Обобщенная теорема Виета
Если числа x1, x2,…,xn – корни многочлена n-ой степени
a(x)= an*xn + an-1*xn-1 + an-2*xn-2 + … + a1*x + a0, an ≠0, то справедливы равенства:
Эти равенства называются формулами Виета.
Выпишем их отдельно для многочленов второго, третьего и четвертого порядков.
Формулы Виета для квадратного многочлена
Для квадратного многочлена ax2 + bx + c
Формулы Виета для квадратного многочлена позволяют подбирать его целочисленные корни (если они существуют), не решая квадратного уравнения.
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …
Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x2 — 2012x + 2011.
Решение.
Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета
x1x2 =
= 2011 1*x2 = 2011 x2 = 2011. Следовательно, x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).
Ответ: x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).
Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x2 + 2011x — 1.
Решение.
Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета
x1x2 =
c/a
=
-1/2012
-1*x2 =
-1/2012
x2 =
1/2012
.
Следовательно, 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x —
1/2012
) = (x+1)(2012x-1).
Ответ: 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x —
1/2012
) = (x+1)(2012x-1).
Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и
> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.
Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x2 — 33x + 10 = 0, не решая его.
Решение.
Дискриминант уравнения D = b2 — 4ac = 332 — 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета
То есть x1x2 > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.
Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.