Теория групп задачи с решениями: теория-групп / Алгебра. Теория групп. Нормальные подгруппы. Решение задач. / Математика

Теория групп и колец — литература : Высшая алгебра

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

malykh89	Теория групп и колец — литература 13. 03.2008, 22:34
02/11/07 82 МФТИ	Подскажите, плиз, книгу по терии групп, где приводяться решения большого количества задач, а также просто хорошую книгу с теоритечским материалом о группах.

Brukvalub	14. 03.2008, 00:30
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Курош А.Г. — Теория групп

lofar	15. 03.2008, 04:04
Заслуженный участник 28/09/05 287	Я бы предложил книгу Каргаполова Мерзлякова. Один из ведущих мировых специалистов по теории групп, Александр Юрьевич Ольшанский, предлагает каждому новому ученику решить все задачи из этой книжки. На мой взгляд, монография Куроша, вряд ли подойдет в качестве учебника.

malykh89	15. 03.2008, 16:39
02/11/07 82 МФТИ	Да, но мне нужен не задачник, а решебник. Я хочу видеть, как решаются задачи подобного рода, причем чем больше решенных присеров, тем лучше

Brukvalub	15. 03.2008, 17:05
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	malykh89 писал(а): Да, но мне нужен не задачник, а решебник. Я хочу видеть, как решаются задачи подобного рода, причем чем больше решенных присеров, тем лучше Не уверен, что такого рода решебники вообще есть в природе… Ведь специалист по теории групп — вещь штучная, вряд ли кто-то будет создавать пособие по решению задач по теории групп, нужда-то в таком пособии — мизерная. Как-то я видел у нас в библиотеке на стенде кустарно изданное малым тиражом пособие с задачами по теории групп, но разве сейчас вспомнишь, кто именно его написал. ..Кажется, авторы были из НГУ, но я могу и попутать, ведь это было лет 10 назад.

BVR	15.03.2008, 20:48
11/03/08 509 Петропавловск, Казахстан	Есть серия книг для заочников с надписью МГЗПИ. одна из них В. А. Нечаев, Задачник-практикум по алгебре (Группы. Кольца. Поля. Векторные и евклидовы пространства. Линейные отбражения), М., Просвещение, 1983г. Там каждый параграф начинается с примеров решения задач и далее есть задачи с решениями. Задачи там, конечно, учебные и их не очень много…

Бабай	24.03.2008, 01:51
29/12/05 228	malykh89 писал(а): Да, но мне нужен не задачник, а решебник. Я хочу видеть, как решаются задачи подобного рода, причем чем больше решенных присеров, тем лучше я недавно начал пробовать свои силы в теории групп. насколько мне стало известно, чтобы хорошо разбираться в теории групп, вам нужно решить всего лишь не более двух задач, а именно: 1. вычислить группу кубика-рубика 2. классифицировать все простые группы конечного порядка. Вот и всё! Ну ладно. вот отложил прозапас эту книжонку http://lib.mexmat.ru/books/5092 …но ей даже пока и не пользуюсь. Кострикина с его задачником хватает!

Azog	24. 03.2008, 04:51
29/01/07 176 default city	Как студент этого профиля рекомендую: Алексеев теорема Абеля в задачах и решениях (хорошая книжка для начинающего да и задач там много) учебник Винберга задачник Кострикина (это с задачами) Для начала этого хватит с головой, а там уже надо решать что именно Вам по душе. Если комбинаторная теория групп — то Линдон Шупп, если теория колец — то что-то другое, если теория представлений интересует — можно ознакомиться с одноименной книжкой Размыслова ну и т.д.

nonameru	22. 11.2008, 13:29
22/11/08 7	Выложил редкие книги по теории групп и формациям групп. Большинство на английском, но есть и на русском и немецком. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups Shmidt R. Subgroup Lattices Of Groups Ballester-Bolinshes A., Ezquerro L. — Classes Of Groups (+OCR) Huppert B. Endliche Gruppen I Huppert_B._Endliche_Gruppen_II Huppert_B.,_Blackburn_N._Finite Groups II Huppert B., Blackburn N. Finite Groups III Kurzweil H., Stellmacher B. The Theory Of Finine Groups. An Introduction Suzuki M. Group Theory I Suzuki M. Group Theory II Шеметков Л.А. Формации конечных групп Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем пароль на все архивы — nnm.ru. Посетите мой док scibooksdjvu.nnm.ru

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 9 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Формирование и развитие теории групп.

| Статья по теме:

Формирование  и развитие теории групп.

П.Н. Никонова 

Московский педагогический государственный университет

e-mail: [email protected]

Ключевые слова: абелева группа, теория Галуа, теория групп.

Аннотация

В данной работе рассмотрены этапы формирования и развития теории групп, описаны основные причины, исторические предпосылки для становления теории групп.   Упомянуты основные работы: сочинения, монографии и др., повлиявшие на развитие теории. Цитаты, взятые из вспомогательной литературы, отмечены соответствующими сносками на источники.

В работе будем придерживаться следующей структуры:

1. Первый параграф посвящен влиянию исследований разрешимости уравнений на становление понятия группы. Такой выбор обусловлен тем, что именно работы, в которых исследовалась разрешимость уравнений в радикалах (например, работы Эйлера, Декарта и др.), привели к постепенному формированию новых понятий, являющихся основополагающими в теории групп.
2. Лагранж сформулировал впервые теоретико-групповую теорему о порядке подгрупп, Руффини систематизировал исследования о конечных подстановках. Их работы явились предпосылками для основания и развития теории групп. Второй параграф представленной работы описывает их вклад в теорию групп.
3. Важным для теории групп являются открытия Гаусса. Он ввел понятие смежных классов и композиции. Фактически он впервые обозначил свойства ассоциативности, коммутативности и единственности существования единичного элемента. Трудам Гаусса посвящен третий параграф.
4. Четвертый параграф  описывает работы Абеля. Начиная с исследования разрешимости уравнений в радикалах, Абель переходит к изучению структуры коммутативных групп. Так, коммутативные группы носят его имя.
5. Термин «группа» в привычном для современной науки значении ввел Галуа. В результате его деятельности полноценно сформировалась, называемая его именем, теория Галуа. В пятом параграфе освещаются его исследования.
6. Первым, кто рассмотрел способ задания группы с помощью таблицы умножений и стал описывать группы с помощью образующих элементов и соотношений, был Кэли. О его влиянии на теорию групп говорится в параграфе 6.
7. Основную теорему о порядке группы подстановок доказал Коши. Также Коши работал с понятием гомоморфизма групп, распространяя, таким образом, все свойства данной группы на другие группы, гомоморфные данной. Исследованиям Коши большое внимание уделено в седьмом параграфе.
8. С гомоморфизмами и эпиморфизмами работал Жордан. Кроме того, ему принадлежат первые шаги в изучении матричных групп. Об этом речь идет в восьмом параграфе.
9. Проблема классификации групп стала одной из важнейших для теории групп. О первых попытках и результатах классификации групп говорится в параграфе 9.
10. Необходимость классификации групп повлекла за собой возникновение понятий о бесконечных и непрерывных группах, введенных Ли и Клейном. Этим результатам посвящен десятый параграф.
11. Заключительный параграф посвящен современным исследованиям и тенденциям в теории групп и, в частности, теории абелевых групп, с чем связана  моя научная работа.

Выводы:

прослежены этапы формирования и становления теории групп согласно исторической хронологии,

отделены разные теории и учения, принадлежащие различным авторам,

актуальность и значимость теории групп настолько высока, что является основой для других теорий

1. Алгебраические уравнения. К началу XVIII века самостоятельность путей развития алгебры уже была определена. В 1707 г. вышла в свет «Всеобщая арифметика» И. Ньютона. В ней алгебра излагалась в тесной связи с развитием вычислительных методов, геометрические вопросы были отнесены в область приложений. Ньютон ввел операции над буквенно-символическими выражениями, над целыми и дробными числами, описал технику тождественных алгебраических преобразований, рассмотрел методы решения уравнений. На примерах, взятых из геометрии, механики и других наук, он демонстрировал сведение задачи к составлению алгебраического уравнения, корень которого являлся бы решением задачи. Замыкали книгу данные общей теории уравнений, а также их графическое решение с помощью геометрического построения корней.

В других работах Ньютона также содержится немало открытий в области алгебры, например, способ численного решения уравнений. Также способы численного решения уравнения, точного или  приближенного, разрабатывали Галелей, Лагранж, Фурье и др.

Вслед за «Всеобщей арифметикой» Ньютона появился ряд монографий, содержащих систематическое построение алгебры. «Трактат об алгебре» Маклорена 1748 года являлся еще по преимуществу комментарием к книге Ньютона, в которой не было приведено доказательств. Последующие же сочинения, в особенности «Универсальная арифметика» Эйлера, появившаяся  в 1768—1769 гг. показали возросшую степень выделения алгебры как самостоятельной науки. Большое внимание Эйлер уделил методам решения алгебраических уравнений первых четырех степеней, систем линейных уравнений, методам нахождения целочисленных решений неопределенных уравнений первой и более высоких степеней.

Таким образом, в XVIII в. часть алгебры, относящаяся к решению уравнений, составляла главное ее содержание. Этой проблеме посвящено огромное количество работ, например, работы Чирнхауза 1683 года, попытавшегося при помощи некоторой замены переменных свести всякое алгебраическое уравнение к двучленному, и работы Эйлера. Эйлер изучил в исторической последовательности попытки своих предшественников: Тартальи, Кардано, Феррари, Декарта, Де Муавра и пытался  подобрать для корней уравнений подходящие виды иррациональностей. Однако и общие подстановки, позднее использованные норвежским математиком Н. Х. Абелем в 1826 году для доказательства невозможности решения в радикалах общего уравнения пятой степени, не дали нужного результата.

Попытки отыскания решения уравнений степени n>5 элементарно-алгебраическими способами были единственным путем решения проблемы, доступным в то время математикам. Однако, приемы решения алгебраических уравнений, накапливаясь, открывали перспективы для развития теоретической части алгебры. Будущее этой науки было связано с решением следующих проблем: разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и доказательства основной теоремы алгебры.

В 1629 году Жирар и Декарт в 1637 году впервые установили, что алгебраическое уравнение может иметь столько корней, сколько единиц имеет его наивысшая степень. В XVIII в. постановка этой проблемы трансформировалась. Теперь уже требовалось доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет именно n корней (действительных и комплексных). В качестве эквивалентного утверждения предлагалось доказать разложимость левой части уравнения в произведение линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами. Над решением этой и других связанных с ней проблем трудились Даламбер, Эйлер, Лагранж, Гаусс и многие другие математики. … Другая группа элементов теории Галуа была накоплена в ряде исследований проблемы приводимости уравнений. Ньютон первый вышел за пределы вопроса о приводимости уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм для решения вопроса о том, может ли уравнение «быть приведено при помощи какого-либо иррационального делителя, или, что то же самое. .. нельзя ли так разделить уравнение на две равных части, чтобы из каждой вы могли извлечь корень». Помимо постановки вопроса о возможности приведения уравнения над различными областями это рассуждение содержит некоторую идею теории Галуа. [4, с. 132]

Запутанные и громоздкие методы приводили часто к ошибкам, тем не менее они были полезны, потому что в них фактически рассматривались поля алгебраических чисел, определялся общий вид элементов этих полей.

2. Исследования Лагранжа и Руффини. Кульминацией в развитии нового этапа алгебры в XVIII в. послужило исследование Лагранжа и Вандермонда. Их работы по теории алгебраических уравнений ввели в математику первый групповой объект – подстановки. Особенно значителен опубликованный в  1771 —1773 гг. мемуар Лагранжа «Размышления об алгебраическом решении уравнений». В этом сочинении Лагранж пересмотрел все накопившиеся к тому времени методы и попытки решения алгебраических уравнений и достиг весьма большой общности. Он рассматривал уравнения с произвольными буквенными коэффициентами. Относительно них он исследовал поля рациональных функций корней. Он впервые ввел группу подстановок корней уравнения. Лагранж изучил связь между  ее подгруппами и подполями рациональных функций, инвариантных относительно подстановок этих подгрупп. Доказал первую теоретико-групповую теорему: число значений, которые принимает функция от n переменных при всех перестановках этих переменных, делит n.  Это частный случай теоремы о том, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы.

Среди последователей Лагранжа и Вандермонда следует отметить  Паоло Руффини. В своих исследованиях 1808-1813 гг. по теории уравнений он рассматривает не только группу подстановок, но и ее подгруппы и вводит понятия транзитивности и примитивности. Он предложил в 1799 г. доказательство неразрешимости в радикалах уравнения степени n > 5. Однако это доказательство не было общим, так как Руффини принял без доказательства, что корни резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения. В последующих работах, появившихся в 1801, 1802, 1806 и 1813 гг. , он пытался доказать это предложение, но полного обоснования так и не смог добиться. [4, с. 137]

В 1824 году это предположение строго доказал Абель. Теорема Руффини- Абеля, по-другому доказанная М.В. Остроградским, стала отправным пунктом большого нового течения алгебраической мысли. Согласно этой теореме нет общей формулы, выражающей в радикалах корни уравнения степени n > 5.

Так или иначе Руффини провел сиcтематическое исследование конечных перестановок и доказал ряд важных теорем. При этом он впервые ввел термин «группа». В 1814 г. Руффини открыл и сформулировал правило приближенного вычисления корней уравнений, переоткрытое в 1819 г. Горнером.

 Алгебра, таким образом, развивалась в течение XVIII в. как наука о решении алгебраических уравнений. В ней получили известное завершение проблемы, связанные с элементарно-математическими средствами решения уравнений. Были разработаны основные предпосылки для создания теории Галуа и теории групп. Алгебра на рубеже XIX в. находилась накануне коренной перестройки, сделавшей ее соединением ряда алгебраических наук, предметом изучения которых стали объекты сложной и абстрактной природы: группы, поля, кольца и т. д. [4, с.138]

3. Идеи Гаусса. На рубеже XVIII и XIX вв. в алгебре были сделаны открытия необычайной важности, к ним относятся результаты К. Ф. Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа. Они сопровождались введением в эту науку ряда новых понятий, легших в основу современной алгебры и относящихся к доказательству основной теоремы алгебры, доказательству неразрешимости в радикалах уравнений степени n >5 и созданием теории Галуа. Рассмотрим подробнее эти результаты.

Карл-Фридрих Гаусс сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем молодым человеком во время обучения в Геттингенском университете в период с 1795 по 1798 гг. В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней некоторого уравнения, он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности на равные части.

Изучая уравнения деления круга (xn-1=0), Гаусс доказывает, что они все имеют решения, выражаемые в радикалах, дает способ явно находить эти выражения, выделяет те значения n, для которых возможно решение в квадратичных радикалах и построение правильного n-угольника циркулем и линейкой, проводя исследование, как и во всех своих трудах, поразительно глубоко и обстоятельно. Эти исследования Гаусса были продолжены Абелем, который доказал невозможность решения в радикалах уравнения 5-ой степени и выделил класс уравнений, разрешимых в радикалах, который носит теперь его имя. [2, с.40]

Таким образом, при доказательстве этой серии предложений Гаусс развил методы, послужившие одной из исходных точек при создании теории Галуа, о чем признавался сам Галуа. Тогда оставался лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы является ее нормальным делителем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Лагранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.

В 1801 году выходит в свет книга Гаусса «Арифметические исследования». В этой работе он применяет общие алгебраические идеи. В начале книги Гаусс определяет сравнения — первый в истории пример построения фактор-кольца. Занимается систематическим изучением сравнений по простому модулю и доказывает существование первообразного корня. Таким образом, он доказывает, что мультипликативная группа поля вычетов по модулю p, для некоторого простого p, циклическая. Доказательство было весьма общим и распространялось на случай конечного поля. Позже этот факт был отмечен Галуа.

Кроме того, Гаусс оперировал со смежными классами мультипликативной группы поля из p элементов относительно ее разных подгрупп. Интересным и значительным для теории групп было построение Гауссом целого ряда групп классов биквадратных квадратичных форм. Такие примеры групп являлись наиболее абстрактными к тому времени. Гаусс ввел операцию композиции форм, утверждал, что можно определять и композицию классов и единственность существования противоположного класса. Сейчас эти свойства называются ассоциативностью и коммутативностью групповой операции и существованием противоположного для каждого элемента группы и составляют основу понятия группы.

Ниже приведем цитату из источника [2, с.63]:

«Приведем одно место из сочинения Гаусса, где устанавливается существование и единственность решения уравнения K+X=L в группе классов: «Композицию классов удобно обозначать знаком сложения + и, точно так же, тождественность классов — знаком равенства.  Тогда только что высказанная теорема может быть выражена так. Если K’ есть класс, противоположный классу K, то K+K’ есть главный класс того же определителя, и тем самым K+K’+L=L; если поэтому положить K’+L=M, то K+M=L, что и требовалось. Если же кроме M имелся бы еще и другой класс M’, который обладал бы тем же свойством, т. е. если бы было K+M’=L, то имело бы место К + К’ + М’ = L + К’ = М, откуда следует, что М’=М». Занимаясь строением группы классов, Гаусс делает многозначительное замечание: «Заметим только, что так как одного основания в этом случае (выделенном им ранее) недостаточно, то необходимо брать два или даже еще большее число классов, при умножении и композиции которых получаются уже все остальные. При этом получаются двойные и кратные индексы, польза которых состоит примерно в том же, в чем состоит и польза простых индексов…». Гаусс хочет сказать, что рассматриваемая им группа не циклическая, но разлагается в прямую сумму двух или нескольких циклических.» 

4. Исследования Абеля. Первый реальный успех выпал на долю скромного молодого норвежского математика Н. Г. Абеля. За время своей короткой жизни он успел сделать так много открытий в математике, что по праву может считаться одним из наиболее выдающихся математиков XVIII в.

Еще в школе Абель заинтересовался проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он дал доказательство разрешимости уравнения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это доказательство содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило свою хорошую службу. Абель получил государственную стипендию и возможность поехать в Европу для усовершенствования в математике.

Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре об алгебраических уравнениях», где доказывается невозможность разрешимости общего уравнения пятой степени. В нем Абель, по-видимому независимо от Руффини, шел тем же путем; он стремился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось на предположение, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни данного уравнения.

Наконец, в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую» многовековая проблема получила удовлетворительное разрешение. Здесь Абель рассматривал уравнения пятой степени с переменными коэффициентами. Решения он трактовал как выражения корней через алгебраические функции коэффициентов. Этот вид функций образуется из аргументов посредством конечного числа четырех арифметических операций и операции извлечения корня, показателем которого является простое число.

Доказательства Абеля — Руффини не дают возможности выделить классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не снимают также возможности такой разрешимости для уравнений с численными коэффициентами подбором подходящих иррациональностей в конкретном случае. Исследования надо было расширять. Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем, встала общая проблема разрешимости — основная проблема классической теории Галуа.

Лагранж нашел частный класс уравнений, разрешимых в радикалах — циклические уравнения.

Абель в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений» в 1829 году вновь исследовал циклические уравнения, отыскав для них явные выражения корней через коэффициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых уравнений, которые по существу являются нормальными уравнениями с коммутативной группой Галуа.

Как в этой, так и в другой, оставшейся незаконченной и опубликованной лишь в 1839 году работе Абеля «Об алгебраической разрешимости уравнений» доказан ряд теорем, относящихся к теории Галуа. Например, Абель доказал теорему, эквивалентную теореме Галуа: чтобы неприводимое уравнение было разрешимо в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были рациональными функциями двух известных корней. В других теоремах он исследовал структуру нескольких конкретных классов разрешимых групп. Фактически Абель исследовал структуру коммутативных групп. Он показал, что эти группы являются произведениями циклических групп. Однако понятие группы у него еще не было точно выделено.

5. Теория Галуа. Понятие, и, несомненно, слово «группа» встречается у Галуа  в его работах в 1831 году. Вместе с ним встречается и понятие нормальной подгруппы, которое открывает секрет разрешимости уравнения в радикалах.

Галуа показал, что всякое уравнение E имеет группу Gе, состоящую из перестановок корней, которые оставляют рациональные функции корней неизменными, и, что уменьшение симметрии, сопровождаемое введением радикала, соответствует образованию нормальной подгруппы. Тогда решение Е в радикалах возможно только, если Gе можно привести к тождественной перестановке цепочкой нормальных подгрупп (вложенных некоторым образом). Если Е — общее уравнение степени n, то Ge = Sn, и теорема Руффини и Абеля восстанавливается, если показать, что Sn не имеет такой цепочки нормальных подгрупп. [5, с. 351]

Галуа доказал, что для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима. Другая часть его теории — теория полей вместе с теорией групп составляют то, что в настоящее время известно как «теория Галуа».

Итак, Галуа в некотором смысле ввел термин «группа» — адекватный современному, хотя и не столь формализованный как современное определение:

Множество G каких-либо элементов a, b, c … называется группой, если в нем введена некоторая операция, называемая «умножением», и если выполняются условия:

1. произведение двух элементов множества G является элементом того же множества;
2. умножение ассоциативно;
3. существует хотя бы один элемент множества, называемый «единицей»;
4. для каждого элемента существует хотя бы один такой элемент, именуемый «обратным элементом», что произведение его на этот элемент дает единицу.

Впервые группы выступают не как вспомогательный инструмент рассуждения, а как основной объект исследования. Например, им были сформулированы примерно следующие утверждения, укажем их современную формулировку:

1)        минимальная простая группа есть А5 порядка 60;

2)        группа дробно-линейных преобразований с коэффициентами из поля вычетов по модулю p неразрешима при p>3;

3)        эта группа не имеет подгрупп индекса p при p>11;

4)        неприводимое уравнение простой степени имеет решение в радикалах тогда и только тогда, когда его группа метациклическая. [2, с. 64]

Обобщения задачи о разрешимости уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие результаты здесь были получены лишь советским математиком Н. Г. Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную задачу теории Галуа: для любой разрешимой группы любого порядка, если расширяемое поле алгебраических чисел содержит корень n-ой степени из единицы, всегда существует сколько угодно его расширений, имеющих над данным полем любую наперед заданную разрешимую группу n-го порядка.

6. Идеи Кэли. Вскоре после работ Галуа началось уже систематическое развитие теории групп.

Определение и первые исследования абстрактных групп были опубликованы английским математиком А. Кэли в 1854 г.

В своих лекциях по истории математики Ф. Клейн говорит, что Кэли является «создателем современной алгебраической геометрии как со стороны теории инвариантов, так и в ее геометрической части». [2, с. 64]

В 1854 г. были опубликованы две части работы Кэли: «О группах, зависящих от символического уравнения θn = 1». В этой работе Кэли определяет группу как множество символов с заданным законом композиции, который удовлетворяет условиям ассоциативности, существования единицы и однозначной разрешимости уравнений в пределах группы. Правда, сначала Кэли просто пишет, что группа на множестве символов это есть ассоциативный закон композиции, а потом только добавляет, что стоит назвать группами только те законы, у которых в каждой строке и столбце таблицы умножения встречаются все элементы группы. Первое в современной терминологии означало бы только определение полугруппы, а второе есть уже вполне точное определение группы. Кэли рассматривает как способ задания группы таблицу умножения, а также изучает задание группы образующими и соотношениями. Кэли указывает, что элементами группы могут быть подстановки, но мо гут быть и элементы другой природы, например кватернионы. В 1859 г. Кэли опубликовал третью часть своей работы. В ней он доказывает, что все группы простого порядка циклические, а также находит всевозможные группы восьмого порядка. Само название «группа» взято Кэли в память Галуа.  В 1878 году Кэли доказал теорему для конечных групп, которая легко распространялась на произвольные группы. В некотором смысле получилось, что абстрактное понятие группы оказалось пустым, так как всякая группа, по существу, такая же, что и группа подстановок.

Кроме работ Кэли, развитие теории групп в самой середине XIX в. состояло в разнообразных исследованиях групп подстановок и в освоении наследия Галуа. В частности, большую работу проделал в эти годы Ж. А. Серре, который включал в свои лекции по алгебре значительные части теории Галуа.

7. Коши. Возвращаясь к изложению истории дальнейшего развития теории групп, нужно упомянуть о серии работ О. Коши, опубликованных в 1844— 1846 гг., в которых он доказывает много разнообразных теорем о группах перестановок. В своей первой работе 1815 года на эту тему «Мемуаре о числе значений, которые может принимать функция, если переставлять всеми способами содержащиеся в ней величины» Коши исследует вопрос о числе значений алгебраической функции при всевозможных перестановках аргумента. Коши доказал некоторые теоремы о транзитивных группах подстановок, а наиболее известна следующая теорема: если группа подстановок имеет порядок, делящийся на простое число p, то в ней есть подгруппа порядка p. 

Так, Коши в этой своей работе основал исчисление подстановок, используя при этом все направления и возможности разработанных им операторных методов (манипуляции с группами букв, на которых определены подстановки, для установления общих условий коммутативности, запись подстановок в виде произведения циклов, обозначение одной буквой и т. д.).

На одном примере Коши осветил понятие гомоморфизма группы подстановок G1 на другую такую группу G2 и показал, что его ядро является подгруппой группы G1. Этот пример очень важен, поскольку он открыл дорогу новой идее переноса определенных свойств с одной структуры на другую при помощи гомоморфизма. Что в современности является одним из полезнейших фактов. [1, с. 380]

8. Открытия Жордана. Дальнейшие крупные открытия в теории групп связаны с именем воспитанника и профессора Камилла Жордана. В 1865 г. появляется первая работа Жордана по теории Галуа «Комментарии к мемуару Галуа», в 1869 г. ее продолжение «Комментарии к Галуа», а вскоре затем фундаментальная монография «Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях». Трактат Жордана содержит части, посвященные изучению групп подстановок, собственно теории Галуа и приложению теории Галуа к уравнениям, возникающим в разных областях математики.

В этой работе используется понятие гомоморфизма. Данное отображение он называет  «гомоморфизмом на» или эпиморфизмом. Причем, выражение Жордана «группа F изоморфна группе G» означает, что определен эпиморфизм G на F. Стоит также упомянуть, что в своем сочинении Жордан впервые рассматривает матричные группы с элементами из конечного поля. При исследовании линейной группы он пришел к очень важным результатам о приведении матриц к так называемым жордановым формам.

При изложении теории Галуа Жордан использует уже современный способ сопоставления уравнению не некоторого множества перестановок корней, а группы подстановок, и критерий разрешимости уравнения в радикалах у него выражается в разрешимости его группы Галуа. Трактат Жордана стал на некоторое время учебником как по теории групп, так и по теории Галуа. Выход его знаменует окончание периода рождения теории групп.

9. Классификация групп. В 60-е годы XIX в. большое влияние на развитие математики имела деятельность К. Вейерштрасса. Почти ничего не публикуя, он включал результаты своих исследований в свои лекции в Берлинском университете. В лекциях 1861 г. Вейерштрасс ввел понятие прямой суммы нескольких алгебр и доказал теорему о том, что конечномерная коммутативная алгебра над полем вещественных чисел без нильпотентных элементов есть прямая сумма полей вещественных и комплексных чисел. Это один из первых результатов классификации в алгебре.

Так же Дедекинд занимался классификацией групп. Он ввел понятия кольца, модуля и идеала и  заложил основы современного аксиоматического изложения математических теорий.

Однако в общем виде проблема классификации не решена до сих пор. Чрезвычайные трудности возникают и при исследовании ее частных аспектов. Например, окончательно не решен вопрос о структуре и классификации конечных разрешимых групп. Оказалось также, что все известные простые некоммутативные конечные группы имеют четные порядки. Остается пока не решенной проблема Бернсайда: будет ли это свойство общим для всех групп этого класса.

10. Работы Ли и Клейна. При таком положении вещей в теории групп, когда выделено понятие группы, естественно, возникал вопрос об исследовании бесконечных групп, как непрерывных, так и дискретных, а также о создании вычислительного аппарата, приспособленного для нужд теории групп. Эти три группы вопросов были поставлены и получили продвижение в конце XIX — начале XX в.

 В 1870 г. Софус Ли и Феликс Клейн начали размышлять над группами преобразований.

Норвежский математик Софус Ли распространил методы теории групп на проблему интегрирования дифференциальных уравнений. Примерно в  1873 г. он ввел новый вид групп и назвал их «непрерывными группами преобразований». С каждым дифференциальным уравнением он связал такую группу преобразований, которая оставляет его неизменным.

Ли классифицировал всевозможные группы преобразований на плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциальных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах. Такие группы получили название групп Ли.  

Другое важное приложение теории непрерывных групп было осуществлено около 1872 г. Ф. Клейном. Клейн создал  «Эрлангенскую программу», в которой говорилось, что любая из геометрий (евклидова, аффинная, проективная и т. д.) имеет в своей основе некоторую непрерывную группу преобразований и представляет собой по существу учение об инвариантах этой группы.

Открытие столь многообразных приложений теории непрерывных групп было причиной введения еще более общего, абстрактного определения непрерывной группы.

Софус Ли применил разработанную им теорию непрерывных групп к теории дифференциальных уравнений, достигнув при этом большой общности в изучении проблемы интегрирования в квадратурах. Ф. Клейн и Л Пуанкаре показали важность новой теории в исследовании автоморфных функции. Все трое названных ученых, а за ними многие другие приложили непрерывные группы к геометрии.

Теория непрерывных групп Ли также нашла отражение в специальной русской математической литературе. Подробное изложение ее, вместе с приложениями к геометрии, дал в первом томе «Оснований геометрии» (Одесса, 1907) В. Ф. Каган. Некоторые сведения по теории инвариантов имеются в главе о линейных и квадратичных формах обширных «Оснований теории определителей» того же автора (Одесса, 1922), подготовленных еще до 1917 г. Оригинальное применение методы С. Ли получили в геометрических исследованиях Д. М. Синцова, тесно связанных с теорией дифференциальных уравнений. [8, с. 327]

11. Современная теория групп. Теория абелевых групп. Важно заметить, что до 40-х годов XX века коммутативная алгебра и теория абелевых групп в частности не имела сильного развития как отдельная часть алгебры. Это направление исследования стало стремительно развиваться и популяризироваться в недавнем прошлом. Ниже рассмотрим достижения ученых в современный период.

Преимущественно теория абелевых групп не зависит от общей теории групп: ее основные идеи и методы имеют незначительное сходство с некоммутативным случаем, поэтому для групповой структуры коммутативность представляет большой интерес. Теория абелевых групп тесно переплетается с теорией колец и модулей. С одной стороны, являясь частью теории групп, использует ее идеи и методы, с другой стороны, она — один из основных побудителей новых исследований в теории модулей.

Начало теории абелевых групп положили работы Л.C. Понтрягина, А.И. Мальцева, А. Г. Куроша, Л.Я. Куликова и др. Исследования Понтрягина привели к некоторым новым результатам и для дискретных групп, в частности, и к одному критерию для разложимости абелевой группы в прямую сумму бесконечных циклических групп. Некоторые результаты об абелевых группах содержала, впрочем, ещё работа А. Г. Куроша, в частности теорему, что всякая абелева группа с условием минимальности разложима в прямую сумму конечного числа циклических групп и квазициклических групп. Работа А. Г. Куроша посвящена абелевым группам конечного без кручения и содержит полную классификацию р-примарных групп этого типа, т. е. групп, являющихся подгруппами прямой суммы конечного числа групп типа Rp: указанные группы задаются матрицами с p-адическими элементами, причём установлены те элементарные преобразования матриц, эквивалентность относительно которых равносильна изоморфизму соответствующих групп. Отсюда выводится, в частности, существование неразложимых в прямую сумму р-примитивных абелевых групп без кручения любого конечного ранга. А. И. Мальцев обобщил указанные выше результаты и дал классификацию всех абелевых групп конечного ранга без кручения. Ещё Прюфер указал условия для разложимости счётной периодической абелевой группы в прямую сумму. А изучение периодических абелевых групп сводится, как известно на случай примарных групп. Отметим некоторые из теорем Л. Я. Куликова. Две основные теоремы Прюфера обобщаются следующей теоремой: примарная абелева группа G тогда и только тогда разложима в прямую сумму циклических групп, если она является объединением возрастающей последовательности подгрупп, у каждой из которых высоты элементов в G ограничены в совокупности. К рассмотренным исследованиям по абелевым группам непосредственно примыкают работы Н. Я. Виленкина по теории топологических периодических абелевых групп, а также работа М. И. Граева о структурных изоморфизмах топологических абелевых групп.

Значимой в современной теории является монография Л. Фукса. Являясь своеобразной энциклопедией, эта книга, кроме того, содержит большое число проблем, с решением которых связана деятельность многих специалистов и по сей день.

Наиболее естественным при изучении абелевой группы является рассмотрение ее как аддитивной группы кольца. Изучение колец на абелевых группах представляет интерес по нескольким причинам: во-первых, оказывается возможным получить дополнительные сведения о самих группах, ввести в рассмотрение новые понятия и методы,  во-вторых, зная строение аддитивной группы, можно получить полную информацию о свойствах самого кольца. Проблема определения колец на аддитивной группе была сформулирована Бьюмонтом, который рассматривал кольца на прямых суммах циклических групп, приблизительно в то же время Селе исследовал нильгруппы, т.е. группы, на которых не существует кольца с ненулевым умножением.

 Сейчас решение подобных задач является наиболее популярным направлением в теории групп, в частности, в теории абелевых групп.

Заключение

Таким образом, мы проследили этапы формирования и развития теории групп.

Попытки обоснования условия разрешимости алгебраических уравнений явились основным стимулом для дальнейшего изучения теории групп. Так, стали появляться первые понятия, например, понятие подстановки, которые сейчас лежат в основе современной теории.

Большой вклад внес Гаусс с идеей композиции смежных классов. Это послужило поводом для повышения интереса к теории групп и для ее постепенного обособления.

В данной работе приведены труды таких ученых как Коши, Жордан, описано их влияние на развитие теории групп. Кэли в свою очередь ввел в привычное использование законы ассоциативности, коммутативности и др. Однако, фактически, это были только попытки добиться четкой формулировки определения понятия «группа».

Масштабных результатов добились Галуа и Абель. Им принадлежит создание термина «группа».  Описаны их выводы и влияние их открытий на современную теорию групп. Также отмечены современные тенденции и популярные направления изучения теории групп.

Менее чем за один век алгебра полностью изменила свое лицо. В конце XVIII в. это была довольно узкая дисциплина, занимавшаяся почти исключительно теорией уравнений в обычной числовой области. Были созданы и развиты формализмы, позволяющие отвлечься от конкретных объектов, к которым они применяются.

Исследование фундаментальных структур, их подструктур, например, в теории групп: конечных групп, коммутативных групп и т. д., изучение их основных комбинаций, нарушили архитектуру математики, древняя схема которой, состоящая из алгебры, арифметики, геометрии, анализа, устарела.

Литература

1. Даан-Дальменко А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир.  1986.
2. Башмакова И.Г. и др. Математика XIX века. М.: Наука. 1978.
3.  Попов Г.Н. История математики. М.: Типо-лит. Московск. Картоиздательского Отдела Корп. Воен. Топогр. 1920.
4. Рыбников К.А. История математики. Т2. М.: Издательство Московского университета. 1963.  
5. Стиллвелл Д. Математика и ее история. М., Ижевск, Институт компьютерных исследований. 2004.
6. Фукс. Л. Бесконечные абелевы группы. Т1, Т2, М.: Мир, 1974, 1977.
7. Юшкевич А. П. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. М.: Просвещение. 1976.
8. Юшкевич А.П. История математики в России до 1817 года. М.: Наука. 1968.
9. Математика в СССР за тридцать лет. Сборник статей. М.: ОГИЗ. 1948.

Изящный отрицательный результат в теории групп

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Изящный отрицательный результат в теории групп Игорь Ростиславович Шафаревич 19 февраля 2017 года не стало математика Игоря Ростиславовича Шафаревича. Математическое наследие Шафаревича, дожившего до 93 лет, огромно. Его известность за пределами математического мира тоже необычно велика. Но здесь о публицистике и общественной деятельности Игоря Ростиславовича мы сознательно умолчим. Не станем делать и обзор основных его научных достижений — среди них много замечательных результатов, но такой обзор мало что скажет нематематику. Мы расскажем лишь об одном его открытии. Из всех теорем Шафаревича мы выбрали одну, точнее, даже не теорему, а следствие из нее, мимоходом закрывшее изящный вопрос из теории групп, сформулированный за 60 лет до этого, — оно отрицательно решило общую проблему Бернсайда. Это красивая история, в которой Шафаревич появляется как известный актер в камео — с короткой и яркой репликой. Коротко напомним, что такое группа: это в некотором смысле простейшая алгебраическая конструкция — множество элементов, на котором определена бинарная операция. Операция, условное «умножение», должна обладать свойством ассоциативности , кроме того, в множестве должен быть особый элемент , называемый нейтральным, — это своего рода «единица», и у каждого элемента должен быть обратный, то есть такой, что . Группы совершенно повсеместны и в математике, и в жизни: например, множество целых чисел относительно сложения — группа (нейтральный элемент в ней, конечно, ноль), причем группа коммутативная, потому что . Вообще говоря, это свойство вовсе не обязано выполняться в группе, и здесь можно привести пример из жизни: если взять множество всех преобразований кубика Рубика — то есть любых наборов последовательных поворотов граней, а в качестве операции взять композицию двух преобразований, то есть выполнение их одно за другим, получится группа. Ее нейтральным элементом является тривиальное преобразование (когда вы просто не трогаете грани), чтобы получить обратное преобразование, нужно совершить все вращения в обратную сторону и в обратном порядке. В этой группе коммутативности нет — порядок вращений влияет на результат, в этом каждый может легко убедиться сам. Группы бывают бесконечными, как целые числа, и конечными, как группа кубика Рубика (кстати, ее порядок — то есть количество элементов — очень велик, это 20-значное число). Эти два примера вообще хорошо иллюстрируют, насколько разными бывают группы. Вся группа целых чисел, ее обычно обозначают , получается из единицы (напомним, что нейтральный элемент в это ноль): все остальные целые числа, это единица (и обратная к ней ), сложенная сама с собой нужное количество раз, или, если говорить в более привычных теоретико-групповых терминах, возведенная в нужную степень. В группе кубика Рубика такого элемента нет: понятно, что в ней содержатся как минимум вращения перпендикулярных граней, которые не получить друг из друга никаким возведением в степень (то есть многократным повторением). Но если взять набор из поворотов всех (кроме центральных) граней на 90 градусов, то получится система из 6 образующих, с помощью которой можно получить любое другое преобразование кубика Рубика. Если сравнивать эти два примера, то конечная группа кубика Рубика выглядит намного сложнее, чем бесконечная группа целых чисел . В общей ситуации это, конечно, не так, но конечные группы — действительно на удивление заковыристый объект. Достаточно упомянуть, что задача классификации конечных групп была решена за 50 лет в сериях работ сотни математиков. Доказательство теоремы, что любая простая конечная группа (а из таких можно построить и все остальные конечные группы) относится к одному из 4 известных классов, претендует на то, чтобы быть самым длинным и недоступным для стороннего понимания в истории математики. Оно опубликовано на нескольких тысячах страниц, и не все специалисты уверены, что это доказательство в самом деле полное. Гипотеза Бернсайда — как раз вопрос о водоразделе, оставляющем конечные группы с одной стороны, а бесконечные — с другой. Ее формулировка, как часто случается с самыми сложными математическими задачами, завлекательно проста. Порядок элемента группы — степень, в которую нужно его возвести, чтобы получить нейтральный элемент. Ясно, что в группе как единицу ни «возводи в степень», то есть, как ни складывай саму с собой, нуля не получишь. Считается, что порядок таких элементов бесконечен. А вот у поворота грани кубика Рубика на 90 градусов порядок равен четырем, потому что если четырежды повернуть грань вокруг своей оси на 90 градусов, она вернется на свое место. У разных элементов кубика Рубика могут быть разные порядки (самый большой из них равен 1260), но все они конечны. Да и вообще, порядки элементов любой конечной группы конечны — при возведении в степень элемент будет переходить в другие элементы и рано или поздно попадет на нейтральный. А верно ли обратное? Что если у нас есть группа с конечным числом образующих (то есть элементов, перемножением которых можно получить все остальные — как элементарные повороты граней кубика Рубика или в ) и известно, что порядок каждого ее элемента конечен? «Это все еще нерешенный вопрос в теории групп», — написал английский математик Уилльям Бернсайд в 1902 году. В той же работе он сформулировал ограниченную версию задачи (общая формулировка получила название «проблема Бернсайда»): а что если не просто порядок каждого элемента конечен, но и все порядки ограничены сверху неким единым числом? Это можно сформулировать так: существует натуральное , такое, что для любого элемента из группы элемент в степени является нейтральным. Обязательно ли всякая конечнопорожденная группа с таким условием конечна? На эту задачу можно смотреть таким образом: элементы конечнопорожденной группы можно представить как слова, составленные из элементов конечного алфавита, соответствующего образующим, связанные некими соотношениями. При условии, что каждое слово, если его повторить некоторое количество раз, схлопывается в пустое, может ли в такой группе быть бесконечное число слов? У Бернсайда не было интуитивного ответа, но в следующие несколько лет он сам и немецкий математик Иссайя Шур показали, что среди приходящих в контексте задачи на ум бесконечных групп контрпримеров нет. Стало ясно, что если ответ на вопросы Бернсайда и отрицателен, доказать это будет сложно. Впрочем, и доказать обратное не выходило. Задача была отложена примерно на 20 лет. С начала 30-х в проблему Бернсайда стали вгрызаться, буквально откусывая по маленькому кусочку, сосредоточившись на ее ограниченном варианте (когда порядок всех элементов ограничен общей константой). Можно построить особую группу , которая будет в некотором смысле самой большой среди всех групп с образующими и порядком всех элементов равным . Группы такого вида назвали свободными группами Бернсайда; если доказать, что конечны при любых и , то и ограниченная проблема Бернсайда решается положительно. Тут стоит заметить, что из положительного решения ограниченной проблемы Бернсайда не следует положительное решение общей проблемы, а из отрицательного решение общей не следует отрицательное решение ограниченной. Важное обстоятельство — ведь доказывая конечность свободных групп Бернсайда при разных значениях m и n, математики никак не продвигались в решении общей проблемы Бернсайда, только ограниченной! Итак, к 1940 году удалось доказать, что конечны группы вида , и . Еще через 18 лет один из крупнейших специалистов по теории групп в истории, американец Маршалл Холл доказал, что конечна — его доказательство один из рецензентов охарактеризовал как «героическое вычисление». Это давало надежду, что вскоре последует прорыв, и удастся доказать, что все свободные группы Бернсайда конечны, а значит и ограниченная проблема Бернсайда решается положительно. Но в 1959 году знаменитый советский математик Петр Сергеевич Новиков опубликовал статью, в которой заявил, что все бесконечны при любом нечетном большем . Работа содержала только набросок доказательства, и, как водится, его завершение оказалось намного более сложным делом, чем казалось автору. Но что означает анонсированный Новиковым результат? Что существуют бесконечные конечнопорожденные группы с ограниченными в совокупности порядками элементов. А значит, отрицательно решается и ограниченная и общая задачи Бернсайда! Но полного доказательства не было. Пять лет спустя на эту сцену неожиданно, ярко и ненадолго вышел Игорь Шафаревич. В 1964 году Шафаревич и его ученик Евгений Голод опубликовали статью «О башне полей классов». Это был самостоятельный результат в области некоммутативной гомологической алгебры, из которого, среди прочего, следовало, что для любого простого существует бесконечная группа с тремя образующими, такая, что порядок каждого ее элемента — степень числа (но не обязательно одна и та же!). Теорема Голода-Шафаревича давала отрицательное решение общей проблемы Бернсайда, из которого впрочем, как было сказано выше, не следовало решения ограниченной проблемы Бернсайда — нужно было найти бесконечные группы, в которых порядки элементов ограничены общим числом. В 1968 году Петр Новиков с помощью своего ученика Сергея Адяна смог завершить доказательство, анонсированное почти 10 лет назад: они доказали, что свободные группы Бернсайда бесконечны, правда, при всех нечетных больших , а не , как утверждалось в работе Новикова 1959 года. Это дало отрицательный ответ сразу на оба варианта проблемы Бернсайда, и ограниченный и общий. Новиков и Адян, таким образом, улучшили результат Голода и Шафаревича, но для последнего проблема Бернсайда никогда и не была желанной целью. Сорок лет спустя Шафаревич вспоминал о статье Новикова и Адяна: «Это была громадная работа. Я тогда был в редколлегии журнала «Известия АН СССР» и помню, что публикация ее заняла три номера! Очень знаменитая работа». Отрицательное решение общей проблемы Бернсайда — лишь эпизод в долгой карьере Игоря Ростиславовича Шафаревича, и далеко не самый яркий, почти случайное следствие из важной теоремы из алгебраической теории чисел. Он к ней больше не возвращался, хотя, несмотря на отрицательный ответ на исходный вопрос, интересная работа здесь идет до сих пор. В 1975 Сергей Адян улучшил свой с Новиковым результат, доказав, что бесконечны для нечетных больших . В 1992 году Сергей Иванов доказал, что бесконечны для всех четных (это случай оказался намного более сложным) , начиная с . Еще четыре года спустя ученик Сергея Адяна Игорь Лысенок улучшил эту границу до . Любопытно, что даже для нечетного случая доказать сформулированный Петром Новиковым в 1959 году результат с пока не удается. Вы заметили, что в списке , , и , конечность которых была доказана относительно быстро, есть зияющий пробел? Так вот, до сих пор никто не знает даже, конечна или бесконечна группа . Сергей Немалевич N+1 Теги #математика #теория_групп #алгебра #комбинаторика #комбинаторная_теория_групп #Игорь_Шафаревич #Петр_Новиков #Уильям_Бернсайд #Сергей_Адян #Исай_Шур Похожее Проблема Бернсайда и каноническая форма s-порожденной группы Алексей Белов Рассмотрим s-порожденную группу (s<1) с тождеством x^n=1. Будет ли она конечна? Ответ положителен при n=2 (легкое упражнение), при n=3 (это уровень сложной задачи студенческой олимпиады), при n=4 (проблема стояла около 40 лет) при n=6 (проблема стояла около 50 лет). При n=5 ничего не известно! В середине 20 века П. С. Новиковым и С. И. Адяном было показано, что если n нечетное число ≥661 то такая группа может быть бесконечна. А. И. Мальцев рассматривал этот результат как основное событие алгебры 20 века (эту точку зрения разделяет, в частности, И. Рипс, чьи исследования были вдохновлены работами П. С. Новикова-С. И. Адяна). Недавно С. И. Адян улучшил оценку до 101. Комбинаторика слов и соотношения в кольцах Алексей Белов Планируется рассказать про свойства символьных последовательностей, и замечательные теоремы с ними связанные и их обобщения. Например, известно, что следующие классы слов почти эквивалентны: буквы a, b самым тщательным образом перемешаны, т. е. в кусках одинаковой длинны количество символов каждого сорта отличается не более чем на 1; количество различных подслов длины n равно n+1, т.е. минимально возможное; слово получается из поворота окружности на величину α при фиксации буквой a попадания на дугу длины α. Обобщение этой теоремы дает задача Арнольда о перекладывания отрезков. Красивые элементарные факты о поведении слов в которые добавляется не слишком много запретов, отражаются на теореме Голода–Шафаревича. Наверное, стоит упомянуть также теорему Ширшова о высоте. Геометрия и комбинаторика определяющих соотношений Алексей Белов Произведение элементов пишут в виде слова, изображаемого отрезком. А что значит умножить элементы по кругу? Какой смысл имеет мозаика, составленная из таких кругов? Понимание такого рода вещей приводит к решению ряда открытых вопросов. Например, допустим мы хотим задать конечным числом соотношений полугруппу в которой степень любого элемента равна нулю. Конечным числом запрещенных подслов на прямой нельзя добиться того, чтобы были сколь угодно длинные слова без запрещенных подслов и в то же время не было таких периодических слов. В то же время на плоскости существуют конечные системы запретов допускающие только апериодические замощения. Но как умножать с разных сторон? Эти и другие вопросы предполагается обсудить. Раскраска фигур и формула Бернсайда Сколькими способами можно раскрасить грани кубика, если есть три краски? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями кубика. Грань красится целиком в один цвет. Описанная выше ситуация довольно типична, и потому нам бы хотелось найти какой-нибудь метод, который позволил бы сводить подобные вопросы к не слишком громоздкому перебору. Удивительным образом, на помощь приходит теория групп и так называемая формула Бернсайда. Равносоставленность многогранников и гомологии групп Александр Гайфуллин Классическая теорема Бойяи–Гервина (1830-е годы) утверждает, что любые два многоугольника равной площади равносоставлены друг с другом: первый многоугольник можно разрезать на конечное число многоугольных частей и затем сложить из этих частей второй многоугольник. Ещё Гаусс задавал вопрос, верно ли аналогичное утверждение для многогранников. А именно, его интересовало, можно ли доказать стандартную формулу для объёма пирамиды (одна треть произведения длины высоты на площадь основания) без использования предельного перехода, то есть разбив пирамиду на конечное число кусков, из которых можно сложить прямоугольный параллелепипед. Теневое исчисление Сергей Ландо Долгое время наличие у биномиальных последовательностей многочисленных общих свойств воспринималось как нечто таинственное и необъяснимое, почему их изучение и было названо umbral calculus, т.е. теневое исчисление. Работы Рота в 60-х годах прошлого века сорвали с теневого исчисления покров тайны, однако не уменьшили интерес к биномиальным последовательностям, поскольку они регулярно возникают в самых разных областях математики. На занятиях мы обсудим, как выписывать все биномиальные последовательности и какие у них свойства. Все необходимые для этого выходящие за рамки школьной (а изредка и университетской) программы сведения будут сообщены. Линейные коды Иван Аржанцев Теория кодирования – это отличный повод поговорить о красивых задачах из алгебры и комбинаторики, о линейной алгебре и алгебраической геометрии над конечными полями, конечных геометриях, простых группах и алгоритмах, связанных с передачей информации. Программа курса: Основные задачи теория кодирования. Коды, исправляющие ошибки. Расстояние Хемминга и неравенство треугольника. Предварительные сведения из алгебры. Строение конечных полей. Линейная алгебра над конечными полями. Линейные коды и их характеристики. Код Хемминга. Совершенные коды. Двойственный код и тождество Мак-Вильямса. Эквивалентность кодов. Методы вычисления минимального расстояния для подпространства. Циклические коды и главные идеалы. Алгеброгеометрические коды. Грассманианы и плюккеровы координаты. Грассмановы коды и минимальные расстояния. Точки на минимальной сфере. Алгоритмы декодирования. Синдромы и минимальные представители. Коды Голея. Конечные геометрии и группы Матье. Фракталы Рози Алексей Белов, Иван Митрофанов В этом курсе будет рассказано о подстановочных системах довольно общего вида и о связанных с ними геометрических конструкциях, называемых фракталами Рози. Например, слово Трибоначчи 121312112131… состоит из цифр {1,2,3} и получается с помощью подстановки 1→12, 2→13, 3→1. Оказывается, что оно в некотором смысле устроено так же, как двумерный тор, разбитый на три части с фрактальной границей. (В то, что на первом рисунке изображена развёртка тора, трудно поверить, но тем не менее это так, и вторая картинка это иллюстрирует). Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы Владимир Арнольд Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность. 2+px+q=0 далеко не решён. Теория групп Алексей Савватеев В миникурсе ликвидируются пробелы школьного образования, относящиеся к теории групп и к конкретным примерам групп. Будут установлены базовые факты про вычеты, доказана малая теорема Ферма, исследованы подгруппы групп перестановок на трёх и четырёх символах, введено понятие нормальной подгруппы данной группы и простоты группы. Затем будет доказано, что группа чётных перестановок на n≥5 символах — простая (что откроет желающим дорогу к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах), а также что подгруппа переносов плоскости (пространства) — нормальная в группе всех (аффинных) движений соответствующего объекта. Маломерные группы движений получат полную характеризацию (теорема Шаля и законы композиции движений разных видов). Далее >>> Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Изящный отрицательный результат в теории групп

Теория групп | Задачи по математике

Проблемы теории групп и решения.

Популярные сообщения в теории групп:

теория групп

14.12.2017

Задача 628

Пусть $G$ — группа порядка $57$. Предположим, что $G$ не является циклической группой.

Затем определите количество элементов в $G$ порядка $3$.
 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

12.12.2017

Задача 626

Пусть $G$ — группа. Предположим, что количество элементов в $G$ порядка $5$ равно $28$.

Определите количество различных подгрупп $G$ порядка $5$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

12.12.2017

Задача 625

Пусть $G$ — группа, и пусть $H_1, H_2$ — подгруппы $G$ такие, что $H_1 \not \subset H_2$ и $H_2 \not \subset H_1$.

(a) Докажите, что объединение $H_1 \cup H_2$ никогда не является подгруппой в $G$.

(b) Докажите, что группу нельзя записать в виде объединения двух собственных подгрупп.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

02.12.2017

Задача 621

Пусть $G$ — конечная группа и $N$ — нормальная подгруппа в $G$.
Предположим, что порядок $n$ числа $N$ взаимно прост с индексом $|G:N|=m$. 9м \mid b\in G\}$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

29.11.2017

Задача 619

Докажите, что всякая циклическая группа абелева.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

27. 5=e$, где $e$ — единичный элемент в группе $G$.

Докажите, что количество элементов в $S$ нечетно.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

22.11.2017

Задача 613

Пусть $m$ и $n$ — натуральные числа такие, что $m \mid n$.

(a) Докажите, что отображение $\phi:\Zmod{n} \to \Zmod{m}$, переводящее $a+n\Z$ в $a+m\Z$ для любого $a\in \Z$ корректно определен.

(b) Докажите, что $\phi$ — гомоморфизм групп.

(c) Докажите, что $\phi$ сюръективно.

(d) Определите групповую структуру ядра $\phi$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

27.10.2017

Задача 594

Возможно ли, чтобы каждый элемент бесконечной группы имел конечный порядок?
Если да, то приведите пример. В противном случае докажите отсутствие такой группы.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

28.09.2017

Задача 575

Пусть $G$ — конечная группа порядка $2n$.
Предположим, что ровно половина группы $G$ состоит из элементов порядка $2$, а остальная часть образует подгруппу.
А именно, предположим, что $G=S\sqcup H$, где $S$ — множество всех элементов порядка в $G$, а $H$ — подгруппа в $G$. Мощности $S$ и $H$ равны $n$.

Затем докажите, что $H$ — абелева нормальная подгруппа нечетного порядка.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

22.09.2017

Задача 568

Докажите, что в каждой группе порядка $24$ есть нормальная подгруппа порядка $4$ или $8$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

19. 09.2017

Задача 566

Пусть $G$ — группа порядка $12$. Докажите, что в $G$ есть нормальная подгруппа порядка $3$ или $4$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

06.09.2017

Задача 557

Пусть $N$ — нормальная подгруппа группы $G$.
Предположим, что $G/N$ — бесконечная циклическая группа.

Затем докажите, что для каждого натурального числа $n$ существует нормальная подгруппа $H$ группы $G$ индекса $n$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

93y.\tag{2}
\end{align*}

Докажите, что $G$ — тривиальная группа.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

21.08. 2017

Задача 544

Пусть $G$ — конечная группа, $H$ и $K$ — две различные силовские $p$-группы, где $p$ — простое число, делящее порядок $|G|$ из $G$.

Докажите, что произведение $HK$ никогда не может быть подгруппой группы $G$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

29.07.2017

Задача 523

Пусть $G$ — нильпотентная группа и $H$ — собственная подгруппа в $G$.

Затем докажите, что $H \subsetneq N_G(H)$, где $N_G(H)$ — нормализатор $H$ в $G$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

28.07.2017

Задача 522

Пусть $G$ — абелева группа, и пусть $H$ — подмножество $G$, состоящее из всех элементов $G$ конечного порядка. то есть
\[H=\{ a\in G \mid \text{порядок $a$ конечен}\}. \]

Докажите, что $H$ является подгруппой группы $G$.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

15.07.2017

Задача 510

Пусть $(\Q, +)$ — аддитивная группа рациональных чисел, а $(\Q_{ > 0}, \times)$ — мультипликативная группа положительных рациональное число.

Докажите, что группы $(\Q, +)$ и $(\Q_{ > 0}, \times)$ не изоморфны как группы.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

30.06.2017

Задача 497

Пусть $G$ — абелева группа.
Пусть $a$ и $b$ — элементы в $G$ порядка $m$ и $n$ соответственно.
Докажите, что существует элемент $c$ в $G$ такой, что порядок $c$ является наименьшим общим кратным чисел $m$ и $n$.

Также определите, верно ли утверждение, если $G$ неабелева группа.

 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

Теория групп

27.06.2017

Задача 495

Докажите, что всякая конечная группа, имеющая более двух элементов, имеет нетривиальный автоморфизм.

( Университет штата Мичиган , квалификационный экзамен по реферативной алгебре )
 
Прочитать решение

Добавить для решения позже

абстрактная алгебра — задачник по теории групп после выполнения Fraleigh.

Спросил 7 лет, 7 месяцев назад

Изменено 20 дней назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Пожалуйста, обратитесь к задачнику по

Теория групп :ТЕМЫ: Группы, подгруппы, абелевы группы, неабелевы группы, циклические группы, группы перестановок; Нормальные подгруппы, теорема Лагранжа для конечных групп, гомоморфизмы групп и основные понятия фактор-групп (только теория групп).

Я уже закончил Первый курс абстрактной алгебры Джона б. Фралей . Но мне нужно решить одну задачник, чтобы быть уверенным. Мне не нужен сборник задач, ориентированный на доказательство, я сосредоточен на решении задач, являющихся приложениями теорем . У меня на уме был Галлиан, но не хватало решений.

пожалуйста, предлагайте свои предложения. спасибо

• абстрактная алгебра
• теория групп
• запрос-справка
• книга-рекомендация

$\endgroup$

$\begingroup$

Лучшие задачи по теории групп для новичка, на мой взгляд, по-прежнему содержатся во второй главе книги И. Н. Херстиена Topics in Algebra . Это книга, по которой я изучал алгебру, и в ней до сих пор лучшие упражнения из всех учебников, которые я видел. Это книга, которую вы хотите, поверьте мне.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Книга Джозефа Галлиана «Современная абстрактная алгебра» содержит большое количество задач в возрастающем порядке сложности.

Для решения некоторых сложных задач можно обратиться к двум сборникам задач по теории групп:

1. Проблемы по теории групп — Диксон

2. Теория групп: Избранные задачи — Б. Сури.

Еще одна книга по теории групп с избранными проблемами — «Группы и представления: Альперин и Белл». Он содержит хорошо отобранные задачи. Однако автор (ы) книги говорят в предисловии, что задачи не отсортированы по сложности, с некоторой философской мыслью.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Взгляните на Проблемы теории групп — Джон Диксон (изд. Дувр).

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Алгебра 3-е издание Мак Лейна и Биркгофа.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы также можете ознакомиться с книгами «Алгебра: курс для выпускников» и «Теория конечных групп» Мартина Айзекса. Обе замечательные книги, я читал теорию из первой книги и решал задачи из обеих книг.

$\endgroup$

$\begingroup$

1. Даммит и Фут
2. Ротман

Эти двое имеют очень богатую коллекцию задач наряду с теорией. Наряду с этим,

3. Задачи по теории групп Б. Сури

— отличный сборник задач.

$\endgroup$

$\begingroup$

Что касается задач, то я бы не забыл еще не упомянутую Абстрактную алгебру Херштейна , возможно, даже более полный (с этой точки зрения), чем его другие, более популярные Разделы по алгебре .

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

абстрактная алгебра — приложения теории групп вместе с решенным примером

$\begingroup$

Как я уже говорил в предыдущем вопросе, мне очень интересно применить теорию групп. Тем не менее у меня есть сомнения относительно того, как я могу применить теорию групп. Я знаю о формальных определениях и могу решать и доказывать проблемы, связанные с теорией групп.

Но что касается приложений, я не знаю, с чего начать.

Я прошерстил сеть и нашел эти ссылки….

http://www.math.uconn.edu/~kconrad/math316/whygroups.html

http://en.wikiversity.org /wiki/Topic:Group_theory

http://gotocld.com/ru/?Why-Study-Math?—Group-Theory-and-Subparticle-Physics&id=1456420

Эти объяснения действительно хороши. Но настоящая проблема, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, все приложения имеют теоретические объяснения, без решенного примера, который начинающий как я могу понять.

Когда я зашел в Википедию, я узнал о сборке кубика Рубика максимум за 20 шагов размещенных на http://cube20.org/

Что я могу понять?

Если перевернуть куб вверх дном, для его сборки потребуется такое же количество ходов. (Свойство симметрии).

Где мне нужна помощь?

Пример, показывающий , как здесь работает это симметричное свойство теории групп.

Итак, если бы кто-то мог поставить пример того, как применяется теория групп (в этом или каком-то другом случае) это будет мне полезно….

• абстрактная-алгебра
• теория групп
• большой список
• приложения

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Кубик Рубика можно анализировать с помощью Gap. Глянь сюда. Я не уверен, что это то, что вы ищете, или нет, но он начинается с демонстрации того, как «видеть» ваш куб как группу перестановок, а затем анализирует перестановки.

(Также смотрите на свой куб как на группу перестановок, напишите числа на всех кубиках, кроме центральных кубиков за $6$, и посмотрите, что вращение каждой из $6$ граней сделает с этими числами. )

$\endgroup$

$\begingroup$

Поскольку мы, кажется, начали работу с кубиком Рубика, позвольте мне добавить несколько способов использования некоторых основных свойств групп перестановок для решения этой головоломки. Цель не в том, чтобы найти кратчайшее решение, подойдет любое решение.

1. Возможно, вы узнали, что чередующаяся группа может быть сгенерирована с помощью 3-циклов. Таким образом, если мы сможем найти последовательности ходов, которые производят 3-циклы на угловых фигурах, и другие последовательности ходов, переставляющих ребра в 3-цикле, мы сможем поставить все крошечные кубики на правильные места (но, возможно, сначала на неправильные позиции или должны Я называю их ориентациями?)
2. Эффективным способом получения необходимых 3-циклов является использование коммутаторов . Общая схема для этого следующая. Предположим, что мы записали множество $X=A\cup B$ как несвязное объединение двух собственных подмножеств. {-1}$ является 3-циклом, перемещающим только элементы $\{x,\alpha(x),\ бета(х)\}$.
3. Такие 3-циклы можно легко построить на кубике Рубика, потому что найти подходящие перестановки $\alpha$ и $\beta$ несложно. Для изображений таких последовательностей ходов, пожалуйста, посетите мою страницу. Окружающий текст содержит более подробную информацию, но он только на финском языке, поэтому вам может быть трудно расшифровать большую его часть (@-ping me?). Во всех этих коммутаторах множество $A$ составляет верхнюю треть куба, а множество $B$ состоит из нижних двух третей. Таким образом, перестановка $\alpha$ представляет собой просто четверть оборота верхнего слоя. Перестановка $\beta$ OTOH варьируется в зависимости от наших потребностей.
4. Подобное мышление с коммутаторами позволяет нам разрабатывать короткие последовательности ходов, которые поворачивают два соседних угловых элемента или два соседних краевых элемента. Они также показаны на моей странице.
5. Изображенные последовательности действуют на части, которые находятся «спереди». Если нам нужен какой-то другой 3-цикл, мы можем просто сначала сделать несколько ходов, чтобы привести желаемые 3, скажем, угловые фигуры в положение показанного «стандартного» 3-цикла на углах. Затем мы можем выполнить 3-цикл, а затем в качестве последнего шага отменить первую пару ходов в обратном порядке. IOW мы произвели еще один 3-цикл на спрягается с данным. Звучит знакомо?
6. Точно так же мы можем вращать пары фигур сопряжением показанной последовательности, но обычно проще просто посмотреть на куб с другой стороны 🙂

Получайте удовольствие!

Надеюсь, вы заметили, что на самом деле глубокая теория групп не использовалась. В результате язык групп (перестановок) позволяет нам увидеть структуру в хаосе Куба. Также это позволяет нам разделить проблему на небольшие поддающиеся решению части.

Не заставляй меня начинать с теории кодирования. Я склонен рассматривать проблемы телекоммуникаций как проблемы прикладной алгебры (конечные поля и их характеры, связанные суммы характеров, векторные пространства над ними, конечные группы и подходящие представления, порядки в алгебрах с делением).