Теория пределов примеры: Как решать пределы для чайников, примеры решений

1. Введение в анализ. Теория пределов. Математический анализ

1.1. Комплексные числа

1.2. Функция, способы задания, простейшие свойства

1.3. Предел функции, свойства пределов

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

1.1. Комплексные числа (КЧ)

Комплексным числом z называется выражение z = a+bi, где , i – мнимая единица. i ² = –1.

a – действительная часть КЧ или a = Re z.

b – мнимая часть КЧ или b = Im z.

0+bi = bi — чисто мнимое число

a + 0i = a — действительное число

0 + 1i = i	1 + 0i = 1	0 + 0i = 0
мнимая единица	обычная единица	обычный нуль

Z₁ = a₁ + b₁i

Z₂ = a₂ + b₂i

Действия над КЧ

Z₁Z₂ = (a₁ a₂) + (b₁ b₂)i – сложение/вычитание КЧ.

Возведение в степень мнимой единицы:

i¹ = i i² = – 1 i³ = i i⁴ = 1

Z₁ Z₂ = (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i) = a₁a₂ + a₁b₂i
+ a₂b₁i
+ b₁b₂i² =

= (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i – произведение КЧ.

Сопряженным числом () для данного комплексного числа называется число, которое отличается только знаком мнимой части от данного числа.

Пример:

– деление КЧ.

Пример:

Комплексная плоскость

Z = a + bi – алгебраическая форма записи КЧ.

Модуль КЧ

Аргумент КЧ

Аргумент КЧ – .

Полярная система координат

Декартова система. Полярная система

– полярный радиус, – полярный угол, – полярные координаты.

;

Пример:

– тригонометрическая форма записи КЧ.

Примеры:

Формула Эйлера

– Формула Эйлера

– взаимосвязь между e, i и

– показательная форма КЧ.

КЧ не сравнивают между собой. Множество КЧ не упорядоченно.

Возведение в степень КЧ

При возведении в степень модуль возводиться в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула Муавра

Возведение во 2 – ю и 3 – ю степень по формуле Муавра:

Используя равенство КЧ, получим: s

Извлечение корня из КЧ

k = 0, 1…,n – 1.

Корень n – ой степени из КЧ имеет n различных значений.

Примеры:

Все корни n-ой степени из единицы находятся на единичной окружности и делят эту окружность на n равных частей.

1.2. Функция, способы её задания, простейшие свойства

Основные обозначения:

N – натуральные числа,

Q – рациональные(дробные),

Z – целые числа,

R – действительные числа;

Счетное множество – это множество, элементы которого можно пересчитать.

– счетные и имеют одинаковую мощность

R – несчетное множество.

Множество действительных чисел всюду плотно на числовой оси.

[a, b] – замкнутый интервал, (a, b) – открытый интервал

Окр [x₀] – окрестность точки x₀ , любой открытый интервал, содержащий x₀.

Окр [x₀] = (a, b), где (a, b) содержит x₀ – это окрестность.

ax₀ = x₀b, – окрестность x

0

Кванторы

1) – кванты всеобщности;

2) – кванты существования.

|x – x₀| – расстояние от точки x до точки x₀

Числовой функцией называется соответствие между числовыми множествами XY, при котором каждому значению x соответствует (сопоставлено) некоторое значение y.

У каждого прообраза всегда один образ, у каждого образа может быть много прообразов.

Взаимнооднозначная функция – это когда разные x имеют разные y.

Способы задания функций:

а) аналитический;

б) графический;

в) табличный;

г) алгоритмический.

Функции делятся на 2 класса

1. Элементарные
2. Неэлементарные (специальные).

Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:

1. Основные элементарные функции
   

   а) степенные y = xⁿ

   б) показательные y = a^x

   в) тригонометрические y = sin x и другие.

2. Элементарные, полученные из основных с помощью арифметических операций и операции получения сложной функции (операции композиции).

   f

   X Y

   f ^-1 (обратная функция)

   Обратные к показательным функциям – логарифмические функции. Обратные к тригонометрическим
   

   Пример:

   y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.

Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.

Г(f) – график функции. График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).

Общие свойства функций

1. Четность –
2. Нечетность –
3. Периодичность –

f(x) – ограниченная сверху, если

f(x) – ограниченная снизу, если

f(x) – ограниченная, если

f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает

Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.

Свойства модулей суммы и разности

1.3. Предел функции. Свойства пределов

Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.

– предел функции при , равный b.

Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента .
Для любого существует такое N, и если , то .

Примеры:

y = f(x) =

y = f(x) = x²

Пример:

y =, когда ,

Неопределенности:

Раскрытие неопределенностей.

Теорема об ограниченности функции, имеющей предел

Если функция f(x) имеет предел в точке a , то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.

Доказательство:

Пусть , тогда , отсюда получаем .
Обратное неверно.

Контрольный пример:

в окрестности точки 0.

– не существует.

Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.

– бесконечно малая величина (б.м.в.).

• – бесконечно малая величина при
• – бесконечно малая величина при
  s

Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.

– бесконечно большая величина (б.б.в.)

Любая бесконечно большая величина неограниченна.

Теорема о связи предела и бесконечно малой величины

Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .

Доказательство:

Допустим, что , тогда .

, значит , – бесконечно малая величина.

Пример:

f(x) = x² + 1

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной

Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.

Если – бесконечно большая величина при
– бесконечно малая величина.

Доказательство:

Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что .
Значит

Следствие: и

Свойства бесконечно малых величин

1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:

Доказательство:

или , значит – бесконечно малая величина.

2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.

Доказательство:

, значит – бесконечно малая величина.

3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .

Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 2.

Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

Получаем

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: .
При условии: все пределы существуют и .

Доказательство:

Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:

;

Получаем:

Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства. Если .

Доказательство:

Следовательно,

Следствие:

Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:

Теорема 6. Критерий Коши.

Если , тогда и только тогда .

Приемы раскрытия неопределенностей.

1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).

Пример:

2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).

Пример:

3) Выделение главной части (для неопределенности ).

Примеры:

;

Теорема. Первый замечательный предел .

Доказательство (геометрическое):

Так как ,
то .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

5)

Теорема. Второй замечательный предел .

Доказательство:

Бином Ньютона:

,
где .

Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:

Отсюда заключаем, что ,
а значит .

Следствия из теоремы:

1)

2)

3)

4)

Доказательство:

Если принять, что ,
то

Примеры:

1)

Учитывая, что .

2)

. Отсюда A = e.

Учитывая, что .

Сравнение бесконечно малых величин (б.м.в.)

Пусть – бесконечно малые величины при , т.е. .

Определение 1. Если , то – б.м.в. одного порядка малости.

Определение 2. Если , то – б.м.в. более высокого порядка, чем .

– более высокого порядка, чем («о» – читается как «о малое»).

– более низкого порядка, чем («О» – читается как «О большое»).

Определение 3. Если , то и эквивалентны – .

Следствие из определения 3: при .

Теорема. Если и эквивалентны (), то и .

Доказательство:

Пусть – бесконечно малые величины при и они эквивалентны ().

Тогда .

1.4. Непрерывность функции в точке и на интервале

Определение 1.
Пусть функция определена в окрестности точки , тогда функция непрерывна в , если .

Определение 2.
Функция непрерывна, если.

Определение 3.
Функция непрерывна в точке , если .Приращение аргумента . Приращение функции .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если .Если функция не является непрерывной в точке , то эта точка – точка разрыва. Если функция непрерывна на отрезке (a, b), то функция неразрывна на отрезке (a, b).

Определение 5.
Функция непрерывна в точке справа, если .

Определение 6.
Функция непрерывна в точке слева, если .

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонне непрерывна на его концах.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. Сумма, произведение и частное непрерывных функций – непрерывны (кроме случая, когда знаменатель обращается в нуль).

Доказательство:

Пусть и .

Тогда .

Доказательство для умножения и деления аналогично доказательству для сложения.

Теорема 2. Композиция непрерывных функций непрерывна:

Функция непрерывна в точке , если g(x) непрерывна в точке и f(y) непрерывна в .

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Разрывы функции

Разрыв первого рода

Пусть и существуют:

I. Если , то в точке функция
испытывает разрыв скачок первого рода.

Примеры:

1. 2. – целая часть числа x.

1. – дробная часть от числа x.

II. Если , то в точке функция испытывает устранимый разрыв первого рода.

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Разрыв второго рода

Функция испытывает разрыв второго рода, если – не существует.

Свойства функции, непрерывной на замкнутом отрезке

Пусть функция непрерывна на замкнутом отрезке .

Теорема 1. Функция принимает наибольшее и наименьшее значение на .
Или , где .

Теорема 2. Функция принимает все свои промежуточные
значения на .
Или , где – область значений.

Теорема 3. Если функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка найдется точка, в которой .
Или .

Пределы функций. Примеры решений

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы математического анализа и дал строгие определения, определение предела, в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела .  2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (). 3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись  читается так: «предел функции  при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….  То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда  неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем  и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?  , , , …

Итак: если , то функция  стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать  до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при  функция   неограниченно возрастает

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,  Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если , попробуйте построить последовательность  , , . Если , то  , , .

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

Центральная предельная теорема | Формула, определение и примеры

Опубликован в 6 июля 2022 г. к Шон Терни. Отредактировано 10 ноября 2022 г.

Центральная предельная теорема утверждает, что если взять достаточно большие выборки из совокупности, средние значения выборок будут распределены нормально, даже если совокупность не распределена нормально.

Пример: Центральная предельная теорема. Население следует распределению Пуассона (левое изображение). Если мы возьмем 10 000 выборок из совокупности, каждая с размером выборки 50, выборочные средние будут следовать нормальному распределению, как предсказывает центральная предельная теорема (правое изображение).

Содержание

1. Что такое центральная предельная теорема?
2. Формула центральной предельной теоремы
3. Объем выборки и центральная предельная теорема
4. Условия центральной предельной теоремы
5. Важность центральной предельной теоремы
6. Примеры центральной предельной теоремы
7. Практические вопросы
8. Часто задаваемые вопросы о центральной предельной теореме

Что такое центральная предельная теорема?

Центральная предельная теорема опирается на концепцию выборочного распределения , которое является распределением вероятностей статистического показателя для большого количества выборок, взятых из совокупности.

Представление эксперимента может помочь вам понять распределение выборки:

• Предположим, вы берете случайную выборку из совокупности и вычисляете статистику для выборки, например среднее значение.
• Теперь вы берете еще одну случайную выборку того же размера и снова вычисляете среднее значение.
• Вы повторяете этот процесс много раз и в итоге получаете большое количество средних значений, по одному для каждого образца.

Распределение выборочных средних является примером 9Распределение выборки 0005.

Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение среднего всегда будет нормально распределенным , если размер выборки достаточно велик. Независимо от того, имеет ли совокупность нормальное, пуассоновское, биномиальное или любое другое распределение, выборочное распределение среднего будет нормальным.

Нормальное распределение — это симметричное колоколообразное распределение, при котором чем дальше от центра распределения, тем меньше наблюдений.

Формула центральной предельной теоремы

К счастью, вам не нужно повторно проводить выборку из генеральной совокупности, чтобы узнать форму выборочного распределения. Параметры выборочного распределения среднего определяются параметрами генеральной совокупности:

• Среднее значение выборочного распределения является средним значением генеральной совокупности.

   

• Стандартное отклонение выборочного распределения представляет собой стандартное отклонение генеральной совокупности, деленное на квадратный корень из размера выборки.

   

Мы можем описать выборочное распределение среднего, используя следующие обозначения:

   

Где:

• X̄ — выборочное распределение выборочных средних
• ~ означает «следует за дистрибутивом»
• N нормальное распределение
• µ — среднее значение совокупности
• σ — стандартное отклонение генеральной совокупности
• n размер выборки

Объем выборки и центральная предельная теорема

Размер выборки ( n ) — это количество наблюдений, взятых из генеральной совокупности для каждой выборки. Размер выборки одинаков для всех выборок.

Размер выборки влияет на выборочное распределение среднего значения двумя способами.

1. Объем выборки и нормальность

Чем больше размер выборки, тем точнее распределение выборки будет соответствовать нормальному распределению.

Когда размер выборки мал, выборочное распределение среднего иногда бывает ненормальным. Это потому, что центральная предельная теорема верна только тогда, когда размер выборки «достаточно велик».

По соглашению мы считаем размер выборки 30 «достаточно большим».

• Когда n < 30 , центральная предельная теорема не применяется. Распределение выборки будет следовать аналогичному распределению населения. Следовательно, распределение выборки будет нормальным только в том случае, если совокупность нормальная.

• Когда n ≥ 30 , применяется центральная предельная теорема. Распределение выборки будет приблизительно соответствовать нормальному распределению.

2. Размер выборки и стандартные отклонения

Размер выборки влияет на стандартное отклонение выборочного распределения. Стандартное отклонение — это мера изменчивости или разброса распределения (т. е. насколько оно широкое или узкое).

• Когда n низкое , стандартное отклонение высокое. Средние значения выборок сильно разбросаны, потому что они не являются точными оценками среднего значения генеральной совокупности.

• Когда n высокое , стандартное отклонение низкое. Средние значения выборок не сильно разбросаны, потому что они являются точными оценками среднего значения генеральной совокупности.

Условия центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение среднего всегда будет соответствовать нормальному распределению при следующих условиях:

1. Объем выборки достаточно велик . Это условие обычно выполняется, если объем выборки n ≥ 30.

2. Выборки представляют собой независимых и одинаково распределенных (i.i.d.) случайных величин . Это условие обычно выполняется, если выборка является случайной.

3. Распределение населения имеет конечное дисперсионное . Центральная предельная теорема не применяется к распределениям с бесконечной дисперсией, таким как распределение Коши. Большинство распределений имеют конечную дисперсию.

Важность центральной предельной теоремы

Центральная предельная теорема — одна из самых фундаментальных статистических теорем. Фактически, «центральное» в «центральной предельной теореме» относится к важности теоремы.

Примечание Параметрические тесты , такие как тесты t , ANOVA и линейная регрессия, обладают большей статистической мощностью, чем большинство непараметрических тестов. Их статистическая мощность исходит из предположений о распределении популяций, основанных на центральной предельной теореме.

Примеры центральной предельной теоремы

Применение центральной предельной теоремы к реальным распределениям может помочь вам лучше понять, как она работает.

Непрерывное распределение

Предположим, вас интересует возраст выхода на пенсию в США. населения — это все пенсионеры-американцы, и распределение населения может выглядеть примерно так:

Возраст выхода на пенсию подчиняется распределению с асимметрией влево. Большинство людей выходят на пенсию примерно через пять лет после достижения среднего возраста выхода на пенсию в 65 лет. Однако есть «длинный хвост» людей, которые уходят на пенсию намного раньше, например, в 50 или даже 40 лет. Популяция имеет стандартное отклонение 6 лет.

Представьте, что вы берете небольшую выборку из населения. Вы случайным образом выбираете пятерых пенсионеров и спрашиваете их, в каком возрасте они вышли на пенсию.

Пример: центральная предельная теорема; образец n = 5

68

73

70

62

63

Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности. Это может быть не очень точная оценка, так как размер выборки составляет всего 5,

. Пример: центральная предельная теорема; среднее значение небольшой выборки среднее = (68 + 73 + 70 + 62 + 63) / 5

среднее = 67,2 года

Предположим, вы повторяете эту процедуру 10 раз, беря выборки из пяти пенсионеров и вычисляя среднее значение для каждой выборки. Это выборочное распределение среднего значения .

Пример: центральная предельная теорема; среднее значение 10 небольших образцов

60,8

57,8

62,2

68,6

67,4

67,8

68,3

65,6

66,5

62,1

Если повторить процедуру еще много раз, то гистограмма выборочных средних будет выглядеть примерно так:

Хотя это распределение выборки более нормальное, чем генеральная совокупность, оно все же имеет некоторую левостороннюю асимметрию.

Обратите также внимание на то, что разброс выборочного распределения меньше, чем разброс генеральной совокупности.

Центральная предельная теорема утверждает, что выборочное распределение среднего всегда будет следовать нормальному распределению, когда размер выборки достаточно велик. Это выборочное распределение среднего значения обычно не распределяется, потому что его размер выборки недостаточно велик.

Теперь представьте, что вы берете большую выборку населения. Вы случайным образом выбираете 50 пенсионеров и спрашиваете их, в каком возрасте они вышли на пенсию.

Пример: центральная предельная теорема; выборка n = 50

73	49	62	68	72	71	65	60	69	61
62	75	66	63	66	68	76	68	54	74
68	60	72	63	57	64	65	59	72	52
52	72	69	62	68	64	60	65	53	69
59	68	67	71	69	70	52	62	64	68

Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности. Это точная оценка, потому что размер выборки большой.

Пример: центральная предельная теорема; среднее значение большой выборки среднее = 64,8 года

Опять же, вы можете повторить эту процедуру еще много раз, взяв выборки из пятидесяти пенсионеров и вычислив среднее значение для каждой выборки:

На гистограмме видно, что это выборочное распределение имеет нормальное распределение, как и предсказывает центральная предельная теорема.

Стандартное отклонение этого выборочного распределения составляет 0,85 года, что меньше разброса выборочного распределения малой выборки и намного меньше разброса генеральной совокупности. Если бы вы увеличили размер выборки еще больше, разброс уменьшился бы еще больше.

Мы можем использовать формулу центральной предельной теоремы для описания выборочного распределения:

мк = 65

σ = 6

n = 50

Дискретное распределение

Приблизительно 10% людей левши. Если мы присвоим значение 1 леворукости и значение 0 праворукости, то распределение вероятностей леворукости для популяции всех людей будет выглядеть следующим образом:

Среднее значение для населения — это доля левшей (0,1). Стандартное отклонение населения составляет 0,3.

Представьте, что вы берете случайную выборку из пяти человек и спрашиваете их, левши ли они.

Пример: центральная предельная теорема; выборка n = 5

0

0

0

1

0

Среднее значение выборки является оценкой среднего значения генеральной совокупности. Это может быть не очень точная оценка, так как размер выборки составляет всего 5.

Пример: центральная предельная теорема; среднее значение небольшого образца = (0 + 0 + 0 + 1 + 0) / 5

среднее = 0,2

Представьте, что вы повторяете этот процесс 10 раз, случайным образом выбирая пять человек и вычисляя среднее значение выборки. Это выборочное распределение среднего значения .

Пример: центральная предельная теорема; среднее значение 10 небольших образцов

0

0

0,4

0,2

0,2

0

0,4

0

Если повторить этот процесс еще много раз, распределение будет выглядеть примерно так:

Распределение выборки не имеет нормального распределения, поскольку размер выборки недостаточно велик для применения центральной предельной теоремы.

По мере увеличения размера выборки распределение выборки становится все более похожим на нормальное распределение, а разброс уменьшается:

Выборочное распределение среднего значения для выборок с n = 30 приближается к нормальному. При дальнейшем увеличении размера выборки до n = 100 распределение выборки следует нормальному распределению.

Мы можем использовать формулу центральной предельной теоремы для описания выборочного распределения для n = 100.

мк = 0,1

σ = 0,3

п = 100

Практические вопросы

Часто задаваемые вопросы о центральной предельной теореме

Что такое нормальное распределение?

При нормальном распределении данные распределяются симметрично без перекоса. Большинство значений группируются вокруг центральной области, при этом значения сужаются по мере удаления от центра.

Меры центральной тенденции (среднее, мода и медиана) в нормальном распределении точно такие же.

Каковы три типа асимметрии?

org/Answer»>

Существует три типа асимметрии:

• Правая асимметрия (также называемая положительной асимметрией ) . Распределение с перекосом вправо длиннее справа от пика, чем слева.
• Перекос влево (также называемый отрицательным перекосом). Распределение с асимметрией влево длиннее слева от пика, чем справа.
• Нулевой перекос. Он симметричен, его левая и правая стороны являются зеркальными отражениями.

Почему образцы используются в исследованиях?

Выборки используются для получения выводов о популяциях . Образцы легче собирать данные, потому что они практичны, экономичны, удобны и управляемы.

Цитировать эту статью Scribbr

Если вы хотите процитировать этот источник, вы можете скопировать и вставить цитату или нажать кнопку «Цитировать эту статью Scribbr», чтобы автоматически добавить цитату в наш бесплатный генератор цитирования.

Терни, С. (2022, 10 ноября). Центральная предельная теорема | Формула, определение и примеры. Скриббр. Проверено 5 марта 2023 г., с https://www.scribbr.com/statistics/central-limit-theorem/

Процитировать эту статью

Полезна ли эта статья?

Вы уже проголосовали. Спасибо 🙂 Ваш голос сохранен 🙂 Обработка вашего голоса.. .

Во время учебы в магистратуре и докторантуре Шон научился применять научные и статистические методы в своих исследованиях в области экологии. Теперь он любит учить студентов, как собирать и анализировать данные для собственных диссертаций и исследовательских проектов.

3.2: Предельные теоремы — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

49107

• Lafferriere, Lafferriere и Nguyen
• Государственный университет Портленда через PDXOpen: открытые образовательные ресурсы

Здесь мы формулируем и доказываем различные теоремы, облегчающие вычисление общих пределов.

Определение \(\PageIndex{1}\)

Пусть \(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) и \(c\) — константа. Функции \(f+g\), \(fg\) и \(cf\) соответственно определяются как функции от \(D\) до \(\mathbb{R}\) по

\((f +g)(x)=f(x)+g(x)\),

\((f g)(x)=f(x) g(x)\),

\((c f)(x)=c f(x)\)

для \(x \in D\). Пусть \(\widetilde{D}=\{x \in D: g(x) \neq 0\}\). Функция \(\dfrac{f}{g}\) определяется как функция от \(\widetilde{D}\) до \(\mathbb{R}\) по

\[\left(\dfrac{ f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\]

для \(x \in \widetilde{D}\).

Теорема \(\PageIndex{1}\)

Пусть \(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) и пусть \(c \in \mathbb{R}\). Предположим, что \(\bar{x}\) является предельной точкой \(D\) и

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell, \lim _{ x \rightarrow \bar{x}} g(x)=m.\]

Затем

1. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f+g)(x)=\ell+m\),
2. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f g)(x)=\ell m\),
3. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(c f)(x)=c \ell\),
4. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{\ell}{m}\) при условии, что \(m \neq 0\).

Доказательство

Сначала докажем (а). Пусть \(\left\{x_{n}\right\}\) — последовательность в \(D\), которая сходится к \(\bar{x}\) и \(x_{n} \neq \bar{ x}\) для каждого \(n\). По теореме 3.1.2,

\[\lim _{n \стрелка вправо \infty} f\left(x_{n}\right)=\ell \text { и } \lim _{n \стрелка вправо \infty} g\left(x_{n }\right)=m.\]

Из теоремы 2.2.1 следует, что

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_{n}\right)+g\ left(x_{n}\right)\right)=\ell+m.\]

Снова применяя теорему 3.1.2, получаем \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f+g )(x)=\ell+m\). Доказательства (b) и (c) аналогичны.

Теперь покажем, что если \(m \neq 0\), то \(\bar{x}\) является предельной точкой \(\widetilde{D}\). Поскольку \(\bar{x}\) является предельной точкой \(D\), существует последовательность \(\left\{u_{k}\right\}\) в \(D\), сходящаяся к \ (\bar{x}\) такой, что \(u_{k} \neq \bar{x}\) для каждого \(k\). Так как \(m \neq 0\), то из простого применения теоремы 3. {2}+2x-3}{x+7}\). 9{2}+6 х+5}{х+1}=\lim _{х \rightarrow-1} х+5=4. \номер\]

Теорема \(\PageIndex{2}\): критерий Коши

Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) и \(\bar{x}\) — предельная точка \(D \). Тогда \(f\) имеет предел в \(\bar{x}\) тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon>0\) существует \(\delta > 0\) такое, что

\( |f(r)-f(s)|<\varepsilon\) всякий раз, когда \(r, s \in D\) и \(0<|r-\bar{x}|<\delta, 0<|s- \bar{x}|<\delta .\)

Доказательство

Предположим, \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\). Учитывая \(\varepsilon>0\), существует \(\delta > 0\) такое, что

\(|f(x)-\ell|<\dfrac{\varepsilon}{2}\) всякий раз, когда \(x \in D\) и \(0<|x-\bar{x}|<\delta .\)

Таким образом, для \(r, s \in D\) с \(0<|r-\bar{x}|<\delta\) и \(0<|s-\bar{x}|<\delta \), имеем

\[|f(r)-f(s)| \leq|f(r)-\ell|+|\ell-f(s)|<\varepsilon .\]

Докажем обратное. Исправьте последовательность \(\left\{u_{n}\right\}\) в \(D\), такую ​​что \(\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\bar{x}\ ) и \(u_{n} \neq \bar{x}\) для каждого \(n\). Учитывая \(\varepsilon>0\), существует \(\delta > 0\) такое, что

\(|f(r)-f(s)|<\varepsilon\) всякий раз, когда \(r, s \in D\) и \(0<|r-\bar{x}|<\delta\), \(0<|s-\bar{x}|<\delta .\)

Тогда существует \(N \in \mathbb{N}\), удовлетворяющий

\(0<\left|u_{n}-\bar{x}\right|<\delta\) для всех \(n \geq N .\)

Отсюда следует

\(\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(u_{m}\right)\right|<\varepsilon\) для всех \(m, n \geq N .\)

Таким образом, \(\left\{f\left(u_{n}\right)\right\}\) является последовательностью Коши, и, следовательно, существует \(\ell \in \mathbb{R}\) такое, что 9{\prime}\), поскольку \(\varepsilon\) произвольно. Теперь из теоремы 3.1.2 следует, что \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\). \(\квадрат\)

В оставшейся части этого раздела обсуждались некоторые специальные ограничения и их свойства.

Определение \(\PageIndex{2}\): левая предельная точка и правая предельная точка

Пусть \(a \in \mathbb{R}\) и \(\delta > 0\). Определить

\[B_{-}(a ; \delta)=(a-\delta, a) \text { и } B_{+}(a ; \delta)=(a, a+\delta) .\]

Учитывая подмножество \(A\) множества \(\mathbb{R}\), мы говорим, что \(a\) является левой предельной точкой множества \(A\), если для любого \(\delta > 0\), \(B_{-}(a ; \delta)\) содержит бесконечное число элементов \(A\). Точно так же \(a\) называется правой предельной точкой \(A\), если для любого \(\delta>0\), \(B_{+}(a; \delta)\) содержит бесконечное количество элементов \(A\).

Из определения следует, что \(а\) является предельной точкой \(А\) тогда и только тогда, когда она является левой предельной точкой \(А\) или правой предельной точкой \(А\). ). 9{-}} f(x)=\ell .\]

Доказательство

Добавьте сюда доказательство, и оно будет автоматически скрыто

Пример \(\PageIndex{6}\)

Из примера 3.2.4 следует, что \(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{|x|}{x}\) не существует, поскольку односторонние пределы не согласованы.

Решение

Добавьте сюда текст.

Определение \(\PageIndex{4}\)

(монотонность) Пусть \(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\).

1. Мы говорим, что \(f\) равно увеличению на \((a, b)\), если для всех \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\), \(x_{1}
2. Мы говорим, что \(f\) есть убывающее на \((a, b)\), если для всех \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\), \( x_{1}

Если \(f\) возрастает или убывает на \((a, b)\), то говорят, что \(f\) монотонно на этом интервале. Аналогично можно определить строгую монотонность с помощью строгих неравенств: \(f\left(x_{1}\right)f\left(x_{2}\right)\) в (2). 9{-}} f(x)=\ell\). Для любого \(\varepsilon > 0\) по определению наименьшей верхней границы существует \(a

\[\ell-\varepsilon {-}} f(x)=\ell\). В остальном доказательство теоремы аналогично. \(\квадрат\)

Пусть

\[B_{0}(\bar{x} ; \delta)=B_{-}(\bar{x} ; \delta) \cup B_{+}(\bar{x} ; \delta)=( \bar{x}-\delta, \bar{x}+\delta) \backslash\{\bar{x}\} .\]

Определение \(\PageIndex{5}\)

(бесконечные пределы) Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) и пусть \(\bar{x}\) будет предельной точкой \( Д\). Мы пишем

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty]\]

, если для каждого \(M \in \mathbb{R}\) существует \ (\delta > 0\) такой, что

\[f(x)>M \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]

Аналогично запишем

\[\ lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\]

, если для каждого \(M \in \mathbb{R}\) существует \(\delta > 0\) такое, что

\[f(x)

Бесконечные пределы функций обладают свойствами, аналогичными свойствам последовательностей из главы 2 (см. определение 2.3.2 и теорему 2.3.6).

9{2}}>\dfrac{1}{\dfrac{1}{|M|+1}}=|M|+1>M ,\]

по желанию.

Определение \(\PageIndex{6}\)

(пределы на бесконечности) Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), где \(D\) не ограничено сверху. Мы пишем

\[\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\ell\]

, если для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(c \in \mathbb{R }\) такое, что

\[|f(x)-\ell|<\varepsilon \text { для всех } x>c, x \in D .\]

Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb {R}\), где \(D\) не ограничено снизу. Мы пишем

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\ell\]

если для каждого \(\varepsilon > 0\) существует \(c \in \mathbb{R} \) такое, что

\[|f(x)-\ell|<\varepsilon \text { для всех } x

Мы также можем определить

\[\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\pm \infty \text { и } \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\]

аналогичным образом.

Пример \(\PageIndex{8}\)

Докажем из определения, что 9{n}-1}, \text {где} m, n \in \mathbb{N}\),

\(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}, \text {где} m, n \in \ mathbb{N}, m, n \geq 2\),

\(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x-1}\).

Ответить

Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым.

Упражнение \(\PageIndex{4}\)

Найдите следующие пределы:

9{2}+1}\справа)\).

Ответить

Добавьте сюда текст. Не удаляйте этот текст первым.

Упражнение \(\PageIndex{5}\)

Пусть \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) и пусть \(\bar{x}\) — предельная точка \(D\). Предположим, что

\[|f(x)-f(y)| \leq к|х-у| \text { для всех } x, y \in D \обратная косая черта\{\bar{x}\} ,\]

, где \(k \geq 0\) — константа. Докажите, что \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) существует. 9{2}, & \text { if } x>1 \text{;} \\
a x-1, & \text { if } x \leq 1 \text{.}
\end{array}\right . \]

Найдите значение \(a\) такое, что \(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)\) существует.

Ответить

Добавьте сюда текст.

No related posts.