Всё очень несложно и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав на черновике треугольник Паскаля, тоже намного проще.
Некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.
Бином Ньютона. Треугольник Паскаля — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике.
Базовый уровень Сложные задачи
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что в теории многочленов называют биномами?
Запишите биноминальную формулу Ньютона.
Для чего предназначен треугольник Паскаля?
Что представляет собой треугольник Паскаля? Опишите
схему его составления.
Перечислите основные свойства бинома Ньютона.
Рассмотрите и запишите решения примеров 1,2, 3.
Запишите формулу для вычисления общего члена
бинома Ньютона.
Рассмотрите и запишите решение примера 4.
НЬЮТОН — английский
математик, механик, астроном и
физик, создатель классической
механики. Разработал
дифференциальное и
интегральное исчисления.
Открыл дисперсию света,
исследовал интерференцию и
дифракцию, развивал
корпускулярную теорию света.
Построил зеркальный телескоп.
Сформулировал основные
Открыл закон всемирного
тяготения, создал теорию
движения небесных тел, создав
основы небесной механики.
1643-1727 г.г.
4. В теории многочленов двучлены часто называют биномами
5. Биномиальная формула Ньютона
1 n 1n
2 n 2 2
n
(a b) a C a b C a b …
n
k n k k
n
n
C a b … b
n
Биномиальные коэффициенты легко находить с помощью треугольника
Паскаля.
Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая
треугольную форму. Биноминальные коэффициенты можно вычислить, применяя только
сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы.
Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа
в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта
схема называется треугольником Паскаля:
1
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
1623-1662 г.
г.ПАСКАЛЬ–
французский
математик, физик,
религиозный философ
и писатель. Работы по
арифметике, теории
чисел, алгебре,
геометрии, теории
вероятностей. В 1641г.
сконструировал
суммирующую машину.
n
k
0
0
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126 126 84
36
9
1
10
45
120 210 252 210 120 45
1
10
1
1.Число слагаемых на 1 больше степени бинома.
2. Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля.
3.Коэффициенты симметричны.
4.Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.
Все четные члены разложения имеют знак «минус»
5.
Сумма степеней каждого слагаемого равна степенибинома.
Данные свойства часто используют для проверки
результата разложения бинома.
Пример 1. Представить в виде многочлена
Согласно треугольнику Паскаля, в случае четвертой
степени биноминальные коэффициенты многочлена будут
равны 1, 4, 6, 4, 1.
И, действительно
Пример 2. Найдите коэффициент бинома Ньютона для
шестого члена разложения выражения
.
В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы
можем вычислить требуемый биномиальный
коэффициент:
12. Воспользуемся свойством 4 бинома Ньютона
3Пример 3. Вычислить: 1 a 3 b 1 a 3 3 1 a 2 3 b 3 1 a 3 b
4
8
4
4
2 4
2
Воспользуемся свойством 4 бинома Ньютона
3
2
3
1 2 3
1 3 3 1 3 1 2
1 2 27 3
1 3 1 3
a
b
a
3
a
b
3
a
b
b
a
a
b
ab b
4
4
2 4 4 8
16
32
64
2 4 8
13. Формула общего члена бинома Ньютона
Т n 1 C an
m
m n
b
n
6
(
a
2
b
)
Пример 4.
Найдите пятый член разложенияВоспользуемся формулой:
Т n 1 C a
n
m
Получаем:
Т 4 1 C64 a 6 4b 4
m n
b
n
6! 2 4 5 6 2 Т4 15a 2b 4
a b5
Т5
a bТ 5
2
4!2!
English Русский Правила
биномиальная теорема | Формула и определение
Треугольник Ян Хуэя
Просмотреть все СМИ
- Ключевые люди:
- аль-Караджи Бернхард Больцано
- Похожие темы:
- алгебра Треугольник Паскаля биномиальный коэффициент
Просмотреть весь связанный контент →
биномиальная теорема , утверждение, что для любого положительного целого числа n , n -я степень суммы двух чисел a и b может быть выражена как сумма n + 1 член вида
Britannica Quiz
Числа и математика
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.
в последовательности членов индекс r принимает последовательные значения 0, 1, 2,…, п . Коэффициенты, называемые биномиальными коэффициентами, определяются по формуле
, в которой n ! (называемый n факториалом) является произведением первых n натуральных чисел 1, 2, 3,…, n (и где 0! определяется как равный 1). Коэффициенты также можно найти в массиве, который часто называют треугольником Паскаля
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
путем нахождения r -й записи n -й строки (отсчет начинается с нуля в обе стороны). Каждый элемент внутри треугольника Паскаля представляет собой сумму двух элементов над ним. Таким образом, степени ( a + b ) n равны 1, для n = 0; a + b , для n = 1; a 2 + 2 a b + b 2 , для n = 2; A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3 , для N = 3; a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b
Теорема полезна в алгебре, а также для определения перестановок, комбинаций и вероятностей. Для положительных целых показателей n теорема была известна исламским и китайским математикам периода позднего средневековья. Аль-Караджи рассчитал треугольник Паскаля около 1000 г. н.э., а Цзя Сянь в середине XI века вычислил треугольник Паскаля до n = 6. теоремы (для любого действительного числа n ), а доказательство Джона Колсона было опубликовано в 1736 году. Теорему можно обобщить, включив комплексные показатели для n , и это впервые доказал Нильс Хенрик Абель в начале 19 века.
Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и обновлена Эриком Грегерсеном.
Бином Ньютона и треугольник Паскаля
Бином Ньютона
Бином Ньютона — это алгоритм, позволяющий вычислить любую степень бинома; для этого мы используем биномиальные коэффициенты, которые представляют собой лишь последовательность комбинаторных чисел.