Теория вероятности формулы и примеры решения задач: Математическое Бюро. Страница 404

Способы решать задачи по теории вероятности, а также формулы математики, используемые при их решении

Одна из дисциплин математики, называемая теорией вероятности, занимается изучением закономерностей, которые проявляются при наблюдении случайных процессов.

В настоящее время методы теории вероятности широко используются во всех отраслях статистики, во многих разделах теоретической и прикладной физики, в астрономии, в метеорологии, в целом ряде технических дисциплин, в теории стрельбы, во многих экономических дисциплинах.

Содержание:

• Относительная частота и вероятность случайных событий
• Объединение и совмещение событий
  • Объединение событий
  • Совмещение событий
• Последовательность действий при решении задач по теории вероятности
• Видео

Относительная частота и вероятность случайных событий

Пусть над появлением некоторого случайного процесса проводится серия испытаний, причем в результате каждого испытания исход U может либо осуществиться, либо не осуществиться. Пусть проведено n испытаний, в которых исход U осуществился m раз.

Относительной частотой (или вероятностью) случайного события (Р(U)) будем называть отношение числа появлений данного исхода (m) к общему количеству испытаний (n):

Р(U)=m/n

Эту математическую формулу называют классическим определением вероятности.

Относительная частота случайного исхода U всегда заключена на отрезке [0; 1]:

0 <= Р(U) <= 1

Решим следующую простейшую математическую задачу:

Задача 1. В колоде находится 36 карт четырех мастей. Наудачу выбирают одну карту. Чему равна вероятность того, что выбранная карта бубновой масти?

Общее число карт в колоде — 36, выбирают 1. Следовательно, общее число вероятных исходов n=36. Исход U состоит в том, что выбранная карта бубновой масти. Число карт с благоприятным исходом m=9. Тогда по полученной ранее формуле Р(U) = m/n = 9/36 = 0,25.

Объединение и совмещение событий

При решении математических задач на нахождении вероятности часто используются следующие операции:

• объединение событий;
• совмещение событий.

Два события U и V считаются несовместимыми, если осуществление при единичном испытании появление исхода U исключает возможность одновременного появления исхода V, и наоборот.

Объединение событий

Объединением событий U и V считают сложное событие, которое состоит в осуществлении либо исхода U, либо исхода V. Объединение событий U и V будем обозначать U+V.

Математическую формулу для нахождения вероятности объединения событий записываем таким образом:

Р (U+V) = Р (U) + Р (V)

Отыщем решение следующей задачи:

Задача 2. Бросается игральная кость. Найти относительную частоту что число появившихся очков кратно трем.

Возможные исходы: U — при бросании кости появилось 3 очка, V — при бросании кости появилось 6 очков. Р(U)=1/6, Р(V)=1/6. Отсюда находим Р(U+V)=1/6+1/6=1/3.

Совмещение событий

Совмещением событий U и V будем называть сложное событие, которое заключается в одновременном осуществлении при данном испытании обоих этих исходов. Совмещение событий U и V будем обозначать UV.

Математическую формулу для совмещения запишем так:

Р(UV) = Р(U) х Р(V)

Отыщем решение в следующем случае:

Задача 3. Какова относительная частота одновременного выпадения шестерок одновременно на двух игральных кубиках?

Возможные исходы: U — на одном кубике выпало 6. P(U)=1/6. V — на другом кубике тоже выпало 6. P(V)=1/6. Отсюда находим Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 1/6 х 1/6 = 1/36.

Последовательность действий при решении задач по теории вероятности

Способ решения данного типа задач схож со способами решения большинства задач математики.

1. Сначала необходимо внимательно прочитать задачу для того, чтобы лучше понять процесс. Откуда какие карты извлекаются, какие кубики бросаются, какие шары из какого ящика вынимаются и т.п.
2. Записать основной вопрос наподобие «Найти вероятность того, что . ..» в виде события, относительную частоту которого требуется найти.
3. Необходимо разобраться к какой схеме изучаемой дисциплины относится задача для того, чтобы правильно выбрать математические формулы. То есть необходимо понять, происходит одно испытание или несколько, являются ли эти испытания независимыми или нет, бросается один кубик или несколько и т.п.
4. В выбранную математическую формулу подставляем исходные данные и получаем решение.

Найдем решение еще одного задания.

Задача 4. Монета бросается дважды. Найти относительную частоту того, что оба раза появится орел.

Относительная частота выпадения орла при одном бросании (первом или втором) P(U) = P(V) = 0,5. Выпадение орла при двух бросаниях происходит независимо друг от друга, поэтому имеет место совмещение двух исходов. По формуле для совмещения находим: Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 0,5 х 0,5 = 0,25.

Иногда для нахождения вероятности удобно пользоваться понятием противоположного события. Так, для исхода U — выпал орел, противоположным будет исход NOT(U) — выпала решка. При этом для противоположных событий выполняется равенство:

Р(U) + Р(NOT(U)) = 1.

Найдем решение следующей задачи:

Задача 5. Монета бросается 2 раза. Требуется найти вероятность того, что орел появится хотя бы один раз.

Здесь возможные исходы: U — орел появился хотя бы один раз и NOT(U) — орел не выпал ни разу. Задачу можно решить теми методами, которые были рассмотрены раньше, т.е. посчитать вероятность того, что выпадут два орла, или в первый раз появится орел, а во второй раз появится решка, или в первый раз появится решка, а во второй раз появится орел, и потом эти вероятности сложить.

Но можно воспользоваться другой математической формулой. Посчитаем вероятность исхода NOT(U)- два раза появится решка. Р(NOT(U)) = 0,5 х 0,5 = 0,25.

В итоге получили Р(U) = 1-Р(NOT(U)) = 1 — 0,25 = 0,75.

Видео

Из видео вы узнаете основные понятия теории вероятности

Все о теории вероятностей

1. О теории вероятностей простыми словами
2. Теория вероятностей: основные понятия
3. Теория вероятностей: формулы и примеры

Студенты математических факультетов и школьники, которые при поступлении в вуз планируют сдавать экзамен по математике, должны знать и уметь использовать формулы теории вероятности. 

 

Навык решения задач по

теории вероятности помогает людям в повседневной жизни анализировать информацию, совершать взвешенные и обдуманные поступки. Узнать о теории вероятности можно из статьи, представленной ниже.

О теории вероятностей простыми словами

Люди всегда интересовались будущим и пытались его предугадать способами, которые не имели никакого отношения к науке. Теория вероятностей помогает понять, насколько вероятны определенные события.

 

Теория вероятностей – наука, которая занимается изучением закономерностей в наступлении различных событий.

 

Выпадение одной из сторон монеты – это событие, которое происходит случайно. В ходе подобного опыта может выпасть одна из двух сторон. Выпавшая сторона – это элементарный исход. При работе с задачами по теории вероятности нужно уметь находить общее количество исходов (в данном случае – 2) и количество исходов, благоприятствующих случайному событию (в этой ситуации – 1).

 

Вероятность события определяется отношением числа благоприятных исходов к общему количеству исходов. Если при бросании монетки человеку нужна решка, а всего сторон 2, то вероятность выбрасывания решки 0,5.

 

Важно помнить, что все случайные события при поиске вероятности должны быть равновозможными. Если нужно определить вероятность нахождения 1 миллиона долларов на улице, то нельзя утверждать, что эта вероятность равна 0,5, потому что случайные события «найти миллион» и «не найти миллион» не являются равновозможными.

 

Использование теории вероятности не ограничивается уроками математики в школах и лекциями по высшей математике в вузах. Предприниматели при запуске любого продукта на рынок проводят исследования, в которых рассчитывают вероятность успеха продаж и учитывают возможные риски. 

 

Брокеры предсказывают колебания денежного курса, экономисты рассчитывают вероятность экономического кризиса, метеорологи предсказывают шторм и выражают возможность его наступления. Вероятность в своей работе используют биологи, химики, кораблестроители, историки.

Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы

Теория вероятностей: основные понятия

 

Вероятность

Степень уверенность человека в наступлении события. Человек может быть наполовину уверен в выпадении решки на математической монетке, то есть вероятность равна 0,5.

Испытание

Опыт, который проводится многократно в одинаковых условиях для определения вероятности получения определенного исхода. Бросить игральный кубик – это испытание, а получение конкретного результата – исход.

Элементарный исход

Каждый результат какого-либо испытания. 

Событие

При изучении теории вероятностей, нужно знать о разных типах событий.

• Случайными называют события, которые может случиться, а может и не случиться. Если посмотреть в окно, можно увидеть дождь или его не увидеть. Событие «дождь идет» – случайное: дождь может идти, а может и не идти. Вероятность такого события – это положительное число от нуля до единицы.
• Достоверные – это события, которые происходит при каждом испытании, то есть оно обязательно должно произойти и его вероятность равна единице. Игральная кость при подбрасывании падет на одну из граней – яркий пример достоверного события.
• Невозможные – это события, которые заведомо не могут произойти, то есть они не наступят никогда и их вероятность равна нулю. Например, на игральной кости не может выпасть 7 очков, а после лета не может наступить весна.
• Равновозможными называют события с одинаковыми возможностями для наступления. В карточной игре человеку могут выпасть как бубновый валет, так и бубновая дама.
• Зависимыми называют события, наступление одного из которых зависит от другого.
• Несовместимые – события, которые не могут произойти во время проведения одного опыта. Например, события «наступило утро» и «наступило ночь» не могут произойти одновременно. А на одном экзамене студент не может одновременно получить 5 и 2.
• Совместимыми называются два события, одно из которых своим наступлением не исключает наступление другого. Два человека могут одновременно бежать по улице, два студента могут опоздать на лекцию.

 

Читайте также: Математика онлайн – как организовать занятия по точным наукам через Skype

Теория вероятностей: формулы и примеры

Формула 1

Для наглядности нужно разобрать на примерах.  

На конкурсе 250 участников рассаживают по трем кабинетам. В первых двух по 110 человек, остальные – в третьем кабинете. Какова вероятность того, что рандомный ученик писать конкурс в третьем кабинете

n=250, m=250-(110+110)=30
 

Для определения числа благоприятных исходов вычисляется, сколько мест в каждом кабинете. Если в двух первых вместе 220 мест, а всего 250 конкурсантов, то в третьем кабинете 30 мест (количество подходящих исходов).

 

В классе 26 детей, среди них двое братьев – Марк и Денис. Школьников случайным образом разбивают на две равных команды. Каков шанс, что Марк и Денис окажутся в одной команде?

В этой задаче не нужно находить вероятность двух событий. Достаточно определить вероятность того, что Денис попадет в ту же команду, в которую определили Марка. С учетом этого число благоприятных исходов будет 12, а общее количество исходов – 25, так как Марк уже попал в определенную команду.

Формула 2

Формула 3

 

P(A+B)=P(A)+P(B)

 

Формула позволяет найти вероятность того, что произойдет хоть бы одно из событий или общую вероятность наступления обоих событий.  

 

Шанс того, что Денис сдаст экзамен на 70+ баллов равен 0,2. Вероятность того, что Кирилл сдаст экзамен на 70+ баллов – 0,3. Насколько вероятно, что Денис или Кирилл сдадут экзамен на 70+ баллов?

P(A+B)=0,2+0,3 = 0,5

 

Формула 4

 

P(AB)=P(A)xP(B)

Формула вероятности двух событий. В условии встречается союз «и», который указывает на то, что два события должны произойти одновременно.

 

Шанс, что Денис сдаст экзамен на оценку 70+ равен 0,2. Кирилл сдаст экзамен на оценку 70+ с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что Денис и Кирилл сдадут экзамен на оценку 70+?

P(AB)=0,2×0,3=0,06

Формула 5

 

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Вероятность двух событий, не зависящих друг от друга. 

 

Мужчина приходит в супермаркет и хочет приобрести булочку и кефир. Вероятность того, что в супермаркете закончатся все булочки – 0,3. Вероятность отсутствия кефира в маркете – 0,4. Вероятность того, что закончились два необходимых продукта – 0,2.
Какова вероятность того, что мужчина придет в магазин и не сможет ничего купить?

P(A)+P(B)-P(AB)=0,3+0,4-0,2=0,5

 

 

Читайте также: Образование за рубежом для казахстанцев: куда и как поступать

Условная вероятность | Формулы | Расчет | Цепное правило

← предыдущее

следующее →

---

В этом разделе мы обсудим одно из самых фундаментальных понятий теории вероятностей. Здесь вопрос: по мере получения дополнительной информации, как следует обновлять вероятности событий? За Например, предположим, что в каком-то городе $23$ процентов дней дождливые. Таким образом, если вы выберете случайный день, вероятность того, что в этот день пойдет дождь, составляет $23$ процента: $$P(R)=0,23, \textrm{где } R \textrm{ – событие, когда в случайно выбранный день идет дождь.}$$ Теперь предположим, что я выбираю случайный день, но я также говорю вам, что в выбранный день облачно. Теперь, когда у вас есть эта дополнительная информация, как обновить вероятность того, что идет дождь? тот день? Другими словами, какова вероятность того, что пойдет дождь

учитывая, что облачно? Если $C$ — это событие, состоящее в том, что облачно, то мы записываем это как $P(R | C)$, условное выражение вероятность $R$ при условии, что произошло $C$ . Разумно предположить, что в этом Например, $P(R | C)$ должно быть больше исходного $P(R)$, что называется априорной вероятностью $R$. Но что именно должно быть $P(R | C)$? Прежде чем предоставить общую формулу, давайте рассмотрим простой пример.

---

Пример

Я правильно бросил кубик. Пусть $A$ — событие, когда исход — нечетное число, т. е. $A=\{1,3,5\}$. Также пусть $B$ быть событием, когда результат меньше или равен $3$, т. е. $B=\{1,2,3\}$. Какова вероятность $A$, $P(A)$? Какова вероятность $A$ при $B$, $P(A|B)$?

---

Теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить приведенный выше пример.

Мы можем переписать вычисление, разделив числитель и знаменатель на $|S|$ следующим образом $$P(A|B)=\frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac{\frac{|A \cap B|}{|S|}}{\frac{|B |}{|S|}}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Хотя приведенный выше расчет был выполнен для конечного выборочного пространства с равновероятными исходами, получается, что полученная формула довольно общая и может применяться в любых условиях. Ниже мы формально предоставьте формулу, а затем объясните интуицию, стоящую за ней.

Если $A$ и $B$ — два события в выборочном пространстве $S$, то условная вероятность $A$ при $B$ определяется как $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \textrm{, когда } P(B)>0.$$

Вот интуиция, стоящая за формулой. Когда мы знаем, что произошло $B$, каждый результат, который находится за пределами $B$, следует отбросить. Таким образом, наше выборочное пространство сводится к множеству $B$ , Рисунок 1.21. Теперь единственный способ, которым может произойти $A$, — это когда результат принадлежит на множество $A \cap B$.

Разделим $P(A \cap B)$ на $P(B)$, так что условная вероятность пространства новой выборки становится $1$, т. е. $P(B|B)=\frac{P(B \cap B)}{P(B)}=1$.

Обратите внимание, что условная вероятность $P(A|B)$ не определена, когда $P(B)=0$. Это нормально, потому что если $P(B)=0$, то это означает, что событие $B$ никогда не происходит, поэтому говорить о вероятность $A$ при $B$.

Рис. 1.21 – Диаграмма Венна для условной вероятности, $P(A|B)$.

Важно отметить, что условная вероятность сама по себе является вероятностной мерой, поэтому она удовлетворяет аксиомы вероятности. Особенно,

• Аксиома 1: Для любого события $A$ $P(A|B) \geq 0$.
• Аксиома 2: Условная вероятность $B$ при заданном $B$ равна $1$, т. е. $P(B|B)=1$.
• Аксиома 3: Если $A_1, A_2, A_3, \cdots$ — непересекающиеся события, то $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)+P(A_3|B)+\cdots.$

На самом деле все правила, которые мы изучили до сих пор, можно распространить на условную вероятность. Например, формулы, приведенные в примере 1.10, можно переписать: Пример

Для трех событий $A$, $B$ и $C$ с $P(C)>0$ имеем 9с|С)=1-Р(А|С)$;

$P(\emptyset|C)=0$;

$P(A|C) \leq 1$;

$P(A-B|C)=P(A|C)-P(A \cap B|C)$;

$P(A \чашка B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A \cap B|C)$;

если $A \subset B$, то $P(A|C) \leq P(B|C)$.

---

Рассмотрим некоторые частные случаи условной вероятности:

---

Пример

Я дважды бросаю игральную кость и получаю два числа $X_1=$ результат первого броска и $X_2=$ результат второго броска рулон. Учитывая, что я знаю $X_1+X_2=7$, какова вероятность того, что $X_1=4$ или $X_2=4$?

• Решение

  • Пусть $A$ — это событие, когда $X_1=4$ или $X_2=4$, а $B$ — это событие, когда $X_1+X_2=7$. Мы интересует $P(A|B)$, поэтому мы можем использовать $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Мы отмечаем, что $$A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2) ,4),(3,4),(5,4),(6,4)\},$$ $$B=\{(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)\},$$ $$A \cap B= \{(4,3),(3,4)\}. $$ Мы заключаем $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ $$ = \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {2} {36}} {\ гидроразрыва {6} {36}} $ $ $$=\frac{1}{3}.$$

---

Давайте посмотрим на знаменитая вероятностная задача, называемая проблемой двух детей. Было много версий этой проблемы. обсуждались [1] в литературе, и мы рассмотрим некоторые из них в этой главе. Мы предлагаем вам попробуйте угадать ответы, прежде чем решать задачу, используя формулы вероятности.

---

Пример

Рассмотрим семью с двумя детьми. Нас интересует пол детей. Наше тестовое пространство есть $S=\{(G,G),(G,B),(B,G),(B,B)\}$. Также предположим, что все четыре возможных исхода равновероятны.

1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка?
2. Спрашиваем отца: «У тебя есть хоть одна дочь?» Он отвечает: «Да!» Учитывая это дополнительная информация, какова вероятность того, что оба ребенка девочки? Другими словами, какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем хотя бы одного из них это девушка?

• Раствор
  • Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что оба ребенка — девочки, т. е. $A=\{(G,G)\}$. Пусть $B$ будет случае, если первым ребенком будет девочка, т. е. $B=\{(G,G),(G,B)\}$. Наконец, пусть $C$ будет случае, когда хотя бы один из детей — девочка, т. е. $C=\{(G,G),(G,B),(B,G)\}$. С исходы равновероятны, мы можем написать $$P(A)=\frac{1}{4},$$ $$P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(C)=\frac{3}{4}.$$
    1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка? Это $P(A|B)$, поэтому мы можем записать

       $P(A|B)$	$= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(B)} \hspace{20pt}$	$(\textrm{так как} A \подмножество B)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

       
       
    2. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем, по крайней мере, одна из них девушка? Это $P(A|C)$, поэтому мы можем написать

       $П(А|С)$	$= \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(C)} \hspace{20pt}$	$ (\textrm{так как} A \подмножество C)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$.

       
       

---

Обсуждение: При попытке угадать ответы в приведенном выше примере многие люди предположили бы, что и $P(A|B)$, и $P(A|C)$ должен составлять $50$ процентов. Однако, как мы видим, $P(A|B)$ составляет 50$ процентов, а $P(A|C)$ — всего 33$ процентов. Это пример, когда ответы могут показаться нелогичными. Чтобы понять результаты этой задачи, полезно отметить, что событие $B$ является подмножеством события. событие $С$. На самом деле он строго меньше: в него не входит элемент $(B,G)$, а в $C$ есть элемент. Таким образом, множество $C$ имеет больше исходов, не принадлежащих $A$, чем $B$, а это означает, что $P(A|C)$ должно быть меньше $P(A|B)$.

Часто полезно представлять вероятность в процентах. Например, чтобы лучше понять результаты этой проблемы, давайте представим, что есть семьи за 4000$, которые имеют двух детей. Поскольку результаты $(G,G),(G,B),(B,G)$ и $(B,B)$ равновероятны, у нас будет около 1000$ семей, связанных с каждым результатом, как показано на рисунке 1. 22. Чтобы найти вероятность $P(A|C)$, мы выполняем следующий эксперимент: мы выбираем случайную семью из семей, в которых есть хотя бы одна дочь. Это семьи, показанные в рамке. Из этих семей есть 1000$ семей с двумя девочками и есть Семьи по $2000$, в которых ровно одна девочка. Таким образом, вероятность выбора семьи с двумя девочками равна $\frac{1}{3}$.

Рис.1.22 — Пример, помогающий понять $P(A|C)$ в примере 1.18.

Цепное правило для условной вероятности:

Запишем формулу для условной вероятности в следующем формате $$\hspace{100pt} P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \hspace{100pt} (1.5)$$ Этот формат особенно полезен в ситуациях, когда нам известна условная вероятность, но мы интересует вероятность пересечения. Мы можем интерпретировать эту формулу, используя дерево диаграмму, подобную той, что показана на рис. 1.23. На этом рисунке мы получаем вероятность в каждой точке путем умножения вероятностей на ветвях, ведущих к этой точке. Этот тип диаграммы может быть очень полезным для некоторых проблем.

Рис.1.23 — Древовидная диаграмма.

Теперь мы можем расширить эту формулу до трех или более событий: $$\hspace{70pt} P(A \cap B \cap C)=P\big(A \cap (B \cap C)\big)=P(A)P(B \cap C|A) \hspace {70pt} (1,6)$$ Из уравнения 1.5 $$P(B \cap C)=P(B)P(C|B).$$ Обусловливая обе части на $A$, получаем $$\hspace{110pt} P(B \cap C|A)=P(B|A)P(C|A,B)\hspace{110pt} (1.7)$$ Комбинируя уравнения 1.6 и 1.7, мы получаем следующее цепное правило: $$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A,B).$$ Суть здесь в том, чтобы понять, как можно вывести эти формулы, и попытаться использовать интуицию. о них, а не запоминать их. Вы можете расширить дерево на рис. 1.22 до этот случай. Здесь у дерева будет восемь листьев. Общее утверждение цепного правила для $n$ события таковы:

Цепное правило для условной вероятности: $$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1) \cdots P(A_n|A_{n-1}A_{n -2} \cdots A_1)$$

---

Пример

На фабрике имеется $100$ единиц определенного товара, $5$ из которых неисправны. Мы выбираем три единицы из 100$ единиц случайным образом. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных?

---

← предыдущая

следующая →

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Решенные задачи простой и сложной вероятности

В этой статье вы найдете несколько решенных задач простой и сложной вероятности. Но прежде чем приступить к решению задач, сначала вы получите краткое введение в простые и сложные вероятности и их формулы. Итак, давайте начнем.

Что такое вероятность?

Вероятность события или степень, в которой что-то может произойти, известна как вероятность .

Точно такое же определение вероятности в математике. Это вероятность наступления события. Ниже приведены несколько примеров вероятности:

• Выбор красного шара из группы цветных шаров
• Решка вверх после подбрасывания монеты
• Выбор дамы из колоды из 52 карт
• Выбор шоколадного мороженого из набора из восьми вкусов

Это лишь некоторые примеры вероятности из нашей повседневной жизни. Вероятность возникновения различных событий неодинакова.

• Если точно известно, что событие произойдет, то его вероятность будет равна 1 .
• Если вероятность события равна 0 , то мы предполагаем, что нет возможности возникновения события.
• Вероятности всех возможных событий находятся в диапазоне от 0 до 1 .

Мы можем обозначить это так:

Здесь:

A — это событие, а P(A) — вероятность возникновения события A. Выборочное пространство — это набор вероятных исходов события. . Например, если вы одновременно подбросите две монеты, то возможные исходы будут:

{(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}

Этот список возможных результатов известен как выборочное пространство .

Найти простую вероятность несложно, поскольку нам просто нужно разделить количество способов, которыми может произойти событие, на общее количество исходов.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Сложная вероятность

Мы используем следующую формулу сложной вероятности, если нас просят указать вероятность возникновения более чем одного события:

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

Здесь:

• A и B — любые два события.
• P(A) означает вероятность возникновения события A.
• P(B) означает вероятность возникновения события B.
• P(A и B) означает вероятность того, что события A и B произойдет одновременно.

Теперь, когда вы знаете, что такое простые и сложные вероятности, давайте перейдем к следующим примерам, которые прояснят всю концепцию.

 

Пример 1

В классе 30 девочек и 15 мальчиков. 20 из 30 девушек любят футбол, а остальные любят бадминтон. 10 из 15 мальчиков любят футбол, а остальные любят бадминтон. Найдите вероятность того, что случайно выбранным студентом будет:

• Девочка
• Мальчик, который любит футбол
• Девочка или мальчик

Решение

Эта задача состоит из трех частей. Найдем вероятность каждого события отдельно:

а) Девочка

Количество девочек в классе = 30

Общее количество учеников в классе = 45

Вероятность того, что случайным образом выбранными учениками будет девочка =

его наиболее упрощенная форма выглядит следующим образом:

 

б) Мальчик, который любит футбол

Количество мальчиков, которые любят футбол = 10

выбранным случайным образом будет мальчик, который любит футбол =

Упрощение приведенной выше вероятности даст нам следующую дробь:

 

c) Мальчик или девочка

Вероятность того, что выбранный ученик будет мальчиком или девочкой, равна 1, потому что, как мы обсуждали ранее что если точно известно, что событие произойдет, то вероятность равна 1.

 

Пример 2

Джон бросает кости. Какова вероятность получить 3 или 6?

Решение

Это пример сложной вероятности, потому что нас просят определить вероятность двух событий. Формула для вычисления сложной вероятности приведена ниже:

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

По этой формуле сначала нужно получить вероятность каждого события в отдельности вот так:

Вероятность выпадения 3 очков =

Вероятность выпадения 6 очков =

Так как бросается только одна игральная кость, то вероятность выпадения 3 и 6 равна 0.

Подстановка значений вероятности в формулу сложной вероятности даст нам вероятность получения 3 или 6:

=

 

Пример 3

Найти вероятность выбора одной или двух красных карт из колоды из 52 карт.

Решение

Чтобы решить вопросы вероятности, связанные с картами, вы должны знать, как распределяются 52 карты в колоде.

В колоде из 52 карт:

• Четыре масти
• Две масти черные карты и две красные
• В каждой масти по 13 карт. Эти 13 карт включают даму, короля, валета, туз, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9., и 10.

 

Общее количество красных карт в колоде =

Общее количество карт в колоде = 52

Вероятность выбора красной карты из колоды =

 

2 в колоде = 4

Общее количество карт в колоде = 52

Вероятность выбора 2 из колоды =

 

Общее количество карт в колоде = 52

Количество красных карт и 2 из колода = 2

Вероятность выбора 2 и красной карты =

 

Теперь мы подставим все эти значения в формулу сложной вероятности, чтобы получить вероятность выбора красной карты или 2 из колоды.

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

Алгебраическое решение и упрощение приведенного выше выражения даст нам следующий ответ:

 

Пример 4

В пуле 20 шаров и 40 блоков. 10 из 20 шаров красные, а остальные синие. 15 из 45 блоков зеленые, 10 красные, а остальные синие. Найдите вероятность того, что случайно выбранный предмет будет:

• Мяч
• Мяч красного цвета
• Синий предмет

Решение

Эта задача состоит из трех частей. Найдем вероятность каждого события в отдельности:

а) Шар

Количество шаров в пуле = 20

Общее количество предметов в пуле = 60

Вероятность того, что случайно выбранный предмет будет шар:

Запишем дробь в самом упрощенном виде так:

 

б) Шар красного цвета

Количество шаров красного цвета = 10

Общее количество предметов = 60

Упрощение приведенной выше вероятности даст нам следующую дробь:

 

c) Объект синего цвета

Количество синих шаров в бассейне = 10

Количество синих блоков в бассейне = 20

Общее количество предметов в пуле = 60

Вероятность того, что случайно выбранный предмет будет предметом синего цвета =

 

Пример 5

Алиса бросает кубик на полу.