Треугольник паскаля до 15: Треугольник Паскаля до 15

Треугольник Паскаля

Кейт Берриман
[email protected]

*Пожалуйста, убедитесь, что ваш браузер максимально развернут, чтобы просмотреть это сообщение;

 

Вернуться на домашнюю страницу Кейт 6690

 

Треугольник Паскаля

Одним из самых интересных числовых паттернов является треугольник Паскаля (названный в честь Блез Паскаль , известный французский математик и философ).

Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать цифры под ним в виде треугольника.

Каждое число представляет собой сложенные числа непосредственно над ним.

(Здесь я подчеркнул, что 1+3 = 4)

Узоры внутри треугольника

Диагонали

Первая диагональ, конечно, просто 1 с 9.0014

На следующей диагонали находятся Счетные числа (1,2,3 и т.д.).

Третья диагональ имеет треугольные числа

(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет четырехгранные числа.)

Симметричный

Треугольник также симметричен. Числа на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как зеркальное отражение.

Горизонтальные суммы

Что вы заметили в горизонтальных суммах?

Есть образец?

Они удваивают каждый раз (степень двойки).

Экспоненты числа 11

Каждая строка также представляет собой степени (показатели) числа 11:

• 11 ⁰ =1 (первая строка просто «1»)
• 11 ¹ =11 (вторая строка «1» и «1»)
• 11 ² =121 (третья строка «1», «2», «1»)
• и т. д.!

Но что происходит с 11 ⁵ ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:

То же самое происходит с 11 ⁶ и т. д.

Квадраты

Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под обоими из них.

Примеров:

• 3 ² = 3 + 6 = 9,
• 4 ² = 6 + 10 = 16,
• 5 ² = 10 + 15 = 25,
• …

Есть и веская причина… как ты думаешь? (Подсказка: 4 ² =6+10, 6=3+2+1 и 10=4+3+2+1)

Последовательность Фибоначчи

Попробуйте следующее: создайте фигуру, двигаясь вверх и вниз, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.

(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например, 3+5=8, затем 5+8=13 и т.  д.)

Шансы и четы

Если мы раскрасим нечетные и четные числа, мы получим узор, аналогичный треугольнику Серпинского

Пути

Каждая запись также является числом различных путей сверху вниз.

Пример: существует только один путь сверху вниз к любой «1»

И мы видим, что есть 2 разных пути к «2»

То же самое вверх, есть 3 разных пути из 3:

Ваша очередь, посмотрите, сможете ли вы найти все пути вниз к «6»:

Использование треугольника Паскаля

Орел и решка

Треугольник Паскаля показывает нам, сколько способов может сочетаться орел и решка. Затем это может показать нам вероятность любой комбинации.

Например, если вы подбросите монету три раза, только одна комбинация даст три орла (HHH), но есть три комбинации, которые дадут два орла и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три комбинации, которые дадут одна голова и две решки (HTT, THT, TTH) и одна для всех решек (TTT). Это паттерн «1,3,3,1» в треугольнике Паскаля.

Подбрасывает	Возможные результаты (сгруппированные)	Треугольник Паскаля
1	Х Т	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Пример. Какова вероятность того, что при 4 подбрасываниях монеты выпадет ровно два орла?

Есть 1+4+6+4+1 = 16 (или 2 ⁴ =16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно два орла. Таким образом, вероятность равна 6/16, или 37,5%

Комбинации

Треугольник также показывает нам, сколько комбинаций объектов возможно.

Пример: У вас есть 16 шаров для бильярда. Сколькими способами можно выбрать только 3 из них (игнорируя порядок их выбора)?

Ответ: спуститься к началу 16 ряда (верхний ряд 0), а потом по 3 местам (первое место 0) и значение там ваш ответ, 560 .

Вот выдержка из строки 16:

 1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120  560  1820 4368 ... 

Формула для любого входа в треугольник

На самом деле существует формула из Комбинаций для определения значения в любом месте треугольника Паскаля:

Обозначение: «n выбирает k» также может быть записано C(n,k) , ⁿ C _k или _n C 905 04 к .

Таким образом, Треугольник Паскаля также может быть треугольником
и «n выбрать k» , подобным этому.

(Обратите внимание, что верхняя строка — это нулевая строка
, а крайний левый столбец — ноль)

Пример: Строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …

… посмотрим, работает ли формула:

( 4 2 ) = 4! 2!(4−2)! = 4! 2!2! = 4×3×2×1 2×1×2×1 = 6

Да, работает! Попробуйте другое значение для себя.

Это может быть очень полезно… теперь мы можем найти любое значение в Треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Многочлены

Треугольник Паскаля также показывает нам коэффициенты в биномиальном разложении:

Мощность	Биномиальное расширение	Треугольник Паскаля
2	(х + 1) 2 = 1 х 2 + 2 х + 1	1, 2, 1
3	(x + 1) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 9003 8	1, 3, 3, 1
4	(x + 1) 4 = 1 x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 9022 8 4 х + 1	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Первые 15 строк

Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля 9.0014

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

1

10

45

120

210

252

210

120 900 14

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330 900 14

165

55

11

1

1

12

66

220

495

792

924

792 9001 4

495

220

66

12

1

1

13

78

286

715

1287

1716

1716

1287

715

286

78

13

1

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001 900 14

364

91

14

1

Китайцы знали об этом

Этот рисунок озаглавлен «Таблица старого метода семи умножающих квадратов».