Теория вероятности основные понятия: Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

alexxlab / / Разное

Содержание

01. Теория вероятностей. Основные понятия

Определение. Событием Называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т. е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

В отношении друг друга события также имеют особенности, т. е. в одном случае событие А может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

Определение. События называются Несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Определение. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Определение.

Достоверным событием Называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется Невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только Красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называются Равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности.

Определение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного – равна нулю. Таким образом, значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Определение. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т. д.

Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Чтобы преодолеть этот недостаток вводится понятие

Геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или часть плоскости (пространства).

Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад взятой точки в отрезок L равна отношению L/L.

Следующая >

Задачи теории вероятностей. Основные понятия

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, которые наблюдаются при многократном повторении опыта. На ее основе построены математическая и прикладная статистика. Ниже введен ряд основных понятий, которые Вам нужно понять при изучении курса теории вероятностей.

Под испытанием (экспериментом) понимают некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Опыт может проводиться многократно в подобных (неизменных основных) условиях, однако ряд второстепенных условий и факторов, которые невозможно проконтролировать изменяется от испытания к испытанию и приводят к разным результатам последствий эксперимента.

Случайным событием (событием) называется любой факт, который в результате эксперимента может состояться или не состояться. Случайные события обозначают большими латинскими буквами .

Вероятностью события называется численная мера свободы уверенности в появлении данного события вследствие нового испытания.

Вероятность события обозначается как .

Вероятной (достоверностью) называется событие , которое в результате испытания непременно должно произойти. Для достоверного события вероятность равна единице .

Невозможным называется такое событие , которое в результате опыта не может произойти.
Для невозможного события вероятность равна нулю .

Вероятность любого случайного события принимает значения между нулем и единицей:

.

Полной группой событий называется ряд таких событий , что в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Несколько событий в опыте называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться одновременно.


Несколько событий в испытании называются равновозможными, если они имеют равные шансы появления в результате испытания. Примерами равновозможных событий можно отметить появление: герба или цифры при одном подбрасывании монеты; четного и нечетного числа очков при одном подбрасывании игрального кубика и т.д.

Если последствия испытания образуют полную группу несовместных равновозможных событий, то они называются случаями.

Множество всех результатов эксперимента, которое рассматривается называется пространством элементарных событий.

Следствие (случай) называется благоприятным событию , если оно приводит к обязательному появлению события .

Классическое определения вероятности

Если результаты испытания сводятся к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле

Где – общее число случаев; – число случаев, благоприятствующих событию .

Приведенное соотношение является классической формулой вычисления вероятности событий.

———————————————-

Приведем несколько типичных примеров.

Пример 1. В цеху по изготовлению мячей для гольфа в одной коробке было 67 мячей правильной формы и 23 мяча неправильной формы в другой. Мячи ссыпали в одну коробку. Какова вероятность того, что наугад извлечен мяч будет неправильной формы ?

Решение

Общее число равновозможных событий равна количеству всех мячей

Число способствующих событий, которые заключается в извлечении бракованного мяча — равны их количеству

По формуле вычисляем

———————————————-

Пример 2. На столе выложены кубики с номерами от единицы до девяти. Ученик наугад вытаскивает один кубик. Какова вероятность того, что:

— число из кубика делится на 3?

— число делится на 2?

Решение

Общее число случайных событий равно количеству кубиков

Число способствующих событию можно изобразить в виде множества , для В множество благоприятных событий будет следующим На основе этого число принимает значение и для первого и второго события соответственно. Вероятность их появления определяем по известной формуле

Пример 3. В группе 17 ребят и 13 девушек. Преподавателю нужно вызвать кого-то для проверки выполнения домашних заданий. Какова вероятность того, что к доске выйдет девушка?

Решение

Общее число равносильных событий равно количеству учащихся

Число девушек равно

Тогда искомая вероятность

 

Теория зрения — Основная вероятность

Теория зрения — Основная вероятность
Глава 1

Эта глава представляет собой введение в основные понятия теории вероятностей.

Случайность

Нас окружает случайность. Теория вероятностей — это математическая основа, которая позволяет нам анализировать случайные события логически обоснованным образом. Вероятность события – это число, указывающее, насколько вероятно, что это событие произойдет. Это число всегда находится между 0 и 1, где 0 означает невозможность, а 1 — уверенность.

Классический пример вероятностного эксперимента — правильное подбрасывание монеты, в котором два возможных исхода — орел или решка. В этом случае вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. В реальной серии подбрасываний монеты мы можем получить больше или меньше ровно 50% орла. Но по мере увеличения количества подбрасываний долгосрочная частота выпадения орла неизбежно приближается к 50%.

Подбросить монету

Подбросить 100 раз

Для нечестной или взвешенной монеты два исхода не равновероятны. Вы можете изменить вес или распределение монеты, перетащив столбцы истинной вероятности (справа синим цветом) вверх или вниз. Если мы присвоим числа результатам — скажем, 1 для орла, 0 для решки — тогда мы создадим математический объект, известный как случайная величина.

Ожидание

Ожидание случайной величины — это число, которое пытается захватить центр распределения этой случайной величины. Его можно интерпретировать как долгосрочное среднее многих независимых выборок из данного распределения. Точнее, он определяется как взвешенная по вероятности сумма всех возможных значений в опоре случайной величины,

$$\text{E}[X] = \sum_{x \in \mathcal{X}}xP(x)$$

Рассмотрим вероятностный эксперимент по бросанию игральной кости и наблюдайте, как среднее значение текущей выборки сходится к математическому ожиданию 3,5.

Бросьте игральную кость

Бросьте 100 раз

Измените распределение различных граней игральной кости (таким образом делая кость смещенной или «несправедливой»), регулируя синие полосы ниже, и наблюдайте, как это меняет ожидание.

Дисперсия

В то время как ожидание обеспечивает меру центральности, дисперсия случайной величины количественно определяет разброс распределения этой случайной величины. Дисперсия — это среднее значение квадрата разницы между случайной величиной и ее математическим ожиданием, 92]$$

Случайным образом вытяните карты из колоды из десяти карт. Продолжая вытягивать карты, обратите внимание, что скользящее среднее квадратов разностей (зеленое) начинает напоминать истинную дисперсию (синее).

Возьмите карту

Возьмите 100 раз

Переключите, какие карты вы хотите включить в колоду, нажав на них ниже.