Теория вероятности 9 класс: Классическое определение вероятности — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Вероятностные задачи в теории и на практике. 9 класс. Разработка урока – конспект урока – Корпорация Российский учебник (издательство Дрофа – Вентана)

авторы: Давлетбаев Марсель Фанилевич, учитель МАОУ «Лицей-интернат №2» Московского района города Казани

Разработки уроков (конспекты уроков)

Основное общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина, К. С. Муравина, О. В. Муравиной. Алгебра (7-9)

Алгебра

Внимание! Администрация сайта rosuchebnik.ru не несет ответственности за содержание методических разработок, а также за соответствие разработки ФГОС.

УМК «Алгебра. 9 класс» Г. К. Муравина, О. В. Муравиной.

Цели:

уметь воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах;
использовать приобретенные знания и умения в повседневной жизни для решения практических задач;
формировать умения решать задачи на нахождение вероятности случайного события с использованием формул комбинаторики.

Задачи: дать ученикам возможность осознать разницу между теоретическим ответом и результатом, полученным эмпирическим путем; проверить умения решать задачи по теории вероятности.

Оборудование: учебник Алгебра Г. К. Муравин, наборы для лабораторной работы, проектор (не обязательно).

Тип урока: урок развивающего контроля.

Форма работы: групповая.

Методы: побуждающий, проблемный, инструктивный, частично-поисковый, эвристический.

Методические рекомендации: работу можно использовать на уроке алгебры 9 класса как одно из завершающих занятий. Урок направлен на осознание истинной природы вероятностей, рассмотрение способов применения теории вероятности и математической статистики в сопредельных областях и жизненных примерах.

Структура урока

Этапы урока	Задачи	Достигаемый результат
Организационный (приветствие, сообщение темы урока)	Подготовка учащихся к работе на занятии.	Полная готовность класса, быстрое включение учащихся в работу.
Работа с партнером	Проверить знания и умения	Взаимопроверка и взаимопомощь учащихся
Усвоение новых знаний и способов действий, их закрепление (основной этап урока, на котором идёт работа учащихся в командах над поставленной проблемой).	Обеспечение восприятия, осмысления и закрепления знаний, способ действий.	Активные действия учащихся с материалами урока, проявление коммуникабельности при решении комплексных задач.
Подведение итогов занятия.	Анализ и оценка успешности достижения целей.	Получение учащимися информации о реальных результатах учения.
Информация о домашнем задании.	Раскрытие цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.	Точная фиксация сути задания.

Ход урока

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Приветствие учеников. Позитивный настрой на работу. Готовность к уроку. — Доброе утро! -Тема нашего урока «Вероятностные задачи в теории и на практике». Откройте тетради, запишите число и тему урока. — Сегодня на уроке мы узнаем, как отличаются теоретические вычисления и от результатов полученных опытным путем.	Приветствие учителя. Проверка готовности к уроку. Запись в тетради темы урока.
2. — На предыдущих уроках мы изучили способы решения различных задач. Сейчас проведем «перекрестную викторину» Используется раздаточный материал «Приложение 1» или проецируется на доску. Так же можно использовать аналогичный набор задач из учебника. Учитель при данном упражнении участвует лишь как помощник и следит за правильностью выполнения действий. — Оцените свою работу и работу своего соседа. Собрать карточки с отметками (можно заменить специальным оборудованием для тестирования).	Ученики, работают в парах, как партнеры. Первый – решает задачу; второй – слушает, проверяет. После того как I закончил, II указывает на ошибки, если таковые есть. Если же I затрудняется решить задачу, II дает небольшие подсказки. В случае возникновения неразрешимых вопросов или разногласий ученики обращаются за поддержкой к учителю. Смена ролей учеников происходит после каждой задачи, либо в порядке заранее указанном на карточках. Ученики в карточках ставят отметки себе и партнеру, и передают их учителю.
3. Рассказать о «законе больших чисел». — Если в озере обитают 3000 окуней и 7000 карпов, то вероятность поймать окуня составляет 0,3 или 30%. Но поймав 10 рыб, вы не обязательно обнаружите у себя ровно 3 окуня. Для срабатывания вероятностей требуется большее количество событий. Для проверки данного утверждения я попросил каждую команду принести сегодня различные наборы для практической работы по теории вероятности (монеты, игральные кости, спички, мешочек и шарики, карты).	Запись в тетради
Ваши задачи: Составить задачу с использованием вашего оборудования или выбрать одну из предложенных (Приложение 2) Провести эксперимент и записать данные Сравнить теоретический ответ и результат, полученный эмпирическим путем Сделать выводы Действовать как одна команда Учитель наблюдает за процессом и правильностью выполнения задания, отвечает на вопросы если таковые появятся	Ученики, работая в группах по 4-5 человек, выполняют практическую работу. После завершения упражнения каждая команда проводит краткую презентацию результатов и выводов.
-Оцените работу своей и остальных команд. Собрать карточки с отметками (можно заменить специальным оборудованием для тестирования).	Ученики на карточках ставят отметки каждой команде, и передают их учителю.
4. — Все молодцы! Каждый проект был уникален и интересен! Благодарю всех за активное участие! А теперь давайте запишем домашнее задание: придумать эксперимент, отличный от проведенных на уроке, и провести работу аналогичную классной.	Записывают домашнюю работу

Хотите сохранить материал на будущее? Отправьте себе на почту

в избранное

Только зарегистрированные пользователи могут добавлять в избранное.

Войдите, пожалуйста.

Теория вероятностей и статистика. 7-9 классы. Учебное пособие для общеобразовательных организаций

Буду ждать

Цена на сайте может отличаться от цены в магазинах сети. Внешний вид книги может отличаться от изображения на сайте.

Нет в наличии в магазинах сети

Учебное пособие предназначено для знакомства учащихся с формами представления и описания данных в статистике, случайными событиями, вероятностью и её свойствами.
В пособии в равной мере уделяется внимание статистике, комбинаторике и теории вероятностей и их роли в изучении явлений окружающего мира.

Описание

Характеристики

Учебное пособие предназначено для знакомства учащихся с формами представления и описания данных в статистике, случайными событиями, вероятностью и её свойствами.

В пособии в равной мере уделяется внимание статистике, комбинаторике и теории вероятностей и их роли в изучении явлений окружающего мира.

Просвещение

На товар пока нет отзывов

Поделитесь своим мнением раньше всех

Как получить бонусы за отзыв о товаре

Сделайте заказ в интернет-магазине

Напишите развёрнутый отзыв от 300 символов только на то, что вы купили

Дождитесь, пока отзыв опубликуют.

Если он окажется среди первых десяти, вы получите 30 бонусов на Карту Любимого Покупателя. Можно писать неограниченное количество отзывов к разным покупкам – мы начислим бонусы за каждый, опубликованный в первой десятке.

Правила начисления бонусов

Книга «Теория вероятностей и статистика. 7-9 классы. Учебное пособие для общеобразовательных организаций» есть в наличии в интернет-магазине «Читай-город» по привлекательной цене. Если вы находитесь в Москве, Санкт-Петербурге, Нижнем Новгороде, Казани, Екатеринбурге, Ростове-на-Дону или любом другом регионе России, вы можете оформить заказ на книгу «Теория вероятностей и статистика. 7-9 классы. Учебное пособие для общеобразовательных организаций» и выбрать удобный способ его получения: самовывоз, доставка курьером или отправка почтой. Чтобы покупать книги вам было ещё приятнее, мы регулярно проводим акции и конкурсы.

Введение, типы, использование, свойства, формула и примеры решения

Предположим, вы играете в дартс и целитесь в мишень для дротиков под определенным углом. Математик со знанием игры наблюдает за несколькими вещами и говорит, что вероятность того, что вы попадете в коричневое поле, составляет 52%, синее поле — 20%, зеленое поле — 28% и желтое поле — 0%. Теперь возникает вопрос: на каком основании он вычислял вероятность? И как?

Давайте посмотрим, как эффективно понять эту статью.

Что такое вероятность?

Вероятность — раздел математики, изучающий результаты случайных событий. Слово вероятность означает шанс или возможность исхода. Он объясняет возможность возникновения определенного события. Мы часто используем такие предложения, как «Сегодня, вероятно, будет дождь», «Он, вероятно, пройдет тест», «Сегодня вечером очень мало вероятности попасть в бурю» и «Скорее всего, цена на лук снова поднимется». Во всех этих предложениях мы заменяем такие слова, как шанс, сомнение, может быть, вероятно и т. д. словом вероятность. Вероятность — это в основном предсказание события, основанное либо на изучении предыдущих записей, либо на количестве и типе возможных результатов.

История открытия вероятности

В 16 веке игрок по имени Шевалье де Мер хотел узнать о шансах выпадения числа на броске костей, поэтому он решил обратиться к французскому философу и математику. Блез Паскаль решает задачу с костями. Блез Паскаль заинтересовался концепцией возможности и обсудил ее с другим французским математиком, Пьером де Ферма. Оба математика начали работать над понятием вероятности по отдельности.

Позднее Дж. Кардан, итальянский математик, написал первую книгу под названием «Книга об азартных играх» в 1663 году, в которой рассказывается о возникновении вероятности. На это обратили внимание некоторые из великих математиков Дж. Бернулли, П. Лаплас, А. А. Марков и А. Н. Колмогоров.

Из всех математиков русский математик А.Н.Колмогоров трактовал вероятность как функцию результатов эксперимента. С помощью этой концепции мы можем найти вероятность событий, связанных с дискретными выборочными пространствами. Это также устанавливает понятие условной вероятности, которое важно для восприятия теоремы Байеса, правила умножения и независимости событий. В 1812 году Лаплас также выступил с «Аналитической теорией вероятностей», которая считается величайшим вкладом человека в теорию вероятностей. Выводы и рассуждения, введенные этими математиками в отношении вероятности, теперь используются в биологии, экономике, генетике, физике, социологии и т. д.

Определение вероятности

«Вероятность — это математический термин, обозначающий вероятность того, что что-то произойдет. Это способность понимать и оценивать возможность различных комбинаций исходов».
Вероятность означает, что это возможно. Это раздел статистики, который занимается случайным событием. Число выражается от 0 до 1, где 0 представляет невозможное событие, а 1 представляет гарантированное событие.
Вероятность — это в основном степень, в которой что-то может произойти. Для того чтобы определить вероятность наступления единичного события, прежде всего, нам необходимо знать общее количество возможных последствий.

Термины, относящиеся к вероятности

Случайный эксперимент. Эксперимент с известным набором возможных результатов называется случайным экспериментом, если нельзя заранее предсказать, какой конкретный результат произойдет при данном выполнении эксперимента. . Случайные эксперименты включают в себя такие вещи, как подбрасывание монет, броски кубиков и вытягивание карт из колоды.
Исход: Результат любого случайного эксперимента называется исходом. Предположим, вы бросили монету и получили решку (H) в качестве верхней поверхности. Итак, подбрасывание монеты — это случайный эксперимент, в результате которого выпадает «орёл».
Пространство выборки: набор всех возможных результатов случайного эксперимента. Например, возможно получение орла или решки при подбрасывании монеты. Таким образом, S={H, T}: Орел и Решка — это выборочное пространство для подбрасывания монеты. Точно так же, бросая игральную кость, мы можем получить одно из следующих чисел — 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таким образом, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — это выборочное пространство для бросая кубик.
Равновероятные исходы: События с одинаковой теоретической вероятностью (или вероятностью) возникновения называются равновероятными событиями. Например, относительные появления орла и решки при подбрасывании монеты для очень большого количества подбрасываний равны. Таким образом, «Орел» и «Решка» являются равновероятными исходами, которые делают подбрасывание монеты честным и беспристрастным, если нужно выбрать один из двух вариантов.
Событие: В случае случайного эксперимента событие представляет собой набор возможных результатов при определенных условиях. Пример — При броске кубика не получается 4. Это событие представляет собой случайный эксперимент по бросанию игральной кости, результат которого не равен 4. Таким образом, это событие имеет 5 возможных исходов: 1, 2, 3, 5 и 6. Предположим, упоминается, что событие F равно получению черная карта при извлечении карты из колоды из 52 карт. В этом случае событие F имеет 26 возможных исходов, потому что есть 26 черных карт, всего 13 пик и 13 треф.

Шанс и Вероятность

Шанс и Вероятность очень похожи друг на друга. Оба они имеют числа 0 и 1. Разница между ними заключается в том, что шанс не имеет никакой очевидности, тогда как вероятность точно определяет соотношение вероятности того, что событие произойдет. Многие события невозможно предсказать с абсолютной уверенностью. Мы можем только предсказать вероятность возникновения события, то есть насколько вероятно, что мы будем его использовать.

Вероятность события находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 означает, что событие не произойдет, а 1 означает, что конкретное событие обязательно произойдет.

Например, если мы бросаем игральную кость, вероятность того, что на одной из граней выпавшей кости выпадет число 7, равна 0, потому что при одном броске кости 7 никогда не может быть получено в качестве выборочного пространства ( S) для игральной кости {1,2,3,4,5,6}.

Формула вероятности

Формула вероятности определяется как отношение благоприятных исходов к отношению всех исходов. Для любого события (E) это можно представить как
$P(E) =\dfrac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Число всех исходов}}$

Или

$P(E) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$

, где

P(E) — вероятность события «E».
n(A) — количество благоприятных исходов события «E».
n(S) — общее количество событий в пространстве выборки.

Типы вероятности

Он основан на вероятности того, что что-то произойдет. Теоретические возможности прежде всего основаны на понятии Вероятности. Например, если подбрасывается монета, вероятность того, что выпадет решка, равна $\dfrac{1}{2}$.

Основан на тестовом распознавании. Результаты тестов можно рассчитать на основе количества возможных результатов для общего количества тестов. Например, если монета подбрасывается 10 раз, а орёл выпадает 6 раз за раз, вероятность выпадения орла равна $\dfrac{6}{10}$ или $\dfrac{3}{5}$.

Аксиоматический подход к вероятности был введен русским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым, жившим с 1903 по 1987 год. Он сказал, что существуют три аксиомы, которые можно применить для определения вероятности любого события (Е).

Три аксиомы Колмогорова таковы:-

Вероятность события А всегда больше или равна нулю, но никогда не может быть меньше нуля.
Если S — выборочное пространство, то вероятность появления выборочного пространства всегда равна 1. То есть, если провести эксперимент, то обязательно получится одно из выборочных пространств.
Для взаимоисключающих событий вероятность того, что произойдет одно из событий, равна сумме вероятностей того, что произойдут оба события.

Вероятностные события

Предположим, что событие (E) может произойти (r) благоприятными способами, и пусть (n) равно общему количеству способов. Затем вероятность достижения события или успеха выделяется как;

P (E) = $\dfrac{r}{n}$

Вероятность того, что событие не произойдет или будет известно как отказ, определяется следующим образом:

$P(\bar E)$ = $ \dfrac{(n-r)} { n} = 1 — \dfrac{r}{n}$

Где $P(\bar E)$ означает, что событие (E) не произойдет.

Итак, теперь мы можем сказать;

P (E) + $P(\bar E)$ = $\dfrac{r}{n}$ + 1- $\dfrac{r}{n}$

P (E) + $P(\ бар E)$ = 1

Это означает, что сумма всех вероятностей любого случайного события или теста равна 1.

Типы событий

Дополнительные события: если другое не происходит, то говорят, что два события дополняют друг друга.

Для того чтобы понять конкретный тип события, рассмотрим один пример.

Предположим, что для любой выборки S и $E_1$ — элементы события, а $\bar E_1$ — остальные элементы выборки. Таким образом, это можно просто записать так:

$E_1$= S — $\bar E_1$

Предположим, что кости брошены.

Тогда выборочное пространство S = {1,2,3,4,5,6}.

Теперь предположим, что $E_1$ представляет результат 6 на кубике.

Тогда $E_1$= {6} и $\bar E_1$ = {1,2,3,4,5}.

Это означает, что если при одном броске на кубике выпадает 6, то 1,2,3,4 и 5 не могут выпасть.

Итак, принимая во внимание все вышеизложенные случаи, можно считать, что $\bar E_1$ является дополнением к событию $E_1$.

Независимые события: Если вероятность наступления события А не зависит от наступления другого события В, то говорят, что события А и В являются независимыми.

Взаимоисключающие события: Если два события не имеют общих точек друг для друга, то такое событие называется взаимоисключающим. Это можно определить следующим образом: «Если появление одного события исключает появление другого события, то это событие называется взаимоисключающим событием. Например, когда подбрасывается монета, выпадает либо орел, либо решка; другой способ получить оба исхода. В этом случае два события являются взаимоисключающими.0003

Равновероятные события в вероятности

События с равной вероятностью возникновения являются равновероятными событиями. Например, подбрасывание монеты (с вероятностью 50 % выпадения орла и 50 % вероятности выпадения решки) или бросание игральной кости (вероятность $\dfrac{1}{6}$ выпадения любого числа).

Таким образом, ниже приведены примеры равновозможных событий при бросании костей:

Нахождение 3 и 5 при бросании игральной кости
Нахождение одинакового и нечетного числа на кубике
Найти 1, 2 или 3 игральных кубика

Это равновероятные события, так как вероятность каждого события одинакова.

Дополнительные события в реальной жизни

У любого события есть две возможности, т. е. произойдет оно или нет. Как человек, который придет или не придет к вам домой, устроится на работу или не устроится на работу и т. д., они являются примерами комплементарности. Некоторые примеры из реальной жизни:

Будет ли сегодня дождь или нет
Сдаст ли студент тест или нет.
Выиграешь в лотерею или не выиграешь.

Список других формул вероятности

Условная вероятность: Условная вероятность события A при условии возникновения события B может быть рассчитана как $P(A|B)=\dfrac{P( A\cap B)}{P(B)}, P(B)\neq 0$

P (E $\cap$ F) = P (E)$\cdot$ P (F)

P (E|F) = P (E), P (F) $\neq$ 0

P (F|E) = P (F), P(E) $\neq$ 0

Теорема полной вероятности: Пусть $(E_1,E_2,E_3. ….E_n)$ быть разбиением выборочного пространства и предположим, что каждый из $(E_1,E_2,E_3…..E_n)$ имеет ненулевую вероятность. Пусть A — любое событие, связанное с S, тогда P(A) = P($E_1$) P (A|$E_1$) + P ($E_2$) P (A|$E_2$) + … + P ($E_n$ ) P(A|$E_n$ )

Теорема Байеса: если $E_1$, $E_2$ ,…, $E_n$ — n непустых событий, составляющих разбиение выборочного пространства S, т.е. $E_1$ , $E_2$ ,…, $E_n$ попарно не пересекаются и $E_1$∪ $E_2$ ∪ … ∪ $E_n$ = S и A есть любое событие ненулевой вероятности , то 9n P(E_j)P(A|E_j)} for\,any\,i=1,2,3….n$

Использование вероятности

произойдет событие или нет. Это также помогает нам предсказывать будущие события и действовать соответственно. Ниже приведены варианты использования вероятности в нашей повседневной жизни.

Прогноз погоды. Мы часто проверяем прогноз погоды, прежде чем планировать поездку. Прогноз погоды говорит нам, будет ли день пасмурным, солнечным, ненастным или дождливым. На основе сделанного предсказания мы планируем свой день. Предположим, прогноз погоды говорит, что вероятность дождя составляет 75%. Теперь возникает вопрос, как выполняется расчет вероятности или точное предсказание? Доступ к исторической базе данных и использование определенных инструментов и методов помогает в расчете вероятности. Например, по базе данных, если из 100 дней 60 дней были облачными, то можно сказать, что существует 60% вероятность того, что день будет облачным в зависимости от других параметров, таких как температура, влажность, давление и т. д.
Сельское хозяйство. Температура, сезон и погода играют важную роль в сельском хозяйстве. Раньше у нас не было лучшего понимания прогноза погоды, но сейчас для прогноза погоды разработаны различные технологии, которые помогают фермерам хорошо выполнять свою работу на основе прогнозов. Несомненно, возникновение неустойчивой погоды находится вне контроля человека, но можно подготовиться к неблагоприятной погоде, если она будет предсказана заранее. Процесс посева обычно производится в ясную погоду. Таким образом, точное предсказание погоды позволяет фермеру предпринять важные шаги, чтобы предотвратить большие потери, сохранив свой урожай. Планирование других подходящих сельскохозяйственных операций, таких как орошение, внесение удобрений и пестицидов и т. д., зависит от погоды. Поэтому необходим точный прогноз погоды.
Политика. Многие политики хотят предсказать исход выборов еще до их проведения. Иногда они предсказывают, какая политическая партия придет к власти, внимательно изучая результаты экзитполов. Есть политики, которые много тратят только на то, чтобы предсказать результаты, чтобы спасти себя от свержения. Есть и другие хорошие способы использования вероятности, например, прогнозирование количества студентов, которым потребуется работа в следующем году, чтобы можно было соответствующим образом создать вакансию. Политики также могут проанализировать увеличение числа автомобильных и мотоциклетных аварий за последние годы, чтобы принять меры и сократить количество дорожно-транспортных происшествий.
Страховые компании используют вероятность, чтобы выяснить вероятность смерти человека, изучая базу данных семейной истории человека и личных привычек, таких как употребление алкоголя и курение. Вероятность также помогает изучить и оценить лучший план страхования в пользу человека и его семьи. Предположим, что у человека, который является активным курильщиком, больше шансов заболеть раком легких по сравнению с людьми, которые этого не делают. Таким образом, курильщику выгодно застраховаться на здоровье, а не на страхование автомобиля или дома, чтобы улучшить положение своей семьи.

Решенные примеры

Пример 1. Какова вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты один раз?

Решение: Общее количество возможных исходов равно 2, то есть Орел и Решка.

Пусть событие выпадения решки будет (E).

Вероятность выпадения решки при подбрасывании монеты:

$P(E)=\dfrac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Число всех исходов}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}$

Значит, вероятность выпадения решки $\dfrac{1}{2}$

Пример 2. В мешке находятся синий, красный и желтый шары одинакового размера и веса. Если Арчана случайно выберет мяч из мешка, то какова вероятность получить (i) синий шар, (ii) желтый шар и (iii) красный шар?

Решение:

Общее количество шаров в мешке равно 3, из них один красный, один синий и желтый. Если Арчана случайно достанет мяч из мешка, то

(i) Вероятность выпадения синего шара = $\dfrac{1}{3}$

(ii) Вероятность выпадения желтого шара =$\dfrac{1}{3}$

(iii ) Вероятность выпадения красного шара = $\dfrac{1}{3}$

Вероятность для детей — Математические игры и видео

Обучающие видео и игры для школьников

Вероятность для детей

Теория вероятностей — это раздел математики, который занимается анализом и измерением количественной вероятности того, что событие или эксперимент приведет к определенному результату. Теория вероятностей является математической основой статистики. Ниже перечислены математические игры и видеоролики с уроками вероятности, которые объясняют теорию вероятностей и связанные с ней понятия.

Математические видео и уроки: (просмотрено учителями K-12)

Вероятность, часть 1

Что такое вероятность 53 класс: 7–03 90 90

10:30

Вероятность, часть 2
9:55

Вероятность, часть 3

Класс: 7–12

Еще о вероятности.

10:05

Вероятность, часть 4
10:00

Вероятность, часть 5
10:05

Вероятность, часть 6

Класс: 7–12

Вероятность.