Tg3X производная: Найдите производную функции y= tg3x в точке х₀= пи

2

Интегральное исчисление

1. Множество всех первообразных функции имеет вид…

1) +C 2) *3) 4 ln |x|+C 4) 4 ln |x|

2. В результате подстановки t= 2x+3 интеграл ∫cos(2x+3)dx приводится к виду…

1) ∫Cost dt 2) ∫Cost dx *3) 1/2∫Cost dt 4) 2∫Cost dt

3. Площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом…

1 ) (9-x²)dx 2) (9-x²)dx

*3) (9-x²)dx 4) (9-x²)dx

4. Определенный интеграл 2 равен…

1) 0 *2) 24 3) 51 4) 3/2

5. Множество всех первообразных функции имеет вид…

*1) 3 ln |x|+C 2) 3) +C 4) 3 ln |x|

6. В результате подстановки t= 5x+2 интеграл ∫ приводится к виду…

1) ∫*2) ∫3) 5∫ 4) ∫

7. Площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом…

1 ) — +

*2)

3)

4)

_8. В результате подстановки t=5x-1 интеграл ∫ приводится к виду

*1) ∫2) 3) 5∫ 4)

_9. Определенный интеграл равен…

1) 76 *2) 65 _{3) 60 4) x}⁴

_{1 0.} Площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом…

1) 2)

3) *4)

11. Определенный интеграл равен…

1) 450 2) x⁶ 3) 64 *4) 63

_13. Множество всех первообразных функцииимеет вид

*1) 2) 3) 4)

_14. Площадь криволинейной трапеции D определяется интегралом…

*1)

2)

3)

4)

_16.

1) 2) 3) *4)

12. Дана функция y=5-3x²+2x³ . Установите соответствие между производными функциями в соответствующих точках и их значениями.

1) y^’ (-1)

2) y^’ (1)

3) y^’ (-2)

1) 36 Ответ:1-3

2) 0 2-2

3) 12 3-1

1. Дана функция y=4x-x⁴+3 . Установите соответствие между производными функциями в соответствующих точках и их значениями.

1) y

’ (-1)

2) y^’ (0)

3) y^’ (1)

1) 4 Ответ: 1-2

2) 8 2-1

3) 0 3-3

2. Производная функции y=x⁴•e^x

1) y^’=4x³+e^x2) y’=4x³•e^x-x⁴•e^x3) y’=4x³•e^x *4) y’=4x³•e^x+x⁴•e^x

3. Вторая производная y^’’(x) функции y(x)=x+x²-8 имеет вид… 1) y^’’=3 *2) y^’’=2 3) y^’’=2x+1 4) y^’’=0

4. Производная функции y=e^2x-3

*1) y^’=2e^2x-3 2) y^’=e^2x-3 3) y^’=(2x-3)e^2x-4 4) y^’=2e

x^-3

5. Вторая производная y^’’(x) функции y(x)=-2x²+3x+1 имеет вид… 1) y^’’=0 *2) y^’’=-4 3) y^’’=2 4) y^’’=-4x+3

6. Производная функции y=tg3x имеет вид…

1) y’=3ctg3x 2) y’=3) y’=-*4) y’=

7. Дана функция y=4x²-1-2x³ . Установите соответствие между производными функциями в соответствующих точках и их значениями.

1) y^’ (0)

2) y^’ (1)

3) y^’ (2)

1) 0 Ответ: 1-1

2) 2 2-2

3) -8 3-3

8. Производная функции y=x²•tgx имеет вид…

1) y’=2x•tgx-x²• 2) y’=2x• 3) y’=2x+ *4) y’=2x•tgx+x²•

9. Дана функция y=2-3x+4x³ . Установите соответствие между производными функциями в соответствующих точках и их значениями.

1. y^’ (0)

2. y^’ (1)

3. y^’ (2)

1) 9 Ответ: 1-2

2) -3 2-1 3-3

3)45

10. Вторая производная y^’’(x) функции y(x)=8x²+3x-7 имеет вид… 1) y^’’=16x+3 2) y^’’=19 * 3) y^’’=16 4) y^’’=0

11. Производная функции y= tg(4x+2) имеет вид…

*1) y’=2) y’=4ctg(4x+2) 3) y’= 4) y’=

_{12. Производная функции y=x}²_{•lnx имеет вид…}

1) y’=2x•lnx-1 2) y’=2x+3) y’=2 *4) y’=2x•lnx+x

13. Дана функция установите соответствие между производными функции в соответствующих точках и их значениях

1) – 30 Ответ,: 1-3

2) – 2 2-2

3) 2 3-3

14. Вторая производная функции имеет вид

1) 2) *3) 4)

15. Производная функции имеет вид

*1) 2) 3) 4)

17. Производная функция y = ctg(3x -4) имеет вид…

*1) 2) 3) 4)

18. Производна функция y =x² lnx имеет вид…

*1) 2) 3) 4)

16. Дана функция y = 5 – 3x²+2x³. Установите соответствие между производными функциями в соответствующих точках и их значениями.

1)1)

2)1)

3)2)

1) 12 Ответ: 1-1

2) 36 2-3

3) 0 3-2

«Производная и ее применение» — алгебра, уроки

   Алгебра и начала анализа 11 класс.

Учитель Ноговицина Е. Н.

Тема урока: «Производная и ее применение»

Цели урока:

1. Образовательные: повторить и обобщить знания учащихся по теме “Применение производной”, систематизировать способы деятельности учащихся по применению производной к исследованию функций. Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.

2. Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Тип урока: урок итогового повторения.

№ п/п	Ф.И.О	Соедини формулу	Диктант	Задачи-карточки	Верно-неверно	Применение производной	Итоговая оценка

Ход урока

1. Организационный вопрос (2мин.)

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

Ребята, если вы правильно отгадайте ключевое слово урока, то узнаете тему нашего урока.

1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;

2) Ньютон назвал ее “флюксией” и обозначал точкой;

3) Бывает первой, второй, … ;

4) Обозначается штрихом.

Итак, тема нашего занятия “ Производная, всемогущая ”.

Как вы думаете, ребята, какова цель нашего урока? (Учащиеся формулируют цель.)

Цель нашего урока – повторить основные направления применения производной для решения различных (избранных) задач дифференциального исчисления.

Эпиграф нашего урока:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н. И. Лобачевский

«Дифференциальное исчисление — это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

Производная — одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

2. Фронтальная работа с классом.

опрос по основным теоретическим положениям по теме.

1. Определение производной функции. (ответ: )

2. Геометрический смысл производной. (Ответ: Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.)

3. Физический смысл производной. (производная от координаты по времени есть скорость)

1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции. (Если производная функции принимает положительные значения в каждой точки интервала, то функция возрастает на этом интервале. Если производная функции принимает отрицательные значения в каждой точки интервала, то функция убывает на этом интервале.)

2. Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции. (Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Точки максимума, минимума функции называются точками экстремума функции)

3. Необходимое условие экстремума. (Если точка х является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то она равна нулю)

4. Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума. (Если функция в точке х меняет знак с «плюса» на «минус», то это точка максимума функции. Если функция в точке х меняет знак с «минуса» на «плюс», то это точка минимума функции.)

1. Актуализация знаний.

1. Соедини формулу.

2. Проверка знания правил и формул дифференцирования

Задания на сопоставления (с последующей самопроверкой и самооценкой).

(u + v)^’= u^’+v^’

(u v)^’= u^’v + uv^’

()^’=

(Cu)^’= Сu^’, где с-const.

С’=0     5. (cos x)’=-Sin x

(xⁿ)’=nx^n-1     6. (t g x)’=

(’=     7. (ctg x)’= —

(sin x)’=cos x      8. h(x)=g(f(x))

h’(x)=g’(f(x)) f’(x).

2.Математический диктант На применение знания правил и формул дифференцирования. Выполняется на два варианта с последующей взаимопроверкой

1.Найдите производные функции:

1) y=3x²-6x 6) y=2sin x

2) y=7x³-2 7) y=cos 5x

3) y=x³+√3 8) y=sin (3-2x)

4) y=√10-x³ 9) y=2x³-3sin3x

5) y=(3-2x)⁵ 10)y=tg3x-8

 

3.Конкурс « Задачи – картинки».

«Задачи – картинки». Фамилия, Имя _________________

Вариант II

Вариант I

№ 1. Какое значение принимает производная функции у = f(х) в точке А?№ 1. Какое значение принимает производная функции у = f(х) в точке А?

Ответ: 1. f’(x)=0;

2. f’(x)

3. f’(x)0.

Ответ: 1. f’(x)=0;

2. f’(x)

3. f’(x)0.

№2. Назовите промежутки возрастания функции

Ответ: 1. 0;

2. 0;

3. x2.

№2. Назовите промежутки убывания функции

Ответ: 1. 0;

2. 0;

3. x2.

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=-2.

Вычислите значение производной в точке х₀=-2.

Ответ:___________________

№3 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой х₀=1.

Вычислите значение производной в точке х₀=1.

Ответ:_________________

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение.

Ответ:____________________

№4 Функция y=f(x) определена на промежутке (-3;4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение.

Ответ:________________

4.Конкурс «верю – не верю».

Каждому ученику выдается карточка зеленого и красного цвета. При утвердительном ответе поднимается зеленая карточка, при отрицательном – красная.

1)      Верно ли, что в точке возрастания функции нё производная больше нуля?

2)      Верно ли, что если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум?

3)      Верно ли, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций?

4)      Верно ли, что наибольшее или наименьшее значение функции на некотором отрезке наблюдается или в критических точках, или на концах отрезка?

5)      Верно ли, что наибольшую площадь прямоугольник заданного периметра имеет, когда этот прямоугольник квадрат?

5 Применение производной. Выполните задание (ЕГЭ. В14)

Вариант – I

Найдите точку минимума функции у = (х + 8) е ^{х -8}

Вариант – II

Найдите точку максимума функции у = (х + 4) е^{4 – х}

1. Логический тест.

а) Вставить пропущенное выражение.

5х³-6х 15х²-6 30х

2sinx 2cosx -2sinx

cos2x -2sin2x -4cos2x

б) Вставить пропущенное слово

математика 3« х «6 тема

дециметр 5« х «8 метр

Рефлексия: разделите лис на четыре части, в каждой части нарисуйте один неодушевленный предмет. Картину под своим номером опишите. Рис похож на производную потому что… Передайте по часовой стрелке. Повторите действие. Когда все рисунки будут описаны. Выберите в своей группе лучшее высказывание.

Итого урока

Д/з выполнение теста по теме: «Производная и ее применение»

6. Подведение итогов урока (5мин.)

7.Резерв.

1) Найдите производную функции:

У= (2х+4),    у = Sin(2x+π/4).

2) Напишите уравнение касательной к графику функции у =3х²-х в точке х=1.

 

Тестовый материал по теме Производная

Тестовый материал с выбором ответов в группе А для отработки по теме «Производная» для учащихся 10-11 классов по УМК А.Г. Мордкович. Три уровня задач: группа А,В,С.Применяетя для подготовки учащихся к выпускным  экзаменам. Особое внимание уделяется отработке формул производных и применению проиводных при решении различных задач: физический и геометрический смысл производной, решение уравнений и неравенств при помощи проиводной.  Задания выстроены на усложнение материала, что позволяет учащимся л…

Поделитесь с коллегами:

Производная

1. Найдите производную функции у = + х⁶

1) у’ = + x⁵ 2) у’ = — + x⁵

3) у’ = + 6x⁵ 4) у’ = — + 6x⁵

2. Найдите производную функции у = х⁴ —

1) у’ = + 4x³ 2) у’ = — + 4x

3) у’ = + 4x 4) у’ = — + 4x³

3. Найдите производную функции у = 2,5x⁴ — 4x³ + 7x — 5

1) у’ = 4x³ — 12x² — 5 2) у’ = 5x³ — 3x² + 7

3) у’ = 10x³ — 12x² — 5 4) у’ = 10x³ — 12x² + 7

4. Найдите производную функции у = 0,5x⁶ — 2x² + 4x — 6

1) у’ = 6x⁵ — 4x + 4 2) у’ = 3x⁵ — 4x + 4

3) у’ = 3x⁵ — 4x — 6 4) у’ = 3x⁵ — 2x + 4

5. Найдите производную функции у = 5x⁴ — 4,5x² + 2x — 7

1) у’ = x³ — 4,5x² + 2 2) у’ = 20x³ — 95x² + 2x — 7

3) у’ = 20x³ — 9x + 2 4) у’ = 10x³ — 9x + 2

6. Найдите производную функции у = 0,5x⁴ — 3x² + 5x — 2

1) у’ = 4x³ — 6x + 5 2) у’ = 2x³ — 6x

3) у’ = 2x³ — 6x + 5 4) у’ = 2x⁴ — 6x + 5

7. Найдите производную функции у = x¹² + sinx

1) у’ = 12x + cosx 2) у’ = — cosx

3) у’ = 12x¹¹ + cosx 4) у’ = 12x¹¹ + sinx

8. Найдите производную функции у = sinx + 2х⁶

1) у’ = — cosx + 2x⁵ 2) у’ = cosx + 12x⁵

3) у’ = — cosx + 12x⁵ 4) у’ = cosx + x⁵

9. Найдите производную функции у = — sinx + х³

1) у’ = — cosx + x² 2) у’ = cosx + x²

3) у’ = — cosx + 3x² 4) у’ = cosx + 3x²

10. Найдите производную функции у = 2х⁵ — 3cosx

1) у’ = 5x⁴ — 3sinx 2) у’ = 2x⁴ + 3sinx

3) у’ = 10x⁴ — 3sinx 4) у’ = 10x⁴ + 3sinx

11. Найдите производную функции у = 2sinx — х⁵

1) у’ = 2cosx — 5x⁴ 2) у’ = 2cosx — x⁴

3) у’ = — 2cosx — 5x⁴ 4) у’ = — 2cosx — x⁴

12. Найдите производную функции у = 3sinx — х⁶

1) у’ = 3cosx — 6x⁵ 2) у’ = 3cosx — x⁵

3) у’ = — 3cosx — x⁵ 4) у’ = — 3cosx — 4x⁵

13. Найдите производную функции у = — 2sinx + х³

1) у’ = -2cosx + 3x 2) у’ = 2cosx + 3x

3) у’ = 2cosx + 3x² 4) у’ = — 2cosx + 3x²

14. Найдите производную функции у = 2sinx + cosx — 3

1) у’ = tgx + 3 2) у’ = 2cosx — sinx

3) у’ = — 3 4) у’ = 2sinx — 3

15. Найдите производную функции у = tgx + 2sinx

1) у’ = — cosx 2) у’ = 3cosx + 2

3) у’ = ctgx + cosx 4) у’ = + 2cosx

16. Найдите производную функции у = 3sinx — 3x² + 7

1) у’ = -3sinx — 6x 2) у’ = — 3sinx — 6x + 7

3) у’ = 3cosx — 6x 4) у’ = 3cosx — 6x + 7

17. Найдите производную функции у = х⁴ — х + 2cosx

1) у’ = 4x³ — 1 — 2sinx 2) у’ = 4x² — 1 — 2sinx

3) у’ = 4x³ — 2sinx 4) у’ = 4x³ — 1 + 2sinx

18. Найдите производную функции у =

1) у’ = 27х⁵sinx + 4,5x⁶cosx 2) у’ = 27х⁵sinx — 4,5x⁶cosx

3) у’ = 27x⁵sinx 4) у’ = 27x⁵cosx

19. Найдите производную функции у = (4x — 1)cosx

1) у’ = 4cosx — (4x — 1)sinx 2) у’ = -cosx — (4x — 1)sinx

3) у’ = -cosx + (4x — 1)sinx 4) у’ = 4cosx + (4x — 1)sinx

20. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ = —

3) у’ = 4) у’ = —

21. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

22. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

23. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

24. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

25. Найдите производную функции у = tg3x — x³ + x

1) у’ = — 3x² + 1 2) у’ = — 3x² + 1

3) у’ = — 3x² + 1 4) у’ = — — 3x²

26. Найдите производную функции у = — 3sinx

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

27. Найдите производную функции у =

1) у’ = 42 2) у’ = — 21

3) у’ = 7 4) у’ = -7

28. Найдите производную функции у =

1) у’ = 20 2) у’ = 5

3) у’ = — 15 4) у’ = — 5

29. Найдите производную функции у =

1) у’ = — 24 2) у’ = — 8

3) у’ = 8 4) у’ = -16

30. Найдите производную функции у =

1) у’ = 4 2) у’ = 20

3) у’ = 44 4) у’ = — 20

31. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ = 5sin2x +

3) у’ = 5sin2x + 4) у’ = 5sin2x +

32. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ = 0,5sin4x +

3) у’ = 0,5sin4x + 4) у’ = 2 sin4x +

33. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2xsin2x + 2x²cos2x 2) у’ = 2xsin2x + x²cos2x

3) у’ = 2xsin2x — 2x²cos2x 4) у’ = 2xsin2x — x²cos2x

34. Найдите производную функции у = (7 — 2x)tg3x

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

35. Найдите производную функции у = е^х — 2х²

1) у’ = е^х — х 2) у’ = е^х + 4х

3) у’ = — 4х 4) у’ = е^х — 4х

36. Найдите производную функции у = х² + х³ + е^х — 4

1) у’ = х + 3х² + е^х — 4 2) у’ = 2х + 3х² + е^х

3) у’ = 2х + х² + е^-х 4) у’ = 2х + х² + е^-х — 4

37. Найдите производную функции у = е^х — х⁷

1) у’ = е^х — 7х⁶ 2) у’ = е^х +

3) у’ = е^х — х⁶ 4) у’ = е^х-1 + 7х⁶

38. Найдите производную функции у = е^х — sinx

1) у’ = е^х — cosx 2) у’ = е^х + cosx

3) у’ = e^2x — cosx 4) у’ = e^2x — cosx

39. Найдите производную функции у = e^x + 3cosx

1) у’ = xe^x-1 — 3sinx 2) у’ = e^x + 3sinx

3) у’ = e^x — 3sinx 4) у’ = xe^x-1 + 3sinx

40. Найдите производную функции у = е^х — cosx

1) у’ = е^х — sinx 2) у’ = е^х + sinx

3) у’ = хе^х-1 — sinx 4) у’ = хе^х-1 + sinx

41. Найдите производную функции у = 4е^х + 12х²

1) у’ = 4xе^х-1 + 14х 2) у’ = 4xе^х-1 + 24х

3) у’ = 4e^x + 4x³ 4) у’ = 4е^х + 24х

42. Найдите производную функции у = е^х + 6х²

1) у’ = xе^х-1 + 8х 2) у’ = е^х + 12х

3) у’ = e^x + 2x³ 4) у’ = е^х + 8х

43. Найдите производную функции у = е^х + 9х²

1) у’ = xе^х-1 + 18х 2) у’ = е^х + 18х

3) у’ = e^x + 3x³ 4) у’ = е^х + 11х

44. Найдите производную функции у = 2^х + е^х — sinx

1) у’ = 2^х + е^х — cosx 2) у’ = 2^хln2 + е^х + cosx

3) у’ = 2^х + е^х + cosx 4) у’ = 2^хln2 + е^х — cosx

45. Найдите производную функции у = 7^х + е^х — 7

1) у’ = 7x + 1 — e^xlge 2) у’ = xln7 + x

3) у’ = — 3 4) у’ = 7^хln7 + е^х

46. Найдите производную функции у = 2log₂ x+ lnx

1) у’ = 2xln2 + x 2) у’ = + 4

3) у’ = x + e^x 4) у’ = +

47. Найдите производную функции у = 2lnx — 3log₇ x+ 5

1) у’ = 2x — 3xln7 2) у’ = + 8x

3) у’ = 7x — 3 4) у’ = — +

48. Найдите производную функции у = х lnx

1) у’ = 1 + lnx 2) у’ = 1

3) у’ = — 1 + lnx 4) у’ = 1 — lnx

49. Найдите производную функции у =

1) у’ = е^х ( 1+ sinx — cosx ) 2) у’ = е^х ( 1 — sinx + cosx)

3) у’ = e^x ( 1 + sinx + cosx ) 4) у’ = e^xcosx

50. Найдите производную функции у = e^x(5 — x)

1) у’ = e^x(6 — x) 2) у’ = e^x(x — 4)

3) у’ = e^x(4 — x) 4) у’ = e^x(x — 6)

51. Найдите производную функции у = (3x — 1)lgx

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

52. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

53. Найдите производную функции у = ln2x + 2х³ — 3

1) у’ = — + 6х² 2) у’ = + 6х² — 3

3) у’ = + 6х² 4) у’ = + 6х²

54. Найдите производную функции у = е^х —

1) у’ = е^х-1 — 2) у’ = е^х —

3) у’ = е^х — 4) у’ = е^х —

55. Найдите производную функции у = 2 — ln 4x

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

56. Найдите производную функции у = e^—x + tgx

1) у’ = — e^—x + 2) у’ = — e^—x +

3) у’ = — e^—x — 4) у’ = e^—x —

57. Найдите производную функции у = lnx + е^2х

1) у’ = х + е^2х 2) у’ = + е^2х

3) у’ = х + 2е^2х 4) у’ = + 2е^2х

58. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

59. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

60. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

61. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

62. Найдите производную функции у = e^3x(5 + x)

1) у’ = e^3x(3x + 14) 2) у’ = e^3x(3x + 4)

3) у’ = e^3x(3x + 16) 4) у’ = e^3x(3x + 6)

63. Найдите производную функции у =

1) у’ = 2) у’ =

3) у’ = 4) у’ =

1. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 1 2) 0 3) 0,5 4) — 1

2. Найдите значение производной функции у = х² + sinx в точке х₀ =

1) — 1 2) 2 + 1 3) 2 — 1 4) 2

3. Найдите f ‘(4), если f(x) = 4 — 5

1) 1 2) 3 3) 2 4) — 1

4. Найдите f ‘(1), если f(x) = (х² + 1)(х³ — х)

1) — 8 2) 8 3) — 6 4) 6

5. Найдите f ‘(1), если f(t) = (t⁴ — 3)(t² + t)

1) 0 2) 2 3) — 2 4) 4

6. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = — 1

1) — 2 2) 3 3) 6 4) 30

7. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 1,25 2) 2 3) 5 4) 7

8. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = — 1

1) — 6 2) 5 3) 17 4) 25

9. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = — 1

1) 54 2) 33 3) 6 4) — 6

10. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 0,12 2) 1,25 3) 5 4) 4

11. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 0,03 2) — 0,03 3) 0,01 4) — 0,01

12. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = — 1

1) — 10 2) 5 3) 11 4) 15

13. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 3

1) 2 2) 0 3) — 2 4) — 3

14. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0,5

1) — 9 2) 8 3) — 8 4) — 0,5

15. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 0,25 2) 0,4 3) 2 4) 5

16. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 0

1) 0,2 2) 0,4 3) 2 4) 5

17. Найдите f ‘(1), если f(x) = lnx — 2cosx

1) 1 2) -2cos1 3) 0 4) 1 + 2sin1

18. Найдите f ‘(1), если f(x) = + 4e^x

1) 9 2) — 5 + 4e 3) 5 4) 5 + 4e

19. Найдите f ‘(0), если f(x) = 2^x + x

1) 1 + 2) 2ln2 + 1 3) 1 + ln2 4) 1

20. Найдите f ‘(4), если f(x) = x³ — 8lnx

1) 6 2) + ln4 3) 10 — 16ln2 4) 10

21. Найдите f ‘(), если f(x) = + lnx

1) ln4 2) 3) 1 + ln4 4)

22. Найдите f ‘(), если f(x) = e^xsinx

1) 1 2) 2e 3) 0 4) e

23. Найдите f ‘(1), если f(x) = x² — 2lnx

1) 6 2) 3 3) — 3 4) 0

24. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = e³

1) 15 2) 15e¹² 3) 5e³ 4) 16e¹²

25. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = e³

1) 18 2) 19e¹⁵ 3) 15e⁶ 4) 18e¹⁵

26. Найдите значение производной функции у = 2e^3x — 3x² + x + 5 в точке х₀ = 0

1) 0 2) 6 3) 7 4) 5

27. Найдите значение производной функции у = 3x² — 6lnx в точке х₀ = 1

1) 6 2) 0 3) 3 4) — 3

28. Найдите значение производной функции у = хе^х в точке х₀ = 1

1) 2 2) 0 3) — 2 4) — 3

29. Найдите значение производной функции у = хlnx в точке х₀ = e

1) 0 2) 2 3) 2e 4) e

30. Найдите значение производной функции у = в точке х₀ = 2

1) 0 2) 0,25е² 3) 0,5е² 4) 2e

1. Решите уравнение f ‘(х) = 0, если f(x) = (3х² + 1)(3х² — 1)

1) 0 2) 2 3) 4)

2. Решите уравнение f ‘(х) = 0, если f(x) = (х — 1)(х² + 1)(х + 1)

1) 1 2) — 1 3) 4) 0

3. Решите неравенство f ‘(х) > 0, если f(x) = — х² — 4х + 2005

1) ( — ; — 2 ) 2) ( — ; 2 ) 3) ( — 2 ; + ) 4) ( 2 ; + )

Уровень А

1. Укажите абсциссу точки графика функции у = 14х — 45 — х², в которой угловой коэффициент касательной равен 2

1) 6 2) — 8 3) 8 4) — 6

2. На графике функции у = х² — 3х + 1 взята точка А. Касательная к графику, проведенная в точку А, наклонена к оси абсцисс под углом, тангенс которого равен 7,2. Найдите абсциссу точки А.

1) 2,1 2) 5,1 3) -2,1 4) 3,75

3. Укажите абсциссу точки графика функции у = 4х — 5 — 3х², в которой угловой коэффициент касательной равен — 8,6

1) 2,1 2) 4,1 3) — 2,1 4) 0,8

4. Укажите абсциссу точки графика функции у = 4х² — 12х — 9, в которой угловой коэффициент касательной равен 12

1) 0 2) 3 3) 4 4) — 3

5. Укажите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у = 5х — 3х² — 2 в точке с абсциссой, равной 1,5

1) -1,5 2) — 3 3) — 4 4) — 1

6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 7 — 3х -2х² + 5х⁴ в его точке с абсциссой х₀ = — 2

1) -166 2) -155 3) — 158 4) -150

7. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

f(x) = 11 — 5х + х² -3 х⁴ в его точке с абсциссой х₀ = — 1

1) -6 2) 5 3) 8 4) 15

8. Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) = 3x² — 7x — 2 в его точке с абсциссой — 3, с осью ординат

1) -32 2) 3 3) 10 4) — 29

9. Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) = 4x² — 2x — 7 в его точке с абсциссой — 1 , с осью абсцисс

1) -3,2 2) — 1,1 3) 5,6 4) — 2,9

10. Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) = 5x² — 9x — 7 в его точке с абсциссой — 2, с осью ординат

1) -27 2) 3 3) 0 4) — 29

11. Найдите сумму координат точки пересечения касательной, проведенной к графику функции f(x) = — x² — x — 11 в его точке с абсциссой — 2 , с осью абсцисс

1) -3,2 2) 7 3) 0,7 4) — 2,9

12. Найдите сумму координат точки на графике функции у = 2х² — х + 1. обладающую тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке, равен — 1?

1) 1 2) 5 3) — 1 4) 0,5

13. Тело удаляется от Земли в вертикальном направлении по закону h(t) = — 5t² + 18t

( t — время движения, h — расстояние от поверхности Земли до тела). Через какое время скорость тела будет равна 3?

1) 2,5 2) 1 3) 1,5 4) 3

14. При торможении маховик за время t поворачивается на угол f(t) = — t² + 10t. Через какое время после начала движения угловая скорость вращения маховика будет равна 4?

1) 4 2) 2 3) 1 4) 3

15. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = 3t³ + 36t + 12, (t) — координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 45?

1) 4 2) 1 3) 5 4) 2

16. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = — 8t² + 18t + 13 ( t — время движения, h — расстояние от поверхности Земли до тела). Определите скорость в момент времени t = 1

1) 8 2) 1 3) 2 4) 4

17. Наблюдение за космическим телом показало, что расстояние s (в километрах) между ним и Землей изменяется по закону s(t) = 1,8 * 10⁵ + 0,5 * 10⁵, где t — время в секундах от момента начала наблюдения. Через сколько секунд после начала наблюдения скорость удаления тела от Земли составит 10³ км/с?

1) 5 2) 1 3) 625 4) 4

18. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = — 9t² + 12t + 7 ( t — время движения, h — расстояние от поверхности Земли до тела). Определите скорость в момент времени t = 0

1) — 6 2) 12 3) 19 4) 0

19. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = — 3t² + 14t + 7 ( t — время движения, h — расстояние от поверхности Земли до тела). В какой момент времени скорость тела будет равна 2 м/с?

1) — 2 2) 2 3) 3 4) -3

20. При торможении маховик за время t поворачивается на угол f(t) = — t² + 12t. Найдите угловую скорость вращения маховика в момент времени t = 3с

1) 4,5 2) 2 3) 10 4) 6

21. При торможении маховик за время t поворачивается на угол f(t) = — t² + 8t. Через какое время после начала движения угловая скорость вращения маховика будет равна 4?

1) 4 2) 2 3) 1 4) 3

22. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t³ + 12t + 125, (t) — координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 15?

1) 4 2) 1 3) 5 4) 2

23. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х = t² + t + 1, ( где х — расстояние до начала координат в метрах, t — время в секундах). Определите кинетическую энергию тела ( Е = , где m — масса тела, v — скорость движения) в момент времени t = 5с

1) 242 2) 484 3) 54 4) 23

24. Тело движется прямолинейно в вертикальном направлении по закону h(t) = — 4t² + 9t + 2 ( t — время движения, h — расстояние от поверхности Земли до тела). Определите скорость через 1 секунду после начала движения

1) -1 2) 1 3) 9 4) 0

25. Найдите момент остановки тела, движущегося по закону s(t) = t² — 6t — 16

1) 8 2) — 2 3) — 3 4) 3

26. Найдите момент остановки тела, движущегося по закону s(t) = t² — 5t — 14

1) 7 2) — 2 3) — 2,5 4) 2,5

27. За время t тело перемещается по прямой на расстояние s(t) = 2,5 t² — 11t + 17. Через сколько секунд скорость точки будет равна 14?

1) -6 2) 5 3) 18 4) — 5

28. Найдите сумму координат точки на графике функции у = 5х² — 7х + 3. обладающую тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в этой точке, равен — 17?

1) 14 2) 5 3) 16 4) 0,5

29. За время t тело перемещается по прямой на расстояние s(t) = 3t² — 4,5t + 5. Через сколько секунд скорость точки будет равна 13,5?

1) -6 2) 3 3) 10 4) — 5

30. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции

у = 2х + е^х в точке с абсциссой х₀ = 0

1) 1 2) 3 3) 0 4) 2 + е

31. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у = lnx + x² в точке с абсциссой х₀ = 1

1) 1 2) 0,5 3) 0 4) 3

32. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у =2х + 3е^х в точке с абсциссой х₀ = 2

1) 4 + 3е⁶ 2) 2 + 3е⁶ 3) 4 + 3е² 4) 2 + 3е²

33. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции

у = lnx + в точке с абсциссой х₀ = 1

1) 2 2) — 2 3) 0 4) 4

34. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у = lnx + x² в точке с абсциссой х₀ = 2

1) 4 2) 3,5 3)- 20 4) 4,5

Уровень В

1. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = — 5 + 7t — e^{3 —t}, где x(t) — координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = 3

2. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = 4 + 2t — e^{4 —t}, где x(t) — координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = 4

3. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = 3 + 2t + t² , где x(t) — координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость будет равна 5?

4. Точка движется по координатной прямой согласно закону х(t) = 5 — 3t + 0,5t² , где x(t) — координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость будет равна 9?

5. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у = 2 — х² + 3х⁴ в его точке с абсциссой х₀ = — 1

6. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции

у = — х³ + 3х² + 8х — 5 в его точке с абсциссой х₀ = 2

7. Тело движется по прямой. Расстояние S ( в метрах) от тела до некоторой точки этой прямой изменяется по закону S = 2t² + t + 1 ( t — время движения тела в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет 13 м/с?

Уровень С

1. Найдите значение функции f(x) = в точке максимума

2. Найдите значение функции f(x) = в точке максимума

3. Найдите значение функции f(x) = в точке максимума

4. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 0,5х + + х² —

5. Найдите наибольшее значение функции f(x) = — 0,25х + + х²

6. Найдите наименьшее значение функции f(x) = х + + х² —

7. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 0,25х — + + х²

8. Найдите наибольшее значение функции f(x) = — 0,5х + + х²

9. Найдите наибольшее значение функции f(x) = — х + + х²

10. Найдите точки минимума функции f(x) =

11. Найдите точки максимума функции f(x) = 48х² — 3х⁴ — 9х³ +

12. Найдите точки минимума функции f(x) = -36х² + 3х⁴ +3х³ +

13. Найдите точки минимума функции f(x) = -72х² + 3х⁴ +3х³ +

14. Найдите наименьшее значение функции f(x) =

15. Найдите наибольшее значение функции f(x) =

16. Найдите наибольшее значение функции f(x) =

17. Найдите наименьшее значение функции f(x) =

18. Найдите наименьшее значение функции f(x) =

19. Найдите наибольшее значение функции f(x) =

20. Найдите точку, в которой принимает наибольшее значение функция

f(x) =

21. Найдите точку, в которой принимает наименьшее значение функция

f(x) =

22. Найдите точки максимума функции у =

23. Найдите точки минимума функции у =

24. Найдите наименьшее значение функции у = на отрезке [-2; 10]

25. Найдите наибольшее значение функции у = на отрезке [-2; 3]

26. Найдите наибольшее значение функции у =

27. Найдите наименьшее целое значение функции у =

28. Найдите наибольшее целое значение функции у =

29. Найдите точки минимума функции f(x) =

30. Найдите точки минимума функции f(x) =

31. Найдите точки минимума функции f(x)=

133

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1

1	Найти производную — d/dx	бревно натуральное х
2	Оценить интеграл	интеграл натурального логарифма x относительно x
3	Найти производную — d/dx
21	Оценить интеграл	интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22	Найти производную — d/dx	грех(2x)
23	Найти производную — d/dx
41	Оценить интеграл	интеграл от cos(2x) относительно x
42	Найти производную — d/dx	1/(корень квадратный из х)
43	Оценка интеграла 9бесконечность
45	Найти производную — d/dx	х/2
46	Найти производную — d/dx	-cos(x)
47	Найти производную — d/dx	грех(3x)
68	Оценить интеграл	интеграл от sin(x) по x
69	Найти производную — d/dx	угловой синус(х)
70	Оценить предел	ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85	Найти производную — d/dx	лог х
86	Найти производную — d/dx	арктан(х)
87	Найти производную — d/dx	бревно натуральное 5х92

Tan3x — формула, доказательство, интегрирование, примеры

Tan3x — одно из тождеств тройного угла в тригонометрии. Это важное тригонометрическое тождество, которое используется для решения различных тригонометрических задач и задач интегрирования. Формула Tan3x задается как tan3x = (3 тангенс х — тангенс ³ х) / (1 — 3 тангенс ² х) и может быть получен с использованием формулы суммы углов функции тангенса. Tan3x также может быть выражен через sin и cos как tan3x = sin 3x/cos 3x.

В этой статье мы рассмотрим концепцию формулы tan3x, ее применение и доказательство. Мы также решим несколько примеров на основе tan3x для лучшего понимания идентичности tan3x.

1.	Что такое Tan3x?
2.	Тан3х Формула
3.	Доказательство формулы Tan3x
4.	Отличие и интеграция Tan3x
5.	Часто задаваемые вопросы по Tan3x

Что такое Tan3x?

Tan3x — это тригонометрическая функция, которая дает значение функции тангенса для тройного угла. График tan3x уже, чем график tan x. Мы знаем, что период tan x равен π радианам, а период tan bx равен π/|b|. Следовательно, период tan3x равен π/3 радиан. Таким образом, значение tan3x повторяется через каждые π/3 радиана, то есть tan3x = tan (3x + π/3). Формула для tan3x может быть получена с использованием формулы tan (a + b).

Формула Tan3x

Формула Tan3x — это важная тригонометрическая формула, представленная как tan3x = (3 тангенс x — тангенс ³ x) / (1 — 3 тангенс ² x), которая используется для решения различных математических задач и сложных интегрирований. Формула для tan3x также может быть записана как tan3x = sin 3x/cos 3x, поскольку функция тангенса представляет собой отношение функции синуса и функции косинуса.

Доказательство формулы Tan3x

Как мы уже изучали, мы знаем, что формула для tan3x (3 tan x — tan ³ x) / (1 — 3 рыжевато-коричневый ² x). Теперь мы докажем эту формулу, используя формулу суммы углов для тангенса и формулу тангенса 2x. Обратите внимание, что мы можем записать 3x как 3x = 3x + x. Кроме того, мы будем использовать следующие формулы, чтобы доказать, что tan3x = (3 тангенс x — тангенс ³ x) / (1 — 3 тангенс ² x):

• тангенс (A + B) = (tan A + загар B) / (1 — загар A загар B)
• тангенс 2x = (2 тангенс х) / (1 — тангенс ² х)

Представим tan(3x) следующим образом:

⇒ tan(3x) = tan (2x + x)

Используя приведенную выше тригонометрическую формулу для tan (A + B), мы имеем

tan (2x + x) = [tan(2x) + tan(x) ] / [1 — tan(2x) tan(x)]

tan(2x + x) = [tan x + {(2 tan x) / (1 — tan ² x)}] / [1 — { (2 tan x) / (1 — tan ² x)} tan x] {Подставляя значение tan 2x = (2 tan x) / (1 — tan ² x)}

При решении имеем

тангенс (2x + х) = (тангенс х — тангенс ³ х + 2 тангенс х) / (1 — тангенс ² x — 2 tan ² x)

= (3 tan x — tan ³ x) / (1- 3 tan ² x)

Таким образом, tan3x = (3 tan x — tan ³ x) / (1-3 tan ² x)

Таким образом, мы получили формулу для tan3x.

Дифференциация и интеграция Tan3x

Далее мы определим производную и интеграл от tan3x. Во-первых, давайте продифференцируем tan3x по x, используя метод цепного правила. Мы знаем, что производная от тангенса х равна сек ² х, а производная от ах есть а, где а есть константа. Используя это, мы имеем

d(tan3x)/dx = d(tan3x)/d(3x) × d(3x)/dx

= сек ² (3x) × 3

= 3 сек ² (3x)

Следовательно, производная от tan 3x равна 3 с ² (3x).

Далее, для интеграции tan3x, мы выразим tan 3x как отношение sin 3x и cos 3x, то есть tan 3x = sin 3x/cos 3x. Также воспользуемся тем, что производная от cos 3x равна -3 sin 3x. Используя эти факты и формулы, мы имеем

∫tan3x dx = ∫(sin 3x / cos 3x) dx

= ∫(3 sin 3x / 3 cos 3x) dx [Умножение числителя и знаменателя на 3]

Предположим, что cos 3x = u ⇒ -3 sin 3 = du ⇒ 3 sin 3x dx = -du. Имеем

∫tan 3x dx = ∫(3 sin 3x / 3 cos 3x) dx

= (-1/3) ∫ (1/u) du

= (-1/3) ln |u| du

= (-1/3) ln |cos 3x| + C

= (1/3) ln |sec 3x| + C

Таким образом, интегрирование tan 3x равно (-1/3) ln |cos 3x| + C или (1/3) ln |sec 3x| + С.

Важные замечания по Tan3x

• Формула для tan3x: tan 3x = (3 tan x — tan ³ x) / (1-3 tan ² x).
• Производная tan3x равна 3 с ² (3x).
• Интеграл от tan3x равен (-1/3) ln |cos 3x| + C или (1/3) ln |sec 3x| + С.

☛ Похожие темы:

• Тригонометрические формулы
• Грех 3x
• Кос 3x

Часто задаваемые вопросы по Tan3x

Что такое формула Tan3x в тригонометрии?

Формула для tan3x определяется как tan3x = (3 тангенс х — тангенс ³ х) / (1- 3 тангенс ² х). Его также можно записать как tan 3x = sin 3x/cos 3x.

Как найти формулу Tan3x?

Формулу Tan3x можно получить, используя формулы tan (A + B) = (tan A + tan B) / (1 — tan A tan B) и tan 2x = (2 tan x) / (1 — tan ² х) и подставив 3х = 2х + х.

Что такое домен и диапазон Tan3x?

Мы знаем, что областью определения тангенса х являются все действительные числа, кроме nπ + π/2, а диапазоном тангенса х являются все действительные числа. Итак, домен tan3x — это все действительные числа, кроме (1/3)(nπ + π/2) = π/6 + nπ/3, где n — целое число, а диапазон tan3x — все действительные числа.

Как найти производную Tan3x?

Производная tan3x равна 3 с ² (3x). Его можно рассчитать с помощью метода цепного правила. Дифференциация Tan3x также может быть выполнена с использованием правила отношения tan 3x = sin 3x/cos 3x. 92х).

BAB 6 TURUNAN (ПРОИЗВОДНАЯ) · Веб-просмотрTURUNAN FUNGSI Определения: Turunan дари suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi

BAB 6 TURUNAN (DERIVATIVE)

Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional

Pertemuan-11

TURUNAN FUNGSI

1. Definisi : Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati нилай вход. Untuk fungsi янь bernilai реальный dengan variabel реальный tunggal, turunan пада sebuah titik сама dengan kemiringan дари гарис singgung grafik fungsi пада titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Konsep turunan secara фундаментальные lebih maju дан rumit daripada konsep янь ditemukan ди aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input дари turunan adalah sebuah fungsi дан outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol янь umumnya dipakai untuk menyatakan turunan дари sebuah fungsi adalah apostrofi. Мака турунан дари ф адалах ф’ (дибача факсен).

.

Jika input дари sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan дари fungsi itu adalah laju perubahan ди мана fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi краткие adalah fungsi линейные, maka fungsi краткие dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

.

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Кемиринган дари суату фунгси дапат диэкспресикан:

ди мана координат дари титик пертама адала (x, f(x)) дан х адалах джарак горизонтальный антара дуа титик.

Untuk menentukan kemiringan дари sebuat kurva, предел kita menggunakan:

Garis singgung sebagai предел дари garis sekan. Turunan дари kurva f(x) ди suatu titik adalah kemiringan дари garis singgung terhadap kurva ди titik tersebut. Kemiringan ини ditentukan dengan memakai nilai предел дари kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

2. Румус Дасар Турунан :

а. y = Xn турунання y = nXn-1

Contoh : y = 10×3 + 8×2 — x 3 ( y = 30×2 + 16x -1

y = 1/x2 = x -2 ( y = -2x -3 = -2 /x3

y = (x = x1/2 ( y = x -1/2 = 1/2(x

b. y = c, dengan c adalah konstanta turunannya y = 0

Contoh : y = 5 ( y = 0

c. y sebagai fungsi trigonometri :

y = sin x turunannya y = cos x

y = cos x турунная y = -sin x

y = tg x турунная y = sec2x

y = ctg x турунная y = -cosec2x

y = secx турунная y = secx coseca tgx

= -cosecx ctg x

Contoh : y = -3tgx ( y = -3sec2x

y = ctg2x ( y = -2cosec2 2x

y = sec2x ( y = 2sec2x tg2x

y = cosec3xco (secxy3 -3xco (secxy3 -3xco)

y = cos(1-x2) ( y = 2xsin(1-x2)

d. y sebagai fungsi logaritma :

y = ln x turunannya y = 1/x

y = glogx turunannya y = 1/ xlng

Contoh : y = 3logx ( 1 / x ln3

y = ln 2x ( 1 / 2x

e. y sebagai fungs exponen :

y = ax turunannya y = axturunannya y = exturunannya6 ln a6 = ex

Contoh : y = 2x ( y= 2xln 2

y = ex ( y = ex

y = x2 e3x ( y = 2x e3x

СОАЛ ЛАТИХАН

1. Tentukanlah f (x) fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x2 + х

б. f(x) = cos x

в. f(x) = (5×2 1) (3x 2)

г. f(x) = cos x sin x

2. Буктикан джика f( x) = xx2 maka f(x) = 5/3 .xx2

Пертемуан — 12

ТУРУНАН ФУНГСИ (ЛАНДЖУТАН)

1. Атуран Рантай Унтук Фунгси Терсусун

Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi u (atau v), u dan v merupakan fungsi dari x, maka turunannya dicari dengan mengembalikannya ke rumus dasar. Cara pengembaliannya adalah sebagai berikut :

1). y = (U ( y = ( (U)

Contoh : a) y = x3 + 2×2 + 4x + 6

=> y = 3×2 + 4x + 4

b) y = 2

3

2

х

+ 4/х + 7(х + 16

= 2х2/3 + 4х-1 + 7х1/2

=> y= 2,2/3x-1/3 4x-2 + 7. 1/2x-1/2

= 4 _ — 4 + 7_

3

3

x

x2 2(

в) у =

3

2

1

+

х

= (х2 + 1)1/3

=> 3 у 2/3

= 2x_____

3

3

2

2

)

1

(

+

3 х 6 х 6). y = u (v (y = u (v

Contoh: y = sin 2x + cos 2x

y = 2cos2x 2sin2x

ContoH: y = TG3x CTG23x

Y = 3SEC23X + 6COSC23X

Y = 3SEC23X + 6COSC23X

Y = 3SEC23X + 6COSEC23X. = ctg3x .ctg3x

U = ctg3x , U = -3cosex23x

V = ctg3x , V = -3cosex23x

y = UV + UV

= -3cosex23x . ctg3x + ctg3x . -3cosex23x

= -6cosex23x . ctg23x

3). y = U.V ( y = UV + UV

Contoh: y = (x2+1) (3x34x)

U = X2+1, U = 2x

V = 3×3-4x, V = 9×2-4

y = УФ + УФ

= 2x .(3×3-4x) + (x2+1) .(9х2-4)

= 6х4 8х2 + (9х4-4х2+9х2-4)

= 15х4 3х2 4

Контох : у = х3,2х

U = X3 , U = 3×2

= 2xln2

y = УФ + УФ

= 3×2 . 2х+х3. 2xln2

Contoh: y = 3×2.ex.tgx

U = 3×2, U = 6x

V = ex, V = ex

W= tgx , W = sec2x

Y = UVW + UVW + UVW

= 6x.ex.tgx + 3×2.ex.tgx + 3×2.ex.sec2x

Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x+4 )3

U = x2+1 , U = 2x

V = (3x+4)3 , V = 9(3x+4)2

y = UV + UV

= 2x. (3x +4)3 + (x2+1).9(3x+4)2

= ( 9×2+24x+16 ).(15×2+8x+9)

= 135×4+432×3+513×2+344x+144

Contoh : y = sinx.coshx

U = sin x , U = cosx

V = ch , V = -sinx

y = UV + UV

= cosx.coshx — sinx.sinhx

Contoh : y = sin2x.tghx

U = sin2x , U = -sin2x.cos2x

V =

V, Vtghx6 = sechx

y = УФ + УФ

= cos2xsin2x . tghx + sin2xsechx

Димана: sin2x = sinx. sinx

U = sinx , U = cosx

V = sinx , V = cosx

y = UV + UV

= cosx.sinx + sinx.cosx

= cos2x.sin2x

. cosx2

U = chx2, U = -2xsinhx2

V = cosx2, V = -2xsinx2

y = UV + UV

= -2xsinhx2.cosx2 — chx2.2xsinx2

= -2x {(sinhx2.cosx2 + chx2.2xsinx2)}

Contoh : y = (9093) (9096) (3x2x1) U = 3×2+1, U = 6x

V = sec2x , V = 2sec2xtg2x

y = UV + UV

= (6x).(sec2x) + (3×2+1).(2sec2xtg2x)

= 2sec2x { 3x + (3×2+1).tgx }

Dimana: sec2x = secx. secx

u = secx, u = secxtgx

v = secx, v = secxtgx

y = uv + uv

= secxtgx.secx + secxxxxxxxtgx.gxxxtgx.

= 2sec2xtgx

4). y = U/V ( y = UV UV

V2

Contoh : y = _x2+1_

( x+4

U = x2+1 , U = 2x

V = (x+4)1/2 , V = (x+4)-1/2

y = UV UV = (2x)(x+4) 1/2 {(x2+1).1/2(x+4)-1/2}

V2 x + 4

= 2x.(x+4 1 .(x2+1)

2(x +4______

х + 4

Contoh: y = x2+1__

x + lnx

U = x2+1, U = 2x

V = x + lnx, V = 1 + 1/x

y = 2x.(x+lnx ) (x2+1).(1+1/x)

(x + lnx)2

= 2×2+2xlnx x2+x+1+1/x

x2+2xlnx+lnx2

Contoh : y = tg2x = sin2x

cos2x

U = sin2x, U = 2cos2x

V = cos2x, V = -2sin2x

y = 2cos2x.cos2x sin2x. -2sin2x

( cos2x )2

= 2 ( cos22x + sin22x ) = 2 = 2 sec22x

(PDF) 1. ИНТЕГРАЦИЯ В ОДНУ ПЕРЕМЕННУЮ — · PDF файл1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задача 1.

1. Найдите следующие первообразные: 1. Z xtg2(2xx)d 2. Z tg3xecs 4xdx 3. Z √ x+1 x+3 dx 4

• 1. INTEGRATION IN ONE VARIABLE

  Problem 1.1 Find the following antiderivatives:

  1.

  x tg2(2x) dx 2.

  tg3x sec4x dx 3.

  x + 1

  x + 3dx

  4.

  (x + 1)3

  1 (x + 1)2dx 5.

  x2

  (x 1)3 dx 6.

  x2 + 1×2 1

  dx

  7.

  sin2x cos5x

  tg3xdx 8.

  sinx cos xsinx + cos x

  dx 9.

  ex sin x dx

  10.

  dx

  cos4x11.

  sin2x dx 12.

  sin4x dx

  13.

  cos2x dx 14.

  cos6x dx 15.

  sin2x cos2x dx

  16.

  dx

  3 +

  2x + 517.

  x 1x + 1

  dx 18.

  arc tg 3

  x dx

  19.

  x + 1 dx 20.

  x + 2

  1 +

  x + 2dx 21.

  2 + бывший дх

  22.

  esin x cos3x dx 23.

  sin5x dx 24.

  cos3x sin2x dx

  25.

  tg2x dx 26.

  tg3x dx 27.

  x3

  1 x2 dx

  28 .

  sinx + 3cos x

  sinx cos x + 2 sin xdx 29.

  sinx + 3cos x

  sinx + 2cos xdx 30.

  tg2(3x) sec3(3x) dx

  31.

  4×4 x3 46×2 20x + 153×3 2×2 9x + 18 dx 32.

  cos(log x) dx 33.

  e4x

  e2x + ex + 2dx

  34.

  1 + 3

  x3

  xdx 35.

  x2

  (x2 + 1)5/2dx 36.

  2

  x2 2x + 2 дх

  37.

  дх

  cos2x38.

  dx

  (x + 1) 3

  x + 239.

  x

  (x2 + 1)5/2dx

  40.

  x2(1 x2)3/2 dx 41.

  ex 1 dx 42.

  2×2 + 3

  x2(x 1) dx

  1

  Universidad Carlos III De Madrid Calculus II

  Марина Дельгадо Tllez de Cepeda

• 43.

  1 +

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  DX 44.

  1 XX

  .

  x 1 dx

  46.

  sec6x dx 47.

  x3

  (1 + x2)3dx 48.

  dx

  ex 4ex

  49.

  dx

  (2 + x)

  1 + х50.

  дх

  1 + 3

  1 x 51.

  ex cos 2x dx

  52.

  x2 log x dx 53.

  sin3x cos2x dx 54.

  cos4x dx

  55.

  tg4x dx 56.

  sec3x dx 57

  dx

  1 sin x

  58.

  sin(log x) dx 59.

  dx

  x2

  1 x260.

  x1 + x2

  dx

  61.

  dxe2x 1

  62.

  e4x

  e2x + 2ex + 2dx 93.13

  x5 2x3x4 2×2 + 1 dx

  64.

  dx3

  (1 2x)2

  1 2×65.

  dx

  x2

  9 x266.

  dx

  (x 1)2(x2 + x + 1)

  67.

  xm log x dx 68.

  cos3x

  sin4xdx 69.

  x2 sin

  x3 dx

  70.

  cos2(log x) dx 71.

  (log x)3 dx 72.

  x(log x)2 dx.

  Подсказка: IBP означает интегрирование по частям и CV замену переменных.

  1. ИБП dv = tg2(2x)dx = (sec2(2x) 1)dx.2. CV t = tg x.3. CV t =

  х.

  4. CV t =

  1 (х + 1)2,5. Выполните разложение на неполные дроби или разложите x2 в степени x 1,6. CV x = раздел t.7. Поскольку подынтегральная функция нечетна относительно синуса, CV t = cos x.8. Производная знаменателя почти появляется в числителе.9. IBP дважды с использованием dv = exdx.10. Так как подынтегральная функция четна в синусах и косинусах, CV t = tg x.11, 12, 13, 14 и 15. Используйте формулы двойного угла.16. CV t = 3 +

  2x + 5 или t =

  2x + 5.

  17. CV t =

  (x 1)/(x + 1).

  18. CV x = t3, после сделать IBP с u = arc tg t.19. CV t =

  х + 1.

  20. CV t =

  х + 2,21. CV t =

  ex + 2.

  22. CV t = sin x, после чего дважды сделать IBP с dv = etdt. 23. Поскольку подынтегральная функция нечетна относительно синуса, CV t = cos x,24. Поскольку подынтегральная функция нечетна относительно косинуса, CVt = sin x.25. tg2x = sec2x 1, или применить CV t = tg x.26. CV t = tg x,27. CV t =

  1 х2.

  28. CV t = tg(x/2).29. CV t = tg x,30. CV t = sin(3x).31. Знаменатель равен (x 2)(x 3)(x + 3).

  2

  Universidad Carlos III de Madrid Calculus II

  Marina Delgado Tllez de Cepeda

• 32. Дважды используйте IBP, используя dv = dx или используйте CVt = log x.33. CV t = пример 34. CV t =

  1 + x1/3,35. CV x = tg t.36. Знаменатель равен (x 1)2 + 1,37. Это немедленно.38. CV х + 2 = t3,39. Это немедленно. Можно интегрировать также с помощью CV t = x2 + 1,40. CV x = sin t.41. КВ т =

  ex 1.

  42. Разложить на частичные дроби.43. Это немедленно. Также можно интегрировать с помощью CV t =

  1 x.44. Умножьте и разделите на 1 cos x.45. IBP дважды берет производную полинома или использует CV t =

  x 1.

  46. CV t = tg x.47. CV t = 1 + x2,48. CV t = пр.49. CV t2 = 1 + х,50. CV t3 = 1 х 0,51. IBP дважды с использованием dv = exdx.

  52. IBP u = log x.53. CV t = cos x,54. Используйте формулы двойного угла.55. CV t = tg x,56. CV t = sin x,57. Умножьте и разделите на 1 + sin x.58. IBP дважды используя dv = dx или используйте CVt = log x.59. CV x = sin t.60. Это немедленно (можно также использовать CVt2 = 1 + x2).61. CV t2 = e2x 1,62. CV t = пр.63. Знаменатель равен (x1)2(x+1)2,64. CV t6 = 1 2x,65. CV x = 3 sin t.66. х2 + х + 1 = (х + 1/2)2 + 3/4,67. IBP u = log x,68. CV t = sin x,69. CV t2 = х3,70. Используйте формулы двойного угла. Затем дважды выполните IBP, используя dv = dx, или используйте CV t = 2 log x.71. IBP u = (log x)3,72. ИБП u = (log x)2.

  Решение:1. 12 х тг(2х) +

  14 лог | потому что (2x) | 12 х2 + в.

  2. 16 тг6х + 14 тг

  4x + c.

  3. 2

  x + log |x + 3| 2

  3 дуги tg

  x3 + c.

  4. 13 (1 (х + 1)2)3/2 (1 (х + 1)2)1/2 + в. 5. 12(x1)2

  2×1 + log |x 1| + в.

  6. 12 x

  x2 1 + 32 log |x +

  x2 1 | + с.7. 17 cos

  7x + 15 cos5x + 13 cos

  3x + cos x + 12 log(1 cos x) 12 log(1 + cos x) + c.8. журнал | грех х + потому что х | + с.9. 1

  1+2ex(sin x cos x) + c.

  10. 13 тг3х + тг х + с.

  11. 12 х 14 син 2х + с.12. 38 х 14 син 2х + 132 син 4х + с.13. 12 х +

  14 грех 2х + в.

  14. 516 x +14 sin 2x +

  364 sin 4x 148 sin3 2x + c.

  15. 18 х 132 син 4х + с.16.

  2x + 5 3 бревна

  (

  3 +

  2x + 5)

  + c.

  17. 1t1 + log |t 1| 1t+1 log |t + 1| + с, где t =

  (х 1)/(х + 1).18. x arc tg(x1/3) 12×2/3 + 12 log(x2/3 + 1) + c.19. 45 (

  х + 1)5/2 43 (

  х + 1)3/2 + в.

  20. х 2

  х + 2 + 2 лог(

  х + 2 + 1) + в.21. 2

  2 + исх +

  2 log(

  2 + ex

  2 )

  2 log(

  2 + ex +

  2 ) + c.

  3

  Universidad Carlos III de Madrid Calculus II

  Marina Delgado Tllez de Cepeda

• 22. (1 sin x)2 esin x + c.23. 15 cos

  5x + 23 cos3x cos x + c.

  24. 13 sin3x 15 sin5x + c.

  25. тг х х + с.26. 12 тг

  2x + бревно | потому что х | + с.27. 15 (1 х 2) 5/2 13 (1 х 2) 3/2 + в.28. log

  tg x2

  2 log(

  tg2 x2 + 3)

  + 23

  arc tg tg(x/2)3

  + c.

  29. 15 журнал | тг х + 2| 110 лог(

  тг2х+1)

  +75х+с.30. 112 с

  3 3x tg 3x 124 с 3x tg 3x 124 log | сек 3x + тг 3x| + с.31. 2×2 + 7x + 3 log |x 2| 4 log |x 3| + 5 log |x + 3| + с.32. 12 х cos (лог х) +

  12 x sin(log x) + c.

  33. 12 e2x ex 12 log

  (

  e2x + ex + 2)

  + 57

  arc tg 2ex+17

  + c.

  34. 65 (1 + х1/3)5/2 2(1 + х1/3)3/2 + в.

  35. 13 х3(х2+1)3/2+с.

  36. 2 дуги tg(x 1) + c.37. тг х + с.

  38. лог.

  (x + 2)1/3 1

  12 лог. tg 2(x+2)1/3+13

  + с.

  39. 13 (х2 + 1)3/2 + в.

  40. x(1 x2)1/2 arcsin x + c.41. 2

  ex 1 2 arc tg

  ex 1 + c.

  42. 5 log |x 1| 3 журнала |х| + 3х + с.43. 43 (1

  х )3/2 + 2

  х + в.

  44. csc x кроватка x log | csc x + детская кроватка x | журнал | грех х | = csc x кроватка x log (1 + cos x) + c.45. 27 (х 1) 7/2 + 45 (х 1) 5/2 + 23 (х 1) 3/2 + с.46. 15 tg

  5x + 23 tg3x + tg x + c.

  47. 12(1+x2)

  + 14(1+x2)2

  + в.

  48. 14 log |ex 2| 14 лог(пр+2)+с.49. 2 дуги tg

  1 + x + c.

  50. 32 (1 х)2/3 + 3(1 х)1/3 3 бревна

  1 + (1 х)1/3

  + c.51. 15 e

  x(cos 2x + 2 sin 2x) + c.52. 13 х

  3 бревна х 19 х3 + с.53. 15 cos

  5x 13 cos3x + c.54. 38 х +

  14 sin 2x +

  132 sin 4x + c.

  55. 13 тг3х тг х + х + в.

  56. 12 сек x tg x +12 log | сек х + тг х| + в.

  57. тг х + сек х + с.58. 12 х cos (лог х) +

  12 x sin(log x) + c.

  59.

  1x2x + c.

  60.

  1 + x2 + c.61. arc tg

  e2x 1 + c.

  62. 12 e2x 2ex + log

  (

  e2x + 2ex + 2)

  + 2arc tg(ex + 1) + c. 63. 12 x

  2 + 14(x1) 1

  4(x+1) + c.

  64. 32 (1 2x)1/3 3(1 2x)1/6 3 log |(1 2x)1/6 1| + с.65.

  9x29x + в.

  66. 13(x1) 13 log |x 1| + 16 log(x2 + x + 1) + 133 дуги tg2x+1

  3+ гр.

  4

  Universidad Carlos III de Madrid Calculus II

  Marina Delgado Tllez de Cepeda

• 67. 1m+1 xm+1 log x 1

  (m+1)2xm+1 = 1; 12 (log x)2, если m = 1.

  68. 13 csc3x + csc x + c.

  69. 23 (x3/2 cos x3/2 + sin x3/2) + c.70. 12 x +

  110 x cos(2 log x) +

  15 x sin(2 log x) + c.

  71. x(log x)3 3x(log x)2 + 6x log x 6x + c.72. 12 x

  2(log x)2 12 x2 log x + 14 x2 + c.

  Задача 1.2. Найти рекуррентные соотношения для следующих первообразных:

  i) Hn =

  lognx dx, ii) In =

  sinnx dx,

  iii) Jn =

  Knex dx) (x2+1) N

  ,

  В) LN =

  TGNX DX, VI) MN =

  SECNX DX,

  VII) NN =

  XNEAX DX, VII). .

  Решение: i) Hn = x lognx nHn1; ii) In = 1n sinn1 x cos x + n1n In2;

  iii) Jn = xnex +nJn1; iv) Kn = 12(n1)x(x2+1)n1 +2n3

  2(n1)Kn1; v) Ln =1

  n1 tgn1xLn2.

  No related posts.