Теория вероятностей решение задач примеры: Математическое Бюро. Страница 404

Теория вероятности формулы и примеры решения задач

В данной презентации представлены наиболее часто встречающиеся на экзамене задачи по теории вероятности. Задачи базового уровня. Презентация поможет и учителям на уроках обобщающего повторения, и учащимся при самостоятельной подготовке к экзамену.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ Готовимся к ОГЭ

БРОСАНИЕ МОНЕТЫ

1. Монета брошена два раза. Какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки»? Решение: При бросании одной монеты возможны два исхода – «орёл» или «решка». При бросании двух монет – 4 исхода (2*2=4): «орёл» — «решка» «решка» — «решка» «решка» — «орёл» «орёл» — «орёл» Один «орёл» и одна «решка» выпадут в двух случаях из четырёх. Р(А)=2:4=0,5. Ответ: 0,5.

2. Монета брошена три раза. Какова вероятность выпадения двух «орлов» и одной «решки»? Решение: При бросании трёх монет возможны 8 исходов (2*2*2=8): «орёл» — «решка» — «решка» «решка» — «решка» — «решка» «решка» — «орёл» — «решка» «орёл» — «орёл» — «решка» «решка» — «решка» -«орёл» «решка» — «орёл» — «орёл» «орёл» — «решка» — «орёл» «орёл» — «орёл» — «орёл» Два «орла» и одна «решка» выпадут в трёх случаях из восьми. Р(А)=3:8=0,375. Ответ: 0,375.

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение: При бросании четырёх монет возможны 16 исходов: (2*2*2*2=16): Благоприятных исходов – 1 (выпадут четыре решки). Р(А)=1:16=0,0625. Ответ: 0,0625.

ИГРА В КОСТИ

4. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало больше трёх очков. Решение: Всего возможных исходов – 6. Числа большие 3 — 4, 5, 6 . Р(А)= 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

5. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число очков. Решение: Всего возможных исходов – 6. 1, 3, 5 — нечётные числа; 2, 4, 6 -чётные числа. Вероятность выпадения чётного числа очков равна 3:6=0,5. Ответ: 0,5.

6. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: У данного действия — бросания двух игральных костей всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36. Благоприятные исходы: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Вероятность выпадения восьми очков равна 5:36 ≈ 0,14. Ответ: 0,14.

7. Дважды бросают игральный кубик. В сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков. Решение: Всего исходов выпадения 6 очков — 5: 2 и 4; 4 и 2; 3 и 3; 1 и 5; 5 и 1. Благоприятных исходов — 2. Р(А)=2:5=0,4. Ответ: 0,4.

8. На экзамене 50 билетов, Тимофей не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение: Тимофей выучил 45 билетов. Р(А)=45:50=0,9. Ответ: 0,9.

СОРЕВНОВАНИЯ

9. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменов: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: Всего исходов 20. Благоприятных исходов 20-(8+7)=5. Р(А)=5:20=0,25. Ответ: 0,25.

10. На соревнования по метанию ядра приехали 4 спортсмена из Франции, 5 из Англии и 3 из Италии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий пятым, будет из Италии. Решение: Число всех возможных исходов – 12 (4 + 5 + 3 = 12). Число благоприятных исходов – 3. Р(А)=3:12=0,25. Ответ: 0,25.

11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Владимир Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Владимир Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: Всего исходов – 25 (Владимир Орлов с 25 бадминтонистами). Благоприятных исходов – (12-1)=11. Р(А)=11:25 = 0,44. Ответ: 0,44.

12. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 75 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Решение: Всего исходов – 75. Исполнители из России выступают на третий день. Благоприятных исходов – (75-27):4=12. Р(А)=12: 75 = 0,16. Ответ: 0,16 .

13. Коля выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5. Решение: Двузначные числа: 10;11;12;…;99. Всего исходов – 90. Числа, делящиеся на 5: 10; 15; 20; 25; …; 90; 95. Благоприятных исходов – 18. Р(А)=18:90=0,2. Ответ: 0,2.

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

14. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

Результат округлите до сотых. Решение: Всего исходов – 176. Благоприятных исходов – 170. Р(А)=170:176 ≈ 0,97. Ответ: 0,97.

15. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 94 аккумулятора заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. Решение: Всего исходов – 100. Благоприятных исходов – 100-94=6. Р(А)=6:100=0,06. Ответ: 0,06.

ИСТОЧНИКИ http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях какое из этих средних нужно использовать.

Назначение пособия — отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий.
Пособие предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.

Примеры.
Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный канал. Марина включает телевизор. В это время по восьми каналам из пятидесяти показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Марина попадет на канал, где комедия не идет.

В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Аргентины, 7 спортсменов из Бразилии, 10 спортсменов из Парагвая и 4 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Парагвая.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 11 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Часть I. Задачи по теории вероятностей

1. Понятие вероятности
2. Классическое определение вероятности
3. Применение классического определения вероятности
3.1. Правило суммы
3.2. Правило произведения
3.3. Задачи на вычисление вероятностей
4. Статистический метод
4.1. Статистическое определение вероятности
4.2. Задачи на вычисление вероятностей
5. Использование комбинаторных чисел
5.1. Перестановки без повторений
5. 2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без повторений
5.3. Размещения без повторений
5.4. Сочетания без повторений
5.5. Выбор пары
5.6. Дополнительные задачи
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных
1. Статистические характеристики
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик
Ответы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ОГЭ 2017, Математика, Теория вероятностей и элементы статистики, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г. — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• ОГЭ 2019, Математика, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2018, Математика, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2017, Математика, 9 класс, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А. Р., Мухин Д.Г.
• ОГЭ 2016, Математика, 9 класс, Сборник экзаменационных тестов, Рязановский А.Р., Мухин Д.Г., 2016

Следующие учебники и книги.

Легкие задания

На столе лежит 25 пирожков: 7 – с повидлом, 9 – с картошкой, остальные с капустой. Какова вероятность, что случайно выбранный пирожок окажется с капустой?

0,36

В такси работает 40 автомобилей: 14 – марки “Лада”, 8 – марки “Рено”, 2 – марки “Мерседес”, а остальные – марки “Шкода”. Какова вероятность того, что на Ваш вызов приедет “Мерседес”?

0,05

Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число не меньше трех.

Ира, Дима, Вася, Наташа и Андрей сдают норматив по бегу на 60 метров. Найдите вероятность того, что быстрее всех пробежит девочка?

Вероятность того, что телефон, купленный в подземном переходе окажется подделкой, составляет 0,83. Какова вероятность того, что купленный в переходе телефон окажется не подделкой?

0,17

В баскетбольном турнире принимает участие 20 команд, включая команду “Мужики”. Все команды разбивают на 4 группы: A, B, C, D. Какова вероятность того, что команда “Мужики” окажется в группе A?

0,25

В лотерейном мешке содержатся бочонки с номерами от 5 до 94 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный из мешка бочонок содержит двузначное число? Ответ округлите до сотых.

0,94

Перед экзаменом Игорь дотянул до последнего и успел выучить только 5 билетов из 80. Определите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

0,0625

Аня включает радио и случайным образом выбирает радиоволну. Всего ее радиоприемник ловит 20 радиоволн и всего на 7 из них в данный момент играет музыка. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Аня попадет на музыкальную волну.

0,35

В каждой двадцатой бутылке газировки под крышкой спрятан код с выигрышем. Определите вероятность того, что в купленной бутылке под крышкой окажется выигрышный код.

0,05

Задания посложнее

Какова вероятность, что случайно выбранное трехзначное число делится на 5?

0,2

Записан рост (в см) пяти учащихся: 166, 158, 132, 136, 170. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

По статистическим данным одной небольшой страны известно, что вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,507. В 2017 г. в этой стране на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 486 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2017 г. в этой стране отличается от вероятности этого события?

0,007

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 3 или 7. Ответ округлите до сотых.

0,22

Какова вероятность, что случайно выбранное трехзначное число делится на 2?

0,5

Найдите вероятность того, что при двух бросках монетки решка выпадет ровно 1 раз.

0,5

Игральную кость бросают дважды, найдите вероятность того, что оба раза выпадет число, не меньше трех. Ответ округлите до сотых.

0,31

По статистическим данным одной небольшой страны известно, что вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,594. В 2017 г. в этой стране на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 513 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2017 г. в этой стране отличается от вероятности этого события?

0,107

Записан рост (в см) пяти учащихся: 184, 145, 176, 192, 174. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

1,8

Средний рост жителей деревни “Великаны” составляет 194 см. Рост Николая Петровича составляет 195 см. Какое из следующих утверждений верно?

1) Обязательно рост одного из жителей деревни равен 194 см.

2) Николай Петрович самый высокий житель деревни.

3) Обязательно найдется хоть один мужчина из этой деревни ниже Николая Петровича.

4) Обязательно найдется хоть один житель из этой деревни ниже Николая Петровича.

4

Сложные задания

Стрелок 4 раза стреляет из ружья по мишеням. Вероятность его точного попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые два раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся.

0,0625

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку с двумя батарейками. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

0,9025

Стрелок стреляет по мишеням 5 раз подряд. Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

УМК любой

Теория вероятностей

на ОГЭ и ЕГЭ

Алтайского края

Задачи

на вероятность

с игральным кубиком

(игральная кость)

1. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет нечетное число очков.

Решение задачи:

Нечетное число – 3 (1; 3; 5)

Ответ: P=0,5

2. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет менее 4 очков.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Менее 4–х очков – 3 (1; 2; 3)

Ответ: P=0,5

3 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 3 очков.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Более 3–х очков – 3 (4; 5; 6)

Ответ: P=0,5

4 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (игральной кости) выпадет более 2 очков. Ответ округлите до десятых.

Решение задачи:

Всего событий – 6 (может выпасть 6 чисел от 1 до 6)

Более 2–х очков – 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66…

Ответ: P=0,7

5. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

Решение задачи:

Сумма будет нечетна, когда: 1) в первый раз выпадет нечетное число, а во второй четное . 2) в первый раз — четное , а во второй раз нечетное .

1) 3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа в первое бросание.

3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно. 2) 3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения четного числа в первое бросание.

3: 6 = 0,5 — Вероятность выпадения нечетного числа во второе бросание.

0,5 · 0,5 = 0,25 – т.к. эти два события должны произойти совместно,.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Ответ: P=0,5

6. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до десятых.

Решение задачи:

1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5, а при втором броске выпадет 5 2) При первом броске выпадет 5, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 5

• 5: 6 = 5/6 – вероятность того, что выпадут 1; 2; 3; 4; 5

5/6 · 1/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 1: 6 = 1/6 — вероятность выпадения 5

5: 6 = 5/6 — вероятность выпадения 1; 2; 3; 4; 5

1/6 · 5/6 = 5/36 — вероятность, что произойдут оба события

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Ответ: 0,3

7. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

Решение задачи:

1) При первом броске выпадет 1, или 2, или 3, а при втором броске выпадет 4; или 5 или 6 2) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 1, или 2, или 3. 3) При первом броске выпадет 4; или 5 или 6, а при втором броске выпадет 4, или 5, или 6.

2) 3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 1; 2; 3

0,5 · 0,5 = 0,25 — вероятность, что произойдут оба события

3) 3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 — вероятность выпадения 4; 5; 6

0,5 · 0,5 = 0,25 — вероятность, что произойдут оба события

4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Ответ: 0,75

Задачи

на вероятность

с монетами

8. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз .

Решение задачи: Найдём число возможных исходов, переберём все варианты бросков. Составим таблицу и покажем все варианты:

2: 4 = 0,5 — вероятность того, что выпадет орел при броске.

2) Ответ: 0,5

9. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза .

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

1: 8 = 0,125 – вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,125

10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза .

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

3: 8 = 0,375 – вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,375

11 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение задачи:

1 бросок

2 бросок

3 бросок

1: 8 = 0,125 — вероятность того, что выпадет орел при броске.

Ответ: 0,125

Задачи

на вероятность

(разные)

12. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. Насколько частота рождения девочки в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение задачи:

• 1 — 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 – вероятность рождения девочек в 2010 г

3) 0,488 — 0,477=0,011

Ответ: 0,011

13. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,486. В 2011 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем приходилось 522 девочки. На сколько частота рождения девочки в 2011 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?

Решение задачи:

• 1 — 0,486 = 0,514 – вероятность рождения девочек в регионе

2) 522: 1000 = 0,522 – вероятность рождения девочек в 2011 г

3) 0,522 — 0,514 = 0,008

Ответ: 0,008

14. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

Решение задачи:

• 999 — 99 = 900 – всего трехзначных чисел

2) 999: 48 = 20,8125 — т.е. всего 20 чисел делятся на 48

• Из них два числа двузначные — это 48 и 96, то 20 – 2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

Ответ: 0,02

15 . Андрей выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

Решение задачи:

• 999 — 99 = 900 – всего трехзначных чисел

2) 999: 33 = 30,29… — т. е. всего 30 чисел делятся на 33

• Из них три числа двузначные — это 33, 66, 99 то 30 – 3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

Ответ: 0,03

16 . В каждой четвёртой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Аля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Аля не найдёт приз в своей банке.

Решение задачи:

1) 1: 4 = 0,25 — вероятность выпадения приза.

2) 1 – 0,25 = 0,75 – вероятность не выпадения приза

Ответ: 0,75

17. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,35 + 0,2 = 0,52

Ответ: 0,52

18. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

Решение:

вероятность попадания — 0,8

вероятность промаха – 0,2

События промаха и попадания независимы, значит

19. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Найдем вероятность, что неисправны оба автомата.

Эти события независимы, т.е. 0,12² = 0,0144

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один

автомат – противоположное, значит 1 – 0,0144 = 0,9856

Ответ: 0,9856

20. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Рассмотрим события:

А – кофе закончится в первом автомате

В – кофе закончится во втором автомате

А·В – кофе закончится в обоих автоматах

А+В — кофе закончится хотя бы в одном автомате

Значит, вероятность противоположного события (кофе останется в обоих автоматах) равна

Ответ: 0,56

21. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло, купленное на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135

Вероятность того, что стекло, купленное на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055

Значит, полная вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным: 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Ответ: 0,019

Источники

Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2014-2015 http://www. fipi.ru/

Монета — https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Игральный кубик — http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg

http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

ОГЭ 2016 — http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

М.: 2017. — 48 с.

В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМ на ОГЭ. Кроме того, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение, в каких случаях какое из этих средних нужно использовать. Назначение пособия — отработка практических навыков учащихся по подготовке к экзамену (в новой форме) в 9 классе по математике. В сборнике даны ответы на все варианты заданий. Пособие предназначено учителям и методистам, использующим тесты для подготовки к Основному государственному экзамену, оно также может быть использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.

Формат: pdf

Размер: 939 Кб

Смотреть, скачать: drive.google

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Часть I. Задачи по теории вероятностей 5
1. Понятие вероятности 5
2. Классическое определение вероятности 6
3. Применение классического определения вероятности 8
3.1. Правило суммы 11
3.2. Правило произведения 12
3.3. Задачи на вычисление вероятностей 17
4. Статистический метод 19
4.1. Статистическое определение вероятности 20
4.2. Задачи на вычисление вероятностей 21
5. Использование комбинаторных чисел 22
5.1. Перестановки без повторений 22
5. 2. Задачи, в которых используется формула для числа перестановок без повторений 24
5.3. Размещения без повторений 25
5.4. Сочетания без повторений 26
5.5. Выбор пары 28
5.6. Дополнительные задачи 31
Часть II. Элементы статистики, таблицы, обработка данных 33
1. Статистические характеристики 33
2. Задачи о среднем арифметическом и медиане 36
3. Выбор статистической характеристики для оценки явления 38
4. Задания на вычисление вероятностей и статистических характеристик 40
Ответы 46

Несмотря на то, что основы теории вероятностей и математической статистики уже довольно давно преподаются в школах нашей страны, основные понятия и многие положения этой интересной науки всё ещё остаются недостаточно прочно усвоенными многими учащимися средней школы. Результаты проведения ОГЭ для учащихся 9-х классов показывают, что примерно 30% из всех сдававших ОГЭ не справляются с заданиями по теории вероятностей и(или) по статистике. Более того, некоторые задачи, предлагавшиеся в ОГЭ и диагностических работах, вызывают определённую неуверенность у некоторых учителей.
В предлагаемой книге, состоящей из двух частей, подробно рассмотрены основные понятия, относящиеся к теории вероятностей и математической статистике, детально, по шагам разобраны решения задач, которые обычно предлагаются в КИМах на ОГЭ. Кроме этого, подробно, на примерах излагаются простейшие понятия комбинаторики (комбинаторные числа для числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений). С такой же подробностью ведётся изложение основных положений математической статистики, показаны на примерах отличия выборочного среднего от моды и медианы и дано пояснение в каких случаях какое из этих средних нужно использовать.

теория и примеры решений задач

• Формула Байеса: теория
• Формула Байеса: примеры решения задач

Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является формула Байеса, называемая также формулой гипотез.

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно было сделать ряд гипотез (в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой H), несовместных и образующих полную группу.

Вероятности гипотез до опыта (называемые также априорными вероятностями) заданы и равны

.

Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате появилось событие A.

Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?

Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие A (или как часто говорят, найти апостериорные вероятности).

Поэтому формула Байеса представляет собой отношение произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления события A с учётом всех событий системы.

То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях, вычисляется как отношение «одного ко всем»:

.

Видим, что знаменатель в этой формуле — ничто иное, как полная вероятность события A, а числители для каждого отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому суммы, находящейся в знаменателе.

Формула Байеса может быть также записана в виде

.

Пример 1. Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй — 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей — три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение. Гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна;

— выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности гипотез раны:

.

В результате опыта появилось событие A — из выбранной урны вынут белый шар.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:

;

;

.

Пример 2. Пример с теми же лампочками, что и в примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом заводе, на втором, на третьем.

Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе — полная вероятность собыия A.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна:
.

Вычисляя по формуле Байеса, получаем:

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе
;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе
;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе
.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Пример 3. До опыта об его условиях можно было сделать четыре гипотезы: , , , с вероятностями, равными, соответственно

;

;

;

.

В результате опыта появилось событие A, которое невозможно при гипотезах , и достоверно при гипотезах , . Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. Условные вероятности гипотез:

;

.

По формуле Байеса получаем:

;

;

.

Пример 4. Расследуются причины авиационной катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: , , , . Согласно статистике вероятности гипотез составляют

;

;

;

.

Осмотр места катастрофы выявляет, что в её ходе произошло событие A — воспламенение горючего. Условные вероятности события A при гипотезах , , , , согласно той же статистике равны

;

;

;

.

Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. По формуле Байеса получаем:

.

;

;

.

Пример 5. В учреждении три чиновника готовят копии документов. Первый чиновник () обрабатывает 40% всех форм, второй () – 35%, третий () – 25%. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0,04, у второго – 0,06, у третьего – 0,03. В конце дня, выбрав случайно один из подготовленных документов, руководитель констатировал, что в нём есть ошибка (событие A). Пользуясь формулой Байеса, выяснить, какова вероятность, что ошибку допустил первый чиновник, второй, третий.
Решение. Обозначим события и их вероятности:
: {документ подготовил первый чиновник}
: {документ подготовил второй чиновник}
: {документ подготовил третий чиновник}
A: {в документе допущена ошибка}

Событие
	0,40	0,04	0,0160	0,36
	0,35	0,06	0,0210	0,47
	0,25	0,03	0,0075	0,17
Всего	1,00	—	0,0445	1,00

По формуле Байеса находим:

Итак, вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, составляет 0,36, второй – 0,47, третий – 0,17.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Основные понятия теории вероятностей, непосредственное вычисление вероятностей

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Независимые испытания и формула Бернулли

Формула полной вероятности

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Примеры решения задач теории вероятностей

Задачи по теории вероятноти

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения:

Р =

Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов:  n = 2^k.

Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов:  n = 6^k.

Свойства вероятностей

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице:  Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю:  Р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:  0 ≤ Р(А) ≤ 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике.

Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36.

Варианты (исходы эксперимента) будут такие:

1; 1  1; 2  1; 3  1; 4  1; 5  1; 6

2; 1  2; 2  2; 3  2; 4  2; 5  2; 6

и т.д. …………………………

6; 1  6; 2  6; 3  6; 4  6; 5  6; 6

Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8.

2; 6   3; 5;  4; 4   5; 3   6; 2.  

Всего 5 вариантов.

Найдем вероятность:   5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Задача №2

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение.

Всего 4 варианта:  о; о    о; р    р; р    р; о.    

Благоприятных 2:   о; р  и  р; о.  

Вероятность равна  2/4 = 1/2 = 0,5.

Задача №3

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

Всего участвует 20 спортсменок,

из которых  20 – 8 – 7 = 5  спортсменок из Китая.

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна  5/20 = 1/4 = 0,25.

Задача №4

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.

Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна     995/1000 = 0,995.

Задача №5

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:

100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами).

Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна  100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.

Задача №6

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение:

Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 

9/25 = 36/100 = 0,36.

Задача №7

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:

В последний день конференции запланировано

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.

Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна  12/75 = 4/25 = 0,16.

Задача №8

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение:

В третий день конкурса запланировано

(80 – 8) : 4 = 18 выступлений.

Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 

18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.

Задача №9

 На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Решение:

Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых.

Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна  3/10 = 0,3.

Задача №10

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение:

Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна  9/25 = 36/100 = 0,36.

Задача №11

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Решение:

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна  11/55 =1/5 = 0,2.

Задача №12

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение:

25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна

15/25 = 3/5  = 0,6.

Задача №13

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Решение:

Всего участвует 25 спортсменов.

Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна  9/25 = 36/100 = 0,36.

Задача №14

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер», «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий»?

Решение:  Обозначим право владения первой мячом команды «Меркурий» в матче с одной из других трех команд как «Решка». Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза.

«О» – орел, «Р» – решка.

«Марс»	«Юпитер»	«Уран»
О	О	О
О	О	Р
О	Р	О
О	Р	Р
Р	О	О
Р	О	Р
Р	Р	О
Р	Р	Р

 

Итак, всего исходов получилось 8, нужных нам – 1, следовательно,

вероятность выпадения нужного исхода 1/8 = 0,125.

 

Задача №15

Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

Решение.

В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

2  и  6

6  и  2

3  и  5

5  и  3

4  и  4

Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.

Такой вариант 1.

Найдем вероятность:   1/5 = 0,2.

Задача №16

Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по  одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.

Решение.

При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты:

3  и  1

3  и  2

3  и  3

3  и  4

3  и  5

3  и  6

Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка.

Таких вариантов 3.

Найдем вероятность:   3/6 = 0,5.

Задача №17

В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:     

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.   

Решение:

Всего команд 20, групп – 5.

В каждой группе – 4 команды.

Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.

Задача №18

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение:

Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна

1/4 = 0,25.

В том числе и для Пети.

Задача №19

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

Решение:

Количество четных цифр на клавиатуре равно 5:

0, 2, 4, 6, 8

всего же цифр на клавиатуре 10, тогда вероятность что случайно нажатая цифра будет чётной равна

5/10 = 0,5.

Задача №20

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:

р₁ = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:

р₂ = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна

р = р₁ + р₂ = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Задача №21

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.

Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение:

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

р = 0,52 · 0,3 = 0,156. 

Задача №22

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р = 0,2 + 0,15 = 0,35.

 

 

Задача №23

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Задача №24

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.

Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.

1 выстрел: 0,8

2 выстрел: 0,8

3 выстрел: 0,8

4 выстрел: 0,2

5 выстрел: 0,2

По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что искомая вероятность равна:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Задача №25

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное.

Следовательно, его вероятность равна

1 − 0,0025 = 0,9975.

Задача №26

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Найдем вероятность того, что перегорят обе лампы.

Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

р₁ = 0,3 · 0,3 = 0,09.

Событие, состоящее в том, что не перегорит хотя бы одна лампа, противоположное.

Следовательно, его вероятность равна

р = 1 – р₁ = 1 − 0,09 = 0,91.

Задача №27

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет»,

тогда A + B = «чайник прослужит больше года».
События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем

0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем:

P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

Задача №28

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Пусть х – искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве.

Тогда 1 – х вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве.

По формуле полной вероятности имеем:

0,4х + 0,2(1 – х) = 0,35

0,2х = 0,15

х = 0,75

Задача №29

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение:

10,  11,  12,  13,  14,  15,  16,  17,  18,  19

Р = 0,3

Задача №30

 

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер равна:

0,4 · (1 − 0,9) = 0,04

Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит непристрелянный револьвер равна:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Задача №31

В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение:

Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих.

Вероятность быть выбранным равна

Р = 2/5 = 0,4.

Задача №32

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик» в матче с одной из трех команд как «Орел». Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице:

Ф/1	ОР	ОР	ОР	ОР	РО	РО	РО	РО
Ф/2	ОР	ОР	РО	РО	ОР	ОР	РО	РО
Ф/3	ОР	РО	ОР	РО	ОР	РО	ОР	РО

 

«О» – орел, «Р» – решка.

Итак, всего исходов получилось 2³ = 8, нужных нам – 3,

следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна:

 3/8 = 0,375.

Задача №33

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение:

В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

1  и  4

4  и  1

2  и  3

3  и  2

Всего 4 варианта.

Задача №34

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй – решка).

Решение.

Всего 4 варианта:  о; о    о; р    р; р    р; о.    

Благоприятных 1:   о; р.  

Вероятность равна  1/4 = 0,25.

Задача №35

На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение:

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):

Д − Ш − Н

Д − Н − Ш

Ш − Н − Д

Ш − Д − Н

Н − Д − Ш

Н − Ш − Д

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33

Задача №36

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение:

Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:

Р(1) = 0,6;

Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24;

Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096;

Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536.

Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

Ответ: 5

Задача №37

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение:

Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами:

3 + 1, 1 + 3, 3 + 3.

Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий – результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:

P(N ≥ 4) = P(3 + 1) + P(1 + 3) + P(3 + 3) =

= P(3) · P(1) + P(1) · P(3) + P(3) · P(3) =

= 0,4 · 0,2 + 0,2 · 0,4 + 0,4 · 0,4 =

= 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Ответ: 0,32

Задача №38

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Решение:

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна:

2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498

Ответ: 0,498

Задача №39

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение:

В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна

P = 30 : 300 = 0,1.

Ответ: 0,1

Задача №40

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение:

Всего в запасную аудиторию направили

250 − 120 − 120 = 10 человек.

Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна

P = 10 : 250 = 0,04.

Задача №41

В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение:

Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.

Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.

Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна

P = 12 : 25 = 0,48.

Задача №42

В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Решение:

Машин желтого цвета с черными надписями 23, всего машин 50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина желтого цвета с черными надписями, равна:

P = 23 : 50 = 0,46.

Задача №43

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение:

На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:

P = 6 : 30 = 0,2.

№44

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна

51 : 1000  = 0,051.

Она отличается от предсказанной вероятности на

0,051 – 0,045 = 0,006.

Ответ: 0,006

Задача №45

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.

Решение:

По условию, диаметр подшипника будет находиться в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна

1 − 0,965 = 0,035.

Ответ: 0,035

Задача №46

Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение:

Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и

В = «учащийся решит больше 11 задач».

Их сумма – событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем:

0,74 = P(A) + 0,67,

откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

Ответ: 0,07

Задача №47

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение:

Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D – это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

Р(С + D) = P(C) + P(D) – P(C · D),

для вероятности поступления имеем:

 P(AB(C + D)) = P(A) · P(B) · P(C + D) = P(A) · P(B) · (P(C) + P(D) – P(C) · P(D)) =
= 0,6 · 0,8 · (0,7 + 0,5 – 0,7 · 0,5) = 0,408.

Ответ: 0,408

№48

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Пусть завод произвел n тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9n + 0,2 · 0,1n = 0,92n тарелок. Поскольку качественных из них 0,9n, вероятность купить качественную тарелку равна:

 

Задача №49

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна:

 

Задача №50

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение:

Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна:

Р₁ = 1 − 0,9 = 0,1.

Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна:

Р₂ = 1 − 0,8 = 0,2.

Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий:

Р₁ · Р₂ = 0,1 · 0,2 = 0,02

Ответ: 0,02

Задача №51

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение:

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров»

и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров».

Их сумма – событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В),

откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

Ответ: 0,38

Задача №52

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Решение:

Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим:

0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Ответ: 0,125

Задача №53

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая, О – отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:

P(XXO) = 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 

= 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392

Задача №54

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: а) пациент болеет гепатитом, его анализ верен;

б) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.

Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

P(A) = 0,9 · 0,05 = 0,045,

P(B) = 0,01 · 0,95 = 0,0095,

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545.

Ответ: 0,0545

Задача №55

В кармане у Миши было четыре конфеты – «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Решение:

В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.

Ответ: 0,25

Задача №56

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение:

На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.

Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25

Задача №57

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение:

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94.

Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:

0,94 · 0,94 = 0,8836.

Ответ: 0,8836

Задача №58

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

 

Решение:

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:

A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или

В = «батарейка исправна, но по ошибке забракована».

Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий.

Имеем:

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,02 · 0,99 + 0,98 · 0,01 =

= 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Ответ: 0,0296

Задача №59

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Решение:

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)⁴ = 0,0625.

Ответ: 0,0625

 

 

 

2.9 Проблемы бесконечной вероятности (ЧАСТЬ III)

Бесконечные садовые дорожки просто великолепны для анализа (потенциально) экспериментов с бесконечной вероятностью.

 

Рассмотрим этот вопрос.

 

Я буду неоднократно подбрасывать монету. Каковы шансы, что я увижу два выброшенных орла подряд ( HH ) до того, как увижу орла, за которым сразу же следует решка ( HT )?

 

Мы можем ответить на этот вопрос с помощью чистой логики.

Ответ 1: Если я сначала подброшу решку, или две решки, или цепочку решек любой длины, я не приблизится ни к HH, ни к HT. Этот эксперимент не «запустится», пока я не увижу свою первую голову. Как только я это сделаю, с вероятностью 50% я увижу решку после этого (чтобы получить HH) и с вероятностью 50% я увижу решку (чтобы получить HT). Таким образом, есть 50% шанс, что я увижу HH первым.

 

Но мы также можем проанализировать этот вопрос, создав систему садовых дорожек для его моделирования.

Попытка Ответа 2: Представьте себе невообразимо большое количество людей, каждый из которых собирается несколько раз подбросить монету. Все они начинают с состояния «собираются бросить монету в первый раз», которое мы обозначим S.

При первом броске некоторые подбрасывают решку (половина из них в идеальном мире) и получают видя либо HH, либо HT. Другая половина подбросит хвост, что не имеет отношения к желаемому результату. С тем же успехом мы можем отправить этих людей обратно в исходное состояние и попросить их повторить попытку.

Из тех, кто сначала подбрасывает голову, половина (в идеальном мире) снова подбросит голову, чтобы увидеть HH, и половина решки, чтобы увидеть HT.

Теперь мы видим, что такая невообразимо большая группа людей, каждый из которых неоднократно подбрасывает монету, эквивалентна отправке этой группы людей через систему садовых дорожек, которая выглядит вот так.

 

В этой системе садовых дорожек есть путь, возвращающийся к узлу, из которого он пришел.

Но каждый, кого отправят обратно в начало, (в конце концов) бросит ГОЛОВУ и пройдет через систему. (Какова вероятность того, что кто-то бросит ХВОСТ бесконечное количество раз подряд?) Таким образом, с философской точки зрения, эта система садовых дорожек эквивалентна системе без петли назад к началу.

И действительно, мы видим, что 50% людей, проводящих эксперимент, сначала увидят HH, а 50% — сначала HT.

ПРИМЕР: Бросок кубика Вопрос

Я буду бросать кубик несколько раз. Каковы шансы, что я увижу выпадение 1 и 2 до того, как увижу выпадение 6?

 

Чтобы ответить на этот вопрос, представьте себе невообразимо большое количество людей, каждый из которых многократно бросает игральную кость. Когда люди начнут, некоторые увидят и 1, и 2, прежде чем увидят 6. Другие не увидят. Мы хотим знать долю людей, которые это делают.

Все начинают в исходном состоянии, готовые начать свои броски.

Некоторые сразу же выкинут 6 — одна шестая часть в идеальном мире — и будут немедленно исключены.

Некоторые выбрасывают 3, 4 или 5 — половина из них в идеальном мире. Поскольку ни одно из этих чисел не имеет отношения к тому, что мы изучаем, они снова выпадут, как будто они снова начинают с начала эксперимента.

Некоторые сразу же выкинут 1 или 2 — треть из них в идеальном мире — и все равно будут «в игре».

Из тех, кто в последней группе…

Некоторые выкинут 6 при следующем броске — одна шестая часть в идеальном мире — и будут исключены.

Некоторые выкинут 3, 4 или 5 (половина из них в идеальном мире), что будет считаться неуместным броском, и поэтому они останутся в том же затруднительном положении. То же самое произойдет с повтором 1 или повторением 2, что произойдет — в идеальном мире — для одной шестой людей. Таким образом, в сумме \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}\) из этих людей получат нерелевантный бросок и вернутся в то же состояние. .

Остальные люди — одна шестая часть в идеальном мире — получат то, что ищут, либо 1, если ранее выкинули 2, либо 2, если ранее выкинули 1.

Следующая система сада -paths инкапсулирует отношения между всеми этими возможными состояниями.

Но если нас интересует только доля людей, оказавшихся в каждом конечном состоянии (а не ожидаемое количество шагов до каждого конечного состояния), мы можем игнорировать циклы! Учитывая веса на различных ребрах, мы видим, что эта система эквивалентна следующей системе. (Убедитесь, что вы понимаете веса ребер, которые вы видите на этой второй диаграмме.)

Это дает следующие диаграммы площадей

, из которых мы заключаем, что вероятность увидеть бросок 1 и 2, прежде чем увидеть бросок 6, равна \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\).

 

Практическая задача 1: Я буду постоянно бросать кубик. Каковы шансы, что я увижу либо 1, либо 2 до того, как увижу 6?

 

Практическая задача 2: Я буду постоянно бросать кубик. Каковы шансы, что я увижу выпадение 1, 2 и 3 до того, как увижу 6?

 

 

Пример: Вопрос о подбрасывании монеты

Я буду подбрасывать монету несколько раз. Каковы шансы, что я увижу три последовательных орла ( HHH ) до того, как увижу тройку орел-орел-орел ( HTH )?

Вот диаграмма садовых дорожек, моделирующая прогоны этого эксперимента. Каждое ребро имеет равный вес половинки. (Правильно ли я понял диаграмму?)

Поскольку нас интересует только доля времени, которое мы оказываемся в каждом конечном состоянии, нам разрешено игнорировать циклы. Таким образом, в этом контексте эта система эквивалентна диаграмме:

Это приводит к следующим диаграммам модели области.

Поскольку мы не отслеживаем, сколько шагов занимает фолд, мы можем посмотреть на ячейку «HT» на самой правой диаграмме и сказать, что половина этих народных HT закончится с HTH, чего мы не хотим. , и половина народа окажется на старте. (Посмотрите на систему садовых дорожек.) Таким образом, мы видим, что на самом деле имеем следующую модель площади.

И это модель, которая возникает из этой системы.

Игнорируя цикл назад к началу, мы видим, что количество людей, оказавшихся в домах HHH и HTH, находится в соотношении 2:3. Таким образом, вероятность увидеть первым HHH равна \(\dfrac{2}{5}\), а вероятность увидеть первым HTH равна \(\dfrac{3}{5}\).

 

Практическая задача 3: Я буду неоднократно подбрасывать монету. Каковы шансы, что я увижу голову, за которой сразу же следует хвост ( HT ), прежде чем увидеть две последовательные решки ( TT )?

 

ССЫЛКИ

Этот последний раздел подвел нас прямо к новаторской работе Артура Энгеля по использованию чип-обжига (частным примером которого можно считать Exploding Dots). Его основополагающая статья:

 

Артур Энгель, «Вероятностные счеты», Educational Studies in Mathematics, Vol. 6, № 1 (март 1975 г.), стр. 1–22.

 

Энгель не объясняет с точки зрения математической теории, почему работает его метод обжига стружки. Для этого см. статью Дж. Лори Снелла «Алгоритм Энгеля для поглощения цепей Маркова».

Конечно, доктор Джеймс Пропп написал несколько прекрасных эссе о прекрасной работе Энгеля в своей серии «Математические чары». См., в частности, эссе 26 и 36, а также эссе 25, 28 и 40.

Facebook

Twitter

Теория вероятностей — формулы, примеры, определения, основы

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий вероятности, связанные со случайным явлением. Случайное явление может иметь несколько исходов. Теория вероятностей описывает вероятность наступления определенного исхода с помощью определенных формальных понятий.

Теория вероятностей использует некоторые основные принципы, такие как выборочное пространство, распределения вероятностей, случайные величины и т. д., чтобы определить вероятность возникновения события. В этой статье мы рассмотрим определение, основы, формулы, примеры и приложения теории вероятностей.

1.	Что такое теория вероятностей?
2.	Основы теории вероятностей
3.	Формулы теории вероятностей
4.	Приложения теории вероятностей
5.	Часто задаваемые вопросы по теории вероятностей

Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. В теории вероятностей понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности возникновения события. Вероятность можно определить как количество благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей — это область математики и статистики, занимающаяся нахождением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей. Это теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. Напротив, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, что необходимо установить вероятность выпадения числа 4 при подбрасывании игральных костей. Количество благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральных костей: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Это означает, что всего имеется 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при броске костей, используя теорию вероятностей, можно вычислить как 1/6 = 0,167.

Основы теории вероятностей

Существует несколько основных терминов, связанных с теорией вероятностей, которые помогают понять эту область математики.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей можно определить как испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как набор всех возможных результатов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, выборочное пространство подбрасывания правильной монеты равно {орел, решка}.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор результатов эксперимента, который образует подмножество выборочного пространства. Ниже приведены типы событий:

• Независимые события: События, на которые не влияют другие события, являются независимыми событиями.
• Зависимые события: события, на которые влияют другие события, называются зависимыми событиями.
• Взаимоисключающие события: события, которые не могут происходить одновременно, являются взаимоисключающими событиями.
• Равновероятные события: Два или более события, которые имеют одинаковую вероятность возникновения, называются равновероятными событиями.
• Исчерпывающие события: Исчерпывающее событие — это событие, равное выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайная величина может быть определена как переменная, которая принимает значение всех возможных исходов эксперимента. Существует два типа случайных величин, как указано ниже.

• Дискретная случайная величина: Дискретные случайные величины могут принимать точное исчисляемое значение, например 0, 1, 2… Его можно описать кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
• Непрерывная случайная переменная. Переменная, которая может принимать бесконечное число значений, называется непрерывной случайной величиной. Кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности используются для определения характеристик этой переменной.

Вероятность

Вероятность в теории вероятности может быть определена как числовая вероятность возникновения события. Вероятность события всегда будет находиться в диапазоне от 0 до 1. Это связано с тем, что количество желаемых результатов никогда не может превышать общее количество результатов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения вероятности события.

Условная вероятность

Когда необходимо определить вероятность возникновения события, учитывая, что другое событие уже произошло, это называется условной вероятностью. Обозначается как P(A | B). Это представляет собой условную вероятность события А при условии, что событие В уже произошло.

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, когда он проводится несколько раз. Обозначается как E[X]. Он также известен как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия — это мера дисперсии, показывающая, как распределение случайной величины изменяется по отношению к среднему значению. Его можно определить как среднее квадратов разностей от среднего значения случайной величины. Дисперсия может быть обозначена как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Функция распределения вероятностей или кумулятивная функция распределения — это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента вместе с их вероятностями с использованием случайной величины. Распределение Бернулли, биномиальное распределение — некоторые примеры дискретных распределений вероятностей в теории вероятностей. Нормальное распределение является примером непрерывного распределения вероятностей.

Функция массы вероятности

Функция массы вероятности может быть определена как вероятность того, что дискретная случайная величина будет точно равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности — это вероятность того, что непрерывная случайная величина примет набор возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, помогающих вычислять различные вероятности, связанные с событиями. Наиболее важные формулы теории вероятностей перечислены ниже.

• Теоретическая вероятность: количество благоприятных исходов / количество возможных исходов.
• Эмпирическая вероятность: количество раз, когда событие происходит / общее количество испытаний.
• Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) — P(A∩B), где A и B — события.
• Дополнительное правило: P(A’) = 1 — P(A). P(A’) обозначает вероятность того, что событие не произойдет.
• Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
• Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
• Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B)
• Функция массы вероятности: f(x) = P(X = x)
• Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = \(\frac{\mathrm{d} F(x)}{\mathrm{d} x}\) = F'(x), где F( x) — кумулятивная функция распределения.
• Ожидание непрерывной случайной величины: \(\int xf(x)dx\), где f(x) — плотность вероятности.
• Ожидание дискретной случайной величины: \(\сумма xp(x)\), где p(x) — pmf.
• Дисперсия: Var(X) = E[X ² ] — (E[X]) ²

Приложения теории вероятностей

Теория вероятностей используется во всех областях для оценки риска, связанного с тем или иным решением. Некоторые из важных применений теории вероятностей перечислены ниже:

• В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка для прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам инвестировать в наименее рискованные активы, которые приносят наибольшую прибыль.
• Потребительская промышленность использует теорию вероятностей для снижения вероятности отказа конструкции продукта.
• Казино используют теорию вероятности для разработки азартной игры с целью получения прибыли.

Статьи по теме:

• Вероятностные правила
• Вероятность и статистика
• Геометрическое распределение

Важные замечания по теории вероятностей

• Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий вероятности случайных событий.
• Понятие вероятности в теории вероятностей дает меру вероятности наступления события.
• Значение вероятности всегда будет находиться в диапазоне от 0 до 1.
• В теории вероятностей все возможные результаты случайного эксперимента дают выборочное пространство.
• Теория вероятностей использует важные концепции, такие как случайные величины и кумулятивные функции распределения, для моделирования случайного события и определения различных связанных с ним вероятностей.

 

Примеры по теории вероятностей

1. Пример 1: При броске двух игральных костей какова вероятность того, что в сумме выпадет 8?
   Решение: При броске двух игральных костей возможно 36 исходов.

   Чтобы получить сумму 8, есть 5 благоприятных исходов.

   [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]

   Используя формулы теории вероятностей,

   Вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество количество возможных исходов.

   = 5/36

   Ответ: Вероятность выпадения суммы 8 при броске двух игральных костей равна 5/36.

2. Пример 2: Какова вероятность того, что из колоды карт выпадет дама?

   Решение: В колоде карт 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт.

   Таким образом, общее количество возможных исходов = (4)(13) = 52

   . Дам может быть 4, по одной каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4,9.0003

   Вероятность выпадения карты = 4/52 = 1/13

   Ответ: Вероятность выпадения дамы из колоды карт равна 1/13

3. Пример 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради и 2 получили и карандаши, и тетради. Если клиент купил блокнот, какова вероятность того, что он также купил карандаш.
   Решение: Используя понятие условной вероятности в теории вероятностей, 904:30 Р(А | В) = Р(А∩В)/Р(В).
   Пусть A будет событием, когда люди покупают карандаши, а B — событием, когда люди покупают тетради.
   Р(А) = 3/10 = 0,3
   Р(В) = 5/10 = 0,5
   Р(А∩В) = 2/10 = 0,2
   Подставляя значения в данную формулу,
   P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4
   Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по теории вероятностей

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по теории вероятностей

Что такое концепция теории вероятностей?

Теория вероятностей — это раздел математики, изучающий вероятность возникновения случайного события. Он охватывает несколько формальных понятий, связанных с вероятностью, таких как случайные величины, распределение теории вероятностей, ожидание и т. д.

Какие существуют два типа вероятностей в теории вероятностей?

В теории вероятностей существует два типа вероятностей: теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность. Теоретическая вероятность дает вероятность того, что ожидается, без проведения каких-либо экспериментов. Экспериментальная вероятность использует повторные эксперименты, чтобы определить вероятность того, что событие произойдет.

Что такое формулы теории вероятностей?

Основные формулы теории вероятностей следующие:

• Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)
• Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B)
• Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B)
• Теоретическая вероятность: количество благоприятных исходов / количество возможных исходов.

Почему теория вероятностей используется в статистике?

Теория вероятностей полезна для предсказаний, которые составляют важную часть исследований. Дальнейший анализ ситуаций производится с использованием статистических инструментов. Таким образом, статистика зависит от теории вероятностей, чтобы делать правильные выводы.

Может ли значение вероятности быть отрицательным согласно теории вероятностей?

Согласно теории вероятностей, значение любой вероятности лежит в диапазоне от 0 до 1. 0 означает, что событие не происходит, а 1 означает, что событие имеет место. Таким образом, вероятность не может быть отрицательной.

Что такое случайная величина в теории вероятностей?

Случайная величина в теории вероятностей может быть определена как переменная, которая используется для моделирования вероятностей всех возможных исходов события. Случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной.

Каковы применения теории вероятностей?

Теория вероятностей применима практически во всех областях промышленности. Он используется для оценки и анализа риска, связанного с событием, и помогает принимать надежные решения.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочий лист по теории вероятностей

Вероятностные вопросы из реального мира (с моделированием)

Добро пожаловать в мой вступительный пост к большой серии, которую я начинаю сегодня. Основная цель этого поста — настроить вас на следующие посты. А именно, исследовать и решать интересные вероятностные вопросы из реального мира.

До сих пор большинство моих постов были скорее теоретическими. В предыдущих постах я представил важные понятия из теории вероятностей (и смежных областей, таких как статистика и комбинаторика):

• вероятности и выборочные пространства
• закон больших чисел и математическое ожидание
• p-значения
• перестановки, комбинации и другие концепции комбинаторики
• среднее и дисперсия
• распределения вероятностей
• Теорема Байеса

И в будущем я собираюсь представить больше концепций, как базовых, так и продвинутых. Я лично нахожу их привлекательными сами по себе. В контексте математики они интересны, заставляют задуматься и (кто-то сказал бы) даже красивы.

Но они не только интересны, но и чрезвычайно полезны. И когда я говорю «полезный», я имею в виду не только полезный для математиков и ученых. Я бы сказал, что они являются потенциально полезным инструментом для всех.

Содержание

Навыки в реальном мире

Задумайтесь на мгновение о следующих навыках:

• дыхание
• переваривание пищи
• поглощение воды

Вам может показаться странным, что я называю это » навыки», но по существу они есть. Конечно, это навыки, связанные с базовым биологическим выживанием, и по определению (почти) каждый живой организм должен иметь их, чтобы оставаться таковым.

Теперь, что насчет таких навыков, как:

• свободное владение популярным языком
• обнаружение дезинформации
• воображение и творческий подход всегда хорошо иметь. Независимо от вашей работы, вашего возраста или места жительства. Очевидно, что они не так важны, как предыдущая категория, но все они позволят вам достичь результатов и извлечь выгоду из ситуаций, которые в противном случае вы, возможно, не смогли бы сделать.

  Полезны ли навыки теории вероятностей в реальном мире?

  Итак, какое место во всем этом занимает владение теорией вероятностей? Ну, я думаю, что это легко вписывается во вторую категорию, хотя это не так очевидно, как некоторые другие навыки в списке выше. Но подумайте об этом, о чем на самом деле теория вероятностей? Что вам дает умение точно рассчитывать (или хотя бы оценивать) вероятности событий?

  На самом деле теория вероятности призвана дать нам меру нашей неопределенности в отношении возникновения события и/или дать нам представление о частоте возникновения события в долгосрочной перспективе. Короче говоря, это помогает нам формировать хорошие ожидания в отношении реальных событий и явлений. И, следовательно, это помогает нам принимать более правильные решения (в самом общем смысле).

  Во многих областях существует неопределенность. Вы можете применять теорию вероятностей в науке, играх, экономике, образовании, политике и многом другом. Действительно, трудно даже привести примеры, где теория вероятностей не может помочь. Независимо от того, что вы делаете или находите интересным, теория вероятностей — очень полезный инструмент, который нужно иметь под рукой.

  Во всяком случае, я так к этому отношусь.

  Моя мотивация для этих постов

  Убедить вас, что теория вероятностей — это круто

  Итак, чтобы обосновать свою позицию, в этой серии я хочу показать вам множество вероятностных вопросов из разных областей жизни. Я собираюсь начать с более простых задач, которые скорее интересны, чем полезны. И, в конце концов, я собираюсь перейти к более сложным.

  Что еще более важно, сам процесс решения этих задач полезен для обучения вашего мозга думать о вероятностных вопросах. Часто принципы, используемые для решения более простых задач, такие же (или, по крайней мере, похожие) на те, которые используются для решения более сложных.

  Несмотря на то, что большинство моих сообщений до сих пор были теоретическими, я также написал несколько практических. Например, я показал вам, как применять некоторые теоретические концепции с самого начала для таких вещей, как:

  • решение обратной задачи
  • расчет смещения монеты
  • предсказание президентских выборов
  • криптография
  • бритва Оккама

  Но меня не раз просили привести больше примеров практического применения теоретических концепций, а также просто примеры решения проблем, связанных с вероятностью. Надеюсь, эта серия станет хорошим первым шагом в этом направлении.

  Вероятностные вопросы из книги Understanding Probability

  Люди также просили меня дать рекомендации по теории вероятностей и книгам по статистике, которые дают достойный обзор всех важных концепций из этих областей.

  В первых постах этой серии я буду использовать двенадцать вероятностных вопросов из книги «Понимание вероятности: правила случайности в повседневной жизни» автора Хенка Таймса. Таймс — голландский математик, специализирующийся на теории вероятностей и многих смежных областях. Если вы достаточно давно интересовались теорией вероятностей, это имя вы, вероятно, уже слышали.

  Лично я прочитал эту книгу чуть менее 10 лет назад, когда еще получал степень магистра в области когнитивной нейробиологии, и тогда она показалась мне одной из самых интересных книг на эту тему. Я был приятно удивлен, когда недавно получил электронное письмо от самого Хенка Таймса, в котором он поделился некоторыми положительными словами о Probabilistic World. И он был так любезен, что разрешил мне использовать вопросы вероятности из его книги в моих постах.

  Самое первое изображение в этом посте (забавный мультфильм о стирке) на самом деле из той же книги. Это изображение заголовка первой главы, в которой представлены двенадцать вопросов. Я говорю «введено», потому что фактические решения даны в последующих главах.

  В любом случае, если вы новичок в теории вероятностей и статистике и ищете хорошую всеобъемлющую книгу по этому вопросу, я рекомендую вам начать с этой книги. Теперь некоторые из концепций, которые Хенк Таймс обсуждает в книге, я обсуждал сам. А остальные вещи я собираюсь обсудить в будущем. Но когда вы читаете об одной и той же концепции, которую разные люди объясняют по-разному, это помогает вам закрепить свои знания и понимание. Это подход, который я сам использовал в течение очень долгого времени, и я считаю его очень эффективным в обучении.

  Итак, я думаю, что книга «Понимание вероятностей» — очень хорошее дополнение к моему веб-сайту.

  Ответы на вероятностные вопросы с помощью симуляций

  Третьим мотивом этой серии статей является то, что я хочу познакомить вас с методом ответов на вероятностные вопросы с помощью симуляций. Это чрезвычайно важная техника, и иногда это единственный способ ответить на определенные вопросы. Почему? Что ж, как вы увидите в следующих постах, есть много проблем, для которых у нас нет аналитического решения.

  Я уже использовал моделирование в некоторых из моих предыдущих постов:

  • оценка смещения монеты
  • среднее значение, мода и медиана
  • закон больших чисел
  • ожидаемое значение
  • распределения вероятностей7 среднее значение
  и дисперсия распределений вероятностей

  Но, за исключением первого сообщения в этом списке, я не делился компьютерным кодом, используемым в этих симуляциях. Чтобы показать вам, как самостоятельно использовать симуляции, в этой серии я буду давать более подробные объяснения. И для всех симуляций я буду использовать свой любимый язык программирования Python.

  Python — чрезвычайно мощный язык и один из лучших вариантов для программистов, ученых и практически всех, кто по какой-либо причине занимается программированием, связанным с математикой. Он также чрезвычайно удобен для начинающих, прост в освоении и удивительно похож на естественный язык (английский).

  Но не волнуйтесь. Если вы ничего не знаете о Python или программировании в целом, я позабочусь о том, чтобы вы по-прежнему получали максимальную пользу от этой серии статей. Сами симуляции будут такими, которые вы сможете выполнять даже с ручкой и бумагой. Роль программного кода заключается в том, чтобы заставить ваш компьютер выполнять те же действия автоматически и гораздо быстрее. Даже без опыта программирования вы получите интуитивное представление о симуляциях.

  Для каждого вероятностного вопроса я сначала покажу его аналитическое решение, а затем сравним его с ответом, полученным с помощью моделирования. Это означает, что мы придем к одному и тому же ответу двумя совершенно разными путями. Это будет очень полезным упражнением для понимания закона больших чисел!

  Что такое компьютерное моделирование?

  Вкратце, компьютерное моделирование используется для эмпирической оценки вероятностей. Это включает в себя многократное повторение процесса, который приводит к интересующим нас результатам. А пока вы просто отслеживаете, сколько раз происходит каждый результат. И цель компьютера — автоматизировать шаги, чтобы сэкономить вам (много) времени и усилий.

  В своем посте о законе больших чисел я показал вам несколько примеров таких эмпирических оценок вероятностей. Когда дело доходит до подбрасывания правильной монеты, закон гарантирует, что процент подбрасываний, в которых выпадет «орел», будет сходиться к вероятности выпадения «орла». Нажмите на изображение ниже, чтобы увидеть, как эмпирическая оценка вероятности сходится с реальной вероятностью по мере увеличения количества смоделированных бросков:

  Нажмите на изображение, чтобы запустить/перезапустить анимацию.

  Аналогично, если в процессе бросается правильная игральная кость, относительная частота шести возможных исходов будет приближаться к вероятности

  :

  Нажмите на изображение, чтобы запустить/перезапустить анимацию.

  Технически для этого не нужен компьютер. Просто возьмите настоящую монету или настоящий кубик и подбросьте/бросьте его несколько раз, отслеживая результаты. Конечно, делать это таким образом просто крайне трудоемко (особенно для более сложных процессов), поэтому гораздо лучше использовать компьютерное моделирование.

  Суть в том, что, пока вы можете смоделировать процесс генерации результатов с помощью компьютера (с помощью программирования или иным образом), вы можете эмпирически оценить вероятность любого результата. Все благодаря закону больших чисел!

  Вы ничего не знаете о программировании?

  Если вы никогда в жизни не занимались программированием, но все же хотите запустить симуляции, вы можете это сделать. И я действительно имею в виду это. Вам не нужно сначала читать книгу о программировании или Python. Вам не нужно следовать каким-либо онлайн-руководствам. Ничего подобного.

  Не поймите меня неправильно, если вы вообще интересуетесь программированием, вы тоже можете этим заниматься. Но я большой поклонник философии под названием «обучение на практике». Особенно для программирования. Если прямо сейчас вы думаете про себя: «Правда? Я все еще могу запустить и понять код, даже если совершенно ничего не знаю о программировании?»… Да, поверьте мне, вы сможете. И вы, скорее всего, начнете осваивать концепции программирования в процессе, даже если не ставите это явной целью.

  Во-первых, вы сможете запустить код простым копированием/вставкой, даже если вы совсем его не понимаете. Но, как я уже сказал, Python — один из самых удобочитаемых языков программирования, и даже если вы читаете код так, как если бы вы читали простой английский, вы все равно многое поймете. Особенно в сочетании с моими краткими пояснениями.

  Кстати, как я уже говорил ранее, даже если вы решите пропустить программные части моих постов, вы ничего не потеряете из аналитических ответов на вероятностные вопросы. Но если вы хотите сделать свои первые шаги в программировании с реальными вероятностными вопросами, это будет для вас очень хорошей возможностью. И единственное, что вам нужно для начала, — это сам Python.

  Обычно вы можете просто загрузить и установить Python с официального сайта Python. Но если вы новичок в Python и/или программировании, я настоятельно рекомендую установить его вместе с платформой Anaconda и использовать с веб-приложением Jupyter Notebook , которое поставляется вместе с Anaconda.

  Anaconda и Jupyter Notebook

  Вы можете скачать Anaconda с их официального сайта. Обязательно загрузите версию с последней версией Python 3 (не Python 2) и просто будьте осторожны, чтобы выбрать правильный вариант для вашей операционной системы.

  После загрузки и установки Anaconda вы можете ознакомиться с ней, следуя этому краткому руководству. В частности, обратите внимание на часть о Jupyter Notebook. Это отличное веб-приложение для запуска кода Python (помимо всего прочего), которое автоматически устанавливается при установке Anaconda.

  Jupyter Notebook — чрезвычайно популярный инструмент среди программистов, работающих в таких областях, как наука о данных, машинное обучение, искусственный интеллект и многих других, пересекающихся с теорией вероятностей, статистикой и математикой в ​​целом. Он работает в вашем браузере (в том самом, в котором вы сейчас читаете этот пост), и вы сможете запускать с его помощью код из моих постов. Мало того, Anaconda автоматически установит многие популярные пакеты Python, которые обладают массой полезной функциональности для тех областей, о которых я упоминал.

  Если вы хотите запачкать руки, вы можете взглянуть на это несколько более подробное руководство по Jupyter Notebook. Но вам не обязательно читать все эти вещи сразу, вы также можете сделать это, когда начнете практиковаться с кодом из моих постов.

  Итог, все, что вам нужно сделать, чтобы начать запускать код из моих сообщений, это:

  1. Загрузите и установите Anaconda
  2. Узнайте, как запустить Jupyter Notebook из командной строки (спойлер: команда просто Блокнот Jupyter )
  3. При желании просмотрите короткие руководства, на которые я ссылался

  . Если у вас возникнут какие-либо проблемы с этими шагами, дайте мне знать в комментариях ниже, и я или другой читатель помогут вам в этом.

  Вероятностные вопросы

  Итак, вот названия двенадцати вероятностных вопросов, перечисленных в первой главе книги «Понимание вероятности»:

  1. Задача дня рождения (аналитическое решение и моделирование Python)
  2. Вероятность выигрышной серии
  3. Лотерея с выигрышем
  4. Лотерея
  5. Сорвать куш
  6. Кто убийца?
  7. Задача на совпадения
  8. Задача о носках
  9. Задача статистического теста
  10. Задача наилучшего выбора
  11. Дилемма Монти Холла
  12. Предложение, от которого вы не можете отказаться — или можете?

  Многие из этих вопросов являются известными проблемами теории вероятностей.

  No related posts.