравнение \[P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right)\ ] Справедливо.

Недавно обновленные страницы

Рассчитать изменение энтропии, связанное с преобразованием класса 11 химии JEE_Main

Закон, сформулированный доктором Нернстом, является первым законом термодинамики класса 11 химии JEE_Main

Для реакции при rm0rm0rmC и нормальном давлении класса A 11 химия JEE_Main

Двигатель, работающий между rm15rm0rm0rmC и rm2rm5rm0rmC класс 11 химия JEE_Main

Для реакции rm2Clg в rmCrmlrm2rmg признаки 11 класса химии JEE_Main

Изменение энтальпии перехода жидкой воды в химический класс 11 JEE_Main

Рассчитать изменение энтропии при переходе в химический класс 11 JEE_Main

Закон, сформулированный доктором Нернстом, является первым законом термодинамики.