Теорию оценивания и теорию проверки статистических гипотез содержит: Об асимптотической эффективности критериев в задачах проверки гипотез

Обзор статистической проверки гипотез — Статистика Джим

В этом сообщении блога я объясню, почему вам необходимо использовать статистическую проверку гипотез, и помогу вам ориентироваться в основной терминологии. Проверка гипотез — важная процедура, которую необходимо выполнить, если вы хотите сделать выводы о совокупности, используя случайную выборку. Эти выводы включают оценку свойств совокупности, таких как среднее значение, различия между средними значениями, пропорции и отношения между переменными.

В этом посте представлен обзор статистической проверки гипотез. Если вам нужно выполнить проверку гипотез, подумайте о том, чтобы приобрести мою книгу «Проверка гипотез: интуитивное руководство».

Зачем выполнять статистическую проверку гипотез

Проверка гипотез — это форма логической статистики, которая позволяет нам делать выводы обо всей совокупности на основе репрезентативной выборки. Вы получаете огромные преимущества, работая с образцом. В большинстве случаев просто невозможно наблюдать за всей популяцией, чтобы понять ее свойства. Единственная альтернатива — собрать случайную выборку, а затем использовать статистику для ее анализа.

Хотя образцы гораздо более практичны и дешевле в работе, есть и компромиссы. Когда вы оцениваете свойства совокупности по выборке, маловероятно, что выборочная статистика будет точно соответствовать фактической величине совокупности. Например, среднее значение вашей выборки вряд ли будет равно среднему значению генеральной совокупности. Разница между статистикой выборки и значением генеральной совокупности является ошибкой выборки.

Различия, наблюдаемые исследователями в выборках, могут быть связаны с ошибкой выборки, а не с реальным эффектом на уровне популяции. Если ошибка выборки вызывает наблюдаемую разницу, то в следующий раз, когда кто-то проведет тот же эксперимент, результаты могут быть другими. Проверка гипотез включает оценку ошибки выборки, чтобы помочь вам принять правильное решение. Узнайте больше об ошибке выборки.

Например, если вы изучаете долю дефектов, вызванных двумя производственными методами, любая разница, которую вы заметите между пропорциями двух образцов, может быть ошибкой выборки, а не реальной разницей. Если разница не существует на уровне населения, вы не получите ожидаемых преимуществ на основе выборочной статистики. Это может дорого обойтись!

Давайте рассмотрим некоторые основные термины проверки гипотез, которые вам необходимо знать.

Исходная информация : Разница между описательной и логической статистикой и совокупностями, параметрами и выборками в логической статистике

Проверка гипотез

Проверка гипотез — это статистический анализ, в котором используются выборочные данные для оценки двух взаимоисключающих теорий о свойствах совокупности. Статистики называют эти теории нулевой гипотезой и альтернативной гипотезой. Тест гипотез оценивает статистику вашей выборки и учитывает оценку ошибки выборки, чтобы определить, какую гипотезу поддерживают данные.

Когда вы можете отклонить нулевую гипотезу, результаты являются статистически значимыми, и ваши данные подтверждают теорию о существовании эффекта на уровне популяции.

Эффект

Эффект представляет собой разницу между значением генеральной совокупности и значением нулевой гипотезы. Эффект также известен как эффект популяции или разница. Например, средняя разница между результатами для здоровья в группе лечения и контрольной группе является эффектом.

Как правило, вы не знаете размер фактического эффекта. Однако вы можете использовать проверку гипотезы, чтобы определить, существует ли эффект, и оценить его размер. Тесты гипотез преобразуют ваш эффект выборки в тестовую статистику, которую он оценивает на предмет статистической значимости. Узнайте больше о статистике тестов.

Эффект может быть статистически значимым, но это не обязательно означает, что он важен в реальном практическом смысле. Для получения дополнительной информации прочитайте мой пост о статистической и практической значимости.

Нулевая гипотеза

Нулевая гипотеза — это одна из двух взаимоисключающих теорий о свойствах совокупности при проверке гипотез. Обычно нулевая гипотеза утверждает, что эффекта нет (т. е. размер эффекта равен нулю). Нуль часто обозначается H ₀ .

При проверке любой гипотезы исследователи проверяют некий эффект. Эффектом может быть эффективность новой прививки, долговечность нового продукта, доля брака в производственном процессе и так далее. Существует некоторое преимущество или различие, которое исследователи надеются выявить.

Однако возможно отсутствие эффекта или различий между экспериментальными группами. В статистике мы называем это отсутствие эффекта нулевой гипотезой. Следовательно, если вы можете отвергнуть нулевое значение, вы можете отдать предпочтение альтернативной гипотезе, утверждающей, что эффект существует (не равен нулю) на уровне популяции.

Вы можете думать о нуле как о теории по умолчанию, против которой требуются достаточно веские доказательства, чтобы отвергнуть ее.

Например, в t-критерии с двумя выборками нулевое значение часто означает, что разница между двумя средними значениями равна нулю.

Связанный пост : Более подробное понимание нулевой гипотезы

Альтернативная гипотеза

Альтернативная гипотеза — это другая теория о свойствах населения при проверке гипотез. Как правило, альтернативная гипотеза утверждает, что параметр совокупности не равен значению нулевой гипотезы. Другими словами, имеет место ненулевой эффект. Если ваша выборка содержит достаточно доказательств, вы можете отклонить нулевую гипотезу и отдать предпочтение альтернативной гипотезе. Альтернатива часто отождествляется с H ₁ или H _A .

Например, в t-критерии с двумя выборками альтернатива часто утверждает, что разница между двумя средними не равна нулю.

Вы можете указать либо одностороннюю, либо двустороннюю альтернативную гипотезу:

Если вы выполняете проверку двусторонней гипотезы, альтернатива утверждает, что параметр совокупности не равен нулевому значению. Например, когда альтернативной гипотезой является H _A : μ ≠ 0, тест может обнаруживать различия как больше, так и меньше нулевого значения.

Односторонняя альтернатива имеет больше возможностей для обнаружения эффекта, но может проверять различия только в одном направлении. Например, H _A : μ > 0 может проверять только различия, которые больше нуля.

Связанные сообщения : Понимание T-тестов и односторонних и двусторонних тестов гипотез Объяснение

P-значения

P-значения — это вероятность того, что вы получите эффект, наблюдаемый в вашей выборке, или больше , если нулевая гипотеза верна. Проще говоря, p-значения говорят вам, насколько сильно ваши выборочные данные противоречат нулю. Более низкие p-значения представляют собой более сильные доказательства против нуля. Вы используете P-значения в сочетании с уровнем значимости, чтобы определить, поддерживают ли ваши данные нулевую или альтернативную гипотезу.

Связанный пост : Правильная интерпретация P-значений

Уровень значимости (альфа)

Уровень значимости, также известный как альфа или α, является доказательным стандартом, который исследователи устанавливают перед исследованием. Он указывает, насколько сильно выборочное свидетельство должно противоречить нулевой гипотезе, прежде чем вы сможете отклонить нулевое значение для всей совокупности. Этот стандарт определяется вероятностью отклонения истинной нулевой гипотезы. Другими словами, это вероятность того, что вы говорите о наличии эффекта, когда его нет. Низкие уровни значимости указывают на то, что вам требуются более веские доказательства, прежде чем вы отклоните нулевое значение.

Например, уровень значимости 0,05 означает 5-процентный риск того, что эффект существует, хотя его не существует.

Используйте p-значения и уровни значимости вместе, чтобы определить, какую гипотезу поддерживают данные. Если p-значение меньше вашего уровня значимости, вы можете отклонить нулевое значение и сделать вывод, что эффект является статистически значимым. Другими словами, доказательства в вашей выборке достаточно убедительны, чтобы можно было отвергнуть нулевую гипотезу на уровне популяции.

Похожие сообщения : Графический подход к уровням значимости и P-значениям и концептуальный подход к пониманию уровней значимости о целых популяциях. Существует два типа ошибок, связанных с неправильным выводом.

• Ложные срабатывания: вы отклоняете нулевое значение, которое является истинным. Статистики называют это ошибкой первого рода. Частота ошибок типа I равна вашему уровню значимости или альфа (α).
• Ложные отрицательные значения: вы не можете отклонить нулевое значение, которое является ложным. Статистики называют это ошибкой второго рода. Как правило, вы не знаете частоту ошибок типа II. Тем не менее, это больший риск, когда у вас небольшой размер выборки, зашумленные данные или небольшой размер эффекта. Частота ошибок типа II также известна как бета (β).

Статистическая мощность — это вероятность того, что проверка гипотезы сделает правильный вывод о наличии в генеральной совокупности эффекта выборки. Другими словами, тест правильно отклоняет ложную нулевую гипотезу. Следовательно, мощность обратно пропорциональна ошибке второго рода. Мощность = 1 – β. Узнайте больше о силе в статистике.

Похожие сообщения : Типы ошибок при проверке гипотез и оценке хорошего размера выборки для вашего исследования с использованием анализа мощности

Какой тип проверки гипотез вам подходит?

Существует множество различных процедур, которые вы можете использовать. Правильный выбор зависит от ваших целей исследования и данных, которые вы собираете. Вам нужно понять среднее значение или различия между средними значениями? Или, возможно, вам нужно оценить пропорции. Вы даже можете использовать проверку гипотез, чтобы определить, являются ли отношения между переменными статистически значимыми.

Чтобы выбрать правильную статистическую процедуру, вам необходимо оценить цели вашего исследования и собрать правильный тип данных. Это предварительное исследование необходимо, прежде чем вы начнете исследование.

Связанный пост : Тесты гипотез для непрерывных, двоичных и счетных данных

Статистические тесты имеют решающее значение, когда вы хотите использовать выборочные данные, чтобы сделать выводы о генеральной совокупности, поскольку эти тесты учитывают ошибки выборки. Использование уровней значимости и p-значений для определения того, когда следует отклонить нулевую гипотезу, повышает вероятность того, что вы сделаете правильный вывод.

Чтобы увидеть альтернативный подход к этим традиционным методам проверки гипотез, узнайте о начальной загрузке в статистике!

Если вы хотите увидеть примеры проверки гипотез в действии, я рекомендую следующие написанные мной посты:

• Насколько эффективны прививки от гриппа? В этом примере показано, как можно использовать статистику для проверки пропорций.
• Смертность в Звездном пути. В этом примере показано, как использовать проверку гипотез с категориальными данными.
• Разрушение мифов о битве полов. Забавный пример, основанный на эпизоде ​​«Разрушители мифов», который оценивает непрерывные данные с помощью нескольких разных тестов.
• Заразна ли зевота? Еще один забавный пример, вдохновленный эпизодом «Разрушители мифов».

Проверка гипотез

Обзор урока

• Проверка гипотез
• Ошибки типа I и типа II
• Сила теста
• Вычисление тестовой статистики
• Принятие решения по поводу H ₀
• Студент t Распределение
• Степени свободы
• Таблица значений t
• Практическая значимость и статистическая значимость
• Домашнее задание

Проверка гипотез

выводных статистика.

Наши две гипотезы имеют специальные названия: нулевая гипотеза представлен H ₀ и альтернативой гипотеза по H _a . Исторически нуль (недействительная, недействительная, ни к чему не приводящая) гипотеза заключалась в том, что исследователь надеялся отвергнуть. В наши дни это обычная практика не связывать какое-либо особое значение с тем, какая гипотеза есть какая. (Но эта обычная практика, возможно, еще не распространилась на науку о поведении. исследовательская гипотеза становится альтернативной гипотезой и нулевая гипотеза или «соломенный человечек», который нужно сбить с ног, определяется таким образом.) Хотя проще всего проверить простые гипотезы, чаще иметь по одному каждого типа или, возможно, оба должны быть составными. Если значения, указанные H _a , все на одной стороне значения, указанного H ₀ , то мы имеем односторонний тест (односторонний), тогда как если Н _и значения лежат по обе стороны от H ₀ , то мы имеем двухсторонний тест (двусторонний). Односторонний тест иногда называют тестом направления и двусторонний тест иногда называют ненаправленным тестом .

Результатом нашего теста относительно параметра населения будет что мы либо отвергаем нулевую гипотезу, либо не удается отклонить нулевая гипотеза. Считается плохая форма «принять» нулевую гипотезу, хотя если мы не в состоянии отвергнуть его, это фактически то, что мы делаем. Когда мы отвергаем нулевую гипотезу, мы только показываем, что она крайне маловероятно, чтобы быть правдой — мы не доказали это в математический смысл. Гипотеза исследования поддерживается отклонением нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза определяет распределение выборки, поскольку оно (обычно) простая гипотеза, проверяющая одно конкретное значение параметра населения. Установление нулевой и альтернативной гипотез иногда считается первым шагом в проверке гипотез.

Ошибки типа I и типа II

Термин ложноположительный для ошибок типа II происходит, возможно, от анализ крови, где результаты теста оказались положительными, но это не случай (ложный), что у человека есть то, на что проверяли. Тогда термин ложноотрицательный для ошибок типа I будет означать, что у человека действительно есть то, на что его проверяли, но тест не нашел. При тестировании на беременность, СПИД или другие медицинские условиях, оба типа ошибок могут быть очень серьезной проблемой. Формально альфа = P (Принять H _a | H ₀ правда), что означает вероятность того, что мы «приняли» H _a , когда на самом деле H ₀ было правдой. Альфа — термин, используемый для обозначения уровня значимости мы примем. Для достоверности 95% альфа = 0,05. Для достоверности 99% альфа = 0,01. Эти два альфа-значения используются чаще всего. Если наше P-значение, высокая вероятность H ₀ , меньше альфа, мы можем отвергнуть нулевую гипотезу. Альфа и бета, как правило, не могут быть сведены к минимуму — есть компромисс между двумя. В идеале, конечно, мы бы минимизировали и то, и другое. Исторически так сложилось, что фиксированный уровень значимости был выбрано (альфа = 0,05 для социальных наук и альфа = 0,01 или альфа = 0,001 например, по естественным наукам). Это произошло из-за того, что что нулевая гипотеза считалась «текущей теорией» и размер Ошибки первого рода была гораздо важнее, чем ошибка Ошибки типа II. Теперь оба обычно рассматриваются вместе при определении выборка адекватного размера. Вместо тестирования с фиксированным уровень альфа, теперь часто сообщается значение P . Очевидно, чем меньше значение P , тем сильнее доказательства (более высокая значимость, меньшая альфа) предоставленные данные относятся к H ₀ .

Пример: 14 июля 2005 г. мы взяли 10 проб. 20 пенни поставили на ребро и ударили по столу. В результате среднее число голов составило 14,5 при стандартном отклонении 2,12. Поскольку это небольшая выборка, и дисперсия генеральной совокупности неизвестна, после того, как мы вычислим значение t и получим t =6,71=(14,5-10)/(2,12/ (10)), мы применяем t -тест и находим P -значение любого из 8,73×10 ^-5 или 4,36×10 ^-5 в зависимости от проводим ли мы односторонний или двусторонний тест. В любом случае наши результаты статистически значимых на уровне 0,0001.

Сила теста

Установка уровня значимости будет соответствовать вероятности того, что мы готовы ошибаться в своем заключении, если была совершена ошибка первого рода. Эта вероятность будет соответствовать определенной области (областям) под кривой распределения вероятностей. Эти районы, известные как область отклонения ограничена критическим значением или 90 187 критических значений 90 188, которые часто вычисляются. В качестве альтернативы можно сравните тестовую статистику с соответствующей точки на кривой вероятности. Это эквивалентно способы рассмотрения проблемы, просто разные единицы измерения используются. В одностороннем тесте есть одна область, ограниченная одним критическим значением и в двустороннем тесте есть две области, ограниченные двумя критическими значениями. Какой хвост (левый или правый) рассматривается для односторонний тест зависит от направленности гипотезы.

Установление уровня значимости и соответствующих критическое значение (я) иногда считается вторым этап проверки гипотез. Предположительно, мы определили, как статистика мы хотим протестировать распространяется. Эта выборка распределение является основным распределением статистики и определяет, какой статистический тест будет выполнен.

Вычисление тестовой статистики

Принятие решения по

Студент

Проверка гипотезы на уровне альфа=0,05 или установление 95-процентного доверительного интервала снова существенно тоже самое. В обоих случаях критические значения и области отторжения одинаковы. Тем не менее, мы будем более формально развивать доверие интервалы в уроке 9 (Хинкл, глава 9).

Сначала немного истории о любопытном названии этого дистрибутива. Уильям Госсет (1876-1919 гг.)37) был химиком пивоварни Guinness, которому нужно было используется с небольшими образцами. Так как ирландская пивоварня не разрешила публикацию результатов исследований он опубликовал в 1908 г. под псевдонимом Студент. Мы знаем, что большие выборки приближаются к нормальному распределению. Госсет показал, что небольшие образцы, взятые практически из Нормальная популяция имеет распределение, характеризующееся размером выборки. Население не обязательно должно быть абсолютно нормальным, только одномодальным и в основном симметричный. Это часто характеризуется как куча формы или холмообразной формы.

Ниже приведены важные свойства распределения Стьюдента t .

1. Распределение Student t отличается для разных выборок размеры.
2. Распределение Student t обычно имеет колоколообразную форму, но при меньших размерах выборки показывает повышенную изменчивость (более плоскую). Другими словами, распределение менее остроконечное, чем нормальное распределение и с более толстыми хвостами (платикуртик). По мере увеличения размера выборки распределение приближается к нормальному распределению. Для н > 30, отличия незначительны.
3. Среднее значение равно нулю (во многом аналогично стандартному нормальному распределению).
4. Распределение симметрично относительно среднего.
5. Дисперсия больше единицы, но приближается к единице сверху по мере увеличения размера выборки ( ² =1 для стандартного нормального распределения).
6. Учитывается тот факт, что стандартное отклонение населения неизвестно.
7. Популяция в основном нормальная (унимодальная и в основном симметричная)

Чтобы использовать дистрибутив Student t , который часто называют просто распределения t , первым шагом является вычисление t -показателей. Это очень похоже на нахождение z баллов. Формула:

На самом деле, поскольку среднее значение населения, вероятно, также неизвестно, необходимо использовать выборочное среднее значение. критический t — счет можно найти на основе желаемый уровень уверенности и степеней свободы . Степени свободы — довольно технический термин, который пронизывает всю логическую статистику. Обычно его обозначают df . В данном случае это очень распространенное значение n -1.

Откуда взялся термин степени свободы? Предположим, например, что у вас есть телефонный счет от Ameritech, в котором указано, что ваша семья должна 100 долларов. Ваши мать и отец заявляют, что 70 долларов из них их, и что ваш младший брат должен всего 5 долларов. Сколько это оставляет вам? Здесь n = 3 (родители, брат, сестра, вы), но если у вас есть сумма (или среднее значение) и еще две части информации, последний элемент данных ограничен. То же самое и со степенями свободы, вы можете использовать любые n -1 точка данных, но последняя будет определяться для заданного среднего значения. Другой пример: 10 тестов, в среднем 55, если вы назначаете девять человек. случайные оценки, последняя тестовая оценка не случайна, а ограничена общее среднее. Таким образом, для 10 тестов и среднего значения имеется девять степеней свободы.

Если интервал требует уровня достоверности 90%, тогда альфа = 0,10 и альфа/2 = 0,05 (для двустороннего теста). Таблицы значений t обычно имеют столбец для степеней свободы. а затем столбцы t значений, соответствующих различным участки хвоста. Ниже приведена сокращенная таблица. Для получения полного набора значений обратитесь к таблице большего размера или к вашему TI-83+. графический калькулятор. DISTR 5 дает tcdf . tcdf ожидает три аргумента, нижнее значение t , верхнее значение t и степени свободы. Поскольку на калькуляторе не задана функция, обратная t , могут быть задействованы некоторые догадки. Обратите внимание, как tcdf(9.9,9E99,2) указывает на значение t около 9,9 для однохвостой области 0,005 с двумя степенями свободы. Пожалуйста, найдите соответствующее значение 9,925 в таблице.

Как и в случае с другими доверительными интервалами, мы используем оценку t , чтобы получить предел погрешности термин, который добавляется и вычитается из статистики представляющий интерес (в данном случае выборочное среднее), чтобы получить достоверность интервал для интересующего параметра (в данном случае среднее значение генеральной совокупности). В этом случае предел погрешности определен (поскольку у вас нет стандартное отклонение населения, которое вы используете для выборки) как:

Ваш доверительный интервал должен выглядеть так: — МЭ < µ < + Я.

Таблица

Хотя процедура t довольно надежная , то есть не сильно меняется, когда предположения процедуры нарушены, вы всегда должны строить данные для проверки на асимметрию и выбросы, прежде чем использовать его на небольших выборках. Здесь small можно интерпретировать как n < 15. Если ваша выборка мала, а данные явно ненормальны или имеют выбросы присутствуют, не используйте t . Если ваша выборка не маленькая, а n < 40, а есть контуры или сильный перекос, не используйте t . Поскольку предположение о том, что выборки случайны, важнее что нормальность распределения населения, t статистику можно безопасно использовать, даже если выборка указывает на население явно перекошено, если n > 40.

Испытания двух образцов t будут обсуждаться в урок 10.

Практическая значимость и статистическая значимость

Статистическая точность может быть определена как обратная величина стандартной ошибки для данной тестовой статистики. Таким образом, статистическая точность напрямую зависит от размера выборки. вернее, его квадратный корень. Критики назвали логическую статистику «игрой чисел». в том, что при достаточно большой выборке мы должны быть в состоянии доказать почти что угодно. Это, однако, игнорирует тщательный дизайн и другие работы, проделанные в ходе расследования, которые должны дать практические соображения относительно статистических последствий. Как только инструменты логической статистики помогают анализировать данные, эти результаты все еще нуждаются в осведомлённой интерпретации.

• Электронная почта: calkins@andrews.

  No related posts.